河北省邢臺市名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1河北省邢臺市名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.2 B.4 C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，，所以，故選：C.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，可得或，故“”是“”的充分不必要條件.故選：4.已知數(shù)列滿足，，則（）A.2 B. C.-1 D.2023【答案】A【解析】由題意得，，，，……，故數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成一個周期為3的周期數(shù)列，故.故選：A5.如圖，在直角梯形中，，，，，點在邊上，且，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】以為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，，則，解得，即.故選：C.6.現(xiàn)有紅色、黃色、藍(lán)色的小球各4個，每個小球上都標(biāo)有不同的編號.從中任取3個小球，若這3個小球顏色不全相同，且至少有一個紅色小球，不同取法有（）A.160種 B.220種 C.256種 D.472種【答案】A【解析】若取出的球中有1個紅球，不同的取法有種；若取出的球中有2個紅球，不同的取法有種.故不同取法有種.故選：A.7.笛卡爾在信中用一個能畫出心形曲線的方程向公主表達(dá)愛意的故事廣為流傳，其實能畫出心型曲線的方程有很多種．心形曲線如圖所示，其方程為，若為曲線上一點，的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】記與軸非負(fù)半軸所成的角為，心形曲線關(guān)于軸對稱，不妨取．設(shè)點，則，代入曲線方程可得，則，因為，所以，所以，所以，所以，即所以．故選：A8.某公司計劃在10年內(nèi)每年某產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）等于上一年的倍再減去2．已知第一年（2022年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬元，則按照計劃該公司從2022年到2031年該產(chǎn)品的銷售總額約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.2135.5萬元 B.2235.5萬元 C.2335.5萬元 D.2435.5萬元【答案】D【解析】設(shè)該公司在2022年，2023年，…，2031年的銷售額（單位：萬元）分別為．依題意可得，則，所以數(shù)列是首項為90，公比為的等比數(shù)列，則，即，則，故從2022年到2031年該產(chǎn)品的銷售總額約為2435.5萬元．故選：D.二、選擇題9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的圖象關(guān)于點中心對稱D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】的最小正周期，A正確；令，解得，所以對稱軸為，故B錯；令，解得，所以的對稱中心為，故C正確；令，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時滿足題意，故D正確.故選：ACD.10.某商店的某款商品近5個月的月銷售量（單位：千瓶）如下表：第個月12345月銷售量2.53.244.85.5若變量和之間具有線性相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法建立的經(jīng)驗回歸方程為，則下列說法正確的是（）A.點一定在經(jīng)驗回歸直線上B.C.相關(guān)系數(shù)D.預(yù)計該款商品第6個月的銷售量為7800瓶【答案】AB【解析】對于A，，所以樣本點中心一定在經(jīng)驗回歸直線上，所以A正確，對于B，因為樣本點中心一定在經(jīng)驗回歸直線上，所以，解得，所以B正確，對于C，因為，所以變量與成正相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)，所以C錯誤，對于D，當(dāng)時，，預(yù)計該款商品第6個月的銷售量為6280瓶，所以D錯誤，故選：AB11.已知，則（）A. B.C. D.當(dāng)時，的最小值為4【答案】ACD【解析】由題可知，則，A正確；由，得，所以，B錯誤；，C正確；當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為4，D正確．故選：ACD12.在一次數(shù)學(xué)活動課上，老師設(shè)計了有序?qū)崝?shù)組，，，表示把中每個1都變?yōu)?，0，每個0都變?yōu)?，所得到的新的有序?qū)崝?shù)組，例如，則.定義，，若，則（）A.中有個1B.中有個0C.中0的總個數(shù)比1的總個數(shù)多D.中1的總個數(shù)為【答案】AC【解析】因為，所以，，，，，顯然，，，中共有2,4,8項，其中1和0的項數(shù)相同，，，中共有3,6,12項，其中為1，為0，設(shè)中總共有項，其中有項1，項0，則，，，所以中有個1，A正確；中有個0，B錯；，則，，，，中的總數(shù)比1的總數(shù)多，C正確；，，，，中1的總數(shù)為，D錯.故選：AC.三、填空題13.已知向量與的夾角為，則__________.【答案】【解析】因為，所以.故答案為：3.14.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，恒成立，即在恒成立，又，所以.故答案為：.15.已知某等差數(shù)列的前7項和與前8項和的乘積等于，則該等差數(shù)列的公差的取值范圍是______.【答案】【解析】設(shè)該等差數(shù)列為，公差為d，的前項和為，則，所以，即，整理得，則，解得.故答案為：16.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意得，所以要使恰有4個零點，只需方程恰有3個實根即可.令函數(shù)，即與的圖象有3個不同交點.當(dāng)時，此時，如圖，與的圖象有2個不同交點，不滿足題意；當(dāng)時，如圖，要使與的圖象有3個不同交點，則直線與直線在第二象限有1個交點，所以.當(dāng)時，如圖，當(dāng)與相切時，聯(lián)立方程得，令，得，解得（負(fù)值舍去）.所以當(dāng)時，與的圖象有3個不同交點.綜上，的取值范圍為.故答案為：.四、解答題17.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）求在上的值域．解：（1）由圖可得，的最小正周期．因為，且，所以．因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以，解得．因為，所以．故．（2）由，得．當(dāng)，即時，取得最大值，最大值為2；當(dāng)，即時，取得最小值，最小值為．故在上的值域為．18.函數(shù)在上的零點從小到大排列后構(gòu)成數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前項和.解：（1）函數(shù)的最小正周期為.函數(shù)在上的零點分別為.數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即當(dāng)為奇數(shù)時，.數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即當(dāng)為偶數(shù)時，.綜上，（2），顯然數(shù)列為等差數(shù)列.所以其前項和為.19.已知是斜邊上一點，.（1）求的值；（2）若，求.解：（1）如圖所示：因為，所以.因為，所以.又因為，所以，即..（2）如圖所示：因為，設(shè)，則.在中，，即，解得.故.20.甲、乙兩人準(zhǔn)備進(jìn)行羽毛球比賽，比賽規(guī)定：一回合中贏球的一方作為下一回合的發(fā)球方.若甲發(fā)球，則本回合甲贏的概率為，若乙發(fā)球，則本回合甲贏的概率為，每回合比賽的結(jié)果相互獨立.經(jīng)抽簽決定，第1回合由甲發(fā)球.（1）求前4個回合甲發(fā)球兩次的概率；（2）求第4個回合甲發(fā)球的概率；（3）設(shè)前4個回合中，甲發(fā)球的次數(shù)為，求的分布列及期望.解：（1）前4個回合甲發(fā)球兩次的情況分以下三種：第一種情況，甲第1，2回合發(fā)球，乙第3，4回合發(fā)球，其概率為.第二種情況，甲第1，3回合發(fā)球，乙第2，4回合發(fā)球，其概率為.第三種情況，甲第1，4回合發(fā)球，乙第2，3回合發(fā)球，其概率為.故前4個回合甲發(fā)球兩次概率為.（2）第2回合甲發(fā)球的概率為，乙發(fā)球的概率為.第3回合甲發(fā)球的概率為，乙發(fā)球的概率為.第4個回合甲發(fā)球的概率為.（3）可以取1，2，3，4.當(dāng)時，；當(dāng)時，；由（1）得，當(dāng)時，；當(dāng)時，.的分布列為1234.21.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：.（1）解：當(dāng)時，，解得.當(dāng)時，，相減得，即，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，驗證時成立，故；（2）證明：，，故.，兩式相減可得：，所以，.令，，，故，且，，，是從第二項開始單調(diào)遞減數(shù)列，.故.22.（1）證明：函數(shù)在上單調(diào)遞減.（2）已知函數(shù)，若是的極小值點，求實數(shù)的取值范圍.（1）證明：由題意證明如下，在中，.令函數(shù).當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.因為，所以當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞減.（2）解：由題意及（1）得，在中，，.令函數(shù).當(dāng)，即或時，存在，使得當(dāng)時，，即在上