專題5.5 三角恒等變換2（重點題型解題技巧）（解析版）2023-2024學年高一數(shù)學上學期重難點題型秒殺秘籍與滿分必刷（人教A版2019必修第一冊）

第第頁專題5.5三角恒等變換2（重點題型解題技巧）【題型1三角函數(shù)非特殊角填空問題】【題型2探究最值】【題型3三角函數(shù)和差、半角正切公式】題型1三角函數(shù)非特殊角填空問題一些非特殊角的三角恒等變形求值填空題，由于最后得出的是一個具體的數(shù)值，故將其設為一個元，再利用恒等變形公式計算其結果形如1、利用三角公式化簡：解：令，即故形如2、求的值解：令即即則必須滿足條件形如3、求的值解：令即：即：故：形如4、求值解：令即即即同時除以得：1．化簡：（

）A． B． C．4 D．8【答案】B【分析】根據(jù)題意，由輔助角公式以及正弦函數(shù)的和差角公式化簡，代入計算，即可得到結果.【詳解】.故選：B2．（

）A．16 B．32 C．48 D．52【答案】B【分析】根據(jù)輔助角公式，倍角公式化簡計算.【詳解】，所以．故選：B3．若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函數(shù)的誘導公式、同角公式、二倍角正弦公式和輔助角公式求解.【詳解】依題意，，即，則，即，而，所以.故選：D4．求值：（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】利用積化和差和和差化積公式，結合半角公式，誘導公式化簡得到結果.【詳解】由積化和差公式可得，故，由和差化積公式可得，故所以.故選：A【點睛】和差化積公式：，，，積化和差公式：，，，.5．下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】A選項，逆用余弦二倍角公式進行求解；B選項，逆用正弦二倍角公式進行求解；C選項，利用輔助角公式和誘導公式求出答案；D選項，將換為，逆用正切差角公式進行求解.【詳解】A選項，，A錯誤；B選項，，B正確；C選項，，C正確；D選項，，D正確.故選：BCD6．下列等式正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】A選項，利用三角恒等變化得到，結合，判斷出函數(shù)值的正負，求出答案；B選項，利用正切和角公式逆運算得到；C選項，利用平方差公式，同角三角函數(shù)關系及二倍角公式求出C錯誤；D選項，利用差角公式化簡計算出D正確.【詳解】A中，.，,，，，原式，所以A錯誤；B中，，B正確；C選項，，C錯誤；D選項，，D正確；故選：BD7．下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】誘導公式結合和角余弦公式計算判斷A；誘導公式結合倍角余弦公式計算判斷B;湊特殊角并結合差角的余弦計算判斷C；切化弦并利用輔助角公式、二倍角公式計算判斷D.【詳解】對于A，，A是；對于B，，B不是；對于C，，C是；對于D，，D不是.故選：AC8．化簡并求值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用切化弦、二倍角公式、輔助角公式化簡計算作答.（2）根據(jù)給定條件，利用切化弦、誘導公式、二倍角公式、輔助角公式化簡計算作答.（3）根據(jù)給定條件，利用特殊角的三角函數(shù)值、二倍角公式、湊角的思想結合和差角的正弦化簡計算作答.【詳解】（1）.（2）.（3）.9．計算求值：(1)已知、均為銳角，，，求的值(2)計算的值【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平方和公式和三角函數(shù)的和差公式即可得答案.（2）根據(jù)誘導公式、二倍角公式、輔助角公式即可得答案.【詳解】（1）、均為銳角，則，所以，，所以.（2）.10．計算求值：(1)；(2)已知，均為銳角，，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）發(fā)掘角關系再利用誘導公式，降冪公式化簡求值即可.（2）先將用來表示，代入，利用兩角和差公式求解即可.【詳解】（1）（2）∵、都為銳角，∴，又，∴，，∴.題型2探究最值定理：若存在最大值，若存在最小值，若最大值最小值都可以根據(jù)函數(shù)的奇偶性來求算，其中求最值得充要條件：證明最大值如下：∴時取最值①必要信息：若取最大值，若取最小值.②，則則注意：Ⅰ若中帶有的式子，則中必有帶，若中帶有的式子，則中必有帶.Ⅱ若，則，反之亦然Ⅲ最小值時通常取形如1、已知函數(shù)，則的最小值是____________解：第一步：第二步：取得最值時按照必要信息，滿足最值的式子，此時求得最大值.，滿足最值的式子，此時求得最小值為.形如2、已知函數(shù)，則的最小值是__________解：第一步：第二步：取得最值時求最小值時取負號滿足最值的式子，此時求得最小值為形如3、已知函數(shù)，則的最大值是______解：第一步：第二步：取得最值時根據(jù)必要信息，求最大值時取正號，，滿足最值的式子，此時求得的最大值為1．關于函數(shù)有以下四個結論：①是周期函數(shù)．②的最小值是0．③的最大值是4．④的零點是．其中正確結論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用二倍角的正弦及輔助角公式變形函數(shù)的解析式，再逐一分析各個命題即可判斷作答.【詳解】依題意，，因為的最小正周期為，因此的最小正周期為，①正確；當，即時，，②正確；當時，，③錯誤；由得：，則或,解得或，即或，因此，④正確，所以正確結論的個數(shù)是3.故選：C2．已知函數(shù)，則的最大值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函數(shù)關系式整理函數(shù)解析式，換元，根據(jù)輔助角公式，整理可得二次函數(shù)，可得答案.【詳解】，令，即，由，則.故選：A.3．函數(shù)，則的最大值為.【答案】【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.【詳解】因為，故函數(shù)的最大值為.故答案為：.4．已知則函數(shù)的最大值為.【答案】【分析】利用三角恒等變換、輔助角公式表示出的解析式，再用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求最大值.【詳解】，,令,因為,所以,所以,所以,所以,對稱軸,所以在單調(diào)遞增,所以當時，,即當,時，有最大值.故答案為:.5．函數(shù)，若的最大值和最小值是．【答案】，【分析】注意sinx+cosx與sinx?cosx之間的關系，進行換元可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成一元二次函數(shù)來解．【詳解】令t＝sinx+cosx＝sin（x+），當x∈[0，]時，則t∈[1，]，所以2sinxcosx＝t2﹣1，則y＝t2+t+1＝（t+）2+，在t∈[1，]上單調(diào)遞增，此時y的最大值是，而最小值是3．故答案為：，6．已知實數(shù)，若函數(shù)的最大值為，則a的值為.【答案】【分析】利用換元法，令，結合同角三角函數(shù)的平方關系，將函數(shù)化為關于的函數(shù)，然后分類求最值.【詳解】設，則，則，，，對稱軸方程為，當時，，解得（舍）或（舍）；當時，，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換與化簡求值，同角三角函數(shù)平方關系的應用，利用換元法求函數(shù)的最值問題，分類討論求二次函數(shù)的最值問題，是中檔題.7．函數(shù)y=sinx+cosx+2sinxcosx的最大值為．【答案】【分析】利用換元法，將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)式，依據(jù)參數(shù)的取值范圍求得最值．【詳解】令且，所以則，所以所以對稱軸為，因為所以當時取得最大值為【點睛】本題考查了換元法在求函數(shù)最值中的應用，這種三角形整體換元法不是很常見，需要特別注意，屬于難題．8．已知，則的最大值為．【答案】【分析】設，，求得的取值范圍，再用表示函數(shù)，求出的最大值．【詳解】設，，則又，則∴，∴．∵∴∴∴時，函數(shù)單調(diào)遞增則時，取得最大值為．故答案為：．題型3三角函數(shù)和差、半角正切公式技巧總結①②③④⑤⑥⑦只要都有只要都有只要都有⑧中，（正切恒等式）形如1、若，則的值為（）A． B． C． D．解：因為，則.故選：D.形如2、已知為正三角形，則的值為（）A． B． C． D．解：因為為正三角形，所以，所以.故選：B.形如3、已知、、為的三內(nèi)角，且角為銳角，若，則的最小值為（）A． B． C． D．1解：在中，，，，,角為銳角,，，當且僅當，即時，等號成立，的最小值為.故選：C.1．（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)兩角和的正切公式以及誘導公式求得正確答案.【詳解】，，，所以，所以.故選：A2．化簡（

）A．8 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】構造兩角和的正切公式，利用特殊角的正切值得到等式即可.【詳解】因為，所以，即，故選：B3．的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正切和差角公式即可求解.【詳解】,故選：C4．已知，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由兩角和正切公式及條件求得，然后化切為弦，結合兩角差的余弦公式求得，從而利用兩角和余弦公式得，從而利用二倍角公式可求解.【詳解】由題意可得，因為，所以，由，得，故，所以.故選：C.5．的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】逆用兩角和的正切公式求解即可.【詳解】.故選：B6．（

）A．1 B． C．3 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，逆用正切的和差角公式，即可得到結果.【詳解】，故選：A．7．求值：（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】利用兩角和差的正切公式即可得出．【詳解】．故選：D．【點睛】本題考查兩角和差的正切公式，考查運算求解能力，屬于基礎題．8．等于（

）A． B． C．1 D．1【答案】D【分析】直接利用兩角和的正切公式的變形公式化簡計算即可【詳解】，故選：D9．A．1 B．-1 C． D．【答案】B【詳解】分析：利用兩角和的正切函數(shù)，化簡求解即可.詳解：，即有，故選：B.點睛：本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，考查計算能力.10．（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【解析】將代入所求的式子，即可求解.【詳解】.故選:C.【點睛】本題考查非特殊角的三角函數(shù)求值，考查公式變形應用，化非特殊角為特殊角，非特殊角相消相約，達到求值目的，屬于基礎題.11．“”是“”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分亦不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)兩角和的正切公式，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷．【詳解】由（1+tanα）（1+tanβ）＝2得1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝2，即tanα+tanβ＝1﹣tanαtanβ，∴1，∴．(k，不一定有“”；反之，“”不一定有“”，如=，，此時無意義；∴“”是“”的既不充分亦不必要條件．故選D．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判定，考查了兩角和的正切公式，舉反例說明命題不成立是解決此類題的常用方法，屬于基礎題．12．值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，即可得出答案.【詳解】解：因為，所以所以.故選：C.13．已知，則的值為．【答案】3【分析】根據(jù)題意，由正切函數(shù)的和差角公式，代入計算，即可得到結果.【詳解】已知，所以，故答案為：14．已知，滿足，則．【答案】【分析】根據(jù)題意結合兩角和差公式整理得，進而可得結果.【詳解】因為，即，整理得，即，所以．故答案為：．15．在中，已知．(1)求；(2)若的面積為，，求AB的長度．【答案】(1)(2)【分析】（1）由及可求；（2）方法1：由題條件及求