專題5.5 三角恒等變換2(重點(diǎn)題型解題技巧)(解析版)2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期重難點(diǎn)題型秒殺秘籍與滿分必刷(人教A版2019必修第一冊(cè))_第1頁(yè)
專題5.5 三角恒等變換2(重點(diǎn)題型解題技巧)(解析版)2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期重難點(diǎn)題型秒殺秘籍與滿分必刷(人教A版2019必修第一冊(cè))_第2頁(yè)
專題5.5 三角恒等變換2(重點(diǎn)題型解題技巧)(解析版)2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期重難點(diǎn)題型秒殺秘籍與滿分必刷(人教A版2019必修第一冊(cè))_第3頁(yè)
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第第頁(yè)專題5.5三角恒等變換2(重點(diǎn)題型解題技巧)【題型1三角函數(shù)非特殊角填空問題】【題型2探究最值】【題型3三角函數(shù)和差、半角正切公式】題型1三角函數(shù)非特殊角填空問題一些非特殊角的三角恒等變形求值填空題,由于最后得出的是一個(gè)具體的數(shù)值,故將其設(shè)為一個(gè)元,再利用恒等變形公式計(jì)算其結(jié)果形如1、利用三角公式化簡(jiǎn):解:令,即故形如2、求的值解:令即即則必須滿足條件形如3、求的值解:令即:即:故:形如4、求值解:令即即即同時(shí)除以得:1.化簡(jiǎn):(

)A. B. C.4 D.8【答案】B【分析】根據(jù)題意,由輔助角公式以及正弦函數(shù)的和差角公式化簡(jiǎn),代入計(jì)算,即可得到結(jié)果.【詳解】.故選:B2.(

)A.16 B.32 C.48 D.52【答案】B【分析】根據(jù)輔助角公式,倍角公式化簡(jiǎn)計(jì)算.【詳解】,所以.故選:B3.若,則實(shí)數(shù)的值為(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角公式、二倍角正弦公式和輔助角公式求解.【詳解】依題意,,即,則,即,而,所以.故選:D4.求值:(

)A. B. C.1 D.【答案】A【分析】利用積化和差和和差化積公式,結(jié)合半角公式,誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果.【詳解】由積化和差公式可得,故,由和差化積公式可得,故所以.故選:A【點(diǎn)睛】和差化積公式:,,,積化和差公式:,,,.5.下列等式成立的是(

)A. B.C. D.【答案】BCD【分析】A選項(xiàng),逆用余弦二倍角公式進(jìn)行求解;B選項(xiàng),逆用正弦二倍角公式進(jìn)行求解;C選項(xiàng),利用輔助角公式和誘導(dǎo)公式求出答案;D選項(xiàng),將換為,逆用正切差角公式進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng),,A錯(cuò)誤;B選項(xiàng),,B正確;C選項(xiàng),,C正確;D選項(xiàng),,D正確.故選:BCD6.下列等式正確的是(

)A.B.C.D.【答案】BD【分析】A選項(xiàng),利用三角恒等變化得到,結(jié)合,判斷出函數(shù)值的正負(fù),求出答案;B選項(xiàng),利用正切和角公式逆運(yùn)算得到;C選項(xiàng),利用平方差公式,同角三角函數(shù)關(guān)系及二倍角公式求出C錯(cuò)誤;D選項(xiàng),利用差角公式化簡(jiǎn)計(jì)算出D正確.【詳解】A中,.,,,,,原式,所以A錯(cuò)誤;B中,,B正確;C選項(xiàng),,C錯(cuò)誤;D選項(xiàng),,D正確;故選:BD7.下列各式中,值為的是(

)A. B.C. D.【答案】AC【分析】誘導(dǎo)公式結(jié)合和角余弦公式計(jì)算判斷A;誘導(dǎo)公式結(jié)合倍角余弦公式計(jì)算判斷B;湊特殊角并結(jié)合差角的余弦計(jì)算判斷C;切化弦并利用輔助角公式、二倍角公式計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A,,A是;對(duì)于B,,B不是;對(duì)于C,,C是;對(duì)于D,,D不是.故選:AC8.化簡(jiǎn)并求值.(1);(2);(3).【答案】(1);(2);(3).【分析】(1)根據(jù)給定條件,利用切化弦、二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)計(jì)算作答.(2)根據(jù)給定條件,利用切化弦、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)計(jì)算作答.(3)根據(jù)給定條件,利用特殊角的三角函數(shù)值、二倍角公式、湊角的思想結(jié)合和差角的正弦化簡(jiǎn)計(jì)算作答.【詳解】(1).(2).(3).9.計(jì)算求值:(1)已知、均為銳角,,,求的值(2)計(jì)算的值【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)平方和公式和三角函數(shù)的和差公式即可得答案.(2)根據(jù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式、輔助角公式即可得答案.【詳解】(1)、均為銳角,則,所以,,所以.(2).10.計(jì)算求值:(1);(2)已知,均為銳角,,,求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)發(fā)掘角關(guān)系再利用誘導(dǎo)公式,降冪公式化簡(jiǎn)求值即可.(2)先將用來表示,代入,利用兩角和差公式求解即可.【詳解】(1)(2)∵、都為銳角,∴,又,∴,,∴.題型2探究最值定理:若存在最大值,若存在最小值,若最大值最小值都可以根據(jù)函數(shù)的奇偶性來求算,其中求最值得充要條件:證明最大值如下:∴時(shí)取最值①必要信息:若取最大值,若取最小值.②,則則注意:Ⅰ若中帶有的式子,則中必有帶,若中帶有的式子,則中必有帶.Ⅱ若,則,反之亦然Ⅲ最小值時(shí)通常取形如1、已知函數(shù),則的最小值是____________解:第一步:第二步:取得最值時(shí)按照必要信息,滿足最值的式子,此時(shí)求得最大值.,滿足最值的式子,此時(shí)求得最小值為.形如2、已知函數(shù),則的最小值是__________解:第一步:第二步:取得最值時(shí)求最小值時(shí)取負(fù)號(hào)滿足最值的式子,此時(shí)求得最小值為形如3、已知函數(shù),則的最大值是______解:第一步:第二步:取得最值時(shí)根據(jù)必要信息,求最大值時(shí)取正號(hào),,滿足最值的式子,此時(shí)求得的最大值為1.關(guān)于函數(shù)有以下四個(gè)結(jié)論:①是周期函數(shù).②的最小值是0.③的最大值是4.④的零點(diǎn)是.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】利用二倍角的正弦及輔助角公式變形函數(shù)的解析式,再逐一分析各個(gè)命題即可判斷作答.【詳解】依題意,,因?yàn)榈淖钚≌芷跒?,因此的最小正周期為,①正確;當(dāng),即時(shí),,②正確;當(dāng)時(shí),,③錯(cuò)誤;由得:,則或,解得或,即或,因此,④正確,所以正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3.故選:C2.已知函數(shù),則的最大值為(

).A. B. C. D.【答案】A【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式整理函數(shù)解析式,換元,根據(jù)輔助角公式,整理可得二次函數(shù),可得答案.【詳解】,令,即,由,則.故選:A.3.函數(shù),則的最大值為.【答案】【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.【詳解】因?yàn)?,故函?shù)的最大值為.故答案為:.4.已知?jiǎng)t函數(shù)的最大值為.【答案】【分析】利用三角恒等變換、輔助角公式表示出的解析式,再用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求最大值.【詳解】,,令,因?yàn)?所以,所以,所以,所以,對(duì)稱軸,所以在單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),,即當(dāng),時(shí),有最大值.故答案為:.5.函數(shù),若的最大值和最小值是.【答案】,【分析】注意sinx+cosx與sinx?cosx之間的關(guān)系,進(jìn)行換元可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成一元二次函數(shù)來解.【詳解】令t=sinx+cosx=sin(x+),當(dāng)x∈[0,]時(shí),則t∈[1,],所以2sinxcosx=t2﹣1,則y=t2+t+1=(t+)2+,在t∈[1,]上單調(diào)遞增,此時(shí)y的最大值是,而最小值是3.故答案為:,6.已知實(shí)數(shù),若函數(shù)的最大值為,則a的值為.【答案】【分析】利用換元法,令,結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系,將函數(shù)化為關(guān)于的函數(shù),然后分類求最值.【詳解】設(shè),則,則,,,對(duì)稱軸方程為,當(dāng)時(shí),,解得(舍)或(舍);當(dāng)時(shí),,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換與化簡(jiǎn)求值,同角三角函數(shù)平方關(guān)系的應(yīng)用,利用換元法求函數(shù)的最值問題,分類討論求二次函數(shù)的最值問題,是中檔題.7.函數(shù)y=sinx+cosx+2sinxcosx的最大值為.【答案】【分析】利用換元法,將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)式,依據(jù)參數(shù)的取值范圍求得最值.【詳解】令且,所以則,所以所以對(duì)稱軸為,因?yàn)樗援?dāng)時(shí)取得最大值為【點(diǎn)睛】本題考查了換元法在求函數(shù)最值中的應(yīng)用,這種三角形整體換元法不是很常見,需要特別注意,屬于難題.8.已知,則的最大值為.【答案】【分析】設(shè),,求得的取值范圍,再用表示函數(shù),求出的最大值.【詳解】設(shè),,則又,則∴,∴.∵∴∴∴時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增則時(shí),取得最大值為.故答案為:.題型3三角函數(shù)和差、半角正切公式技巧總結(jié)①②③④⑤⑥⑦只要都有只要都有只要都有⑧中,(正切恒等式)形如1、若,則的值為()A. B. C. D.解:因?yàn)?,則.故選:D.形如2、已知為正三角形,則的值為()A. B. C. D.解:因?yàn)闉檎切?,所以,所?故選:B.形如3、已知、、為的三內(nèi)角,且角為銳角,若,則的最小值為()A. B. C. D.1解:在中,,,,,角為銳角,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,的最小值為.故選:C.1.(

)A. B. C.1 D.【答案】A【分析】根據(jù)兩角和的正切公式以及誘導(dǎo)公式求得正確答案.【詳解】,,,所以,所以.故選:A2.化簡(jiǎn)(

)A.8 B.1 C.2 D.4【答案】B【分析】構(gòu)造兩角和的正切公式,利用特殊角的正切值得到等式即可.【詳解】因?yàn)?,所以,即,故選:B3.的值為(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)正切和差角公式即可求解.【詳解】,故選:C4.已知,且,,則(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】由兩角和正切公式及條件求得,然后化切為弦,結(jié)合兩角差的余弦公式求得,從而利用兩角和余弦公式得,從而利用二倍角公式可求解.【詳解】由題意可得,因?yàn)椋?,由,得,故,所?故選:C.5.的值為(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】逆用兩角和的正切公式求解即可.【詳解】.故選:B6.(

)A.1 B. C.3 D.【答案】A【分析】根據(jù)題意,逆用正切的和差角公式,即可得到結(jié)果.【詳解】,故選:A.7.求值:(

)A. B. C.1 D.【答案】D【分析】利用兩角和差的正切公式即可得出.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和差的正切公式,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.8.等于(

)A. B. C.1 D.1【答案】D【分析】直接利用兩角和的正切公式的變形公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可【詳解】,故選:D9.A.1 B.-1 C. D.【答案】B【詳解】分析:利用兩角和的正切函數(shù),化簡(jiǎn)求解即可.詳解:,即有,故選:B.點(diǎn)睛:本題考查兩角和與差的正切函數(shù),考查計(jì)算能力.10.(

)A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】將代入所求的式子,即可求解.【詳解】.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查非特殊角的三角函數(shù)求值,考查公式變形應(yīng)用,化非特殊角為特殊角,非特殊角相消相約,達(dá)到求值目的,屬于基礎(chǔ)題.11.“”是“”的A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既不充分亦不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)兩角和的正切公式,利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.【詳解】由(1+tanα)(1+tanβ)=2得1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2,即tanα+tanβ=1﹣tanαtanβ,∴1,∴.(k,不一定有“”;反之,“”不一定有“”,如=,,此時(shí)無意義;∴“”是“”的既不充分亦不必要條件.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判定,考查了兩角和的正切公式,舉反例說明命題不成立是解決此類題的常用方法,屬于基礎(chǔ)題.12.值是(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù),即可得出答案.【詳解】解:因?yàn)椋运?故選:C.13.已知,則的值為.【答案】3【分析】根據(jù)題意,由正切函數(shù)的和差角公式,代入計(jì)算,即可得到結(jié)果.【詳解】已知,所以,故答案為:14.已知,滿足,則.【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合兩角和差公式整理得,進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,即,整理得,即,所以.故答案為:?5.在中,已知.(1)求;(2)若的面積為,,求AB的長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)【分析】(1)由及可求;(2)方法1:由題條件及求

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