期末典例專練23：長方體、正方體的表面積和體積應(yīng)用綜合“拓展版”-2023-2024學(xué)年六年級數(shù)學(xué)上冊典型例題系列（解析版）蘇教版

第第頁2023-2024學(xué)年六年級數(shù)學(xué)上冊典型例題系列期末典例專練23：長方體、正方體的表面積和體積應(yīng)用綜合“拓展版”1．一個高是20厘米的長方體容器中盛滿了水，現(xiàn)在倒去150毫升，那么水面下降5厘米。原來容器中共有多少毫升水？

【答案】600毫升【分析】根據(jù)題意可知，倒去的體積＝水面下降部分的體積，先把150毫升化為150立方厘米，再根據(jù)長方體的體積＝底面積×高，用150÷5即可求出長方體容器的底面積，再根據(jù)長方體的體積公式，用長方體容器的底面積×20，即可求出容器的容積，最后把單位換算成毫升?！驹斀狻?50毫升＝150立方厘米150÷5＝30（平方厘米）30×20＝600（立方厘米）600立方厘米＝600毫升答：原來容器中共有600毫升水?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了長方體體積公式的靈活應(yīng)用，要熟練掌握相關(guān)公式。2．一個棱長15分米的正方體水槽中裝有水，水深10分米?，F(xiàn)將一塊長9分米，寬10分米的長方體鋼錠浸沒在水中，水面上升了3分米，鋼錠的高是多少分米？【答案】7.5分米【分析】根據(jù)物體的體積等于上升部分水的體積，物體的體積＝長×寬×上升部分的高度，用15×15×3即可求出長方體鋼錠的體積。再根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，用長方體鋼錠的體積÷9÷10即可求出鋼錠的高，據(jù)此解答。【詳解】15×15×3＝675（立方分米）675÷9÷10＝7.5（分米）答：鋼錠的高是7.5分米?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了長方體、正方體體積公式的靈活應(yīng)用，注意物體的體積等于上升部分水的體積。3．一個長方體的玻璃缸，長8分米，寬5分米，高4分米，水深2.5分米，如果投入一塊棱長為4分米的正方體鐵塊，是否有水溢出，如果有水溢出，水溢出多少升？【答案】有水溢出；水溢出4升【分析】先根據(jù)長方體的體積（容積）＝長×寬×高，求出玻璃缸的容積、水的體積；再根據(jù)正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，求出鐵塊的體積；再比較“水與鐵塊的體積和”和玻璃缸容積的大小，若“水與鐵塊的體積和”大于玻璃缸的容積，則有水溢出；最后用“水與鐵塊的體積和”減去玻璃缸的容積，求出溢出的水的體積?！驹斀狻坎ＡЦ椎娜莘e：8×5×4＝40×4＝160（立方分米）水與鐵塊的體積和：8×5×2.5＋4×4×4＝40×2.5＋16×4＝100＋64＝164（立方分米）164＞160，所以有水溢出。164－160＝4（立方分米）4立方分米＝4升答：有水溢出，水溢出4升。【點(diǎn)睛】解決此類問題關(guān)鍵要明確放入的物體和水的體積和與容器的容積的大小關(guān)系。4．一個長方形的鐵皮，長8分米、寬6分米，如果從鐵皮的四個角上各剪去一個邊長2分米的正方形，做成一個無蓋的盒子，這個盒子的容積是多少立方厘米？【答案】16000立方厘米【分析】如圖所示，長方體的長＝長方形的長－正方形的邊長×2，長方體的寬＝長方形的寬－正方形的邊長×2，長方體的高等于正方形的邊長，利用“長方體的體積（容積）＝長×寬×高”求出這個盒子的容積，最后把單位轉(zhuǎn)化為“立方厘米”，據(jù)此解答?！驹斀狻块L：8－2×2＝8－4＝4（分米）寬：6－2×2＝6－4＝2（分米）高：2分米4×2×2＝16（立方分米）16立方分米＝16000立方厘米答：這個盒子的容積是16000立方厘米。【點(diǎn)睛】分析題意求出長方體的長、寬、高，并掌握長方體的體積（容積）計算公式是解答題目的關(guān)鍵。5．一塊面積為6.5平方分米的正方形木板如右圖豎直放置，現(xiàn)讓這塊木板向右平移4.3分米，它掃過的空間形成的立體圖形體積是多少立方分米？

【答案】27.95立方分米【分析】看圖，它掃過的空間形成了一個長方體，這個長方體的底面積是6.5平方分米，高是4.3分米。將底面積乘高，求出這個長方體的體積即可?！驹斀狻?.5×4.3＝27.95（立方分米）答：它掃過的空間形成的立體圖形體積是27.95立方分米。【點(diǎn)睛】本題考查了長方體的體積，長方體體積＝長×寬×高＝底面積×高。6．把下圖的木塊平均分成兩塊，兩塊木塊的表面積的和比原來木塊的表面積增加了多少平方厘米？

【答案】96平方厘米【分析】根據(jù)題意可知，木塊平均分成兩塊，表面積增加了2個長方形面，長方形的長為8厘米，寬為6厘米，根據(jù)長方形的面積公式，用6×8×2即可求出增加的表面積?！驹斀狻?×8×2＝96（平方厘米）答：兩塊木塊的表面積的和比原來木塊的表面積增加了96平方厘米?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了立體圖形的切拼，注意表面積增加了哪些面。7．計算圖中大球和小球的體積。（單位：厘米）【答案】50立方厘米；25立方厘米【分析】觀察圖2，2個大球和1個小球完全浸沒在水里后，2個大球和1個小球的體積之和＝水面上升的體積，水面上升的體積可看作長為5厘米，寬為5厘米，高為5厘米的長方體的體積，根據(jù)長方體的體積公式，可求出2個大球和1個小球的體積之和；觀察圖3，接著放入5個小球，5個小球完全浸沒在水里后，5個小球的體積＝水面上升的體積，水面上升的體積可看作長為5厘米，寬為5厘米，高為（10－5）厘米的長方體的體積，根據(jù)長方體的體積公式，可求出5個小球的體積，除以5求出1個小球的體積，再代入前面的關(guān)系式中，求出1個大球的體積。據(jù)此解答。【詳解】5×5×5＝125（立方厘米）5×5×（10－5）＝25×5＝125（立方厘米）125÷5＝25（立方厘米）（125－25）÷2＝100÷2＝50（立方厘米）答：大球的體積是50立方厘米，小球的體積是25立方厘米。【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是掌握不規(guī)則物體的體積的計算方法，通過轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，靈活運(yùn)用長方體的體積公式，解決問題。8．一個長方體（如下圖），如果高增加4厘米，就變成了棱長是10厘米的正方體，這個長方體的體積是多少？【答案】600立方厘米【分析】由題意可知，原長方體的長為10厘米，寬為10厘米，高為10－4＝6（厘米），由長方體的體積公式：V＝abh，代入數(shù)據(jù)即可解答。【詳解】10－4＝6（厘米）10×10×6＝600（立方厘米）答：這個長方體的體積是600立方厘米。【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是利用長方體和正方體的特征，靈活運(yùn)用長方體的體積公式求解。9．一個長方體水箱，長為6分米，寬為4分米，水深5分米，當(dāng)把一個鐵塊放入水箱后（鐵塊完全浸沒），水位上升到5.5分米。這個鐵塊的體積是多少立方分米？【答案】12立方分米【分析】鐵塊完全浸沒在水里后，鐵塊的體積＝水面上升的體積，水面上升的體積可看作長為6分米，寬為4分米，高為（5.5－5）分米的長方體的體積，根據(jù)長方體的體積公式，把數(shù)據(jù)代入即可得解?！驹斀狻?×4×（5.5－5）＝24×0.5＝12（立方分米）答：這個鐵塊的體積是12立方分米?！军c(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是掌握不規(guī)則物體的體積的計算方法，通過轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，靈活運(yùn)用長方體的體積公式，解決問題。10．一個長方體魚缸，從里面量底面長40厘米，寬3分米，水面與魚缸口的距離是1.5分米，媽媽買了一塊盆景假山（完全浸沒）放入后，水面與魚缸口的距離是0.7分米。這塊盆景假山的體積是多少？（可以試著先畫圖，再解答）【答案】畫圖見詳解；9600立方厘米【分析】由題意可知：水面上升的那部分水的體積就是放入的盆景假山的體積。先用原來水面與魚缸口的距離減去放入假山后水面與魚缸口的距離，求出水面上升的高度；再用容器的長×寬×水面上升的高度即可求出這塊盆景假山的體積?！驹斀狻慨媹D如下：3分米＝30厘米1.5分米＝15厘米0.7分米＝7厘米40×30×（15－7）＝40×30×8＝1200×8＝9600（立方厘米）答：這塊盆景假山的體積是9600立方厘米?！军c(diǎn)睛】用排水法求不規(guī)則物體的體積時，將物體放入水中后（物體完全浸沒在水中），明確水上升的高度是解題的關(guān)鍵。11．一塊正方體鋼材，體積為4.5立方分米?，F(xiàn)把這塊正方體鋼材鍛鑄成長方體，已知鍛鑄的長方體的橫截面是周長為24厘米的正方形，這個長方體的長是多少米？【答案】1.25米【分析】4.5立方分米＝0.0045立方米，把鋼材鍛鑄成長方體，體積不變，已知長方體的橫截面是周長為24厘米的正方形，根據(jù)正方形的周長公式，用24÷4即可求出正方形的邊長，把單位換算成米，也就是0.06米，再根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，用0.0045÷0.06÷0.06即可求出長方體的長。據(jù)此解答?！驹斀狻?.5立方分米＝0.0045立方米24÷4＝6（厘米）6厘米＝0.06米0.0045÷0.06÷0.06＝0.0045÷（0.06×0.06）＝0.0045÷0.0036＝1.25（米）答：這個長方體的長是1.25米?！军c(diǎn)睛】主要考查了長方體體積公式的靈活應(yīng)用，要注意單位換算。12．將一塊長是12厘米、寬是7.5厘米的長方體石塊完全浸沒在一個棱長是15厘米、水深8厘米的正方體水槽中（水未溢出），水面上升了5厘米，石塊的高是多少厘米？【答案】12.5厘米【分析】根據(jù)題意知：石塊的體積相當(dāng)于底面積為15×15＝225平方厘米，高為5厘米的水的體積。根據(jù)長方體體積＝底面積×高，將數(shù)據(jù)代入即可求得石塊的體積，再用體積除以石塊底面積（12×7.5），可得石塊的高。據(jù)此解答?！驹斀狻?5×15×5÷（12×7.5）＝1125÷90＝12.5（厘米）答：石塊的高是12.5厘米?！军c(diǎn)睛】此題考查了長方體體積公式的靈活運(yùn)用。13．在一個棱長為3cm的正方體木塊的每面中心挖一個相通的洞。洞口是邊長為1cm的正方形（如圖）。挖洞后正方體木塊的體積是多少立方厘米？【答案】20立方厘米【分析】所剩木塊的體積是原正方體的體積減去挖去的三個洞的體積。三個洞在正方體的正中心相交成一個棱長1cm的正方體，在減去三個洞的體積時多減了兩個相交的正方體的體積?！驹斀狻?×3×3－1×1×3×3＋1×1×1×2＝27－9＋2＝20（立方厘米）答：挖洞后正方體木塊的體積是20立方厘米?！军c(diǎn)睛】在一個長方體或正方體上切（或挖）長方體或正方體，體積會減少，外表面減少，里面即多出了表面積，計算過程要防止重復(fù)減的情況。14．李師傅做了一個長6分米，寬4分米、高5分米的長方體玻璃魚缸（無蓋）。（1）做這個魚缸至少用多少平方分米的玻璃？（2）如果將96升水倒入魚缸，水深多少分米？（3）將一塊裝飾石塊放入水中（完全浸沒在水中），這時水面上升了0.5厘米，這塊裝飾石塊的體積是多少立方分米？【答案】（1）124平方分米；（2）4分米；（3）1.2立方分米【分析】（1）長方體玻璃魚缸缺少一個上底面，根據(jù)長方體的表面積公式：S＝a×b＋a×h×2＋b×h×2，代入數(shù)據(jù)即可求出做這個魚缸至少用多少平方分米的玻璃。（2）根據(jù)長方體的體積公式：V＝Sh，先換算單位，用倒入水的體積除以魚缸的底面積，即可求出水的深度。（3）裝飾石完全浸沒在水里后，裝飾石的體積＝水面上升的體積，水面上升的體積可看作長為6分米，寬為4分米，高為0.5厘米的長方體的體積，根據(jù)長方體的體積公式，把數(shù)據(jù)代入即可得解?！驹斀狻浚?）6×4＋6×5×2＋4×5×2＝24＋60＋40＝124（平方分米）答：做這個魚缸至少用124平方分米的玻璃。（2）96升＝96立方分米96÷（6×4）＝96÷24＝4（分米）答：水深4分米。（3）0.5厘米＝0.05分米6×4×0.05＝1.2（立方分米）答：這塊裝飾石塊的體積是1.2立方分米?！军c(diǎn)睛】此題主要考查長方體的表面積和體積公式的應(yīng)用，掌握不規(guī)則物體的體積的計算方法，通過轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，靈活運(yùn)用公式解決問題。15．上戈蘋果是洛寧縣地方特產(chǎn)，由于地理位置優(yōu)越，生產(chǎn)的蘋果色澤鮮艷，果皮薄細(xì)，含水量多且甜脆可口。因此吸引大量游客來采摘游玩。國慶節(jié)期間，淘氣和笑笑也去采摘了蘋果?？吹接执笥旨t的蘋果，他們想利用所學(xué)知識來測量一個蘋果的大小，因此他們選了4個差不多大的蘋果做了如下實(shí)驗(yàn)：①用天平稱出四個蘋果的質(zhì)量是850克；②從一個長方體容器的里面測量出長、寬分別是30厘米、10厘米；③從長方體容器的里面測量出高是15厘米；④在容器里注入一定量的水，量出水面的高度是6厘米；⑤將4個蘋果浸沒在水中（無溢出），量出水面高度是9厘米。（1）要求一個蘋果的體積，上面哪些信息是必須的？將序號填在括號里（

）。（2）根據(jù)選出的信息求出一個蘋果的體積。【答案】（1）②④⑤；

（2）225立方厘米【分析】（1）求不規(guī)則物體的體積可以用排水法，水面上升的那部分水的體積就是不規(guī)則物體的體積，即容器的底面積×水面上升的高度＝物體的體積。要想求出容器的底面積就需要知道長方體容器里面的長、寬的數(shù)值，所以條件②是必須的；用條件⑤中的水面高度減去條件④中的水面高度，可以求出水面上升的高度，所以條件④⑤是必須的。（2）先用容器里面的長×寬×水面上升的高度可求出4個蘋果的體積；再用4個蘋果的體積和÷4求出一個蘋果的體積?！驹斀狻浚?）根據(jù)②可知容器里面的長、寬的數(shù)值，根據(jù)④⑤可知水面上升的高度，所以②④⑤這三條信息是必須的。（2）30×10×（9－6）÷4＝300×3÷4＝900÷4＝225（立方厘米）答：一個蘋果的體積是225立方厘米?！军c(diǎn)睛】用排水法求不規(guī)則物體的體積時，將物體放入水中后（物體完全浸沒在水中），明確水上升的高度是解題的關(guān)鍵。16．小明的爸爸被稱為“制作小能手”。愛心福利院要改善孩子們的居住環(huán)境，想請小明的爸爸制作一個長0.6米，寬0.5米，高0.4米的無蓋魚缸?，F(xiàn)在他家里有好多塊下面四種型號的長方形與正方形玻璃。請你根據(jù)上面的信息解決下面的問題：（1）請你幫助小明的爸爸想一想，需要選哪種型號的玻璃，各選多少塊？（2）請你算一算，小明的爸爸做這個魚缸，一共需要多少平方米的玻璃？（3）要使這個魚缸里的水深0.35米，需要倒入多少升水？【答案】（1）2塊②號、2塊③號、1塊④號；（2）1.18平方米；（3）105升【分析】（1）無蓋玻璃魚缸長0.6米，寬0.5米，高0.4米，需要長0.6米，寬0.5米的玻璃1塊；長0.5米，寬0.4米的玻璃2塊；長0.6米，寬0.4米的玻璃2塊；（2）根據(jù)“長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2”求出長方體的表面積，需要玻璃的面積＝長方體的表面積－長方體的底面積；（3）倒入水的體積＝玻璃魚缸的底面積×魚缸里水的深度，最后把單位轉(zhuǎn)化為升即可?！驹斀狻浚?）②號玻璃和③號玻璃各需要2塊，④號玻璃需要1塊；（2）（0.6×0.5＋0.6×0.4＋0.5×0.4）×2－0.6×0.5＝（0.3＋0.24＋0.2）×2－0.6×0.5＝0.74×2－0.6×0.5＝1.48－0.3＝1.18（平方米）答：一共需要1.18平方米的玻璃。（3）0.6×0.5×0.35×1000＝0.3×0.35×1000＝0.105×1000＝105（升）答：需要倒入105升水?！军c(diǎn)睛】本題主要考查長方體的特征以及長方體表面積和體積公式的應(yīng)用，解題過程中要注意單位換算。17．只列式，不計算。小紅想用廢棄的紙皮制作一個長方體抽紙盒，抽紙盒長20厘米、寬12厘米、高8厘米，上面有一個長12厘米、寬5厘米的長方形口（如圖）。（1）制作這個抽紙盒至少需要紙皮多少平方厘米？（接口處忽略不計）（2）這個抽紙盒的占地面積是多少平方厘米？（3）這個抽紙盒的體積是多少立方厘米？【答案】（1）（20×12＋20×8＋12×8）×2－12×5（2）20×12（3）20×12×8【分析】（1）根據(jù)題意可知，制作這個抽紙盒至少需要紙皮的面積＝長方體的表面積－長方形口的面積，其中長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，長方形的面積＝長×寬。（2）求這個抽紙盒的占地面積，就是求長方體紙盒的底面積，用“長×寬”解答。（3）根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，即可求出這個抽紙盒的體積?！驹斀狻浚?）（20×12＋20×8＋12×8）×2－12×5＝（240＋160＋96）×2－60＝496×2－60＝992－60＝932（