講五級(jí)數(shù)論基礎(chǔ)

五年級(jí)數(shù)1講數(shù)的整除性（一（1）如果甲數(shù)能被乙五年級(jí)數(shù)1講數(shù)的整除性（一（1）如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除（2）如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差都能被這個(gè)自然數(shù)整除（3）如果一個(gè)數(shù)能分別被幾個(gè)兩兩互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)能被這幾個(gè)兩兩互質(zhì)然數(shù)的乘積整除（4）如果一個(gè)質(zhì)數(shù)能整除兩個(gè)自然數(shù)的乘積，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個(gè)自然數(shù)中個(gè)（5）幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中一個(gè)因數(shù)能被某數(shù)整除，那么乘積也能被這個(gè)數(shù)整除分析與解：分別由能被9，25和8整除的數(shù)的特征，很難推斷出這個(gè)七位數(shù)。因?yàn)?，25，8分析與解：因?yàn)?1×271=11111，所以由每51組成1111141271整除“11111”把20001每五位分成一節(jié)，2000÷5=400，就有400節(jié)因?yàn)?0001組成的數(shù)11…1111111整除，而11111能被41271整除，所以根據(jù)除的性質(zhì)（1）可知，由20001組成的數(shù)111…11能被41271整除分析與解：根據(jù)有關(guān)整除的性質(zhì)，先12分成兩數(shù)之積：12=12×1=6×2=3×4176554，76552765547655176552分析與解：從題設(shè)的條件分析，對(duì)所求五位數(shù)有兩個(gè)要求要求的五位數(shù)是：97999，99979，98989分析與解鞏固練習(xí)2五年級(jí)數(shù)論第2數(shù)五年級(jí)數(shù)論第2數(shù)的整除性（二能被7，11和13整除的數(shù)的特如果數(shù)A的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）71113整除，那么數(shù)A71113整除。否則，數(shù)A就不71113除解：371-306=65，65137306371137解：10□8-971=1008-971+□0=37+□083分析與解7整除的數(shù)的特征，555555999999判斷一個(gè)數(shù)能否被27或37整除的方法對(duì)于任何一個(gè)自然數(shù)，從個(gè)位開始，每三位為一節(jié)將其分成若干節(jié)，然后將每一節(jié)上的數(shù)加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被27（或37）整除；否則，這個(gè)就不能被27（或37）整除（1）2673135；（2）8990615496（2）8990615496=8，990，615，496，8+990+615+496=2，1094判斷一判斷一個(gè)數(shù)能否被個(gè)位是9的數(shù)整除的方對(duì)于任意一個(gè)自然數(shù)，去掉這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)后，再加上個(gè)位數(shù)的（k+1）倍。連續(xù)進(jìn)行這換。如果最終所得的結(jié)果等于k9，那么這個(gè)數(shù)能被k9整除；否則，這個(gè)數(shù)就不能被k9整除解：（1）上述變換可以表示為鞏固練習(xí)88205，167128，250894，675696，796842，805532，7577888551861026，1884924，2175683，11159126，131313555，26611777855119，55537，62899，186637，872231，5381717五年級(jí)數(shù)論3講奇偶性（一1861026，1884924，2175683，11159126，131313555，26611777855119，55537，62899，186637，872231，5381717五年級(jí)數(shù)論3講奇偶性（一（1）能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)0，2，4，6，8，10，12，14，（2）不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)每一個(gè)整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個(gè)屬性叫做這個(gè)數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質(zhì)（1）兩個(gè)奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個(gè)奇偶性不同的數(shù)的和（或差）是奇數(shù)。反過(guò)來(lái)，兩個(gè)數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個(gè)數(shù)奇偶性相同；兩個(gè)數(shù)的和（或差）是數(shù)，這兩個(gè)數(shù)肯定是一奇一偶（2）奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任意多個(gè)偶數(shù)（或差）是偶數(shù)（3）兩個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)（4）若干個(gè)數(shù)相乘，如果其中有一個(gè)因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過(guò)來(lái)，如果若干個(gè)數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；如若干個(gè)數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)（5）在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除（6）偶數(shù)的平方能被4奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是16（7）相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)（8）如果一個(gè)整數(shù)有奇數(shù)（7）相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)（8）如果一個(gè)整數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)（包1和這個(gè)數(shù)本身），那么這個(gè)數(shù)一定是平方數(shù)；如一個(gè)整數(shù)有偶數(shù)個(gè)約數(shù)，那么這個(gè)數(shù)一定不是平方數(shù)經(jīng)典例題11+2+3+4+…+1997+1998分析與解：本題當(dāng)然可以先求出算式的和，再來(lái)判斷這個(gè)和的奇偶性。但如果能不計(jì)算，直1□2□3□4□5□6□7□8□9=66分析與解：等號(hào)左端共有9個(gè)數(shù)參加加、減運(yùn)算，其中有5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)。5分析與解：假設(shè)這兩個(gè)五位數(shù)的和等7分析與解：通常握手是兩人的事。甲、乙兩人握手，對(duì)于甲是握手1次，對(duì)于乙也是握手分析與解：通常握手是兩人的事。甲、乙兩人握手，對(duì)于甲是握手1次，對(duì)于乙也是握手分析與解：本題要求出這部分學(xué)生的總成績(jī)是不可能的，所以應(yīng)從每個(gè)人得分的情況入手鞏固練習(xí)8五年級(jí)數(shù)論4偶性（二經(jīng)典例題1用0～9分析與解：有時(shí)題目的要求比較多，可先考慮滿足部分要求，然后再調(diào)整，使最后結(jié)果達(dá)到個(gè)是奇數(shù)，即個(gè)位是1390，1，2，3，5，所求這五個(gè)數(shù)的和是（4+6+7+8+9）×10+（0+1+2+3+5）=351分析與解：盲目的0，1，2，3，5，所求這五個(gè)數(shù)的和是（4+6+7+8+9）×10+（0+1+2+3+5）=351分析與解：盲目的試驗(yàn)，可能總也找不到要領(lǐng)。如果我們分析一下每次翻轉(zhuǎn)后杯口朝上的杯分析與解：當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)，（m-1）是偶數(shù)。由例2分析與解：可以先研究排版一本書，各篇文章分析與解：可以先研究排版一本書，各篇文章頁(yè)數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)的規(guī)律。一篇有奇數(shù)頁(yè)的（偶）數(shù)頁(yè)碼，最后一面應(yīng)是偶（奇）數(shù)頁(yè)碼，而緊接的另一篇文章的第一面又是排在奇（偶）分析與解：大盒內(nèi)裝有黑、白棋子分析與解：首先分析這分析與解：首先分析這串?dāng)?shù)的組成規(guī)律和奇偶數(shù)情況1+1=2，2+3=5，3+5=8，容易看出，這串?dāng)?shù)是按“奇，奇，偶”每三個(gè)數(shù)為一組周期變化的。1000÷3=333……1，鞏固練習(xí)在五年級(jí)數(shù)論第5奇偶性（三五年級(jí)數(shù)論第5奇偶性（三分析與解：題目說(shuō)在指定的這條對(duì)角線上的格子里必定至少放有一枚棋子，假設(shè)這個(gè)說(shuō)法分析與解：因?yàn)槊看斡袃蓚€(gè)數(shù)同時(shí)被加上或減去同一個(gè)數(shù)，所以表中九個(gè)數(shù)碼的總和經(jīng)過(guò)變分析與解：如右上圖所示，將相鄰的房間分析與解：如右上圖所示，將相鄰的房間黑、白相間染色。無(wú)論從哪個(gè)房間開始走，因?yàn)榭偡治雠c解：將這14個(gè)小方格黑白相間染色（見右上圖），有8個(gè)黑格，6分析與解：假定圖5因?yàn)樯蠄D兩端是同一個(gè)○中的數(shù)，不可能既是奇數(shù)又是偶數(shù)，所以51分析與解：馬走“日”字，在中國(guó)象棋盤分析與解：馬走“日”字，在中國(guó)象棋盤上走有什么規(guī)律呢鞏固練習(xí)五年級(jí)數(shù)論第6質(zhì)數(shù)與合以這類自然數(shù)的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。這類自然數(shù)叫質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）本身整除外，還能被其它一些自然數(shù)整除。這類自然數(shù)叫合數(shù)。例如分析與解：先把前100123分析與解：先把前10012343，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97分析與解：對(duì)于一個(gè)不太大的數(shù)N，要判斷它是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，可以先找出一個(gè)大于N分析與解：對(duì)于一個(gè)不太大的數(shù)N，要判斷它是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，可以先找出一個(gè)大于N分析與解：按照例2的方法判別這個(gè)13=1111111×1000001an除以某自然數(shù)的余數(shù)的變化規(guī)律。2nn72n÷7的余數(shù)的變化規(guī)律：分析與解：從最小的質(zhì)數(shù)開始試算鞏固練習(xí)（1）用它們可以組成哪些兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)（數(shù)字可以重復(fù)使用87倍，求ab五年級(jí)數(shù)論7解質(zhì)因87倍，求ab五年級(jí)數(shù)論7解質(zhì)因這個(gè)表示形式是唯一的。把合數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)乘積的形式叫做分解質(zhì)因數(shù)經(jīng)典例題如，60=22×3×5，1998=2×33×37分析與解：正方體的體積是“棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)”，現(xiàn)在已知正方體的體積是13824分析與解：按題意，每隊(duì)人數(shù)×隊(duì)數(shù)=1430，每隊(duì)人數(shù)在100至20011×13=143，2×5=10分析與解：將72上表中，第三、四行的數(shù)字分別是第二行對(duì)應(yīng)數(shù)字乘以3324N的所有不同約數(shù)的個(gè)數(shù)的方法：一個(gè)大于1的自然數(shù)N的約數(shù)數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)加1的連乘積（4+1）×（1+1）×（2+1）=30（個(gè)（1+1）×（3+1）×（2+1）×（1+1）=48（個(gè)）分析與解：這是求一個(gè)數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)的逆問(wèn)題，因此解題方法正好與4個(gè)數(shù)是a5；當(dāng)這個(gè)數(shù)有兩個(gè)質(zhì)因數(shù)ab時(shí)，這個(gè)數(shù)是a2×b。因?yàn)檫@個(gè)數(shù)不大于50，所以對(duì)于所以滿足題意的數(shù)有八個(gè)：32，12，20，28，44，18，45，50鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)五年級(jí)數(shù)論第8講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（一如果一個(gè)自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么稱a為b的倍數(shù)ba的約數(shù)如果一個(gè)自然數(shù)同時(shí)是若干個(gè)自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個(gè)自然數(shù)是這若干個(gè)自然數(shù)的公數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個(gè)公約數(shù)，稱為這若干個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)。an的最大公約數(shù)通常用符號(hào)（a1，a2，…，an）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3a1，a2，…，an最小公倍數(shù)通常用符號(hào)[a1，a2，…，an]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90分析與解：因?yàn)?44克一級(jí)茶葉、180克二級(jí)茶葉、240分析與解：因?yàn)?44克一級(jí)茶葉、180克二級(jí)茶葉、240克三級(jí)茶葉都是60÷12=5（元）經(jīng)典例2用自然數(shù)a498，450，414，得到相同的余數(shù)，a分析與解：因?yàn)?98，450，414除以aa498-450=48，450-414=36，498-414=84所求數(shù)是（48，36，84）=12分析與解：只知道三個(gè)自然數(shù)的和，不知道三個(gè)自然數(shù)具體是幾，似乎無(wú)法求最大公約數(shù)。共經(jīng)過(guò)多少個(gè)格點(diǎn)（橫線與豎線的交叉點(diǎn)分析與解：（30，24）=6，說(shuō)明如果將方格紙橫、豎都分成6份，即分成6×6形，那么每個(gè)矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（個(gè)共經(jīng)過(guò)多少個(gè)格點(diǎn)（橫線與豎線的交叉點(diǎn)分析與解：（30，24）=6，說(shuō)明如果將方格紙橫、豎都分成6份，即分成6×6形，那么每個(gè)矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（個(gè)（見右下圖）所以，對(duì)角線共經(jīng)過(guò)格點(diǎn)（30，24）-1=5（個(gè)）分析與解：甲、乙、丙走一圈分別需60秒、75秒和90（分）分析與解：爺爺和小明的年齡隨著時(shí)間的推移都在變化，但他們的年齡差是保持不變的。爺小明的年齡=60÷（7-1）=10（歲爺爺?shù)哪挲g=10×7=70（歲） 鞏固練習(xí)五年級(jí)數(shù)9最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（二=18×12兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于這兩個(gè)自然數(shù)的乘積。即（a，b）×[a，b]=a×b解：由上面的結(jié)論，另一個(gè)自然數(shù)是（6×72）÷18=24分析與解：如果將兩個(gè)自然數(shù)都除115×6，且5與657×5=357×6=42a，b，c分析與解12，15aa1215的公倍數(shù)，即是=12×120÷120=12分析與解：如果三種溶液的重量都是整數(shù)，=12×120÷120=12分析與解：如果三種溶液的重量都是整數(shù)，那么每瓶裝的重量就是三種溶液重量的最大公數(shù)化為整數(shù)，求出數(shù)值后，再除以這個(gè)數(shù)。為此，先求幾個(gè)分母的最小公倍數(shù)，[6，4，9]=36，（150，135，80）=5如果若干個(gè)分?jǐn)?shù)（含整數(shù)）都是某個(gè)分?jǐn)?shù)的整數(shù)倍，那么稱這個(gè)分?jǐn)?shù)是這若干個(gè)分?jǐn)?shù)的公數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個(gè)公約數(shù)，稱為這若干個(gè)分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)如果某個(gè)分?jǐn)?shù)（或整數(shù)）同時(shí)是若干個(gè)分?jǐn)?shù)（含整數(shù)）的整數(shù)倍，那么稱這個(gè)分?jǐn)?shù)是這若個(gè)分?jǐn)?shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個(gè)公倍數(shù)，稱為這若干個(gè)分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)的方法311/2÷63/10=5（次）鞏固練習(xí)311/2÷63/10=5（次）鞏固練習(xí)五年級(jí)數(shù)論10數(shù)問(wèn)（1）余數(shù)小于除數(shù)五年級(jí)數(shù)論10數(shù)問(wèn)（1）余數(shù)小于除數(shù)（2）被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)除數(shù)=（被除數(shù)-余數(shù)）÷商商=（被除數(shù)-余數(shù)）÷除數(shù)（3）如果a，b除以c的余數(shù)相同，那么ab的差能被c整除。例如，1711除以3的（4）abc余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之和（或這個(gè)和除以c數(shù)）。例如，23，16531，所以（23+16）53+1=4（5）ab的乘積除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之積（或這個(gè)積除以c數(shù)）。例如，23，16531，所以（23×16）53×1=3分析與解：由性質(zhì)（2）知，除數(shù)×商=被除數(shù)-余數(shù)5056=26×79分析與解：由性質(zhì)（2）知，除數(shù)×商=被除數(shù)-余數(shù)5056=26×79解：因?yàn)楸怀龜?shù)=除數(shù)×商+余=除數(shù)=2143-除數(shù)-33-×33+52=2058=（2058-被除數(shù)=2058-59=1999解：所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙所以乙=（1088-甲=1088-乙=1000分析與解：先由題目條件，求出這個(gè)數(shù)的大致范圍。因分析與解：先求出乘積再求余數(shù)，計(jì)算量較大。根據(jù)性質(zhì)（5），可先分別計(jì)算出各因數(shù)除分析與解：甲代表團(tuán)坐滿若干輛車后余11人，說(shuō)明甲代表團(tuán)的人數(shù)（簡(jiǎn)稱甲數(shù)）除以36鞏固練習(xí)五年級(jí)數(shù)論第11孫子五年級(jí)數(shù)論第11孫子問(wèn)題與逐步約束我們稱這類問(wèn)題為孫子問(wèn)題分析與解：這道例題就是《孫子算經(jīng)》中的問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題有三個(gè)條件，一下子不好解答。經(jīng)典例2求滿足除以51，除以73，除以85分析與解151”經(jīng)典例4求滿足除以63，除以85，除以96分析與解：如果給所求的自然數(shù)加3，所得數(shù)能同時(shí)被6，8，9[6，8，9]-3=72-3=69分析與解xy7x+4y=66有無(wú)數(shù)個(gè)解。由于這類方程的解的不確定性，所以稱這類方程為不定程解：容易看出，當(dāng)解：容易看出，當(dāng)y=1時(shí)，x=（68-3×1）÷5=13，即x=13，y=1鞏固練習(xí)3.100043，除以52，除以744.500031，除以52，除以73五年級(jí)數(shù)論第12位值原（見下圖）（見下圖）經(jīng)典例題2有一個(gè)兩位數(shù)，把數(shù)碼1分析與解：由位值原則知道，把數(shù)碼1加在一個(gè)兩位數(shù)前面，等于加了100；把數(shù)碼1（10x+1）-10x+1-100-10x-x=666-x=85（10x+1）-10x+1-100-10x-x=666-x=85分析與解：用a，b，c經(jīng)典例題4用2，8，7解：由例3知，可以組成的六個(gè)三位數(shù)之和是所以平均值是（2+8+7）