青島理工大學高等數學(二)期末復習題及參考答案

PAGE1第7頁《高等數學Ⅱ》練習題一．填空題1.設級數收斂，且，則級數2u-u1．2．設冪級數的收斂半徑為，冪級數的收斂半徑為，且，則冪級數的收斂半徑為．3.設，則．4.微分方程=的通解為．5．交換累次積分的順序．6.設級數收斂，且，則級數．7．設冪級數的收斂半徑為，冪級數的收斂半徑為，且，則冪級數的收斂半徑為．8.設，則．9.微分方程=的通解為．10．交換累次積分的順序．二．選擇填空題1．函數在該點處存在偏導數是函數在點處連續(xù)的(D)．（A）．充分條件；（B）．必要條件；（C）．充分必要條件；（D）．既不是必要，也不是充分條件．2．所表示的曲面是（D）．(A)．錐面；(B)．柱面；（C）．球面；(D)．旋轉拋物面．3．下列級數中，屬于條件收斂的是(D)．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．．4．與在點處連續(xù)是的(B)．（A）．充分條件；（B）．必要條件；（C）．充分必要條件；（D）．既非充分條件，又非必要條件．5．下列方程中，（C）是一階線性微分方程．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．D、．6.設，則當時，的（B）A)等價無窮小B)同階但非等價無窮小C)高階無窮小D)低階無窮小7.若曲線在點處相切，其中為常數，則（D）A)（B)C)D)8.（C）A)B)C)D)9.二元函數當時的極限（C）A)為0B)不為0C)不存在D)無法判斷10.當（A）A)有且僅有水平漸進線B)有且僅有鉛垂?jié)u進線C)水平漸進線與鉛垂?jié)u進線都有D)不存在水平和鉛垂?jié)u進線11．函數在點處連續(xù)是函數在該點處存在偏導數的(D)．（A）．充分條件；（B）．必要條件；（C）．充分必要條件；（D）．既不是必要，也不是充分條件．12．所表示的曲面是（D）．(A)．錐面；(B)．柱面；（C）．球面；(D)．旋轉拋物面．13．下列級數中，屬于條件收斂的是(D)．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．．14．與在點處連續(xù)是的(B)．（A）．必要條件；（B）．充分條件；（C）．充分必要條件；（D）．既非充分條件，又非必要條件．15．下列方程中，（C）是一階線性微分方程．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．D、．三．求冪級數的收斂半徑。解：由冪級數的系數得出（故收斂半徑為四．計算二重積分的值．解：作極坐標變換：，則有（3分）．五．設解：六．某工廠生產兩種型號的機床，其產量分別為臺和臺，成本函數為（萬元），若市場調查分析，共需兩種機床8臺，求如何安排生產，總成本最少？最小成本為多少？解：即求成本函數在條件下的最小值構造輔助函數解方程組解得這唯一的一組解即為所求，當這兩種型號的機床分別生產臺和臺時，總成本最小，最小成本為：（萬）七．（本題滿分8分）求微分方程的通解．解：該方程為一階線性微分方程因此，，．代入一階線性微分方程的求解公式，有所以，原方程的通解為八．設數列單調減小，且，又級數發(fā)散，證明：級數收斂．證明：因為單調減小，且，即單調減小有下界，故收斂，設其極限為，即，又因為發(fā)散，所以（否則交錯級數收斂）。于是對于任意的有，而等比級數收斂，故由比較判別法知級數收斂九．當輪船的前進速度為時，推進器停止工作，已知受水的阻力與船速的平方成正比（比例系數為，其中為常數，而為船的質量）．問經過多少時間，船的速度減為原速度的一半？解：由題意，得方程，，解方程，得，由初始條件，得，因此，有．當時，，即經過時間，船的速度減為原速度的一半．十．設函數所確定，求解：令，等式兩邊對x求導：等式兩邊對y求導：十一.求解下列常微分方程1.2.解：(1)令代入齊次方程：，齊次方程解：令代入非齊次方程：方程解：(2)令，故14．設z=ey(x2解：dz=?z?xdx+?z?y15．設D為矩形，則二重積分Dy解：D十二、求曲線和直線所圍成圖形的面積．解曲線和直線的交點滿足方程組解得交點為．