直線的傾斜角與斜率+高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修1

解析幾何

第二章直線和圓的方程問題1：

我們學(xué)過哪些平面圖形，用的什么研究方法？問題1：

我們學(xué)過哪些平面圖形，用的什么研究方法？綜合法引

入解析幾何勒奈·笛卡爾（1596-1650）：法國數(shù)學(xué)家、科學(xué)家和哲學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬（1601-1665），法國律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家坐標(biāo)系點數(shù)(有序數(shù)對或數(shù)組)幾何代數(shù)曲線(點的軌跡)的方程研究幾何圖形性質(zhì)代數(shù)方法直線直線的方程幾何要素圓的方程解決實際問題圓平面直角坐標(biāo)系代數(shù)方法2.1.1 直線的傾斜角與斜率第二章直線和圓的方程

水平直線的方向向右思考1：

如何表示直線的方向?其它直線的方向向上思考2：在平面直角坐標(biāo)系中，過一點P可以作出無數(shù)條直線？這些直線的區(qū)別是什么？l1l2l3l4一、直線的傾斜角1.定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.xyoαl零度角銳角

直角

鈍角

問題3：按照角的大小分類，直線的傾斜角可分為幾類？

poyxypoxpoyxpoyx2.直線的傾斜角取值范圍：思考1

你能得出直線的傾斜角的取值范圍嗎？零度角銳角

直角

鈍角

問題3：直線的傾斜角可分為幾類？

poyxypoxpoyxpoyx當(dāng)直線與軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為，因此，直線的傾斜角的取值范圍為：2.直線的傾斜角取值范圍：問題5

你能得出直線的傾斜角的取值范圍嗎？問題4

任何一條直線都有唯一確定的傾斜角與它對應(yīng)嗎？Oyxl1α1l2l3α2α3每一個傾斜角都對應(yīng)于唯一的一條直線嗎?不同的直線其傾斜角一

定不相同嗎?直線l唯一傾斜角α方向相同的直線(平行或重合)傾斜角α思考1

確定一條直線的幾何要素還可以是什么？一個點P和一個傾斜角

.3.設(shè)直線l過原點，其傾斜角為α，將直線l繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到直線l′，則直線l′的傾斜角為()A.α+45°B.α-135°

C.135°-αD.當(dāng)0°≤α<135°時為α+45°，當(dāng)135°≤α<180°時為α-135°1.下圖中，表示直線的傾斜角的是()ABCD2.若直線l的向上方向與y軸的正方向成30°角,則直線l的傾斜角為()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°類型一

直線的傾斜角3.設(shè)直線l過原點，其傾斜角為α，將直線l繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到直線l′，則直線l′的傾斜角為()A.α+45°B.α-135°

C.135°-αD.當(dāng)0°≤α<135°時為α+45°，當(dāng)135°≤α<180°時為α-135°1.下圖中，表示直線的傾斜角的是()ABCDA

2.若直線l的向上方向與y軸的正方向成30°角,則直線l的傾斜角為()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°D

D

類型一

直線的傾斜角探究

在兩點確定一條直線，接下來探究直線傾斜角與直線上兩點坐標(biāo)有何關(guān)系：平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的傾斜角為α，（請用向量法探究下面問題）(1)

已知直線l經(jīng)過O(0,0),P(,1),α與O,P

的坐標(biāo)有什么關(guān)系?(2)類似地，如果直線l經(jīng)過P1(-1,1),P2(,0),α與P1,P2的坐標(biāo)又有什么關(guān)系?探究

在兩點確定一條直線，接下來探究直線傾斜角與直線上兩點坐標(biāo)有何關(guān)系：平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的傾斜角為α，（請用向量法探究下面問題）(1)

已知直線l經(jīng)過O(0,0),P(,1),α與O,P

的坐標(biāo)有什么關(guān)系?(2)類似地，如果直線l經(jīng)過P1(-1,1),P2(,0),α與P1,P2的坐標(biāo)又有什么關(guān)系?OyxαOyxαα??探究

在兩點確定一條直線，接下來探究直線傾斜角與直線上兩點坐標(biāo)有何關(guān)系：平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的傾斜角為α，（請用向量法探究下面問題）(1)

已知直線l經(jīng)過O(0,0),P(,1),α與O,P

的坐標(biāo)有什么關(guān)系?(2)類似地，如果直線l經(jīng)過P1(-1,1),P2(,0),α與P1,P2的坐標(biāo)又有什么關(guān)系?(3)

一般地，如果直線l經(jīng)過P1(x1,y1),P2(x2,y2),（其中

x1≠x2）α與P1,P2的坐標(biāo)有怎樣的關(guān)系嗎？探究

在兩點確定一條直線，接下來探究直線傾斜角與直線上兩點坐標(biāo)有何關(guān)系：平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的傾斜角為α，（請用向量法探究下面問題）(3)

一般地，如果直線l經(jīng)過P1(x1,y1),P2(x2,y2),（其中

x1≠x2）α與P1,P2的坐標(biāo)有怎樣的關(guān)系嗎？Oyxα??OxyP1P2αOxyPP2P1思考1

上述式子與P1,P2的順序有關(guān)嗎?思考2

當(dāng)直線P1P2與x軸平行或重合時，上述式子還成立嗎?思考3

當(dāng)直線P1P2與y軸平行或重合時，上述式子還成立嗎?1.定義：我們把一條直線的傾斜角

的正切值叫做這條直線的斜率，用小寫字母k表示，即k=tanα.α∈[0°

,90°

)

∪(90°

,180°

)2.公式：直線過P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,（x1≠x2）二、直線的斜率延時符傾斜角α0°30°45°90°120°150°斜率k3.常見角對應(yīng)的斜率：

延時符傾斜角α0°30°45°60°90°120°135°150°斜率k3.常見角對應(yīng)的斜率：

不存在xyoP(2,2)問題5

如圖，當(dāng)直線l繞點P(2,2)逆時針旋轉(zhuǎn)時，直線l的傾斜角如何變化，

其斜率如何變化？l

診斷自測

×診斷自測×××√××

例1

如圖,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直線AB,BC,CA的斜率,并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角.OyxA(3,2)B(-4,1)C(0,-1)1-1-2類型二

直線的斜率變式

若點D在BC（包括端點）上移動時,求直線AD的斜率的變化范圍例1如圖示,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直線AB,BC,CA的斜率,并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角.OyxA(3,2)B(-4,1)C(0,-1)1-1-2例2已知兩點A(－3,4)，B(3,2)，過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點.(1)求直線l的斜率k的取值范圍；類型二

直線的斜率(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.例2已知兩點A(－3,4)，B(3,2)，過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點.(1)求直線l的斜率k的取值范圍；要使直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－1]∪[1，＋∞).(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又直線PB的傾斜角是45°，直線PA的傾斜角是135°，所以α的取值范圍是45°≤α≤135°.

例3

經(jīng)過A(0,2),

B(-1,0)兩點的直線的方向向量為(1,k)，求k的值.類型二

直線的斜率變式

已知直線l的一個方向向量為求直線l的傾斜角和斜率.

例3

經(jīng)過A(0,2),

B(-1,0)兩點的直線的方向向量為(1,k)，求k的值.類型二

直線的斜率變式

已知直線l的一個方向向量為求直線l的傾斜角和斜率.

是直線l的一個方向向量,即又∴直線l的傾斜角為，斜率為解:【提升訓(xùn)練】已知經(jīng)過A(m,2),B(-m,2m-1)的直線的傾斜角為α,且45°<α<135°,試求實數(shù)m的取值范圍.類型二

直線的斜率【提升訓(xùn)練】已知經(jīng)過A(m,2),B(-m,2m-1)的直線的傾斜角為α,且45°<α<135°,試求實數(shù)m的取值范圍.解：A(0,2),B(0,-1),當(dāng)m=0時，直線AB傾斜角α=90°.符合題意.直線AB⊥x軸，直線AB的斜率為當(dāng)m≠0時，或或解得