漸伸線與漸縮線

漸伸線與漸縮線引言在微分幾何中，漸伸線和漸縮線是包絡(luò)理論的應(yīng)用．在自然學科和生產(chǎn)實踐中都有比較廣泛的應(yīng)用，是微分幾何中極其重要的內(nèi)容．曲線的彎曲程度是反映曲線的變化走勢與形狀,在工程技術(shù)上有很大的用處．求曲線曲率中心的軌跡方程有多種方法,二次曲線曲率中心的軌跡方程有很好的規(guī)律性,清楚曲線曲率中心的軌跡就易求出曲線曲率圓的方程．在工程設(shè)計中，經(jīng)常用到特殊的曲線或曲面的特性，就熟知的曲線而言，圓周的漸伸線就是例子之一．在平面上固定圓周，在圓周上固定一點并取為細線的一個固定端點，拉住另外一個端點將細線拉直并且與圓周相切于固定端點．假設(shè)細線總長保持不變，此時，將細線纏繞在圓周上并保持未纏繞部分是拉直的，則直線的運動端點的軌跡就是圓周的一條漸伸線．又因為在平面上，平面曲線的曲率中心軌跡是它的主法線的包絡(luò)，作為包絡(luò)理論的應(yīng)用，我們來研究平面曲線的漸伸線和漸縮線，討論它們的性質(zhì)和相互關(guān)系．平面曲線的漸伸線與漸縮線平面曲線的曲率、曲率半徑、曲率中心及曲率圓的定義vv設(shè)c2類的平面曲線(C):r=r(s丿曲線(C)上一點P點自然參數(shù)為S.另一點Q的自然參TH數(shù)為s+As(假設(shè)As>0).在P,Q兩點各作曲線(C)的單位切向量a(s)和a(s+As).這兩個切向HH量的夾角是A申(也就是把Q點的切向量a(s+As)平移到點P后，兩個向量a(s)和a(s+As)的A?夾角)，則F叫做曲線弧關(guān)于弧長s的平均曲率.此引出平面曲線在點P的曲率的概念.當Q點沿As著曲線趨近于點P(即AsT0)時，若曲線弧的平均曲率學有極限，就稱此極限值為平面曲線在As點P的曲率.UKP62-63)把平面曲線的曲率記作K，貝有r=lim竺AstOAs它刻畫了曲線在一點的彎曲程度，由以上看出這個彎曲程度是用平面曲線的切向量關(guān)于弧長的旋轉(zhuǎn)速度來刻畫的.曲線在一點處的彎曲程度越大，切向量的旋轉(zhuǎn)速度就越大.在一些問題的研究中，我們把平面曲線(C)上所考慮的P點鄰近用這樣的圓來代替，這個圓與曲線(C)在P點有相同的曲率，并且在P點與曲線(C)相切，而且它和曲線朝同一側(cè)彎曲，這種圓稱為曲線(C)在P點的曲率圓，它的中心稱為曲率中心.曲率圓的半徑稱為曲率半徑.

由于曲線(C)在P點的曲率圓與曲線(C)相切，因而它們在P點有公共的切向量與法向量?顯然曲率中心在P點的法線上.如果平面曲線在給定點P的曲率用K表示.則曲線在P點的曲率半r徑R為曲線在該點曲率的絕對值的倒數(shù)，即R二二蕪.K(s)r|平面曲線的漸伸線與漸縮線的定義我們已經(jīng)知道，平面曲線(C)在P點的曲率中心在曲線的法線上，與曲線的距離等于曲率半徑,但是如果P點在曲線(C)上變動時，它的曲率中心又如何變化呢？我們把平面曲線(C)的曲率中心的軌跡稱為平面曲線(C)的漸縮線.[1](P73)記為(C*).記汽幷s)是平面曲線(C)的參數(shù)表示.漸縮線的作法是對應(yīng)于曲線(C)的每一點P(s)作法向量0(S)，在這法向量上量一長度等于曲線(C)在P(s)點的曲率半徑R(s)，端點A就是對應(yīng)與P(s)vB點的曲率中心，也就是漸縮線上(C*)的對應(yīng)點.P和A點的向徑分別為r和r*?漸縮線(C*)的方程是P*P*=r+R(s)0=B+ 1B0

K(s)|r根據(jù)平面曲線的伏雷內(nèi)公式有：艇良\Kr(s)|^=擊所以上述漸縮線(C*)方程又能寫成只=幾[R(s)]2此幾占r1x*=x(s)+[R(s)]2 x(s)+ 敬|K(s)|2<ry*=y(s)+[R(s)]2 y(s)+——-——y|K(s)|2J r對于曲線(C)的一般參數(shù)表示：x=x(t)y=y(t)由于

1(x'2+y'2)3|K(s)|2r(x'y''-x''y')2dxd&(.dx_~dtx&_dt一ds dsv；x'2+y'2&一一一dsdtdtx攻s)=[R(s)]2打2+yJ_y(x〃y-xh)\,：x'2+y'2 (x'2+y'2)2代入得x*-x(t)代入得x*-x(t)-化2"?,xy-yx同理x(x2+y2)y*=y(t)+x'y''y*=y(t)+x'y''-y'x''下面定義⑴(p77)如果曲線(C)是曲線(c*)的漸縮線，貝y稱為(c*)曲線(C)的一條漸伸線.如果TH TH我們把漸縮線作為平面曲線曲率中心的軌跡，設(shè)t：r=r(s)則它的漸伸線t*的方程為HHHr*=r+九(s)a現(xiàn)在來確定函數(shù)九(s)，因為d^二j8+-腐％九d阻(1+尊?+XkP.dsHHdr*又因為T的切線平行于t*的法線，因此T的切線垂直于T*的切線，所以d =0，故得ds1+爐=0或九=s-S.因此漸伸線的方程為0HH Hr*=r+(s-s)d0注意：對于一條曲線t來說，它的漸伸線不止一條，可知t的漸伸線可以看作t切線族的正交軌跡.顯然在切線上取不同的起點可以得到T不同的漸伸線，這從漸伸線方程也可以看出，只要取不同的積分常數(shù)s，就得到不同的漸伸線.0漸伸線與漸縮線的性質(zhì)3.1漸縮線的性質(zhì)性質(zhì)1[1](P75)平面曲線(C)的法線和它的漸縮線(C*)在對應(yīng)點相切?換言之，漸縮線(C*)是

原來曲線(C)的法線族的包絡(luò).性質(zhì)2WP76)平面曲線(C)上兩點的曲率半徑之差等于漸縮線上對應(yīng)點之間的弧長.漸伸線的性質(zhì)性質(zhì)3⑵(P131)曲線(C)的漸伸線方程為C*: r*=r(s)+(a-s)T(s)式中a為任一常數(shù).性質(zhì)4【2](p133)曲線(C)的任意兩條漸伸線C*和C*在對應(yīng)點之間的距離為常數(shù).12平面曲線的漸伸線和漸縮線的關(guān)系為了進一步明確漸伸線與漸縮線的關(guān)系，下面我們將分析它們的位置關(guān)系以及基本幾何量的相互關(guān)系.bb在正則對應(yīng)下，設(shè)曲線(C):r(s)及其漸伸線C*：r*(s)同時以(C)的弧長s為參數(shù)，則bbbbTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"Ir*(s)=r(s)+a(s)T(s) (1)fee\o"CurrentDocument"T*T(s)=0 (2)\o"CurrentDocument"eeee e其中a(s)=[r*(s)-r(s)]N(s)為對應(yīng)點之間的有向距離函數(shù)，為連續(xù)可微的.T(s)為單位切向，對第一式關(guān)于s求導，得T*(s)空=T(s)+e(s)T(s)+a(s)周(s).dse兩端同時點乘T(s)并注意到第二式，即得a(s)+1=0e此即說明存在常量c使a(s)=c-s.從而位置關(guān)系可表示為r*(r*(s)=eer(s)+(c-s)T(s)(3)e=(c-s)Te=(c-s)T'(s)(4)eds*r*-ds說明曲線(C)只能是無逗留點的曲線，否則不能與其漸伸線正則對應(yīng)，并且ds*dsds*dse=+(c—s)K(s)T*(s)=±N(s) (6)其中參數(shù)取值限定范圍或為s<c或為s>c對應(yīng)于正負號的取值，對(6)式關(guān)于S求導得ww ds* wwwwK*(s)N*(s) =±[-K(s)T(s)+說s)B(s)]ds結(jié)合(5)即有iIwwds* i_w w C-s|K(s)K*(s)丁=dK(s)]2+胃s)]2dsww由此可知，對于平面上的無逗留曲(C)線：r(s)及其漸伸線C*：r*(s)，成立w|c-s|K三1即漸伸線的曲率半徑恰好等于兩條曲線對應(yīng)點之間的距離C-s|.而隨著|c-s|增加而使?jié)u伸線彎曲程度越來越?。缮厦鎺资浇Y(jié)合可證，無逗留點平面曲線的漸縮線恰好是原曲線曲率中心的軌跡1w+N*K*rr利用此式可以方便地確定平面曲線漸縮線的分量表達式．從而解決相關(guān)的直接計算問題平面曲線的漸伸線和漸縮線的計算例1例1求橢圓—+啟=1的漸縮線.a2b2解橢圓的參數(shù)表達是 x=acost，y=bsint，因而得到f ? \ffx二一asintIx二一acosty'二bcost'Iy"二-bsintx*代入漸縮線的公式f-x(t)y'(x2+y‘2)-x(t)一 X‘y”-y‘x*代入漸縮線的公式f=y(t)+x‘(也+y‘2)x‘y“-y‘x‘‘a(chǎn)2-b2x*= COS3taa2-b2y*=- sm31b22a3x*22a3x*322222+b3y*3=(a2一b2)3或(ax*)3+(by*)32=(a2-b2)3(c2=a2-b2)．為上述橢圓的漸縮線方程，這曲線頗似星形線，它由星形線沿鉛垂方向拉長而得到的．例2求拋物線y2二2px(p>0)的漸縮線.設(shè)曲線參數(shù)方程為x二u(t)y二v(設(shè)曲線參數(shù)方程為x二u(t)y二v(t)'dy則y=dx=dy/dt

dx/dtd—/dtlu'丿dx dx/dtu'v"-u"v'(u')3x=u-所以<y=v+v'l'I+(v'Il對拋物線y2對拋物線y2二2px(p>0)，設(shè)x二u二二,y二v二t,則2pu'二-,v'二1，所以pu''二丄,v〃二0,u'v''—u''v'二-丄,('》+C'》二1+t2ppp2t2x=一t2x=一2pf1 12)+p1+——p2丿12)3t2=p+ -2p13p2消去參數(shù)得(7y丄即拋物線y2即拋物線y2二2px(p>0)的曲率中心的軌跡方程為(py丄=3(x-p)?xx2 y2TOC\o"1-5"\h\z例3求雙曲線二—「二1C>0,b>0)的漸縮線.a2 b2解雙曲線—-—_1(a>0,b>0),可設(shè)x_u_asect,y_v_btant,a2 b2貝yu'_asecttant,v'_bsec21,因為u''_asect(tan21+sec21),v''_2bsec21tant所以u'v''-u''v'_-absec31,(u'》+(v')2_sec21C2tan21+b2sec21)貝ybsec2t ( )c2x_asect- sec2ra2tan21+b2sec2"_ sec31absec3t aasecttant( )c2y_btant+ sec2ra2tan21+b2sec2〃_一 tan31absec3t b

消去參數(shù)得(c2=a2+b2).消去參數(shù)得即雙曲線—-啟=1C>0,b>0)的曲率中心的軌跡方程為a2b2(c2=a2+b2).例4求圓r={acost,asint}的漸伸線.解如圖5-42,設(shè)M(x,y)是圓的漸伸線上的一點，那么，AM=at，且AM丄OA.因此,M點的坐標x=acost+atsinty=asint-atcost這就是圓的漸伸線的參數(shù)方程.圓的漸伸線在機械工程中特別有用，在工程上，習慣稱C這就是圓的漸伸線的參數(shù)方程.圓的漸伸線在機械工程中特別有用，在工程上，習慣稱C*)為漸開線.(C)為基圓.且把(C*)的參數(shù)方程寫成極坐標形式0rrP= < cosap=tga-a注意：上式不是極坐標顯式方程P=P(P)形式，而是以a為參量，用參數(shù)表示的這種表示方式純粹是工程上的習慣.機械原理課程中，稱a為壓力角，稱p=tga-a為a的漸開線函數(shù).有專門的漸開線函數(shù)表可供查用.例5證明曳物線咒申)={acosp,aln(secp+tgp)-asinp}(0<p<-2)的漸縮線就是懸鏈線.證明因為dr=a\-sinp，竺—>dpI cospI

所以ds2=d?2=a2tg29=Ccos9,sin^},①dr ①do? 1因此ds=atg9d9,o= ={-cos9,sin9},kP= = {sin9,cos9}ds ds atg91?因此k= ,P={sin9,cos9}.atg9由漸縮線的定義知它的方程為：??1?r*=r+