2019版高中全程練習(xí)方略配套資料：不等式的基本性質(zhì)、含有絕對(duì)值的不等式

第一節(jié)不等式的基本性質(zhì)、含有絕對(duì)值的不等式

…………三年1考高考指數(shù):★★★內(nèi)容要求ABC不等式的基本性質(zhì)√含有絕對(duì)值的不等式的求解

√1.不等式的基本性質(zhì)(1)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b有且只有以下三種情況之一成立：a>b?________,a<b?__________,a=b?__________.(2)不等式的基本性質(zhì)：①a>b?_______；②a>b，b>c?_______；a-b>0a-b<0a-b=0b<aa>c③a>b?_____________;④a>b，c>d?______________；⑤a>b，c>0?_______；a>b，c<0?________；⑥a>b>0，c>d>0?_______；⑦a>b>0?_______(n∈N，且n>1);⑧a>b>0?________(n∈N，且n>1)．a(chǎn)＋c>b＋ca＋c>b＋dac>bcac<bcac>bdan>bn【即時(shí)應(yīng)用】試用不等號(hào)連接下列各式:(1)若a>b，c<d，則a-c________b-d；(2)若a>b>0，c<0，則________.【解析】(1)因?yàn)閏<d,所以-c>-d,

因?yàn)閍>b,所以a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d.(2)因?yàn)閍>b>0,所以0<,因?yàn)閏<0,所以

>.答案：(1)>(2)>2．含絕對(duì)值不等式的解法(1)含一個(gè)絕對(duì)值的不等式的解集<x<a

x|－ax<x|x>a或－ax|－c≤ax＋b≤cx|ax＋b≥c或ax＋b≤-c(2)含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式的解法|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．②利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想．③通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．【即時(shí)應(yīng)用】(1)設(shè)不等式|2x-1|<1的解集為M，則集合M=__________；(2)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是__________.【解析】(1)由|2x-1|<1得－1<2x-1<1,解得0<x<1.所以M={x|0<x<1}.(2)由不等式的幾何意義知，式子|x-5|+|x+3|表示數(shù)軸上的點(diǎn)x與點(diǎn)5的距離和與點(diǎn)-3的距離之和，其距離之和的最小值為8，結(jié)合數(shù)軸，x∈(-∞,-4］∪［6,+∞).答案：(1){x|0<x<1}(2)(-∞,-4］∪［6,+∞)3.含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)(1)|a|+|b|____|a+b|(2)|a|-|b|____|a+b|(3)|a|-|b|____|a-b|____|a|+|b|【即時(shí)應(yīng)用】若不等式|x＋1|＋|x－2|<a無實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是_____．【解析】由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)知|(x+1)-(x-2)|≤|x+1|+|x-2|，所以|x+1|+|x-2|的最小值為3，由|x＋1|＋|x－2|<a無解，知a≤3.答案：a≤3

≥≤≤≤ 不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】不等式性質(zhì)求最值的步驟及注意問題(1)應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)求式子的最大值或最小值時(shí),首先將所求式子用已知的式子表示出來，再應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)求解.注意整體代換的方法技巧.(2)不等式的性質(zhì)是不等式變形的理論依據(jù)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)注意不等式成立的條件.【例1】設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足3≤xy2≤8，4≤≤9，求的最大值.【解題指南】本題條件與問題都比較復(fù)雜，難以入手解決.“求什么，設(shè)什么”是解題的基本思路，可以從結(jié)論開始，設(shè)所求量為參數(shù)t，通過消元法求出參數(shù)的取值范圍，也可以從已知條件出發(fā)，將條件中的整體設(shè)成參數(shù)t,s，然后用其表示x,y，從而求

的取值范圍.【規(guī)范解答】方法一：設(shè)

=t，則x=，代入已知條件得：，即，兩式相乘得2≤t≤27，所以

的最大值是27.方法二：設(shè)xy2=t，=s則x=，y=，從而，由題設(shè)條件知：，于是，即2≤≤27，所以

的最大值是27.【反思·感悟】對(duì)于兩個(gè)不等式的加法，即a>b，c>d?a＋c>b＋d，也就是說兩個(gè)同向不等式可以相加．但是對(duì)于兩個(gè)不等式相減時(shí)，要慎重使用，這時(shí)往往轉(zhuǎn)化為兩個(gè)同向不等式后，再相加．而對(duì)于兩個(gè)不等式相乘時(shí)，更須慎重使用，必須是兩個(gè)不等式中的數(shù)或式均為正數(shù).【變式訓(xùn)練】已知-1＜a+b＜3且2＜a-b＜4,求2a+3b的取值范圍.【解析】設(shè)2a+3b=m(a+b)+n(a-b),∴，∴m=，n=.∴2a+3b=(a+b)(a-b).∵-1＜a+b＜3,2＜a-b＜4,∴,∴，即

＜2a+3b＜

. 含有絕對(duì)值不等式的解法【方法點(diǎn)睛】含有絕對(duì)值不等式的解法含有絕對(duì)值不等式的解法主要是轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式或不等式組處理，而去掉絕對(duì)值的方式主要有以下三種：(1)利用常見的等價(jià)命題；(2)對(duì)絕對(duì)值內(nèi)的式子符號(hào)進(jìn)行討論；(3)兩邊平方(必須保證兩邊都是正數(shù))．【例2】(2011·新課標(biāo)全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(1)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)≥3x+2的解集；(2)如果不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤-1}，求a的值.【解題指南】解含有絕對(duì)值的不等式，一般采用零點(diǎn)分段法，去掉絕對(duì)值求解；已知不等式的解集要求字母的值，先用字母表示解集，再與原解集對(duì)比可得字母的值.【規(guī)范解答】(1)當(dāng)a=1時(shí)，不等式f(x)≥3x+2可化為|x-1|≥2，解得x≤-1或x≥3,所以不等式f(x)≥3x+2的解集為{x|x≤-1或x≥3}.(2)因?yàn)閒(x)≤0，所以|x-a|+3x≤0，可化為或,即或，因?yàn)閍>0,所以該不等式的解集是{x|x≤}，再由題設(shè)條件得=-1,∴a=2.【反思·感悟】1.零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟：(1)求零點(diǎn)；(2)劃分區(qū)間、去絕對(duì)值號(hào)；(3)分別解去掉絕對(duì)值的不等式；(4)取每個(gè)結(jié)果的并集，特別注意在分段時(shí)不要漏掉區(qū)間的端點(diǎn)值．2.在利用分類討論解決含多個(gè)絕對(duì)值的不等式時(shí)，應(yīng)做到分類不重、不漏；在某個(gè)區(qū)間上解出不等式后，不要忘了與前提條件求交集．【變式訓(xùn)練】(2011·遼寧高考)已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)證明：-3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.【解析】(1)f(x)=|x-2|-|x-5|

=,當(dāng)2<x<5時(shí),-3<2x-7<3.所以-3≤f(x)≤3.(2)由(1)可知，當(dāng)x≤2時(shí),f(x)≥x2-8x+15的解集為空集；當(dāng)2<x<5時(shí),f(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5-≤x<5}；當(dāng)x≥5時(shí),f(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5≤x≤6}.綜上，不等式f(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5-≤x≤6}.【變式備選】(2011·天津高考)已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9},B={x∈R|x=4t+-6,t∈(0,+∞)},則集合A∩B=_____.【解析】∵A＝{x∈R||x+3|+|x-4|≤9}={x∈R|-4≤x≤5},B={x∈R|x=4t+-6,t∈(0,+∞)}={x∈R|x≥,t∈(0,+∞)}={x∈R|x≥-2},∴A∩B={x∈R|-4≤x≤5}∩{x∈R|x≥-2}={x∈R|-2≤x≤5}.答案：{x∈R|-2≤x≤5} 含參不等式的成立問題【方法點(diǎn)睛】解含參不等式的方法解含參數(shù)的不等式，如果轉(zhuǎn)化不等式的形式或求不等式的解集時(shí)與參數(shù)的取值范圍有關(guān)，就必須分類討論．注意：(1)要考慮參數(shù)的取值范圍；(2)用同一標(biāo)準(zhǔn)對(duì)參數(shù)進(jìn)行劃分，做到不重不漏．【例3】(2011·陜西高考)若關(guān)于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解題指南】利用絕對(duì)值的幾何意義或絕對(duì)值不等式的性質(zhì)或函數(shù)法求得不等式右邊|x+1|+|x-2|的最小值，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【規(guī)范解答】方法一：因?yàn)閨x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)到表示－1和2的點(diǎn)的距離之和，其最小值為3，故符合題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是|a|≥3，解得a≥3或a≤-3.方法二：因?yàn)閨x+1|+|x-2|≥|x+1-x+2|=3,所以|a|≥|x+1|+|x-2|存在實(shí)數(shù)解，有|a|≥3,解得a≤-3或a≥3.方法三：記f(x)=|x+1|+|x-2|=則f(x)min=3，故|a|≥3，得a≥3或a≤-3.【反思·感悟】對(duì)于不等式中的存在型問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題或高低問題解決，通常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)的最值或值域求解，而有關(guān)不等式恒成立問題，關(guān)鍵是求函數(shù)的最值，如a≤f(x)在某一區(qū)間內(nèi)恒成立，則a≤f(x)min；如a≥f(x)在某一區(qū)間內(nèi)恒成立，則a≥f(x)max.【變式訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)解不等式f(x)＞3；(2)若f(x)＞a對(duì)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=|x-1|+|x-2|=所以當(dāng)x＜1時(shí)，3－2x＞3，解得x＜0；當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f(x)＞3無解；當(dāng)x＞2時(shí)，2x－3＞3，解得x＞3.所以不等式f(x)＞3的解集為(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因?yàn)閒(x)=