鎮(zhèn)江市第一中學2020-2021學年高二上學期期末數(shù)學試題

第1頁（共16頁）2020-2021學年江蘇省鎮(zhèn)江一中高二（上）期末數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）某校的足球，樂器演奏，航模愛好三個興趣小組的人數(shù)分別為200，150，100，若用分層抽樣方法抽取名學生參加某項活動，已知從航模小組中抽取了2名學生，則的值為A．9 B．10 C．11 D．122．（5分）已知一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，那么這組數(shù)據(jù)的方差為A． B．2 C． D．33．（5分）對某同學7次考試的數(shù)學成績和物理成績進行分析，下面是該生7次考試的成績．數(shù)學888311792108100112物理949110896104101106發(fā)現(xiàn)他的物理成績與數(shù)學成績是線性相關的，利用最小二乘法得到線性回歸方程為，若該生的數(shù)學成績達到130分，估計他的物理成績大約是A．114.5 B．115 C．115.5 D．1164．（5分）設是等差數(shù)列的前項和，已知，，則等于A．13 B．35 C．49 D．635．（5分）設雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為．是上一點，且．若△的面積為4，則A．1 B．2 C．4 D．86．（5分）如圖，在四面體中，截面是正方形，則在下列命題中，錯誤的為A． B．截面 C． D．異面直線與所成的角為7．（5分）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大街之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數(shù)量總和，它是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題．該數(shù)列從第一項起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，記該數(shù)列為，則A． B． C． D．8．（5分）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且．記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．（5分）是衡量空氣質量的重要指標，如圖是某地7月1日到10日的日均值（單位：的折線圖，則下列關于這10天中日均值的說法正確的是A．眾數(shù)為30 B．中位數(shù)是31 C．平均數(shù)小于中位數(shù) D．后4天的方差小于前4天的方差10．（5分）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關．則下列說法正確的是A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C．此人第三天走的路程占全程的 D．此人后三天共走了42里路11．（5分）一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，下列結論正確的是A．圓柱的側面積為 B．圓錐的側面積為 C．圓柱的側面積與球面面積相等 D．圓錐的表面積最小12．（5分）已知是橢圓的右焦點，橢圓上至少有21個不同的點，2，3，，，，，組成公差為的等差數(shù)列，則A．該橢圓的焦距為6 B．的最小值為2 C．的值可以為 D．的值可以為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，三位同學依次選一個作為禮物，甲同學喜歡牛和馬，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學哪個吉祥物都喜歡．如果讓三位同學選取的禮物都滿意，則選法有種．14．（5分）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為．15．（5分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，且，若存在最大值，則滿足的的最大值為．16．（5分）已知橢圓的右焦點為，上頂點為，則的坐標為，直線與橢圓交于，兩點，且的重心恰為點，則直線斜率為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）為了了解某地高一學生的體能狀況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖如圖．（1）求值；（2）估計該地學生跳繩次數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)．18．（12分）（1）用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)？（2）六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則有多少個不同的排法？19．（12分）（1）已知．求：①；②．（2）在的展開式中，求：①展示式中的第3項；②展開式中二項式系數(shù)最大的項．20．（12分）已知數(shù)列數(shù)列的前項和且，，，且．（1）求的值，并證明：；（2）求數(shù)列的通項公式．21．（12分）如圖1，在梯形中，，，，，梯形的高為1，為的中點，以為折痕將折起，使點到達點的位置，且平面平面，連接，，如圖2．（1）證明：平面平面；（2）求圖2中平面與平面所成銳二面角的余弦值．22．（12分）如圖，已知橢圓，左、右焦點分別為，，右頂點為，上頂點為，為橢圓上在第一象限內一點．（1）若，求橢圓的離心率；（2）若，求直線的斜率；（3）若成等差數(shù)列，橢圓的離心率，求直線的斜率的取值范圍．

2020-2021學年江蘇省鎮(zhèn)江一中高二（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【解答】解：由分層抽樣的定義可得，解得，故選：．2．【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，其平均數(shù)，則其方差；故選：．3．【解答】解：由題意可知，，因為回歸直線經過樣本中心，所以，解得，線性回歸方程為，該生的數(shù)學成績達到130分，估計他的物理成績大約是：．故選：．4．【解答】解：因為，所以故選：．5．【解答】解：由題意，設，，可得，，，，可得，可得，解得．故選：．6．【解答】解：因為截面是正方形，所以、，則平面、平面，所以，，由可得，故正確；由可得截面，故正確；異面直線與所成的角等于與所成的角，故正確；，．，，而當時，由，知，故錯誤．故選：．7．【解答】解：奇數(shù)項分別為0，4，12，24，40，，即，，，，，，所以為正奇數(shù)），所以，所以．故選：．8．【解答】解：不妨取點在第一象限，設，，，在△中，由余弦定理知，，即①，由橢圓的定義知，，即②，由雙曲線的定義知，，即③，由①②可得，，，由①③可得，，，，化簡得，，兩邊同時除以，得，當且僅當時，等號成立，，的最大值為．故選：．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．【解答】解：把折線圖中的日均值按照由小到大的順序排列為：17，25，30，30，31，32，34，38，42，126．所以眾數(shù)為30，選項正確；最中間的兩位數(shù)為31，32，所以中位數(shù)為，選項錯誤；平均數(shù)為，選項錯誤；后4天的日均值更集中，所以方差更小，選項正確．故選：．10．【解答】解：設此人第天走里路，則是首項為，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列前項和公式得，解得，在中，，此人第二天走了九十六里路，故正確；在中，，，此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，故正確；在中，，，故錯誤；在中，，故正確．故選：．11．【解答】解：對于，圓柱的底面直徑和高都與一個球的直徑相等，圓柱的側面積為，故錯誤；對于，圓錐的底面直徑和高都與一個球的直徑相等，圓錐的側面積為，故錯誤；對于，圓柱的側面積為，球面面積為，圓柱的側面積與球面面積相等，故正確；對于，圓柱的表面積為，圓錐的表面積為，球的表面積為，圓錐的表面積最小，故正確．故選：．12．【解答】解：由橢圓的方程可得：，，所以，正確，由橢圓的性質可得，即，所以的最小值為2，正確，設，，，組成公差為的等差數(shù)列為，則，，又，所以，即，所以的最大值為，故正確，錯誤，故選：．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①甲同學選擇牛，乙有2種選擇，丙有10種選擇，此時選法有種，②甲同學選擇馬，乙有3種選擇，丙有10種選擇，此時選法有種，所以總共有種；故答案為：5014．【解答】解：因為圓錐內半徑最大的球應該為該圓錐的內切球，如圖，圓錐母線，底面半徑，則其高，不妨設該內切球與母線切于點，令，由，則，即，解得，，故答案為：．15．【解答】解：由，可得：，數(shù)列的前項和為有最大值時，，，因此，，，滿足的的最大值為19．故答案為：19．16．【解答】解：由橢圓的方程可得：，，所以，可得，所以上頂點，所以橢圓的方程為：；設直線的方程為：，設，，，，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立整理可得：，△，可得：，，所以，所以的中點，，因為為三角形的重心，所以，即，，，所以，即兩式相比可得，故答案分別為：，．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【解答】解：（1）由題意，，解得．（2）設中位數(shù)為，則，解得．平均數(shù)為．18．【解答】解：（1）根據(jù)題意，考慮“0”是特殊元素，分2種情況討論：當0排在末位時，有個三位偶數(shù)，當0不排在末位時，有個三位偶數(shù)，則符合題意的偶數(shù)共有個；（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：最左端排甲，共有種排法，最左端只排乙，最右端不能排甲，有排法，共有種排法．19．【解答】解：（1）令，則，令，則．①．②展開式中，、、、都大于零，而、、、都小于零，，令，則．．（2）的展開式中第項為，①當時，所以展示式中的第3項為．②或3時，二項式系數(shù)最大，時，由（1）知，時，．20．【解答】解：（1）在中，令，得，，，又由，得，兩式相減得，，；（2）由（1）可知，數(shù)列，，，，為等差數(shù)列，公差為2，首項為1，當為奇數(shù)時，，數(shù)列，，，，為等差數(shù)列，公差為2，首項為，當為偶數(shù)時，，綜上所述，．21．【解答】（1）證明：如圖，梯形中，過點作于點，連接，由題意知，，．由，可得，則，（2分），．又，，四邊形為正方形，．（4分）在四棱錐中，平面平面，平面平面，，平面．平面