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-1-矩陣分解在信號和圖像處理方面的應(yīng)用矩陣?yán)碚撌且婚T發(fā)展完善、理論嚴(yán)謹(jǐn)、方法獨特的理論基礎(chǔ)課程，它對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯能力、推理能力具有重要作用，但它又能廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域。矩陣?yán)碚撝饕獌?nèi)容包括線性空間、線性變換、范數(shù)理論；矩陣分析；矩陣分解；廣義逆矩陣；特征值的估計以及廣義特征值等。用矩陣的理論和方法來處理現(xiàn)代工程技術(shù)中的各種問題已經(jīng)越來越普遍。下面簡單介紹一下矩陣的奇異值分解在信號和圖像處理方面的簡單應(yīng)用。此方法近年來在數(shù)據(jù)降維和壓縮,濾波器設(shè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點估計、小波變換結(jié)果的后續(xù)處理等很多領(lǐng)域都獲得了重要的應(yīng)用。在濾波器設(shè)計方面，VOZALIS等將SVD用于協(xié)同濾波，他們的研究結(jié)果表明，SVD提高了協(xié)同濾波過程中預(yù)測的質(zhì)量和精度。而在消噪方面，LEHTOLA等利用SVD和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)相結(jié)合，對心電信號(Electrocardiogram，ECG)進行處理，消除了噪聲的影響，提高了心電圖診斷的準(zhǔn)確性。同時奇異值分解已用于從孕婦皮膚測量信號中提取胎兒心電信號。在另一些研究中SVD則被利用來實現(xiàn)特征提取和弱信號分離，如LIU等利用SVD從背景噪聲強烈的振動信號中提取周期性沖擊信息。SVD在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中也獲得了應(yīng)用，如TEOH等利用SVD實現(xiàn)了對隱層空間中模式的線性獨立性分析，進而決定了隱層神經(jīng)元節(jié)點的數(shù)目。SVD的正交化特性在對小波和小波包變換結(jié)果的后續(xù)處理中也得到了有效的應(yīng)用，如XIE等利用SVD對小波包分解后的肌電信號進行正交化處理，以獲得代表肢體運動模式的最優(yōu)特征，進而對肌電信號進行分類，用于對假肢的控制。小波多分辨分析的本質(zhì)就是把信號在一系列不同層次的空間上進行分解，獲得相應(yīng)的近似和細節(jié)信號，從而以不同的層次顯示信號的各種概貌和細節(jié)特征[9]，這種多分辨思想使得小波分析在很多領(lǐng)域獲得了極為廣泛的應(yīng)用?；谶@種多分辨分析思想的思考，趙學(xué)智在SVD中提出了一種矩陣二分遞推構(gòu)造方法，根據(jù)該方法得到的SVD分解結(jié)果將分屬于不同層次的空間，而且下一層次空間的基矢量是利用上一層次的近似基矢量而獲得的，實現(xiàn)了利用SVD以不同的層次來展現(xiàn)信號的概貌和細部特征。這種多分辨SVD的分解結(jié)果具有二階消失矩特性，可以實現(xiàn)對信號中Lip指數(shù)a=0和a=l的奇異點位置的精確定位，這種定位不隨分解層數(shù)的改變而發(fā)生任何偏移，遠優(yōu)于小波變換的奇異性檢測效果，多分辨SVD具有優(yōu)良的消噪效果，其本質(zhì)是基于正常信號和噪聲的相關(guān)性不同，從而造成了它們的奇異值分布不同，結(jié)果使得噪聲被分離到SVD細節(jié)中，而正常信號則保留在SVD近似信號中，消噪結(jié)果無相位偏差，是一種零相移消噪方法。最后，這種多分辨SVD可以提取到微弱的故障特征信息。設(shè)，，是的特征值，是的特征值，它們都是實數(shù)。且設(shè)則特征值與之間的關(guān)系為：，。設(shè)，的正特征值，的正特征值，稱，是的正奇異值，簡稱奇異值。若是正規(guī)矩陣，則的奇異值是的非零特征向量的模長。若，是的個正奇異值，則存在階酉矩陣和階酉矩陣，滿足：其中，，為奇異對角陣。滿足是對角陣，滿足是對角陣。的第列為的對應(yīng)于奇異值對應(yīng)的左奇異向量，的第列為的對應(yīng)于奇異值對應(yīng)的右奇異向量。它們的每一列均為單位向量，且各列之間相互正交。若，是的個正奇異值，則總有次酉矩陣，滿足：，其中。奇異值分解是一種基于特征向量的矩陣變換方法。奇異值分解是現(xiàn)代數(shù)值的最基本和最重要的工具之一。任意一個矩陣的奇異值是唯一的，它刻畫了矩陣數(shù)據(jù)的分布特征。直觀上，可以這樣理解矩陣的奇異值分解：將矩陣看成是一個線性變換，它將維空間的點映射到維空間。經(jīng)過奇異值分解后，這種變換被分割成3個部分，分別為、和，其中和都是標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣，它們對應(yīng)的線性變換就相當(dāng)于對維和維坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換。若為數(shù)字圖像，則可視為二維時頻信息，可將的奇異值分解公式寫為：其中，和分別是和的列矢量，是的非零奇異值。故上式表示的數(shù)字圖像可以看成是個秩為1的子圖疊加的結(jié)果，而奇異值為權(quán)系數(shù)。所以也表示時頻信息，對應(yīng)的和可分別視為頻率矢量和時間矢量，因此數(shù)字圖像中的時頻信息就被分解到一系列由和構(gòu)成的視頻平面中。由矩陣范數(shù)理論，奇異值能與向量2-范數(shù)和矩陣Frobenious-范數(shù)(F-范數(shù))相聯(lián)系。若以F-范數(shù)的平方表示圖像的能量，則由矩陣奇異值分解的定義知：。也就是說，數(shù)字圖像經(jīng)奇異值分解后，其紋理和幾何信息都集中在、之中，而中的奇異值則代表圖像的能量信息。性質(zhì)1：矩陣的奇異值代表圖像的能量信息，因而具有穩(wěn)定性。設(shè)，，是矩陣的一個擾動矩陣。和的非零奇異值分別記為：和。且，是的最大奇異值。則有：。由此可知，當(dāng)圖像被施加小的擾動時，圖像矩陣的奇異值變化不會超過擾動矩陣的最大奇異值，所以圖像奇異值的穩(wěn)定性很好。性質(zhì)2：矩陣的奇異值具有比例不變性。設(shè)，矩陣的奇異值為，，矩陣()的奇異值為。則有：。性質(zhì)3：矩陣的奇異值具有旋轉(zhuǎn)不變性。設(shè)，矩陣的奇異值為，。若是酉矩陣，則矩陣的奇異值與矩陣的奇異值相同：。性質(zhì)4：設(shè)，。若，，所以可得：上式表明，在F-范數(shù)意義下，是在空間（秩為的維矩陣構(gòu)成的線性空間）中的一個將秩最佳逼近。因此可根據(jù)需要保留個大于某個閾值的而舍棄其余個小于閾值的且保證兩幅圖像在某種意義下的近似。這就為奇異值特征矢量的降維和數(shù)據(jù)壓縮等應(yīng)用找到了依據(jù)。奇異值分解壓縮原理分析：用奇異值分解來壓縮圖像的基本思想是對圖像矩陣進行奇異值分解，選取部分的奇異值和對應(yīng)的左、右奇異向量來重構(gòu)圖像矩陣。根據(jù)奇異值分解的圖像性質(zhì)1和4可以知道，奇異值分解可以代表圖像的能量信息，并且可以降低圖像的維數(shù)。如果表示個維向量，可以通過奇異值分解將表示為個維向量。若的秩遠遠小于和，則通過奇異值分解可以大大降低的維數(shù)。對于一個像素的圖像矩陣，設(shè)，其中，。按奇異值從大到小取個奇異值和這些奇異值對應(yīng)的左奇異向量及右奇異向量重構(gòu)原圖像矩陣。如果選擇的，這是無損的壓縮；基于奇異值分解的圖像壓縮討論的是，即有損壓縮的情況。這時，可以只用個數(shù)值代替原來的個圖像數(shù)據(jù)。這個數(shù)據(jù)分別是矩陣的前個奇異值，左奇異向量矩陣的前列和右奇異向量矩陣的前列元素。比率：稱為圖像的壓縮比。顯然，被選擇的奇異值的個數(shù)應(yīng)該滿足條件，即。故在傳送圖像的過程中，不需要傳個數(shù)據(jù)，而只需要傳個有關(guān)奇異值和奇異向量的數(shù)據(jù)即可。接收端，在接收到奇異值以及左奇異向量和右奇異向量后，可以通過：重構(gòu)出原圖像矩陣。與的誤差為：某個奇異值對圖像的貢獻可以定義為，對一幅圖像來說，較大的奇異值對圖像信息的貢獻量較大，較小的奇異值對圖像的貢獻較小。假如接近1，該圖像的主要信息就包含在之中。通常圖像的奇異值都具“大L曲線”，只有不多的一些比較大的奇異值，其它的奇異值相對較小，因此一般只需要比較小的k就使接近1。在滿足視覺要求的基礎(chǔ)上，按奇異值的大小選擇合適的奇異值個數(shù)，就可以通過將圖像恢復(fù)。越小，用于表示的數(shù)據(jù)量就小，壓縮比就越大，而越接近，則與就越相似。在一些應(yīng)用場合中，如果是規(guī)定了壓縮比，則可以由式求出，這時也同樣可以求出。奇異值分解壓縮應(yīng)用過程：在對圖像進行操作時，因為矩陣的維數(shù)一般較大，直接進行奇異值分解運算量大，可以將圖像分解為子塊，對各子塊進行奇異值分解并確定奇異值個數(shù)，將每個子塊進行重構(gòu)。這樣操作除了因為對較小型的矩陣進行奇異值分解的計算量比較小外，另一方面是為了利用原始圖像的非均勻的復(fù)雜性。如果圖像的某一部分比較簡單，那么只需要少量的奇異值，就可以達到滿意的近似效果。為了保證圖像的質(zhì)量就需要較多的奇異值。但是各個子塊的奇異值數(shù)目，大小各不相同，因此可以考慮為每個子塊自適應(yīng)的選擇適當(dāng)?shù)钠娈愔禂?shù)目。一種簡單的方法是定義奇異值貢獻量的和來選擇，其中是一個接近1的數(shù)。對常見的256×256.bmp格式的圖像（位圖），劃分為4×4個子塊，每個子塊大小為64×64。對每個子塊根據(jù)來選擇所需要的奇異值數(shù)目。增大的值來選擇奇異值數(shù)目，可以推理得隨著不斷增大，視覺效果越來越好。隨著不斷增大，需要的奇異值也增多，壓縮比會減小。經(jīng)過以上討論可知，用奇異值分解進行圖像壓縮，肯定能取得成功，也具有較好的應(yīng)用價值，但仍然需要有以下值得去思考并改善：1、對子塊的劃分可以采取更加有效的方法來完成。例如對規(guī)模很大的矩陣，隨機抽取矩陣的某些行列得到規(guī)模較小的矩陣，計算小矩陣的奇異值，重復(fù)若干次，用這些小矩陣的奇異值逼近原始矩陣的奇異。2、影響運算速度的因素是SVD變換運算比較大，能否找到一個快速的SVD變換算法。另外，若已知圖像矩陣的奇異值及其特征空間，一般認為較大的奇異值及其對應(yīng)的奇異向量表示圖像信號，而噪聲反映在較小的奇異值及其對應(yīng)的奇異向量上。依據(jù)一定的準(zhǔn)則選擇門限，低于該門限的奇異值置零(截斷)，然后通過這些奇異值和其對應(yīng)的奇異向量重構(gòu)圖像進行去噪。若考慮圖像的局部平穩(wěn)性，也可以對圖像分塊奇異值分解去噪，這樣能在一定程度上保護圖像的邊緣細節(jié)。如果仔細分析，SVD去噪具有的方向性。根據(jù)SVD圖像性