2024屆天津市南開中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat19頁2024屆天津市南開中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出，再根據(jù)集合的運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，則.故選：A2．設(shè)數(shù)列的公比為，則“且”是“是遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別驗(yàn)證充分性以及必要性，即可得到結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，，當(dāng)且時(shí)，則，且單調(diào)遞減，則是遞減數(shù)列，故充分性滿足；當(dāng)是遞減數(shù)列，可得或，故必要性不滿足；所以“且”是“是遞減數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A3．函數(shù)的大致圖像為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)奇偶性可排除CD，當(dāng)時(shí)，，排除B.【詳解】因?yàn)?，，所以，故函?shù)為奇函數(shù)，故排除CD，當(dāng)時(shí)知，可排除B.故選：A.4．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由條件可得，，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，即，且；又，所?故選：B5．設(shè)為正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，成等差數(shù)列，則的值為（

）A． B． C．16 D．17【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，q＞0，運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公比q，再由等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求值．【詳解】正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比設(shè)為q，q＞0，a5，3a3，a4成等差數(shù)列，可得6a3＝a5+a4，即6a1q2＝a1q4+a1q3，化為q2+q﹣6＝0，解得q＝2（﹣3舍去），則1+q4＝1+16＝17．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，考查方程思想和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．已知且，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，利用指對(duì)數(shù)互化，換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得，即得.【詳解】令，則，，又，∴，即，∴.故選：C.7．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺．問積幾何?”這里的“羨除”，是指由三個(gè)等腰梯形和兩個(gè)全等的三角形圍成的五面體．在圖1所示羨除中，，，，，等腰梯形和等腰梯形的高分別為和，且這兩個(gè)等腰梯形所在的平面互相垂直．按如圖2的分割方式進(jìn)行體積計(jì)算，得該“羨除”的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圖可知，中間部分為棱柱，兩側(cè)為兩個(gè)全等的四棱錐，再由柱體和錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】按照?qǐng)D中的分割方式，中間為直三棱柱，直三棱柱的底面為直角三角形，兩條直角邊長分別為、，直三棱柱的高為，所以，直三棱柱的體積為.兩側(cè)為兩個(gè)全等的四棱錐，四棱錐的底面為直角梯形，直角梯形的面積為，四棱錐的高為，所以，兩個(gè)四棱錐的體積之和為，因此，該“羨除”的體積為.故選：A.8．記表示區(qū)間上的偶數(shù)的個(gè)數(shù)．在等比數(shù)列中，，，則（

）A．39 B．40 C．41 D．42【答案】C【分析】設(shè)的公比為，根據(jù)和求出，從而得和，再根據(jù)的定義可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)的公比為，則，所以，則，所以，所以落在區(qū)間內(nèi)的偶數(shù)共有41個(gè)，故.故選：C.9．將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（

）A．為奇函數(shù) B．C．的最小正周期為 D．的單調(diào)遞增區(qū)間為，【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷A、C、D，利用誘導(dǎo)公式判斷B.【詳解】將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度得到，函數(shù)的最小正周期，故C錯(cuò)誤；又，所以為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；又，所以，故B正確；令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故D錯(cuò)誤；故選：B二、填空題10．設(shè)是虛數(shù)單位，（），則．【答案】3．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，建立方程，求解即可.【詳解】，，.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11．在的展開式中，的系數(shù)是．【答案】【分析】寫出展開式的通項(xiàng)，令，求出，再代入計(jì)算可得.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為（其中且），令，解得，所以，所以展開式中的系數(shù)是.故答案為：三、雙空題12．已知直線與圓相切，且被圓截得的弦長為，則；．【答案】【分析】利用圓心到直線的距離等于半徑求出，即可求出直線的方程，再由弦長求出圓心到直線的距離，即可求出.【詳解】因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得或（舍去），則直線的方程為：，又被圓截得的弦長為，所以圓心到直線的距離，解得或（舍去）.故答案為：；四、填空題13．銳角，滿足，，則和中的較小角等于．【答案】/【分析】根據(jù)題意，由正切的和差角公式代入計(jì)算，即可得到的值，即可得到結(jié)果.【詳解】由可得，所以，又，所以，由，解得，或（舍去，此時(shí)不為銳角），所以，為銳角，則，又，則.所以和中的較小角為.故答案為：五、雙空題14．為的邊一點(diǎn)，滿足．記，，用，表示；若，且的面積為，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可，設(shè)，根據(jù)三角形的面積公式可得，再利用向量化結(jié)合基本不等式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】由，得，設(shè)，則，設(shè)的對(duì)邊分別為，由的面積為，得，所以，，故，所以，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：；.六、填空題15．若二次函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】設(shè)為在上的零點(diǎn)，可得，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上，結(jié)合的幾何意義，可得有解問題，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和最值即得.【詳解】設(shè)為在上的零點(diǎn),可得：，即：，從而可理解為點(diǎn)在直線上，而表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方.依題意，問題轉(zhuǎn)化為有解，即有解，不妨設(shè)，令則，則有，記易得：在上遞減，在上遞增，而故即：，故當(dāng)或時(shí)，的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)在定區(qū)間上存在零點(diǎn)問題常用的方法：（1）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)在給定區(qū)間上的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.（2）分離參數(shù)法：對(duì)于一個(gè)參數(shù)的問題，一般先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)在給定區(qū)間上的值域問題加以解決；（3）反客為主法：對(duì)于含雙變量的零點(diǎn)問題，常設(shè)出零點(diǎn)，將方程轉(zhuǎn)化為雙變量為點(diǎn)坐標(biāo)的軌跡問題，利用所求式的幾何意義求解.七、解答題16．在中，對(duì)應(yīng)的邊為.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求和的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）先根據(jù)正弦定理化邊為角，再根據(jù)兩角和正弦公式化簡(jiǎn)得結(jié)果，（Ⅱ）根據(jù)余弦定理求，代入條件求得，解得，最后根據(jù)兩角和余弦定理得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）解：由條件，得，又由，得.由，得，故.

（Ⅱ）解：在中，由余弦定理及，有，故.由得，因?yàn)椋?因此，.所以.【點(diǎn)睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.17．如圖，在直三棱柱中，，，為棱的中點(diǎn)．為線段的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）由（1）中坐標(biāo)系，利用面面夾角的向量求法求解即得.（3）由（1）中坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算得解.【詳解】（1）在直三棱柱中，，則兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由，，分別為，中點(diǎn)，則，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，因?yàn)?，則，即平面，而平面，所以平面.（2）由（1）得，，設(shè)平面的法向量為，，令，得，而平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）由（1）知平面的法向量為，，則點(diǎn)到平面的距離.18．橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，且，，成等比數(shù)列．(1)求橢圓的方程；(2)過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線，分別與軸交于，兩點(diǎn)．若，求直線的斜率．【答案】(1)(2)或0【分析】（1）由題意，可知，由，，成等比數(shù)列，得到，結(jié)合即可求出橢圓方程；（2）斜率為零時(shí)，符合題意；斜率不為零時(shí)，設(shè)其直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，得到，，分別求出直線，的方程，進(jìn)而求出，兩點(diǎn)，利用三角形面積公式結(jié)合求出，進(jìn)而得到直線的斜率．【詳解】（1）設(shè)橢圓左，右焦點(diǎn)分別為，，由題意可知，，①因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，整理得，，②又，③由①②③解得，，，，所以橢圓方程為.（2）由（1）可知，，由題意知，當(dāng)直線的斜率為0，，重合，，重合，，符合題意；當(dāng)直線斜率不為零時(shí)，設(shè)其直線方程為，，由可得，，，則，，因?yàn)?，所以的直線為，令，則，即，同理可得，所以所以，，點(diǎn)到直線的距離為，所以，又因?yàn)?，所以，解得，或，?dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，直線的方程為,即，符合題意.綜上，所以直線的斜率為或0.19．已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，滿足，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若數(shù)列滿足，，記．是否存在整數(shù)，使得對(duì)任意的都有成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，理由見解析【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的基本量表示已知條件，解方程組得到基本量，利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到答案；（2）利用錯(cuò)位相減法求解即可；（3）假設(shè)存在滿足要求的整數(shù)，取得到的范圍，進(jìn)而求得的值為，然后證明當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有成立．為此先要根據(jù)，利用等比數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合，求得，然后利用作差法證明即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，所以，因?yàn)椋?，所以，解得，所以，；?）由（1）得，則①，②，由①②得，所以；（3）由題設(shè)可得，假設(shè)存在滿足要求的整數(shù)，令，則，解得；令，則，解得；令，則，解得；所以，又已知，故若存在，則，下證：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有成立，，，，即，又，所以，則，，又因，所以，即對(duì)任意的都有成立，得證.所以存在整數(shù)，使得對(duì)任意的都有成立．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；（3）對(duì)于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.20．已知函數(shù)，且．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若，且存在三個(gè)零點(diǎn)，，．（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）設(shè)，求證：．【答案】(1)(2)（i），（ii）證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再由點(diǎn)斜式計(jì)算可得；（2）（i）根據(jù)存在三個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，再根據(jù)最值可求.（ii）根據(jù)三個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間，把要證明的式子分解為三個(gè)部分，分別求解后可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，又，所以，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）（i）因?yàn)榍掖嬖谌齻€(gè)零點(diǎn)，所以有3個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，，，所以在上是單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在定理，方程必有一個(gè)負(fù)根，當(dāng)，，即有兩個(gè)根，令，可轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn)，，可得時(shí)，即在單調(diào)遞增，可得時(shí)，即在單調(diào)遞減，其中，當(dāng)，，所以可得，解得.（ii）因?yàn)榍掖嬖谌齻€(gè)零