2024屆重慶市拔尖強(qiáng)基聯(lián)盟高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat22頁2024屆重慶市拔尖強(qiáng)基聯(lián)盟高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)，結(jié)合模長公式計(jì)算即可.【詳解】，所以，故選：A.2．已知圓，圓，則這兩圓的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)含 B．相切 C．相交 D．外離【答案】A【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心及半徑，由兩圓圓心距離與半徑的關(guān)系判斷位置關(guān)系.【詳解】由題設(shè)，：，：，∴，半徑；，半徑；，∴，即兩圓內(nèi)含.故選：A3．在首項(xiàng)為1的數(shù)列中，滿足，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系可得為周期數(shù)列，且周期為3，即可利用周期求解.【詳解】由可得，由于，所以，，因此為周期數(shù)列，且周期為3，故，故選：D4．若且，則（

）A． B．6 C．36 D．12【答案】C【分析】將化成對(duì)數(shù)式，代入，利用換底公式等計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?解得：.故選：C.5．已知點(diǎn)M為外接圓O上的任意一點(diǎn)，，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理得，故．所以，當(dāng)過點(diǎn)圓上一點(diǎn)作平行于的圓的切線時(shí)，此時(shí)最大，由于到的距離為,所以的最大值為故選：B6．在平面直角坐標(biāo)系中，集合，集合，已知點(diǎn)，點(diǎn)，記表示線段長度的最小值，則的最大值為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】D【分析】將集合看作是直線的集合，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出答案.【詳解】集合可以看作是表示直線上的點(diǎn)的集合，由變形可得，，由可得，，所以直線過定點(diǎn).集合可看作是直線上的點(diǎn)的集合，由變形可得，，由可得，，所以，直線過定點(diǎn).顯然，當(dāng)線段與直線都垂直時(shí)，有最大值.故選：D.7．設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)于結(jié)合不等式的性質(zhì)，易判斷大??；對(duì)于可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、最值即可判斷.【詳解】對(duì)于，顯然，，所以；對(duì)于，可構(gòu)造函數(shù)，且，所以，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，所以，即，故，所以.綜上：.故選:A.8．點(diǎn)為正四面體的內(nèi)切球球面上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為棱上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)取最大值時(shí)，（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正四面體體積的等積性、球的幾何性質(zhì)、圓的切線性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義、正切二倍角公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)該正四面體的棱長為，設(shè)該正四面體的內(nèi)切球的球心為，頂點(diǎn)在底面的射影為，顯然在線段上，顯然該正四面體內(nèi)切球的半徑為，如圖所示：由正弦定理可知：，由勾股定理可知：，由三棱錐體積的等積性可得：，，由球的性質(zhì)可知：當(dāng)與圓相切時(shí)，最大，如圖所示：，由圓的切線長定理可知：，在直角三角形中，，最大時(shí)，最小，因?yàn)?，所以此時(shí)為的中點(diǎn)，即有，正四面體的內(nèi)切球的球心為，顯然也是該正四面體的外接球的球心，所以，因此，，于是有，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用球的幾何性質(zhì)、正弦函數(shù)的單調(diào)性、三棱錐的體積等積性.二、多選題9．如圖，在正四棱柱中，，O為此正四棱柱的外接球球心，下列說法正確的是（

）A． B．球的表面積為C．點(diǎn)到的距離為 D．四棱錐的表面積為【答案】ACD【分析】根據(jù)線面垂直即可求解線線垂直，判斷A，根據(jù)正四棱柱的性質(zhì)可知外接球的直徑為體對(duì)角線，即可求解BC，根據(jù)面積公式，結(jié)合正棱錐的性質(zhì)即可求解D.【詳解】由于四棱柱為正四棱柱，所以底面為正方形，故平面，因此平面,平面,所以，A正確，由正四棱柱的性質(zhì)可得其外接球的球心為的中點(diǎn)，為外接球一條直徑，因?yàn)?，所以正四棱柱的外接球的半徑為，其表面積為，B錯(cuò)誤，由于平面，平面，所以，在中，由于,為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到的距離為,故C正確，由于為的中點(diǎn)，所以四棱錐為正四棱錐，且側(cè)棱長為，因此側(cè)面上的高為,則側(cè)面積為,底面積為4，故四棱錐的表面積為，D正確，故選：ACD10．已知圓，直線（且不同時(shí)為0），下列說法正確的是（

）A．當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，直線與圓相交所得弦長為B．當(dāng)時(shí)，直線與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的方程為：C．當(dāng)時(shí)，圓上存在4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為D．過點(diǎn)與平行的直線方程為：【答案】AB【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：利用直線經(jīng)過得到，求出圓心到直線的距離，借助圓的弦長公式計(jì)算即可;對(duì)于B選項(xiàng)：利用直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的求法，求解即可;對(duì)于C選項(xiàng)：借助圓心到直線的距離，半徑，以及圓上的點(diǎn)到直線的距離的大小關(guān)系判斷即可;對(duì)于D選項(xiàng)：借助直線平行的相關(guān)知識(shí)，求出與之平行的直線即可.【詳解】因?yàn)閳A，所以圓心為，半徑，對(duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)橹本€經(jīng)過，所以，，所以圓心到直線的距離為，直線與圓相交所得弦長為，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，直線，因?yàn)橹本€與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以直線與平行,由于到的距離為2，所以到的距離也為2，所以的方程為：，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，直線,此時(shí)圓心到直線的距離為，由于半徑，所以在直線的右側(cè)：，所以在直線的右側(cè)不存在滿足條件的點(diǎn)；在直線的左側(cè)：，所以在直線的左側(cè)存在滿足條件的點(diǎn)有2個(gè)；所以圓上只存在2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng)：過點(diǎn)與平行的直線方程可設(shè)為:，將點(diǎn)代入，所以，即,所以過點(diǎn)與平行的直線方程為:，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.11．已知函數(shù)是偶函數(shù)，其中，若函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．B．的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到C．的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是D．若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是【答案】ABD【分析】根據(jù)奇偶性定義可得，即可判斷A，根據(jù)函數(shù)圖象平移可判斷B，根據(jù)單調(diào)區(qū)間與周期的關(guān)系可判斷C，結(jié)合函數(shù)圖象可判斷D.【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，其中，所以，因此對(duì)于任意的恒成立，則所以，由于，故，A正確，，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到，而，所以B正確，由于的最小正周期為，而，所以不是的一個(gè)單調(diào)區(qū)間，故C錯(cuò)誤，令，由于，所以，則在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，作出的圖象如下：當(dāng)時(shí)，，故在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，則，D正確，故選：ABD12．定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足以下條件：①

②③

④則下列說法正確的有（

）A．若，則 B．方程在上無實(shí)數(shù)解C．若，則 D．【答案】ACD【分析】根據(jù)對(duì)稱性結(jié)合條件④③即可根據(jù),判斷BC，進(jìn)而根據(jù)可判斷AD,【詳解】由②可知在上的圖象關(guān)于對(duì)稱，由③可知，所以，則，A正確，，故，D正確，，所以存在，使得，B錯(cuò)誤，，C正確，故選：ACD三、填空題13．已知數(shù)列是等差數(shù)列，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則；【答案】52【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】.故答案為：5214．若，則．【答案】【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式、平方關(guān)系、二倍角公式求解.【詳解】，所以，，所以，故答案為：.15．設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率是．【答案】【分析】根據(jù)橢圓定義可得長度關(guān)系，即可利用余弦定理求解.【詳解】不妨設(shè)橢圓方程為，則，，由于,所以由余弦定理可得，化簡(jiǎn)得，由于，所以，故故答案為：16．若，則的最大值為．【答案】【分析】借助基本不等式有消去、，對(duì)求最大值即可，再應(yīng)用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得.【詳解】由題意得：，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，即，則有，則，,有在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，即、時(shí)，有最大值，即的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于如何將多變量求最值問題中的多變量消去，結(jié)合基本不等式與題目條件可將、消去，再結(jié)合三角函數(shù)的值域與單調(diào)性即可求解.四、問答題17．等差數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分別列式即可得解；（2）利用錯(cuò)位相減法即可得解.【詳解】（1）設(shè)公差為公比為，則，則，解出．所以，又由，解出．所以.（2）由（1）得，則，故，兩式相減得，，所以.五、證明題18．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿足(1)求證：；(2)若為銳角三角形，求的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，借助三角恒等變換公式化簡(jiǎn)即可.（2）利用為銳角三角形，求出，表示出，并進(jìn)行換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),進(jìn)而求得最大值.【詳解】（1）由題，由正弦定理：，所以，整理，所以，或（舍）,.（2）為銳角三角形,解得：,所以，且由（1）問，，令，則，所以因?yàn)?當(dāng)時(shí)，所求的最大值為.19．五棱錐中，，，，，，，，平面平面，為的中點(diǎn)，

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，證得平面，再由四邊形為平行四邊形，證得，得到，證得平面，結(jié)合面面平行的判定定理，證得平面平面，進(jìn)而證得平面；（2）取中點(diǎn)，連接，證得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，可得，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面，又因?yàn)椋矫?，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，平面．?）解：取中點(diǎn)，連接，由，可得，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，為軸，過作軸，過點(diǎn)作軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，又由，可得，所以直線與平面所成角的正弦值為.

六、解答題20．研究表明，學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)y（分）與每天投入的課后學(xué)習(xí)時(shí)間x（分鐘）有較強(qiáng)的線性相關(guān)性．某校數(shù)學(xué)小組為了研究如何高效利用自己的學(xué)習(xí)時(shí)間，收集了該校高三（1）班學(xué)生9個(gè)月內(nèi)在某學(xué)科（滿分100分）所投入的課后學(xué)習(xí)時(shí)間和月考成績(jī)的相關(guān)數(shù)據(jù)，下圖是該小組制作的原始數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)圖（散點(diǎn)圖）．月次123456789某科課后投入時(shí)間（分鐘）202530354045505560高三（1）班某科平均分（分）6568757273737373．573(1)當(dāng)時(shí)，該小組建立了與的線性回歸模型，求其經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)當(dāng)時(shí)，由圖中觀察到，第3個(gè)月的數(shù)據(jù)點(diǎn)明顯偏離回歸直線，若剔除第3個(gè)月數(shù)據(jù)點(diǎn)后，用余下的4個(gè)散點(diǎn)做線性回歸分析，得到新回歸直線，證明：；(3)當(dāng)時(shí)，該小組確定了與滿足的線性回歸方程為：，該數(shù)學(xué)小組建議該班在該學(xué)科投入課后學(xué)習(xí)時(shí)間為40分鐘，請(qǐng)結(jié)合第（1）（2）問的結(jié)論說明該建議的合理性．附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，【答案】(1)(2)證明見解析(3)建議合理【分析】（1）利用最小二乘法求解；（2）利用最小二乘法求解；（3）利用回歸直線的斜率的意義判斷.【詳解】（1）解：，，，則，所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：；（2）設(shè)的方程為，，，∴，則，的方程為，故，；（3）當(dāng)時(shí)，的斜率為0.4，這個(gè)斜率的意義是：課后每多投入10分鐘，平均分就能提高4分；當(dāng)時(shí)，回歸直線的斜率為0.01這個(gè)斜率的意義是：課后每多投入10分鐘，平均分就能提高0.1分，說明投入幾乎沒用，故該學(xué)習(xí)小組的建議是合理的.七、問答題21．已知點(diǎn)為橢圓內(nèi)的兩點(diǎn)，在橢圓上存在兩點(diǎn)，滿足，直線交橢圓于點(diǎn)（點(diǎn)異于點(diǎn)）．(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)，橫坐標(biāo)乘積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)條件得到坐標(biāo)間的關(guān)系，代入橢圓方程解得B的縱坐標(biāo)，即得B的橫坐標(biāo)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)可解出點(diǎn)的縱坐標(biāo).（2）直線與橢圓相交，根據(jù)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，利用（1）中關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算求得.【詳解】（1）設(shè)，由，即有，從而進(jìn)一步，解得故時(shí)，,所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.（2）由（1）可知，.設(shè)①當(dāng)斜率不存在時(shí)，重合，此時(shí)②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線，則則∵僅在橢圓內(nèi)，與橢圓一定相交當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立故22．已知函數(shù)，其中．(1)若在單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若有三個(gè)極值點(diǎn)，記為，且，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)恒為非負(fù)，即可將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可求解最值求解；（2）根據(jù)與有兩個(gè)交點(diǎn)結(jié)合圖象可得，進(jìn)而得，構(gòu)造函數(shù)和，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可.【詳解】（1）由題可得，由題，有在上恒成立,即在上恒成立，在上恒成立，令，由，解得；由，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以；（2）由題知，有3個(gè)根，顯然1為其中一個(gè)根，則有兩根．即有兩根，亦即與有兩個(gè)交點(diǎn)．由（1）作出大致圖象如下：則有．故由，令

①又

②由①②，解得，故,令，則，設(shè)，設(shè)則當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，故當(dāng)，