2024屆重慶市高三上學(xué)期11月份大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat17頁(yè)2024屆重慶市高三上學(xué)期11月份大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】的元素用來(lái)表示，再利用集合間的基本關(guān)系選擇正確答案.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：A.2．已知，則z的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)除法求得后，根據(jù)定義可得．【詳解】，所以虛部為．故選：C．3．若，則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】將利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的關(guān)系，把正弦和余弦化為正切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因?yàn)椋?，所以．故選：D．4．在三棱臺(tái)中，截面與底面平行，若，且三棱臺(tái)的體積為1，則三棱臺(tái)的體積為（

）A．5 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】將三棱臺(tái)補(bǔ)成三棱錐，根據(jù)面積比轉(zhuǎn)換為邊長(zhǎng)比，再由三棱錐和三棱臺(tái)的體積比與邊長(zhǎng)比的關(guān)系，即可求出三棱錐的體積以及三棱臺(tái)的體積，從而可得結(jié)論.【詳解】將三棱臺(tái)補(bǔ)成三棱錐，因?yàn)?，所以，設(shè)，三棱錐的體積為，三棱臺(tái)的體積為b，則所以．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：將三棱臺(tái)補(bǔ)成三棱錐，靈活運(yùn)用面積比與邊長(zhǎng)比的關(guān)系以及體積比與邊長(zhǎng)比的關(guān)系是解題關(guān)鍵，本題主要考查三棱臺(tái)的體積問題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.5．當(dāng)趨近于時(shí)，為一個(gè)無(wú)理常數(shù)，且運(yùn)用不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）來(lái)研究的單調(diào)性，可得最接近的值為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．9.7875 B．10.7875 C．8.6331 D．11.6331【答案】A【分析】作差判斷的單調(diào)性，即可得到，從而得解.【詳解】因?yàn)?，所以單調(diào)遞減，則，即．故選：A．6．設(shè)A，B為兩個(gè)事件，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式列式計(jì)算即得.【詳解】由，得，顯然，因此，所以．故選：B7．直線與函數(shù)的圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的零點(diǎn)即可得解.【詳解】聯(lián)立與，消去y得，，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此，函數(shù)有唯一零點(diǎn)1，所以直線與函數(shù)的圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1．故選：B8．如圖，將圓柱的下底面圓置于球O的一個(gè)水平截面內(nèi)，恰好使得與水平截面圓的圓心重合，圓柱的上底面圓的圓周始終與球O的內(nèi)壁相接（球心O在圓柱內(nèi)部），已知球O的半徑為3，，則圓柱體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先畫出平面圖，得到圓柱的底面半徑，高為，代入圓柱體積公式求解，再令，利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】設(shè)R為圓上任意一點(diǎn)，過R作圓柱的軸截面，過O作交圓柱軸截面的邊于M，N，設(shè)與圓柱的下底面所成的角為，則，所以，即，當(dāng)點(diǎn)P，Q均在球面上時(shí)，角取得最小值，此時(shí)，所以，所以，令，所以，所以，另，解得兩根所以，所以在時(shí)單調(diào)遞減，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值的方法；先畫出平面圖，得到圓柱的底面半徑，高為，代入圓柱體積公式求解，再令，利用導(dǎo)數(shù)求最值.二、多選題9．8名學(xué)生參加跑的成績(jī)（單位：s）分別為13.10，12.99，13.01，13.20，13.01，13.20，12.91，13.01，則（

）A．極差為0.29 B．眾數(shù)為13.01C．平均數(shù)近似為13.05 D．第75百分位數(shù)為13.10【答案】ABC【分析】根據(jù)極差，眾數(shù)，平均數(shù)，百分位數(shù)的概念逐項(xiàng)分析．【詳解】將該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：12.91，12.99，13.01，13.01，13.01，13.10，13.20，13.20.對(duì)于A：極差為，故A正確；對(duì)于B：這組數(shù)據(jù)中13.01出現(xiàn)3次，眾數(shù)為13.01，故B正確；對(duì)于C：平均數(shù)為，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)楣灿?個(gè)數(shù)據(jù)，所以，則第75百分位數(shù)為．所以D錯(cuò)誤．故選:ABC．10．已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則a的值可以是（

）A．2 B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由題意，函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，所以，解得，故選:BC．11．若滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】令，代入已知條件，再由判別式可求得的范圍，從而可判斷A,B選項(xiàng)，將已知條件變形為，再由均值不等式可得的范圍，再利用代入法并化簡(jiǎn)即可判斷C,D選項(xiàng).【詳解】令，即，代入可得：.所以,解得,所以A正確.B正確；由可變形為,因?yàn)?將代入上式可得：,解得,所以不正確,D正確.故選：.12．定義函數(shù):①對(duì);②當(dāng)時(shí)，，記由構(gòu)成的集合為M，則（

）A．函數(shù)B．函數(shù)C．若，則在區(qū)間上單調(diào)遞增D．若，則對(duì)任意給定的正數(shù)s，一定存在某個(gè)正數(shù)t，使得當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【分析】根據(jù)給定函數(shù)的定義，結(jié)合各選項(xiàng)中的函數(shù)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則，則不屬于M，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則當(dāng)時(shí)，，，由，得，則即，因此屬于M，B正確；對(duì)于C，由，則對(duì)任意都有，且，，則，，于是，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D，對(duì)給定的正數(shù)s，若，則取，使得當(dāng)時(shí)，由選項(xiàng)C知，恒有，若，依題意，對(duì)于任意s，都有，且，于是，同理，隨著n的無(wú)限增大，無(wú)限趨近于0，因此存在，則取，使得當(dāng)時(shí)，恒有，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)的新定義，解題的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)新定義的正確理解，注意合理分析問題及正確計(jì)算.三、填空題13．若拋物線上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，且A到C的焦點(diǎn)的距離為，則A點(diǎn)的一個(gè)縱坐標(biāo)為．（寫出一個(gè)符合條件的即可）【答案】或（寫出一個(gè)符合條件的即可）【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)運(yùn)算即可得出，根據(jù)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)代入拋物線從而可求出答案.【詳解】因?yàn)闇?zhǔn)線方程為，所以，所以，所以，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，所以A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．故答案為：或.（寫出一個(gè)符合條件的即可）14．向量在向量上的投影向量為．（寫出坐標(biāo)）【答案】【分析】設(shè)與的夾角為，在上的投影向量為，代入數(shù)據(jù)，即可求得答案.【詳解】由，得，，設(shè)與的夾角為，在上的投影向量為.故答案為：.15．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則正數(shù)ω的取值范圍是．【答案】【分析】先求得函數(shù)的零點(diǎn)，再利用題給條件列出關(guān)于正數(shù)ω的不等式，解之即可求得正數(shù)ω的取值范圍.【詳解】由，可得，即，令，則又在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則區(qū)間內(nèi)不存在整數(shù)，又，則正數(shù)ω滿足，則，則，解之得，則正數(shù)ω的取值范圍是.故答案為：16．橢圓的右焦點(diǎn)為F，若過定點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，則面積的最大值為．【答案】/【分析】設(shè)出直線l的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法得到面積的表達(dá)式，再利用均值定理即可求得面積的最大值.【詳解】橢圓的右焦點(diǎn)，令定點(diǎn)，由題意可設(shè)過定點(diǎn)的直線l的方程為，不妨令,由，整理得，則，由，可得，的面積為，則，令，則，則又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）則，則，則，則面積的最大值為.故答案為：四、解答題17．已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，利用基本量法即可求出，從而得出通項(xiàng)公式；（2）利用第（1）小問求出，再由錯(cuò)位相減法進(jìn)行數(shù)列求和即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所?因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，得或.因?yàn)榇藬?shù)列各項(xiàng)均為正，所以得.（2），所以，所以，兩個(gè)等式相減得,，所以,所以.18．已知A，B，C，D四點(diǎn)逆時(shí)針排列于同一個(gè)圓O上，其中的面積為，．(1)求邊的長(zhǎng)；(2)當(dāng)圓心O在上時(shí)，求．【答案】(1)．(2)．【分析】（1）由已知，結(jié)合三角形面積公式及余弦定理求解即得.（2）由（1）的信息，結(jié)合圓的性質(zhì)求出即可得解.【詳解】（1）在中，的面積為，則，解得，而，于是，由余弦定理得.（2）由（1）知，而線段為圓的直徑，則，因此，所以.五、證明題19．如圖，平面平面，且．

(1)求證：平面平面;(2)若，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）利用面面垂直判定定理即可證得平面平面;（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求得二面角的正弦值.【詳解】（1）分別取的中點(diǎn)，連接，則為的中位線，則，，又，，則，則四邊形為平行四邊形，則，平面平面，平面平面，平面，，可得平面，又平面，則，則，又中，，則,又平面，則平面，又，則平面，又平面，則平面平面.（2）當(dāng)時(shí)，由，可得為等邊三角形，在平面內(nèi)，過點(diǎn)B作，垂足為B，又由（1）可得平面，則兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則,則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，則；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，則；則，設(shè)二面角的大小為，則，又，則

則二面角的正弦值為．六、解答題20．某公司建有1000個(gè)銷售群，在某產(chǎn)品的銷售旺季，所有群銷售件數(shù)X服從正態(tài)分布，其中，公司把銷售件數(shù)不小于596的群稱為“A級(jí)群”，銷售件數(shù)在內(nèi)的群為“B級(jí)群”，銷售件數(shù)小于266的群為“C級(jí)群”．(1)若，求a的取值范圍；(2)該公司決定對(duì)每個(gè)“A級(jí)群”獎(jiǎng)勵(lì)1000元，每個(gè)“B級(jí)群”獎(jiǎng)勵(lì)500元，每個(gè)“C級(jí)群”獎(jiǎng)勵(lì)200元，那么公司大約需要準(zhǔn)備多少獎(jiǎng)金？（群的個(gè)數(shù)按四舍五入取整數(shù)）附：若，，則，，．【答案】(1)(2)464100【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，分和兩種情況求解可得；（2）根據(jù)原則求出和，然后求出各級(jí)群個(gè)數(shù)，即可求出所需獎(jiǎng)金.【詳解】（1）由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，若，當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?，所以有，得；?dāng)，即時(shí)，要使，則有，解得（舍去）.綜上，a的取值范圍為.（2）因?yàn)樗裕訟級(jí)群有個(gè)，B級(jí)群有個(gè)，C級(jí)群有個(gè)，所以，公司大約需要準(zhǔn)備獎(jiǎng)金元.21．已知雙曲線的兩條漸近線方程為，且左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為．(1)求的方程；(2)過的直線與交于、兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)滿足，證明：在一條定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)已知條件求出、的值，即可得出雙曲線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、、，利用向量的線性運(yùn)算可得出，，將等式相乘，結(jié)合平方差公式可得出的值，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則雙曲線的漸近線方程為，即，雙曲線的左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，即，可得，因此，雙曲線的方程為.（2）解：設(shè)點(diǎn)、、，因?yàn)椋瑒t，所以，，因?yàn)?，則，所以，，所以，，，所以，，即，因此，點(diǎn)在直線上.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考察點(diǎn)在定直線上，解題的關(guān)鍵在于設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)向量的線性運(yùn)算得出關(guān)于、的線性關(guān)系式，進(jìn)而證得結(jié)論成立.七、證明題22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，比較與的大??；(2)若函數(shù)，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）構(gòu)造，，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性后可得；（2）構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性得，再利用單調(diào)性得，問題轉(zhuǎn)化為證明，然后再構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明．【詳解】（1）設(shè)，，,所以在