2024屆新高考數(shù)學創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學文化、新定義）專題13 統(tǒng)計概率專題（數(shù)學文化）含解析

2024屆新高考數(shù)學創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學文化、新定義）專題13統(tǒng)計概率專題（數(shù)學文化）一、單選題1．（2021春·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）洛書古稱龜書，傳說有神魚出于洛水，其甲殼上有此圖案，由表示1-9的圈點組成，數(shù)字結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點為陰數(shù)，即九宮圖，如圖，在5個陽數(shù)中隨機選取3個，則3個數(shù)的和為15的概率為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·全國·高三興國中學校聯(lián)考階段練習）我國古代學者余道安在他著的《海潮圖序》一書中說：“潮之漲落，海非增減，蓋月之所臨，則之往從之”．哲學家王充在《論衡》中寫道：“濤之起也，隨月盛衰．”指出了潮汐跟月亮有關(guān)系．到了17世紀80年代，英國科學家牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律之后，提出了潮汐是由于月亮和太陽對海水的吸引力引起的假設，科學地解釋了產(chǎn)生潮汐的原因．船只在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．下圖是某港口某天記錄的時刻（x軸）與水深（y軸）關(guān)系的散點圖，若某貨船需要的安全水深為5米，則下列說法正確的是（

）A．該船在凌晨3點零6分駛?cè)牒降溃拷a頭，9點18分返回海洋或15點30分駛?cè)牒降?，靠近碼頭，21點42分返回海洋B．該船這一天能進入航道，靠近碼頭的時間可以是0時到凌晨6點12分或12時24分到18點36分C．海水漲落潮周期是12小時D．該船最多在碼頭停留時間不能超過6小時3．（2022·江西贛州·高三校考階段練習）2022年是香港回歸祖國25周年，香港是一座高度繁榮的國際大都市，有著東方之珠的美譽，同時香港的區(qū)徽也帶上了香港特有的浪漫.香港特別行政區(qū)區(qū)徽，呈圓形，位于徽面內(nèi)圓中央的動態(tài)紫荊花圖案為白色，由五片花瓣組成，每片花瓣中均有一顆紅色五角星及一條紅色花蕊鑲在其間，香港特別行政區(qū)區(qū)徽代表祖國，白色紫荊花代表香港，紫荊花紅旗寓意香港是祖國不可分離的一部分，并將在祖國懷抱中興旺發(fā)達.花蕊上的五星象征香港同胞熱愛祖國，采用紅、白不同顏色，象征“一國兩制”.其中紫荊花外輔助圓直徑為區(qū)徽直徑的，現(xiàn)從區(qū)徽內(nèi)任取一點，則該點取自紫荊花外輔助圓內(nèi)的概率為（

）A． B． C． D．4．（2022春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊101中學?？计谀└怕收撈鹪从?6-17世紀對賭博問題的研究，概率的要義在17世紀中葉由法國數(shù)學家帕斯卡與費馬的討論才明確．當時有個叫梅羅騎士因賭注分配的問題寫信求教于帕斯卡．背景：“甲乙兩人賭注共有144收金，賭局分為五局三勝制，誰先贏得3局，即可獲得全部賭注，現(xiàn)已知在甲獲得2局勝乙獲得1局勝利時，因某種原因賭局被中止了，給甲乙倆人怎樣分配賭注才合理"，已知甲乙每局獲勝的概率均為0.5，且每局輸贏相互獨立．你認為乙應該獲得多少妝金才合理（

）A．24 B．36 C．48 D．725．（2022·全國·高三專題練習）Poisson分布是統(tǒng)計學里常見的離散型概率分布，由法國數(shù)學家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列為，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，是Poisson分布的均值．當二項分布的n很大而p很小時，Poisson分布可作為二項分布的近似．假設每個大腸桿菌基因組含有10000個核苷酸對，采用紫外線照射大腸桿菌時，每個核苷酸對產(chǎn)生嘧啶二體的概率均為0.0003，已知該菌株基因組有一個嘧啶二體就致死，則致死率是（

）A． B． C． D．6．（2022春·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，為了慶祝建黨100周年，激發(fā)青少年學生的愛國、愛黨熱情，引導青少年學生深入地了解黨的光輝歷史，加強愛國主義教育，甲、乙兩所學校均計劃于2021年7月組織師生參加“觀看一部紅色電影”活動．據(jù)了解，《1921》、《革命者》、《紅船》、《三灣改編》等多部電影將陸續(xù)上映．甲、乙兩校分別從這4部電影中任選一部電影觀看，則甲、乙兩校選擇不同電影觀看的概率是（

）A． B． C． D．7．（2022春·河南·高二統(tǒng)考期末）“霍姆斯馬車理論”是指各種資源都得到最合理配置和使用的一種理論．一個富有效率的團隊不需要每一個人都是最有能力的，而在于每個人的能力都能得到最合理的使用和發(fā)揮．某科研團隊共有名研究人員，編號分別為，要均分成甲、乙兩個科研小組，其中號研究員組合在一起，號研究員組合在一起，其余研究員隨意搭配就能達到最佳效果，那么達到最佳效果的不同的分組方式共有（

）．A．種 B．種 C．種 D．種8．（2022春·江西宜春·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)學史上記載了眾多科學家根據(jù)生活中的一些數(shù)學問題制作了許多經(jīng)典的數(shù)學模型，如研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的“高爾頓釘板”模型.某游樂場根據(jù)“高爾頓釘板”模型，仿作了一款如圖的游戲機，玩家投入一枚游戲幣后，機器從上方隨機放下一顆半徑適當?shù)男∏?，假設小球從最上層3個縫隙落下的概率都相等，小球第一次與第2層的一障礙物隨機（圖中圓點）碰撞且碰撞下落過程中等可能地從左邊或右邊繼續(xù)下落，于是又碰到下一層的一障礙物，如此繼續(xù)下去，最后落入編號①，②，…，⑧的槽內(nèi).設小球落入編號②的槽內(nèi)概率為，落入編號⑥的槽內(nèi)概率為，則（

）A． B． C． D．，大小關(guān)系不定9．（2022·全國·高三專題練習）南丁格爾玫瑰圖是由近代護理學和護士教育創(chuàng)始人南丁格爾（FlorenceNightingale1820-1910）設計的，圖中每個扇形圓心角都是相等的，半徑長短表示數(shù)量大小．某機構(gòu)統(tǒng)計了近幾年中國知識付費用戶數(shù)量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖如下，根據(jù)此圖，下列說法錯誤的是（

）A．2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加B．2016年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多C．2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍D．2016年至2022年，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增10．（2021秋·山東臨沂·高二統(tǒng)考開學考試）算盤是我國古代一項偉大的發(fā)明，是一類重要的計算工具.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別表示個位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠子（簡稱下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.例如，個位撥動一粒上珠、十位撥動一粒下珠至梁上，表示數(shù)字15.現(xiàn)將算盤的個位、十位、百位、千位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，設事件“表示的四位數(shù)含2個數(shù)字5”，則（

）A． B． C． D．11．（2022·高二課時練習）由于用具簡單，趣味性強，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動．某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機選擇一條路線，則能順帶吃掉“炮”的可能路線有（

）A．條 B．條 C．條 D．條12．（2022秋·山東濟寧·高二校考階段練習）據(jù)史書記載，古代的算籌是由一根根同樣長短和粗細的小棍制成，如圖所示，據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當.即在算籌計數(shù)法中，表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推.例如表示62，表示26，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方式表示兩位數(shù)（算籌不剩余且個位不為0），則這個兩位數(shù)大于30的概率為（

）A． B． C． D．13．（2022秋·浙江·高二浙江省衢州第一中學校聯(lián)考開學考試）魔方又叫魯比克方塊（Rubk'sCube），是由匈牙利建筑學教授暨雕塑家魯比克?艾爾內(nèi)于1974年發(fā)明的機械益智玩具，與華容道?獨立鉆石棋一起被國外智力專家并稱為智力游戲界的三大不可思議.三階魔方可以看作是將一個各面上均涂有顏色的正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開所得，現(xiàn)將三階魔方中1面有色的小正方體稱為中心方塊，2面有色的小正方體稱為邊緣方塊，3面有色的小正方體稱為邊角方塊，若從所有的小正方體中任取一個，恰好抽到中心方塊的概率為（

）A． B． C． D．14．（2022·全國·高三專題練習）“回文聯(lián)”是對聯(lián)中的一種，既可順讀，也可倒讀．比如，一副描繪廈門鼓浪嶼景色的回文聯(lián)：霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天．由此定義“回文數(shù)”，n為自然數(shù)，且n的各位數(shù)字反向排列所得自然數(shù)與n相等，這樣的n稱為“回文數(shù)”，如：1221，2413142．則所有5位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有（

）A．648個 B．720個 C．810個 D．891個15．（2022春·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期末）托馬斯·貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的問題中得到了一個公式：，這個公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱為的全概率.假設甲袋中有3個白球和3個紅球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取2個球.已知從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為（

）A． B． C． D．16．（2023·全國·高三專題練習）花窗是一種在窗洞中用鏤空圖案進行裝飾的建筑結(jié)構(gòu)，這是中國古代建筑中常見的美化形式，既具備實用功能，又帶有裝飾效果．如圖所示是一個花窗圖案，點E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA上的三等分點；點P，M，N，O分別為EF，F(xiàn)G，GH，HE上的三等分點；同樣，點Q，R，S，T分別為PM，MN，NO，OP上的三等分點．若在大正方形中隨機取一點，則該點取自陰影部分的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題17．（2022·全國·高三專題練習）端午節(jié)，又稱端陽節(jié)、龍舟節(jié)、天中節(jié)等，與春節(jié)、清明節(jié)、中秋節(jié)并稱為中國四大傳統(tǒng)節(jié)日．扒龍舟與食粽是端午節(jié)的兩大禮俗，這兩大禮俗在中國自古傳承，至今不輟．在一個袋中裝有大小一樣的個豆沙粽，個咸肉粽，現(xiàn)從中任取個粽子，設取出的個粽子中咸肉粽的個數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．隨機變量服從二項分布C．隨機變量服從超幾何分布 D．18．（2022·全國·高三專題練習）“世界雜交水稻之父”袁隆平發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術(shù)體系．某水稻種植研究所調(diào)查某地雜交水稻的株高，得出株高（單位：cm）服從正態(tài)分布，其分布密度函數(shù)，，則（

）A．該地雜交水稻的平均株高為100cmB．該地雜交水稻株高的方差為10C．該地雜交水稻株高在120cm以上的數(shù)量和株高在80cm以下的數(shù)量一樣多D．隨機測量該地的一株雜交水稻，其株高在和在的概率一樣大19．（2022秋·廣東廣州·高三廣州市第十七中學校考階段練習）為了解決傳統(tǒng)的3D人臉識別方法中存在的問題，科學家提出了一種基于視頻分塊聚類的格拉斯曼流形自動識別系統(tǒng)．規(guī)定：某區(qū)域內(nèi)的個點的深度的均值為，標準偏差為，深度的點視為孤立點．則根據(jù)下表中某區(qū)域內(nèi)8個點的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（

）15.115.215.315.415.515.415.413.415.114.214.314.414.515.414.415.42012131516141218A． B． C．不是孤立點 D．是孤立點20．（2022·全國·高三專題練習）傳說古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.這是因為阿基米德認為這個“圓柱容球”是他最為得意的發(fā)現(xiàn)，于是留下遺言：他死后，墓碑上要刻上一個“圓柱容球”的幾何圖形.設圓柱的體積與球的體積之比為，圓柱的表面積與球的表面積之比為，若，則（

）A．的展開式中的常數(shù)項是B．的展開式中的各項系數(shù)之和為C．的展開式中的二項式系數(shù)最大值是D．，其中為虛數(shù)單位21．（2022·高二課時練習）中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究．設為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為．若，，則的值可以是（

）A． B． C． D．22．（2022·全國·高三專題練習）根據(jù)中國古代重要的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》記載，我國古代諸侯的等級自低到高分為：男、子、伯、侯、公五個等級，現(xiàn)有每個級別的諸侯各一人，君王要把50處領(lǐng)地全部分給5位諸侯，要求每位諸侯都分到領(lǐng)地且級別每高一級就多分處（為正整數(shù)），按這種分法，下列結(jié)論正確的是（

）A．為“男”的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是B．為“子”的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是C．為“伯”的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是1D．為“公”的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是23．（2022秋·遼寧鐵嶺·高二昌圖縣第一高級中學?？茧A段練習）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》給出了著名的楊輝三角，在楊輝三角（左圖）中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，第n行所有數(shù)之和為；右圖是英國生物學家高爾頓設計的模型高爾頓板，在一塊木板上釘著若干排相互平行且相互錯開的圓柱形釘子，釘子之間留有空隙作為通道，讓一個小球從高爾頓板上方的入口落下，小球在下落的過程中與釘子碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉到下方的某一球槽內(nèi)，如圖，小球從高爾頓板第1行的第一個縫隙落下的概率是，第二個縫隙落下的概率是；從第2行第一個縫隙落下的概率是，第二個縫腺落下的概率是，第三個縫隙落下的概率是，小球從第n行第m個縫隙落下的概率可以由楊輝三角快速算出，那么小球從第6行某個縫隙落下的概率可能為（

）A． B． C． D．三、填空題24．（2022秋·江西·高三校聯(lián)考開學考試）中國的“五岳”是指在中國境內(nèi)的五座名山：東岳泰山、西岳華山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山，坐落于東、西、南、北、中五個方位．在甲決定從嵩山、泰山、華山、廬山、黃山這5座名山中，選擇2座名山在2022年國慶期間前去旅游，則甲至少選中一座屬于“五岳”的名山的概率為______（用數(shù)字作答）．25．（2022·高一課時練習）我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石．驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為______石．（精確到整數(shù)）26．（2022·全國·高三專題練習）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦.如果某重卦中恰有3個陰爻，則該重卦可以有___________種.(用數(shù)字作答)27．（2021秋·陜西榆林·高二?？茧A段練習）在信息論中，設某隨機事件發(fā)生的概率為，稱為該隨機事件的自信息．若隨機拋一枚均勻的硬幣1次，則“正面朝上”這一事件的自信息為__________．28．（2022·高二單元測試）公元前世紀，古希臘畢達哥拉斯學派已經(jīng)知道五種正多面體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．后來，柏拉圖學派的泰阿泰德（Theaetetus）證明出正多面體總共只有上述五種．如圖就是五種正多面體的圖形．現(xiàn)有張分別畫有上述五種多面體的不同卡片（除畫有的圖形不同外沒有差別），若從這張不同的卡片中任取張，則沒有取到畫有“正四面體”卡片的概率為____________．29．（2022·全國·高三專題練習）太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的形式美．按照太極圖的構(gòu)圖方法，在如圖所示的平面直角坐標系中，圓O被函數(shù)y＝3sinx的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案，其中小圓的半徑均為1，現(xiàn)在大圓內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為________．30．（2021·高二課時練習）《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳所著，該書主要記述了積算（即籌算)、太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算、計數(shù)種計算器械的使用方法，某研究性學習小組有甲、乙、丙、丁、戊五人.該小組搜集兩儀、三才、五行、八卦、九宮種計算器械的資料.每人搜集一種，每種資料都要有人搜集，其中甲乙不搜集兩儀，丙丁不搜集三才，戊不搜集八卦和九宮，則不同的分配方案的種數(shù)____.(用數(shù)字填寫答案）31．（2021·全國·高三專題練習）明朝著名易學家來知德創(chuàng)立了以太極圖解釋一年、一日之象的圖式，一年氣象圖將二十四節(jié)氣配以太極圖，說明一年之氣象.他認為“萬古之人事，一年之氣象也，春作夏長秋收冬藏，一年不過如此”.下圖是來氏太極圖，其大圓半徑為6，大圓內(nèi)部的同心小圓半徑為2，兩圓之間的圖案是對稱的，若在大圓內(nèi)隨機取一點，則該點落在空白區(qū)域的概率為__________.32．（2021春·江蘇·高二專題練習）早在宋代，我國著名學者沈括編著的《夢溪筆談》中，就有對排列組合問題的研究：在一個的棋盤中，布局4顆相同的棋子，且每一行只有1顆棋子，則不同的棋局總數(shù)為______．33．（2021春·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？茧A段練習）圣宋元寶，是中國古代錢幣之一，宋徽宗趙估建中靖國元年（公元101年）始鑄，是仁宗“皇宋通寶”之后又一種不以年號命名的非年號錢，種類主要有小平和折二兩種．小明同學珍藏有小平錢2枚，折二錢3枚，現(xiàn)隨機抽取2枚贈好友，則贈送的兩枚為不同種類的概率為_________．34．（2021秋·陜西榆林·高二陜西省神木中學?？茧A段練習）嫦娥五號的成功發(fā)射，實現(xiàn)了中國航天史上的五個“首次”，某中學為此舉行了“講好航天故事”演講比賽.若將報名的30位同學編號為01，02，…，30，利用下面的隨機數(shù)表來決定他們的出場順序，選取方法是：從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，重復的跳過.則選出來的第2個個體的編號為______.45

67

32

12

12

31

02

01

04

52

15

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01

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69

38

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8135．（2022秋·浙江·高二浙江省衢州第一中學校聯(lián)考開學考試）我國古代數(shù)學專著《九章算術(shù)》中有一衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役二百五十人，則北鄉(xiāng)遣___________人.36．（2022春·江蘇揚州·高二揚州中學?？茧A段練習）考古發(fā)現(xiàn)，在埃及金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字142857，因為，，……所以這組數(shù)字又叫走馬燈數(shù)．該組數(shù)字還有如下規(guī)律：，，……若從這個數(shù)字中任意取出個數(shù)字構(gòu)成一個三位數(shù)，則的結(jié)果恰好是剩下3個數(shù)字構(gòu)成的一個三位數(shù)的概率為______．37．（2022·全國·高三專題練習）三分損益法是古代中國發(fā)明制定音律時所用的生律法.三分損益包含“三分損一"“三分益一"兩層含義，三分損一是指將原有長度作3等分而減去其1份，即原有長度生得長度；而三分益一則是指將原有長度作3等分而增添其1份，即原有長度生得長度，兩種方法可以交替運用?連續(xù)運用，各音律就得以輾轉(zhuǎn)相生，假設能發(fā)出第一個基準音的樂器的長度為243，每次損益的概率為，則經(jīng)過5次三分損益得到的樂器的長度為128的概率為___________.38．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）“田忌賽馬”的故事千古流傳，故事大意是：在古代齊國，馬匹按奔跑的速度分為上、中、下三等.一天，齊王找田忌賽馬，兩人都從上、中、下三等馬中各派出一匹馬，每匹馬都各賽一局，采取三局兩勝制.已知田忌每個等次的馬，比齊王同等次的馬慢，但比齊王較低等次的馬快.若田忌事先打探到齊王第一場比賽會派出上等馬，田忌為使自己獲勝的概率最大，采取了相應的策略，則其獲勝的概率最大為_________.39．（2022春·河南駐馬店·高二新蔡縣第一高級中學?？茧A段練習）數(shù)學家波利亞說：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立相等關(guān)系”這就是算兩次原理，又稱為富比尼原理．由等式利用算兩次原理可得____．40．（2022春·云南昭通·高二校聯(lián)考期末）二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩度克·牛頓于1664年、1665年間提出，據(jù)考證，我國至遲在11世紀，北宋數(shù)學家賈憲就已經(jīng)知道了二項式系數(shù)法則.在的二項式展開式中，的系數(shù)為______.四、解答題41．（2022春·湖北十堰·高二丹江口市第一中學校考階段練習）飛天夢永不失重，科學夢張力無限．“天宮課堂”是我國推出的全球首個太空科普教育活動，2022年3月23日15時40分，“天宮課堂”第二課如約而至，航天員王亞平在翟志剛、葉光富的協(xié)助下，成功演示了太空“冰雪”、液橋演示、水油分離、太空拋物等實驗，激發(fā)了青少年學生追夢航天的飛天夢、科學夢．受“天宮課堂”啟發(fā)，某學生分別在實驗室的正常環(huán)境、失重環(huán)境下進行某項實驗，其中正常環(huán)境下試驗100次，成功40次；失重環(huán)境下試驗10次，失敗3次．(1)用頻率估計概率，求該同學在失重環(huán)境下實驗成功的概率；(2)請根據(jù)題中信息完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為該實驗成敗與選擇的實驗環(huán)境有關(guān)．成功次數(shù)失敗次數(shù)合計正常環(huán)境失重環(huán)境合計附：，其中．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82842．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）籃球誕生美國馬薩諸塞州的春田學院．1891年，春田學院的體育教師加拿大人詹姆斯奈史密斯博士（JamesNaismith）為了對付冬季寒冷的氣溫，讓學生們能夠在室內(nèi)有限的空間里繼續(xù)進行有趣的傳球訓練．現(xiàn)有甲、乙、丙3名同學在某次傳球的訓練中，球從甲開始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接住．記第n次傳球之前球在甲手里的概率為pn，第n次傳球之前球在乙手里的概率為qn，顯然p1=1，q1=0．(1)求p3＋2q3的值；(2)比較p8，q8的大小．專題13統(tǒng)計概率專題（數(shù)學文化）一、單選題1．（2021春·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）洛書古稱龜書，傳說有神魚出于洛水，其甲殼上有此圖案，由表示1-9的圈點組成，數(shù)字結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點為陰數(shù)，即九宮圖，如圖，在5個陽數(shù)中隨機選取3個，則3個數(shù)的和為15的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先得到5個陽數(shù)中隨機選取3個所有基本事件的個數(shù)，然后得到所求事件包含基本事件個數(shù)，最后根據(jù)古典概型概念計算即可.【詳解】5個陽數(shù)為1，3，5，7，9，從5個數(shù)中隨機選取3個數(shù)，所有基本事件有：，，，，，，，，，，共10個，事件“3個數(shù)的和為15”所包含的基本事件有，，共2個，因此，所求概率故選：A2．（2022秋·全國·高三興國中學校聯(lián)考階段練習）我國古代學者余道安在他著的《海潮圖序》一書中說：“潮之漲落，海非增減，蓋月之所臨，則之往從之”．哲學家王充在《論衡》中寫道：“濤之起也，隨月盛衰．”指出了潮汐跟月亮有關(guān)系．到了17世紀80年代，英國科學家牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律之后，提出了潮汐是由于月亮和太陽對海水的吸引力引起的假設，科學地解釋了產(chǎn)生潮汐的原因．船只在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．下圖是某港口某天記錄的時刻（x軸）與水深（y軸）關(guān)系的散點圖，若某貨船需要的安全水深為5米，則下列說法正確的是（

）A．該船在凌晨3點零6分駛?cè)牒降?，靠近碼頭，9點18分返回海洋或15點30分駛?cè)牒降?，靠近碼頭，21點42分返回海洋B．該船這一天能進入航道，靠近碼頭的時間可以是0時到凌晨6點12分或12時24分到18點36分C．海水漲落潮周期是12小時D．該船最多在碼頭停留時間不能超過6小時【答案】B【分析】根據(jù)散點圖分析各時刻水深判斷各選項．【詳解】由圖可知一天內(nèi)在凌晨到6點12分水深超過5米，在12點24分到18點36分水深超過5米，故A錯誤，B正確；漲落潮周期為12.4小時即12小時24分鐘，故C錯誤；海水水深保持在5米以上的時間為小時，故D錯誤．故選：B．3．（2022·江西贛州·高三?？茧A段練習）2022年是香港回歸祖國25周年，香港是一座高度繁榮的國際大都市，有著東方之珠的美譽，同時香港的區(qū)徽也帶上了香港特有的浪漫.香港特別行政區(qū)區(qū)徽，呈圓形，位于徽面內(nèi)圓中央的動態(tài)紫荊花圖案為白色，由五片花瓣組成，每片花瓣中均有一顆紅色五角星及一條紅色花蕊鑲在其間，香港特別行政區(qū)區(qū)徽代表祖國，白色紫荊花代表香港，紫荊花紅旗寓意香港是祖國不可分離的一部分，并將在祖國懷抱中興旺發(fā)達.花蕊上的五星象征香港同胞熱愛祖國，采用紅、白不同顏色，象征“一國兩制”.其中紫荊花外輔助圓直徑為區(qū)徽直徑的，現(xiàn)從區(qū)徽內(nèi)任取一點，則該點取自紫荊花外輔助圓內(nèi)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)幾何概型面積比公式計算.【詳解】設區(qū)徽直徑為，則紫荊花外輔助圓直徑為，所以區(qū)徽的面積為，紫荊花外輔助圓的面積為，根據(jù)幾何概型的公式得該點取自紫荊花外輔助圓內(nèi)的概率為.故選：C4．（2022春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊101中學?？计谀└怕收撈鹪从?6-17世紀對賭博問題的研究，概率的要義在17世紀中葉由法國數(shù)學家帕斯卡與費馬的討論才明確．當時有個叫梅羅騎士因賭注分配的問題寫信求教于帕斯卡．背景：“甲乙兩人賭注共有144收金，賭局分為五局三勝制，誰先贏得3局，即可獲得全部賭注，現(xiàn)已知在甲獲得2局勝乙獲得1局勝利時，因某種原因賭局被中止了，給甲乙倆人怎樣分配賭注才合理"，已知甲乙每局獲勝的概率均為0.5，且每局輸贏相互獨立．你認為乙應該獲得多少妝金才合理（

）A．24 B．36 C．48 D．72【答案】B【分析】根據(jù)題意計算出乙勝出的概率，從而可求出乙應該獲得的妝金.【詳解】因為甲獲得2局勝乙獲得1局勝利，所以根據(jù)題意可知乙第四五局均勝，乙才能勝出，因為甲乙每局獲勝的概率均為0.5，所以乙勝出的概率為，所以乙應該獲得的妝金為，故選：B5．（2022·全國·高三專題練習）Poisson分布是統(tǒng)計學里常見的離散型概率分布，由法國數(shù)學家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列為，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，是Poisson分布的均值．當二項分布的n很大而p很小時，Poisson分布可作為二項分布的近似．假設每個大腸桿菌基因組含有10000個核苷酸對，采用紫外線照射大腸桿菌時，每個核苷酸對產(chǎn)生嘧啶二體的概率均為0.0003，已知該菌株基因組有一個嘧啶二體就致死，則致死率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合題意，，此時Poisson分布滿足二項分布的近似條件，再計算二項分布的均值為Poisson分布的均值，再代入公式先求不致死的概率，再用對立事件的概率和為1計算即可【詳解】由題，，，此時Poisson分布滿足二項分布的近似的條件，此時，故不致死的概率為，故致死的概率為故選：A6．（2022春·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，為了慶祝建黨100周年，激發(fā)青少年學生的愛國、愛黨熱情，引導青少年學生深入地了解黨的光輝歷史，加強愛國主義教育，甲、乙兩所學校均計劃于2021年7月組織師生參加“觀看一部紅色電影”活動．據(jù)了解，《1921》、《革命者》、《紅船》、《三灣改編》等多部電影將陸續(xù)上映．甲、乙兩校分別從這4部電影中任選一部電影觀看，則甲、乙兩校選擇不同電影觀看的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概型概率公式即得.【詳解】分別用1，2，3，4表示《1921》、《革命者》、《紅船》、《三灣改編》，由題可得基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共有16種，其中甲、乙兩校選擇不同電影有：，，，，，，，，，，，，共有12種，所以甲、乙兩校選擇不同電影觀看的概率是.故選：D．7．（2022春·河南·高二統(tǒng)考期末）“霍姆斯馬車理論”是指各種資源都得到最合理配置和使用的一種理論．一個富有效率的團隊不需要每一個人都是最有能力的，而在于每個人的能力都能得到最合理的使用和發(fā)揮．某科研團隊共有名研究人員，編號分別為，要均分成甲、乙兩個科研小組，其中號研究員組合在一起，號研究員組合在一起，其余研究員隨意搭配就能達到最佳效果，那么達到最佳效果的不同的分組方式共有（

）．A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【分析】將所有分組方式分成號研究員在同一組和號研究員在一組，號研究院在另一組兩種情況，由分類加法計數(shù)原理可加和得到結(jié)果.【詳解】當號研究員在同一組時，有種情況；當號研究員在一組，號研究院在另一組時，有種情況；綜上所述：不同的分組方式共有種.故選：C.8．（2022春·江西宜春·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)學史上記載了眾多科學家根據(jù)生活中的一些數(shù)學問題制作了許多經(jīng)典的數(shù)學模型，如研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的“高爾頓釘板”模型.某游樂場根據(jù)“高爾頓釘板”模型，仿作了一款如圖的游戲機，玩家投入一枚游戲幣后，機器從上方隨機放下一顆半徑適當?shù)男∏?，假設小球從最上層3個縫隙落下的概率都相等，小球第一次與第2層的一障礙物隨機（圖中圓點）碰撞且碰撞下落過程中等可能地從左邊或右邊繼續(xù)下落，于是又碰到下一層的一障礙物，如此繼續(xù)下去，最后落入編號①，②，…，⑧的槽內(nèi).設小球落入編號②的槽內(nèi)概率為，落入編號⑥的槽內(nèi)概率為，則（

）A． B． C． D．，大小關(guān)系不定【答案】B【分析】結(jié)合相互獨立事件概率計算公式，計算出，由此得出正確答案.【詳解】依題意：小球從最上層3個縫隙落下的概率都相等，，，所以.故選：B9．（2022·全國·高三專題練習）南丁格爾玫瑰圖是由近代護理學和護士教育創(chuàng)始人南丁格爾（FlorenceNightingale1820-1910）設計的，圖中每個扇形圓心角都是相等的，半徑長短表示數(shù)量大?。硻C構(gòu)統(tǒng)計了近幾年中國知識付費用戶數(shù)量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖如下，根據(jù)此圖，下列說法錯誤的是（

）A．2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加B．2016年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多C．2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍D．2016年至2022年，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增【答案】D【分析】利用題中所給的南丁格爾玫瑰圖逐一考查所給選項，即可得解.【詳解】對于A，由圖可知，2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加，故A正確；對于BD，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量分別為：2016年，；2017年，；2018年，；2019年，；2020年，；2021年，；2022年，，可知知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多，故B正確，D錯誤；對于C，由，即2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍，故C正確；故選：D10．（2021秋·山東臨沂·高二統(tǒng)考開學考試）算盤是我國古代一項偉大的發(fā)明，是一類重要的計算工具.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別表示個位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠子（簡稱下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.例如，個位撥動一粒上珠、十位撥動一粒下珠至梁上，表示數(shù)字15.現(xiàn)將算盤的個位、十位、百位、千位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，設事件“表示的四位數(shù)含2個數(shù)字5”，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知基本事件總數(shù)為，然后列舉出四位數(shù)含2個數(shù)字5的情況，再利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】現(xiàn)將算盤的個位、十位、百位、千位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，每個珠子有兩種情況：1和5，所以共有種情況，其中四位數(shù)含2個數(shù)字5的有：1155，1515，1551，5511，5115，5151，共6種，所以，故選：C11．（2022·高二課時練習）由于用具簡單，趣味性強，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動．某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機選擇一條路線，則能順帶吃掉“炮”的可能路線有（

）A．條 B．條 C．條 D．條【答案】C【分析】將路線分為兩步，首先確定從“兵”到“炮”的最短路線走法；再確定從“炮”到“馬”的最短路線走法，由分步乘法計數(shù)原理可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知：“兵”吃掉“馬”的最短路線，需橫走三步，豎走兩步；其中能順帶吃掉“炮”的路線可分為兩步：第一步，橫走兩步，豎走一步，有種走法；第二步，橫走一步，豎走一步，有種走法．能順帶吃掉“炮”的可能路線共有（條）．故選：C.12．（2022秋·山東濟寧·高二?？茧A段練習）據(jù)史書記載，古代的算籌是由一根根同樣長短和粗細的小棍制成，如圖所示，據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當.即在算籌計數(shù)法中，表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推.例如表示62，表示26，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方式表示兩位數(shù)（算籌不剩余且個位不為0），則這個兩位數(shù)大于30的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)5根算籌，分為四類情況：,逐一分類求解滿足要求的兩位數(shù)，即可求解概率.【詳解】根據(jù)題意可知：一共5根算籌，十位和個位上可用的算籌可以分為一共四類情況；第一類：，即十位用4根算籌，個位用1根算籌，那十位可能是4或者8，個位為1，則兩位數(shù)為41或者81；第二類：，即十位用3根算籌，個位用2根算籌，那十位可能是3或者7，個位可能為2或者6，故兩位數(shù)可能32，36，72，76；第三類：，即十位用2根算籌，個位用3根算籌，那么十位可能是2或者6，個位可能為3或者7，故兩位數(shù)可能是23，27，63，67；第四類：，即十位用1根算籌，個位用4根算籌，那么十位為1，個位可能為4或者8，則該兩位數(shù)為14或者18，綜上可知：所有的兩位數(shù)有:14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共計12個，則大于30的有32，36，41，63，67，72，76，81共計8個，故概率為，故選:C13．（2022秋·浙江·高二浙江省衢州第一中學校聯(lián)考開學考試）魔方又叫魯比克方塊（Rubk'sCube），是由匈牙利建筑學教授暨雕塑家魯比克?艾爾內(nèi)于1974年發(fā)明的機械益智玩具，與華容道?獨立鉆石棋一起被國外智力專家并稱為智力游戲界的三大不可思議.三階魔方可以看作是將一個各面上均涂有顏色的正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開所得，現(xiàn)將三階魔方中1面有色的小正方體稱為中心方塊，2面有色的小正方體稱為邊緣方塊，3面有色的小正方體稱為邊角方塊，若從所有的小正方體中任取一個，恰好抽到中心方塊的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】沿等分線把正方體切開，共有27個同樣大小的小正方體，然后數(shù)出1面有色、2面有色和3面有色的小正方體的個數(shù)，可通過古典概型運算公式求得答案.【詳解】沿等分線把正方體切開，得到27個同樣大小的小正方體，1面有色的小正方體有6個，2面有色的小正方體有12個，3面有色的小正方體有8個，所以恰好抽到的是中心方塊的概率是．故選：A.14．（2022·全國·高三專題練習）“回文聯(lián)”是對聯(lián)中的一種，既可順讀，也可倒讀．比如，一副描繪廈門鼓浪嶼景色的回文聯(lián)：霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天．由此定義“回文數(shù)”，n為自然數(shù)，且n的各位數(shù)字反向排列所得自然數(shù)與n相等，這樣的n稱為“回文數(shù)”，如：1221，2413142．則所有5位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有（

）A．648個 B．720個 C．810個 D．891個【答案】D【分析】5位“回文數(shù)”的萬位與個位相同，千位與十位相同，所以只需確定前3位即可.【詳解】根據(jù)“回文數(shù)”的特點，只需確定前3位即可，最高位即萬位有9種排法，千位和百位各有10種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種排法，其中各位數(shù)字相同的共有9種，則所有5位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有種.故選：D.15．（2022春·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期末）托馬斯·貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的問題中得到了一個公式：，這個公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱為的全概率.假設甲袋中有3個白球和3個紅球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取2個球.已知從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，先分析求解設從甲中取出個球，其中紅球的個數(shù)為個的事件為，事件的概率為，從乙中取出個球，其中紅球的個數(shù)為2個的事件為，事件的概率為，再分別分析三種情況求解即可【詳解】設從甲中取出個球，其中紅球的個數(shù)為個的事件為，事件的概率為，從乙中取出個球，其中紅球的個數(shù)為2個的事件為，事件的概率為，由題意：①，；②，；③，；根據(jù)貝葉斯公式可得，從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為故選：C16．（2023·全國·高三專題練習）花窗是一種在窗洞中用鏤空圖案進行裝飾的建筑結(jié)構(gòu)，這是中國古代建筑中常見的美化形式，既具備實用功能，又帶有裝飾效果．如圖所示是一個花窗圖案，點E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA上的三等分點；點P，M，N，O分別為EF，F(xiàn)G，GH，HE上的三等分點；同樣，點Q，R，S，T分別為PM，MN，NO，OP上的三等分點．若在大正方形中隨機取一點，則該點取自陰影部分的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可以得到圖形里面由多對相似三角形，可得到，利用邊長的比例可以得到面積的比例為，繼而得到和與的關(guān)系，通過面積比即可得到答案【詳解】解：由題意，根據(jù)三角形相似可知．則．故即，即故．故選：C．二、多選題17．（2022·全國·高三專題練習）端午節(jié)，又稱端陽節(jié)、龍舟節(jié)、天中節(jié)等，與春節(jié)、清明節(jié)、中秋節(jié)并稱為中國四大傳統(tǒng)節(jié)日．扒龍舟與食粽是端午節(jié)的兩大禮俗，這兩大禮俗在中國自古傳承，至今不輟．在一個袋中裝有大小一樣的個豆沙粽，個咸肉粽，現(xiàn)從中任取個粽子，設取出的個粽子中咸肉粽的個數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．隨機變量服從二項分布C．隨機變量服從超幾何分布 D．【答案】ACD【分析】根據(jù)服從超幾何分布可判斷BC選項的正誤，利用超幾何分布的概率公式可判斷AD選項的正誤.【詳解】由題意知，隨機變量服從超幾何分布，故B錯誤，C正確；，，所以，故AD正確．故選：ACD．18．（2022·全國·高三專題練習）“世界雜交水稻之父”袁隆平發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術(shù)體系．某水稻種植研究所調(diào)查某地雜交水稻的株高，得出株高（單位：cm）服從正態(tài)分布，其分布密度函數(shù)，，則（

）A．該地雜交水稻的平均株高為100cmB．該地雜交水稻株高的方差為10C．該地雜交水稻株高在120cm以上的數(shù)量和株高在80cm以下的數(shù)量一樣多D．隨機測量該地的一株雜交水稻，其株高在和在的概率一樣大【答案】AC【分析】由正態(tài)分布密度函數(shù)可知，，則可判斷出AB選項，再由正態(tài)曲線的特征即可判斷出CD選項.【詳解】因為正態(tài)分布密度函數(shù)為，所以，，即均值為100，標準差為10，方差為100，故A正確，B錯誤；根據(jù)正態(tài)曲線的特征可知函數(shù)關(guān)于軸對稱，所以該地雜交水稻株高在120cm以上的數(shù)量和株高在80cm以下的數(shù)量一樣多，故C正確，隨機測量該地的一株雜交水稻，其株高在和在的概率一樣大.故D錯誤．故選：AC.19．（2022秋·廣東廣州·高三廣州市第十七中學?？茧A段練習）為了解決傳統(tǒng)的3D人臉識別方法中存在的問題，科學家提出了一種基于視頻分塊聚類的格拉斯曼流形自動識別系統(tǒng)．規(guī)定：某區(qū)域內(nèi)的個點的深度的均值為，標準偏差為，深度的點視為孤立點．則根據(jù)下表中某區(qū)域內(nèi)8個點的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（

）15.115.215.315.415.515.415.413.415.114.214.314.414.515.414.415.42012131516141218A． B． C．不是孤立點 D．是孤立點【答案】BC【分析】根據(jù)題目所給公式和表中數(shù)據(jù)計算即可.【詳解】由表可知，A錯誤；，B正確；所以，因為，所以，則，，所以、不是孤立點，C正確，D錯誤；故選：BC20．（2022·全國·高三專題練習）傳說古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.這是因為阿基米德認為這個“圓柱容球”是他最為得意的發(fā)現(xiàn)，于是留下遺言：他死后，墓碑上要刻上一個“圓柱容球”的幾何圖形.設圓柱的體積與球的體積之比為，圓柱的表面積與球的表面積之比為，若，則（

）A．的展開式中的常數(shù)項是B．的展開式中的各項系數(shù)之和為C．的展開式中的二項式系數(shù)最大值是D．，其中為虛數(shù)單位【答案】BC【分析】設內(nèi)切球的半徑為，由圓柱和球的體積和表面積公式可求得，進而得到；對于A，利用二項式定理得到展開式通項，令可求得，代入得到常數(shù)項，知A錯誤；對于B，采用賦值法，令可得各項系數(shù)和，知B正確；對于C，由二項式系數(shù)性質(zhì)知最大值為，知C正確；對于D，根據(jù)復數(shù)的運算可知D錯誤.【詳解】設內(nèi)切球的半徑為，則圓柱的高為，，，則，；對于A，展開式通項公式為：，令，解得：，展開式的常數(shù)項為，A錯誤；對于B，，即展開式的各項系數(shù)之和為，B正確；對于C，展開式中二項式系數(shù)最大值為，C正確；對于D，，D錯誤.故選：BC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題以立體幾何的知識為載體，重點考查了二項式定理的知識，解題關(guān)鍵是能夠利用球和圓柱的表面積及體積公式確定二項展開式的表達式.21．（2022·高二課時練習）中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究．設為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為．若，，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)已知中和對模同余的定義，結(jié)合二項式定理，可以求出除以5余1，結(jié)合，比照四個答案中的數(shù)字，結(jié)合得到答案．【詳解】若，由二項式定理可得，則，因為能被5整除，所以除以5余1，又因，選項中和除以5余1故選：BD.【點睛】本題主要考查了利用二項式定理求同余的問題，需要根據(jù)題中的信息，將表示成含5的展開式，進而分析余數(shù)即可，屬于中檔題22．（2022·全國·高三專題練習）根據(jù)中國古代重要的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》記載，我國古代諸侯的等級自低到高分為：男、子、伯、侯、公五個等級，現(xiàn)有每個級別的諸侯各一人，君王要把50處領(lǐng)地全部分給5位諸侯，要求每位諸侯都分到領(lǐng)地且級別每高一級就多分處（為正整數(shù)），按這種分法，下列結(jié)論正確的是（

）A．為“男”的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是B．為“子”的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是C．為“伯”的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是1D．為“公”的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是【答案】ACD【分析】由題意可知，五位諸侯分得的領(lǐng)地成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前項和公式得到的首項和公差，再分類討論分別求出每種情況中男、子、伯、侯、公五個等級分到的領(lǐng)地數(shù)，再利用概率對四個選項逐一分析，即可得正確選項.【詳解】由題意可知，五位諸侯分得的領(lǐng)地成等差數(shù)列，設其前項和為，則，得．因為，均為正整數(shù)，所以有如下幾種情況：，，，共4種情況，每種情況各位諸侯分到領(lǐng)地的處數(shù)如下表所列：男子伯侯公，89101112，68101214，47101316，26101418由表中數(shù)據(jù)可知：為“男”的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是；故選項A正確；為“子”的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是；故選項B不正確；為“伯”的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是；故選項C正確；為“公”的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是，故選項D正確；故選：ACD．23．（2022秋·遼寧鐵嶺·高二昌圖縣第一高級中學?？茧A段練習）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》給出了著名的楊輝三角，在楊輝三角（左圖）中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，第n行所有數(shù)之和為；右圖是英國生物學家高爾頓設計的模型高爾頓板，在一塊木板上釘著若干排相互平行且相互錯開的圓柱形釘子，釘子之間留有空隙作為通道，讓一個小球從高爾頓板上方的入口落下，小球在下落的過程中與釘子碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉到下方的某一球槽內(nèi)，如圖，小球從高爾頓板第1行的第一個縫隙落下的概率是，第二個縫隙落下的概率是；從第2行第一個縫隙落下的概率是，第二個縫腺落下的概率是，第三個縫隙落下的概率是，小球從第n行第m個縫隙落下的概率可以由楊輝三角快速算出，那么小球從第6行某個縫隙落下的概率可能為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率公式，計算m取各個值的概率即可判斷作答.【詳解】小球落下要經(jīng)過6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均為，小球從第6行第m個縫隙落下，則6次碰撞有次向右，其概率為，，于是得，，，，所以選項A，D不可能，選項B，C可能.故選：BC三、填空題24．（2022秋·江西·高三校聯(lián)考開學考試）中國的“五岳”是指在中國境內(nèi)的五座名山：東岳泰山、西岳華山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山，坐落于東、西、南、北、中五個方位．在甲決定從嵩山、泰山、華山、廬山、黃山這5座名山中，選擇2座名山在2022年國慶期間前去旅游，則甲至少選中一座屬于“五岳”的名山的概率為______（用數(shù)字作答）．【答案】##【分析】利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】從5座名山中選2座名山的不同結(jié)果有：（嵩山，泰山），（嵩山，華山）（嵩山，廬山），（嵩山，黃山），（泰山，華山），（泰山，廬山），（泰山，黃山），（華山，廬山），（華山，黃山），（廬山，黃山），共10種，其中至少選中一座屬于“五岳”的名山的不同結(jié)果有：（嵩山，泰山），（嵩山，華山），（嵩山，廬山），（嵩山，黃山），（泰山，華山），（泰山，廬山）（泰山，黃山），（華山，廬山），（華山，黃山），共9種，故所求的概率為．故答案為：25．（2022·高一課時練習）我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石．驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為______石．（精確到整數(shù)）【答案】169【分析】根據(jù)給定條件，利用分層抽樣的意義列式計算作答.【詳解】設這批米內(nèi)夾谷約為x石，依題意，，解得，所以這批米內(nèi)夾谷約為169石.故答案為：16926．（2022·全國·高三專題練習）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦.如果某重卦中恰有3個陰爻，則該重卦可以有___________種.(用數(shù)字作答)【答案】20【分析】3個陰爻放到6個爻中，共有種.【詳解】根據(jù)題意，每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，假設有6個位置，在其中任選3個，安排3個“陰爻”，有種情況，即該重卦可以有20種情況，故答案為：20.27．（2021秋·陜西榆林·高二?？茧A段練習）在信息論中，設某隨機事件發(fā)生的概率為，稱為該隨機事件的自信息．若隨機拋一枚均勻的硬幣1次，則“正面朝上”這一事件的自信息為__________．【答案】1【分析】首先求出“正面朝上”的概率，再代入計算可得；【詳解】解：隨機拋一枚均勻的硬幣1次，則“正面朝上”的概率，，即“正面朝上”這一事件的自信息為1，故答案為：1.28．（2022·高二單元測試）公元前世紀，古希臘畢達哥拉斯學派已經(jīng)知道五種正多面體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．后來，柏拉圖學派的泰阿泰德（Theaetetus）證明出正多面體總共只有上述五種．如圖就是五種正多面體的圖形．現(xiàn)有張分別畫有上述五種多面體的不同卡片（除畫有的圖形不同外沒有差別），若從這張不同的卡片中任取張，則沒有取到畫有“正四面體”卡片的概率為____________．【答案】【解析】記“正四面體”卡片為，“正六面體”、“正八面體”、“正十二面體”、“正二十面體”卡片分別記為、、、，列舉出所有的基本事件，并確定事件“沒有取到畫有“正四面體”卡片”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】記“正四面體”卡片為，“正六面體”、“正八面體”、“正十二面體”、“正二十面體”卡片分別記為、、、，從張不同的卡片中任取張，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共個，其中，事件“沒有取到畫有“正四面體”卡片”所包含的基本事件有：、、、、、，共個，因此，所求事件的概率為.故答案為：.29．（2022·全國·高三專題練習）太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的形式美．按照太極圖的構(gòu)圖方法，在如圖所示的平面直角坐標系中，圓O被函數(shù)y＝3sinx的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案，其中小圓的半徑均為1，現(xiàn)在大圓內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為________．【答案】【解析】利用函數(shù)的最小正周期求出大圓的直徑，再根據(jù)幾何概型的概率公式，利用面積比可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，大圓的直徑為函數(shù)的最小正周期T，又T＝，所以大圓的面積，一個小圓的面積S′＝π·12＝π，故在大圓內(nèi)隨機取一點，此點取自陰影部分的概率為P＝.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用面積比求解是解題關(guān)鍵.30．（2021·高二課時練習）《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳所著，該書主要記述了積算（即籌算)、太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算、計數(shù)種計算器械的使用方法，某研究性學習小組有甲、乙、丙、丁、戊五人.該小組搜集兩儀、三才、五行、八卦、九宮種計算器械的資料.每人搜集一種，每種資料都要有人搜集，其中甲乙不搜集兩儀，丙丁不搜集三才，戊不搜集八卦和九宮，則不同的分配方案的種數(shù)____.(用數(shù)字填寫答案）【答案】32【分析】根據(jù)題意，戊不搜集八卦和九宮，則戊可能收集兩儀、三才、五行，則分3種情況討論：①戊收集五行；②戊收集三才；③戊收集兩儀；【詳解】根據(jù)題意，戊不搜集八卦和九宮，則戊可能收集兩儀、三才、五行，則分3種情況討論：①戊收集五行，在甲乙中選出1人收集三才，丙丁中選出1人收集兩儀，剩下2人收集其他2種，則有種分配方案；②戊收集三才，在丙丁中選出1人收集兩儀，剩下3人收集其他3種，則有種分配方案；③戊收集兩儀，在甲乙中選出1人收集三才，剩下3人收集其他3種，則有種分配方案；綜上，種分配方案故答案為：3231．（2021·全國·高三專題練習）明朝著名易學家來知德創(chuàng)立了以太極圖解釋一年、一日之象的圖式，一年氣象圖將二十四節(jié)氣配以太極圖，說明一年之氣象.他認為“萬古之人事，一年之氣象也，春作夏長秋收冬藏，一年不過如此”.下圖是來氏太極圖，其大圓半徑為6，大圓內(nèi)部的同心小圓半徑為2，兩圓之間的圖案是對稱的，若在大圓內(nèi)隨機取一點，則該點落在空白區(qū)域的概率為__________.【答案】【解析】設大圓面積為，小圓面積為，并求出、，進而求得白色區(qū)域的面積，結(jié)合面積比即可求解.【詳解】設大圓面積為，小圓面積，則，，可得白色區(qū)域的面積為，所以落在白色區(qū)域的概率為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了幾何概型的概率的計算問題，解決此類問題的步驟：求出滿足條件A的基本事件對應的“幾何度量”，再求出總的基本事件對應的“幾何度量”，然后根據(jù)求解，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．32．（2021春·江蘇·高二專題練習）早在宋代，我國著名學者沈括編著的《夢溪筆談》中，就有對排列組合問題的研究：在一個的棋盤中，布局4顆相同的棋子，且每一行只有1顆棋子，則不同的棋局總數(shù)為______．【答案】81【分析】利用分步計數(shù)原理，計算結(jié)果.【詳解】如圖所示，下圖是一個4行3列的棋盤，若每行只有一個棋子，每顆棋子放在一行，都有3種方法，則共有種方法.故答案為：33．（2021春·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？茧A段練習）圣宋元寶，是中國古代錢幣之一，宋徽宗趙估建中靖國元年（公元101年）始鑄，是仁宗“皇宋通寶”之后又一種不以年號命名的非年號錢，種類主要有小平和折二兩種．小明同學珍藏有小平錢2枚，折二錢3枚，現(xiàn)隨機抽取2枚贈好友，則贈送的兩枚為不同種類的概率為_________．【答案】【分析】把銅錢編號，用列舉法寫出任取2枚的所有事件，計數(shù)，同時得出兩枚為不同種類的基本事件及數(shù)量，由概率公式計算概率．【詳解】小平錢2枚編號為，折二錢3枚編號為，則任取2枚的所有基本事件為：共10種，其中兩枚不同類的有共6種，所求概率為．故答案為：．34．（2021秋·陜西榆林·高二陜西省神木中學校考階段練習）嫦娥五號的成功發(fā)射，實現(xiàn)了中國航天史上的五個“首次”，某中學為此舉行了“講好航天故事”演講比賽.若將報名的30位同學編號為01，02，…，30，利用下面的隨機數(shù)表來決定他們的出場順序，選取方法是：從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，重復的跳過.則選出來的第2個個體的編號為______.45

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81【答案】02【分析】利用隨機數(shù)表隨機數(shù)的選取方法選取即可.【詳解】從題中隨機數(shù)表可知，隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字為，從這里開始，依次選取兩個數(shù)字，其中不在編號內(nèi)，舍去，有重復，舍掉一個，從而得到的編號為，所以選出來的第2個個體的編號為.故答案為：.35．（2022秋·浙江·高二浙江省衢州第一中學校聯(lián)考開學考試）我國古代數(shù)學專著《九章算術(shù)》中有一衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役二百五十人，則北鄉(xiāng)遣___________人.【答案】90【分析】根據(jù)分層抽樣原理計算抽樣比例，從而求出北鄉(xiāng)應遣人數(shù)．【詳解】根據(jù)分層抽樣原理，抽樣比例為，北鄉(xiāng)應遣（人．故答案為：．36．（2022春·江蘇揚州·高二揚州中學?？茧A段練習）考古發(fā)現(xiàn)，在埃及金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字142857，因為，，……所以這組數(shù)字又叫走馬燈數(shù)．該組數(shù)字還有如下規(guī)律：，，……若從這個數(shù)字中任意取出個數(shù)字構(gòu)成一個三位數(shù)，則的結(jié)果恰好是剩下3個數(shù)字構(gòu)成的一個三位數(shù)的概率為______．【答案】【分析】先求出個數(shù)字中任意取出個數(shù)字構(gòu)成一個三位數(shù)共種，再求出相加等于的數(shù)字有組，可得的結(jié)果恰好是剩下3個數(shù)字的種數(shù)為，再根據(jù)古典概型的概率計算公式計算即可.【詳解】從這個數(shù)字中任意取出個數(shù)字構(gòu)成一個三位數(shù)，基本事件的總數(shù)為，因為從這個數(shù)字中：，，共三組，所以的結(jié)果恰好是剩下個數(shù)字構(gòu)成的一個三位數(shù)的基本事件的個數(shù)為，所以的結(jié)果恰好是剩下3個數(shù)字構(gòu)成的一個三位數(shù)的概率.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)和為的數(shù)字的組合規(guī)律，準確的計算出總的基本事件的個數(shù)和使得所求事件發(fā)生的基本事件的個數(shù).37．（2022·全國·高三專題練習）三分損益法是古代中國發(fā)明制定音律時所用的生律法.三分損益包含“三分損一"“三分益一"兩層含義，三分損一是指將原有長度作3等分而減去其1份，即原有長度生得長度；而三分益一則是指將原有長度作3等分而增添其1份，即原有長度生得長度，兩種方法可以交替運用?連續(xù)運用，各音律就得以輾轉(zhuǎn)相生，假設能發(fā)出第一個基準音的樂器的長度為243，每次損益的概率為，則經(jīng)過5次三分損益得到的樂器的長度為128的概率為___________.【答案】【分析】設5次三分損益中有次三分損一，解方程得的值，即得解.【詳解】設5次三分損益中有次三分損一，所以，解得故所求概率為.故答案為：【點睛】方法點睛：求概率常用的方法有：先定性（古典概型的概率、幾何概型的概率、獨立事件的概率、互斥事件的概率、獨立重復試驗的概率、條件概率），后定量.38．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）“田忌賽馬”的故事千古流傳，故事大意是：在古代齊國，馬匹按奔跑的速度分為上、中、下三等.一天，齊王找田忌賽馬，兩人都從上、中、下三等馬中各派出一匹馬，每匹馬都各賽一局，采取三局兩勝制.已知田忌每個等次的馬，比齊王同等次的馬慢，但比齊王較低等次的馬快.若田忌事先打探到齊王第一場比賽會派出上等馬，田忌為使自己獲勝的概率最大，采取了相應的策略，則其獲勝的概率最大為_________.【答案】##【分析】設齊王有上、中、下三等的三匹馬、、，田忌有上、中、下三等的三匹馬、、，列舉出所有比賽的情況，以及齊王第一場比賽會派出上等馬的比賽情況和田忌使自己獲勝時比賽的情況，結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設齊王有上、中、下三等的三匹馬、、，田忌有上、中、下三等的三匹馬、、，所有比賽的方式有：、、；、、；、、；、、；、、；、、，一共種.若齊王第一場比賽派上等馬，則第一場比賽田忌必輸，此時他應先派下等馬參加.就會出現(xiàn)兩種比賽方式：、、和、、，其中田忌能獲勝的為、、，故此時田忌獲勝的概率最大為.故答案為：.39．（2022春·河南駐馬店·高二新蔡縣第一高級中學?？茧A段練習）數(shù)學家波利亞說：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立相等關(guān)系”這就是算兩次原理，又稱為富比尼原理．由等式利用算兩次原理可得____．【答案】【分析】利用二項式定理，結(jié)合所求式子的意義求解作答.【詳解】因，因此是展開式中項的系數(shù)，而展開式中項的系數(shù)為，所以.故答案為：40．（2022春·云南昭通·高二校聯(lián)考期末）二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩度克·牛頓于1664年、1665年間提出，據(jù)考證，我國至遲在11世紀，北宋數(shù)學家賈憲就已經(jīng)知道了二項式系數(shù)法則.在的二項式展開式中，的系數(shù)為______.【答案】【分析】先求得的二項式展開式的通項公式為，令，求得，從而可求得答案.【詳解】在的二項式展開式中，通項公式為，令，解得，所以的系數(shù)為，故答案為：.四、解答題41．（2022春·湖北十堰·高二丹江口市第一中學?？茧A段練習）飛天夢永不失重，科學夢張力無限．“天宮課堂”是我國推出的全球首個太空科普教育活動，2022年3月23日15時40分，“天宮課堂”第二課如約而至，航天員王亞平在翟志剛、葉光富的協(xié)助下，成功演示了太空“冰雪”、液橋演示、水油分離、太空拋物等實驗，激發(fā)了青少年學生追夢航天的飛天夢、科學夢．受“天宮課堂”啟發(fā)，某學生分別在實驗室的正常環(huán)境、失重環(huán)境下進行某項實驗，其中正常環(huán)境下試驗100次，成功40次；失重環(huán)境下試驗10次，失敗3次．(1)用頻率估計概率，求該同學在失重環(huán)境下實驗成功的概率；(2)請根據(jù)題中信息完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為該實驗成敗與選擇的實驗環(huán)境有關(guān)．成功次數(shù)失敗次數(shù)合計正常環(huán)境失重環(huán)境合計附：，其中．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)(2)列聯(lián)表見解析，沒有95%的把握認為該實驗成敗與選擇的實驗環(huán)境有關(guān)【分析】（1）失重環(huán)境下試驗10次，成功7次，失敗3次，故由頻率估計概率，該同學在失重環(huán)境下成功的概率為；（2）補全列聯(lián)表，計算的值，比較與3.841的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題可知，失重環(huán)境下試驗10次，成功7次，失敗3次，故由頻率估計概率，該同學在失重環(huán)境下成功的概率為.（2）由題可知：正常環(huán)境下試驗100次，成功40次，失敗60次；失重環(huán)境下試驗10次，成功7次，失敗3次，故列聯(lián)表如下：成功次數(shù)失敗次數(shù)合計正常環(huán)境4060100失重環(huán)境7310合計4763110故，故沒有95%的把握認為該實驗成敗與選擇的實驗環(huán)境有關(guān)．42．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）籃球誕生美國馬薩諸塞州的春田學院．1891年，春田學院的體育教師加拿大人詹姆斯奈史密斯博士（JamesNaismith）為了對付冬季寒冷的氣溫，讓學生們能夠在室內(nèi)有限的空間里繼續(xù)進行有趣的傳球訓練．現(xiàn)有甲、乙、丙3名同學在某次傳球的訓練中，球從甲開始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲手里的概率為pn，第n次傳球之前球在乙手里的概率為qn，顯然p1=1，q1=0．(1)求p3＋2q3的值；(2)比較p8，q8的大?。敬鸢浮?1)1(2)【分析】（1）分析傳球的過程，求出和，即可求出；（2）由題意知，即可得到，判斷出成首項為，公比為的等比數(shù)列，求出，同理求出，可以比較出．(1)第3次傳球之前，球在甲手中的情形何分為：甲→乙→甲或甲→丙→甲所以，第3次傳球之前，球在乙手里的情形僅有：甲→丙→乙所以，所以.(2)（2）由題意知，整理得：所以，，所以成首項為，公比為的等比數(shù)列，又同理成首項為，公比為的等比數(shù)列，所以因為，，，，所以．專題14集合，復數(shù)，邏輯語言專題（數(shù)學文化）一、單選題1．（2022·高一課時練習）數(shù)系的擴張過程以自然數(shù)為基礎(chǔ)，德國數(shù)學家克羅內(nèi)克(Kronecker，1823﹣1891)說“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其它一切都是人造的”設為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·浙江溫州·高一樂清市知臨中學?？计谥校┠硣臻_展了大規(guī)模COVID-19核酸檢測，并將數(shù)據(jù)整理如圖所示，其中集合S表示（）A．無癥狀感染者 B．發(fā)病者 C．未感染者 D．輕癥感染者3．（2021秋·湖北十堰·高一校聯(lián)考期中）必修一課本有一段話：當命題“若，則”為真命題，則“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分條件.也可以這樣說，若不成立，那么一定不成立，對成立也是很必要的.王安石在《游褒禪山記》中也說過一段話：“世之奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀，常在于險遠，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.從數(shù)學邏輯角度分析，“有志”是“能至”的（

）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2022秋·云南曲靖·高一?？计谥校┒鸥υ凇斗钯涰f左丞丈二十二韻》中有詩句：“讀書破萬卷，下筆如有神.”對此詩句的理解是讀書只有讀透書，博覽群書，這樣落實到筆下，運用起來才有可能得心應手，如有神助一般，由此可得，“讀書破萬卷”是“下筆如有神”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．（2020·陜西榆林·統(tǒng)考一模）在復平面內(nèi)，復數(shù)（，）對應向量（O為坐標原點），設，以射線Ox為始邊，OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理可以導出復數(shù)乘方公式：，已知，則（

）A． B．4 C． D．166．（2021春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）在代數(shù)史上，代數(shù)基本定理是數(shù)學中最重要的定理之一，它說的是：任何一元次復系數(shù)多項式在復數(shù)集中有個復數(shù)根（重根按重數(shù)計）那么在復平面內(nèi)使除了1和這兩個根外，還有一個復數(shù)根為（

）A． B． C． D．7．（2021春·安徽宣城·高一校聯(lián)考期中）瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了公式（為虛數(shù)單位），它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（2022·全國·高三專題練習）“虛數(shù)”這個名詞是17世紀著名數(shù)學家、哲學家笛卡爾創(chuàng)制的，直到19世紀虛數(shù)才真正聞人數(shù)的領(lǐng)域，虛數(shù)不能像實數(shù)一樣比較大小.已知復數(shù)，且(其中i是虛數(shù)單位，則復數(shù)（

）A． B．C． D．9．（2022·全國·高三專題練習）2022年1月，中科大潘建偉團隊和南科大范靖云團隊發(fā)表學術(shù)報告，分別獨立通過實驗，驗證了虛數(shù)i在量子力學中的必要性，再次說明了虛數(shù)i的重要性．對于方程，它的兩個虛數(shù)根分別為（

）A． B．C． D．10．（2022·全國·高三專題練習）人們對數(shù)學研究的發(fā)展一直推動著數(shù)域的擴展，從正數(shù)到負數(shù)、從整數(shù)到分數(shù)、從有理數(shù)到實數(shù)等等．16世紀意大利數(shù)學家卡爾丹和邦貝利在解方程時，首先引進了，17世紀法因數(shù)學家笛卡兒把i稱為“虛數(shù)”，用表示復數(shù)，并在直角坐標系上建立了“復平面”．若復數(shù)z滿足方程，則（

）A． B． C． D．11．（2022·高一單元測試）中國古代重要的數(shù)學著作孫子算經(jīng)下卷有題：今有物，不知其數(shù)三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二問：物幾何？現(xiàn)有如下表示：已知，，，若，則下列選項中符合題意的整數(shù)為A． B． C． D．12．（2022秋·浙江溫州·高一校考階段練習）在數(shù)學漫長的發(fā)展過程中，數(shù)學家發(fā)現(xiàn)在數(shù)學中存在著神秘的“黑洞”現(xiàn)象．數(shù)學黑洞：無論怎樣設值，在規(guī)定的處理法則下，最終都將得到固定的