2022-2023學(xué)年湖北省武漢市江岸區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年湖北省武漢市江岸區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a8+a14＝3a11﹣4，則S21＝（）A．72 B．84 C．144 D．1682．（5分）已知圓C：x2+y2+2kx+2y+k2＝0（k＜0）和定點P（1，﹣1），若過點P可以作兩條直線與圓C相切，則k的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣2）3．（5分）如果直線y＝ax+2與直線y＝3x﹣b關(guān)于直線y＝x對稱，那么（）A．a(chǎn)=13，b＝6 B．a(chǎn)=13，b＝﹣6 C．a(chǎn)＝3，b＝﹣2 D．4．（5分）已知拋物線x2＝16y的焦點為F，點P在拋物線上，點Q在圓E：（x﹣2）2+（y﹣6）2＝4上，則|PQ|+|PF|的最小值為（）A．12 B．10 C．8 D．65．（5分）設(shè)F是雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點，O為坐標原點，過F作C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若△A．2+273 B．3+73 C．6．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，nan+1＝2Sn，bn=(-1)nan，數(shù)列{bn}的前n項和為A．0 B．50 C．100 D．25257．（5分）法國數(shù)學(xué)家、化學(xué)家和物理學(xué)家加斯帕爾?蒙日被稱為“畫法幾何之父”，他創(chuàng)立的畫法幾何學(xué)推動了空間解析幾何的發(fā)展，被廣泛應(yīng)用于工程制圖當中．過橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)外的一點作橢圓的兩條切線，若兩條切線互相垂直，則該點的軌跡是以橢圓的中心為圓心、以a2+b2為半徑的圓，這個圓叫做橢圓的蒙日圓．若橢圓C：x24+y2m=1(0＜m＜4)的蒙日圓為E：x2+yA．橢圓C的離心率為12B．M到C的右焦點的距離的最大值為7+1C．若動點N在C上，記直線AN，BN的斜率分別為k1，k2，則k1D．△MPQ面積的最大值為78．（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且滿足f（1）＝9，對任意實數(shù)x1，x2都有f(x1+x2)=(910)x2A．a(chǎn)9 B．a(chǎn)10 C．a(chǎn)8和a9 D．a(chǎn)9和a10二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分．（多選）9．（5分）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（）A．數(shù)列﹣2021，0，4與數(shù)列4，0，﹣2021是同一個數(shù)列 B．數(shù)列{an}的通項公式為an＝n（n+1），則110是該數(shù)列的第10項 C．在數(shù)列1，2，3D．數(shù)列3，5，9，17，33，?的通項公式為a（多選）10．（5分）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，?．該數(shù)列的特點如下：前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和．人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將{an}中的各項除以2所得的余數(shù)按原來的順序構(gòu)成的數(shù)列記為{bn}，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，下列說法正確的是（）A．T2022＝1348 B．若Tn＝2022，則n＝3033 C．S1000＝a1002﹣1 D．a(chǎn)12+a22+a32+?+a5002＝a500a501（多選）11．（5分）已知圓M：（x+1）2+（y+1）2＝4，直線l：x+y﹣2＝0，P為直線l上的動點，過P點作圓M的切線PA，PB，切點為A，B，則下列說法正確的是（）A．四邊形MAPB面積的最小值為4 B．線段AB的最小值為22C．當直線AB的方程為x+y＝0時，∠APB最小 D．若動直線l1∥l，l1且交圓M于C、D兩點，且弦長CD∈(22，23)，則直線（多選）12．（5分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）與圓O：x2+y2＝5交于A，B兩點，且|AB|＝4，直線l過C的焦點F，且與C交于M，N兩點，則下列說法中正確的是（）A．若直線l的斜率為33，則|MN|＝8B．|MF|+2|NF|的最小值為3+22C．若以MF為直徑的圓與y軸的公共點為（0，62），則點M的橫坐標為3D．若點G（2，2），則△GFM周長的最小值為4+三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）經(jīng)過點P（0，﹣1）作直線l，若直線l與連接A（1，﹣2），B（2，1）的線段總有公共點，則直線l的傾斜角α的范圍為．14．（5分）已知數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，其前n項和Sn＝﹣n2+2n+m，則實數(shù)m的取值范圍是．15．（5分）已知橢圓y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)的兩個焦點分別為F1、F2，經(jīng)過F1的直線交橢圓于A，B兩點，△16．（5分）如圖所示，平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCD滿足AB⊥AD，CB⊥CD，BA→?BC→+2DA→?DC→=0，若點A，C分別為橢圓E：x28+y四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．半徑為3的圓C過點A（1，﹣1），圓心C在直線y＝2x上且圓心在第一象限．（1）求圓C的方程；（2）過點（4，3）作圓C的切線，求切線的方程．18．已知△ABC的兩個頂點A，B分別為橢圓x2+4y2＝4的左焦點和右焦點，且三個內(nèi)角A，B，C滿足關(guān)系式sinB-sinA=1（1）求線段AB的長度；（2）求頂點C的軌跡方程．19．已知數(shù)列{an}滿足a1+3a2+5a3+?+（2n﹣1）an＝3n．（1）求an；（2）若對任意的n∈N*，an≥（﹣1）nλ恒成立，求λ的取值范圍．20．如圖，已知點A，B，C是拋物線x2＝y(tǒng)上的三個不同的點，且△ABC是以點B為直角頂點的等腰直角三角形．（Ⅰ）若直線BC的斜率為1，求頂點B的坐標；（Ⅱ）求三角形ABC的面積的最小值．21．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝1，當n≥2（n∈N*）時，(n-1)（1）計算：a2，a3；（2）證明{Snn(n+1)}（3）設(shè)bn=tanan，求數(shù)列{bn+1bn}的前n22．設(shè)橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦點F（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B，且OA→⊥OB

2022-2023學(xué)年湖北省武漢市江岸區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a8+a14＝3a11﹣4，則S21＝（）A．72 B．84 C．144 D．168【解答】解：由等差數(shù)列性質(zhì)知a8+a14＝2a11＝3a11﹣4，解得a11＝4，故S21故選：B．2．（5分）已知圓C：x2+y2+2kx+2y+k2＝0（k＜0）和定點P（1，﹣1），若過點P可以作兩條直線與圓C相切，則k的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：圓C：x2+y2+2kx+2y+k2＝0化為標準方程：（x+k）2+（y+1）2＝1，∵過點P（1，﹣1）可以作兩條直線與圓C相切，∴點P（1，﹣1）在圓外，將點P（1，﹣1）代入圓方程得：（1+k）2+（﹣1+1）2＞1，∴k＞0（舍去）或k＜﹣2，∴k的取值范圍是（﹣∞，﹣2）．故選：D．3．（5分）如果直線y＝ax+2與直線y＝3x﹣b關(guān)于直線y＝x對稱，那么（）A．a(chǎn)=13，b＝6 B．a(chǎn)=13，b＝﹣6 C．a(chǎn)＝3，b＝﹣2 D．【解答】解：法一：由題意，函數(shù)y＝3x﹣b的反函數(shù)為y=1與y＝ax+2對照可得a=13，法二：在y＝ax+2上取點（0，2），則點（2，0）在y＝3x﹣b上，故得b＝6；又y＝3x﹣6上有點（0，﹣6），則點（﹣6，0）在y＝ax+2上，代入得a=1由此可得a=13，故選：A．4．（5分）已知拋物線x2＝16y的焦點為F，點P在拋物線上，點Q在圓E：（x﹣2）2+（y﹣6）2＝4上，則|PQ|+|PF|的最小值為（）A．12 B．10 C．8 D．6【解答】解：由題意知，圓心E（2，6），半徑r＝2，拋物線的焦點F（0，4），準線l：y＝﹣4，如圖，作PH⊥l于H，因為P在拋物線上，所以|PF|＝|PH|，因為|PQ|+|PH|≤|QH|，當P，Q，H三點共線時，取等號，又|QH|≥|EH|﹣|EQ|，則當E，Q，H三點共線時，取等號，過點E，作EH1⊥l，垂足為H1，EH1交圓于Q1點，交拋物線于P1，此時E，Q1，P1，H1四點共線，則上述兩式可同時取等號，所以（|P1Q1|+|P1H1|）min＝|Q1H1|＝|EH1|﹣|EQ1|＝|6﹣（﹣4）|﹣2＝8，所以|PQ|+|PF|的最小值為8，故選：C．5．（5分）設(shè)F是雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點，O為坐標原點，過F作C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若△A．2+273 B．3+73 C．【解答】解：∵雙曲線的漸近線方程為：y=±bax，即bx∴F（c，0）到漸近線的距離為|FH|=|bc|b則直角三角形FOH的內(nèi)切圓的半徑r=a+b-c如圖，設(shè)三角形的內(nèi)切圓與FH切于M，則|MH|=r=a+b-c2可得|FM|=|BF|=34即2b＝2a+c，則4b2＝4c2﹣4a2＝c2+4ac+4a2，所以8a2+4ac﹣3c2＝0，由e=ca，∴3e2﹣4∵e＞1，∴e=2+2故選：A．6．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，nan+1＝2Sn，bn=(-1)nan，數(shù)列{bn}的前n項和為A．0 B．50 C．100 D．2525【解答】解：∵nan+1＝2Sn①，則當n≥2時，（n﹣1）an＝2Sn﹣1②，①﹣②得nan+1﹣（n﹣1）an＝2an，即an+1an=n+1n，易知∴an又a1＝1滿足an＝n，∴an=n(n∈N∴b1+b2＝b3+b4＝?＝b99+b100＝1，∴T100＝50，故選：B．7．（5分）法國數(shù)學(xué)家、化學(xué)家和物理學(xué)家加斯帕爾?蒙日被稱為“畫法幾何之父”，他創(chuàng)立的畫法幾何學(xué)推動了空間解析幾何的發(fā)展，被廣泛應(yīng)用于工程制圖當中．過橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)外的一點作橢圓的兩條切線，若兩條切線互相垂直，則該點的軌跡是以橢圓的中心為圓心、以a2+b2為半徑的圓，這個圓叫做橢圓的蒙日圓．若橢圓C：x24+y2m=1(0＜m＜4)的蒙日圓為E：x2+yA．橢圓C的離心率為12B．M到C的右焦點的距離的最大值為7+1C．若動點N在C上，記直線AN，BN的斜率分別為k1，k2，則k1D．△MPQ面積的最大值為7【解答】解：∵橢圓C：x24+y2m=1(0＜m＜4)的蒙日圓為根據(jù)蒙日圓的定義，4+m＝7，得m＝3，∴橢圓C：x24+y23=1，a∴橢圓的離心率e=ca=點M是圓E：x2+y2＝7上的動點，橢圓的右焦點F（1，0），則|MF|的最大值是7+1，故B根據(jù)蒙日圓的定義可知MP⊥MQ，則PQ為圓E的直徑，PQ與橢圓交于兩點A，B，點A，B關(guān)于原點對稱，設(shè)A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），N（x0，y0），kAN?kD因為PQ為圓的直徑，|PQ|=27，當點M到直線PQ的距離為r=7時，△PQM的面積最大，此時最大值是1故選：D．8．（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且滿足f（1）＝9，對任意實數(shù)x1，x2都有f(x1+x2)=(910)x2A．a(chǎn)9 B．a(chǎn)10 C．a(chǎn)8和a9 D．a(chǎn)9和a10【解答】解：根據(jù)題意可得f(x可得∴(10令x1＝n，x2＝1，而f（1）＝9，可得(10∴(10∴(∴數(shù)列{(109)n∴(10∴an∴an+1∴當n≤8時，an+1＞an；當n＝9時，an+1＝an；當n≥10時，an+1＜an，∴{an}中最大項為a9和a10，故選：D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分．（多選）9．（5分）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（）A．數(shù)列﹣2021，0，4與數(shù)列4，0，﹣2021是同一個數(shù)列 B．數(shù)列{an}的通項公式為an＝n（n+1），則110是該數(shù)列的第10項 C．在數(shù)列1，2，3D．數(shù)列3，5，9，17，33，?的通項公式為a【解答】解：對于選項A，數(shù)列﹣2021，0，4與4，0，﹣2021中數(shù)字的排列順序不同，不是同一個數(shù)列，所以選項A不正確；對于選項B，令an解得n＝10或n＝﹣11（舍去），所以選項B正確；對于選項C，根號里面的數(shù)是公差為1的等差數(shù)列，第8個數(shù)為8，即22所以選項C正確；對于選項D，由數(shù)列3，5，9，17，33，…的前5項可知通項公式為an＝2n+1，所以選項D正確．故選：BCD．（多選）10．（5分）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，?．該數(shù)列的特點如下：前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和．人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將{an}中的各項除以2所得的余數(shù)按原來的順序構(gòu)成的數(shù)列記為{bn}，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，下列說法正確的是（）A．T2022＝1348 B．若Tn＝2022，則n＝3033 C．S1000＝a1002﹣1 D．a(chǎn)12+a22+a32+?+a5002＝a500a501【解答】解：根據(jù)斐波那契數(shù)列的特征可以看出：數(shù)列為依次連續(xù)兩個奇數(shù)和一個偶數(shù)，所以數(shù)列{bn}為1，1，0，1，1，0，?，則數(shù)列{bn}為周期數(shù)列，且周期為3，所以T2022＝（1+1+0）×674＝1348，所以A正確．因為2022＝（1+1+0）×1011，1011×3＝3033，且b3031＝1，b3032＝1，b3033＝0，所以n＝3033或n＝3032，所以B錯誤．因為S1000＝a1+a2+?+a999+a1000＝a3﹣a2+a4﹣a3+?+a1001﹣a1000+a1002﹣a1001＝a1002﹣a2＝a1002﹣1，所以C正確.a1所以D正確．故選：ACD．（多選）11．（5分）已知圓M：（x+1）2+（y+1）2＝4，直線l：x+y﹣2＝0，P為直線l上的動點，過P點作圓M的切線PA，PB，切點為A，B，則下列說法正確的是（）A．四邊形MAPB面積的最小值為4 B．線段AB的最小值為22C．當直線AB的方程為x+y＝0時，∠APB最小 D．若動直線l1∥l，l1且交圓M于C、D兩點，且弦長CD∈(22，23)，則直線【解答】解：圓M：（x+1）2+（y+1）2＝4的圓心M（﹣1，﹣1），半徑為r＝2，可知|MA|＝|MB|＝2，PA⊥AM，|PA|=|PM|2-4，SMAPB＝2S當|PM|取最小值時，四邊形MAPB面積取得最小值，此時|PM|=|-1-1-2|所以四邊形MAPB面積的最小值為28-4=4，故又圓心M（﹣1，﹣1）到直線l的距離d=|-1-1-2|所以當SMAPB取得最小值時，SMAPB可得|AB|=22SMAPB，故|AB|最小值當直線AB的方程為x+y＝0時，kAB＝﹣1，kOM＝1，則kAB?kOM＝﹣1，所以直線AB與直線OM垂直，又O是AB中點，|MA|＝|MB|＝2，|OM|=2所以|AB|=2|MA|2-|OM|2=22，則|MA|2+|所以MA⊥MB，易得四邊形MAPB是正方形，此時∠APB＝90°，而當|PM|＝4時，直角三角形中sin∠APM=24=12，∠APM設(shè)M到直線l1的距離為d1，因為|CD|∈(22，23所以d12=設(shè)l1：x+y+m＝0，所以1＜|-1+(-1)+m|2＜2，即故直線l1的橫截距﹣m的取值范圍為(2-2，0)∪(-4，-2故選：ABD．（多選）12．（5分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）與圓O：x2+y2＝5交于A，B兩點，且|AB|＝4，直線l過C的焦點F，且與C交于M，N兩點，則下列說法中正確的是（）A．若直線l的斜率為33，則|MN|＝8B．|MF|+2|NF|的最小值為3+22C．若以MF為直徑的圓與y軸的公共點為（0，62），則點M的橫坐標為3D．若點G（2，2），則△GFM周長的最小值為4+【解答】解：由題意得點（1，2）在拋物線C：y2＝2px上，所以22＝2p，解得p＝2，所以C：y2＝4x，則F（1，0），設(shè)直線l：x＝my+1，與y2＝4x聯(lián)立得y2﹣4my﹣4＝0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以|MN|=1+當m=3時，|MN|＝16，故A1|MF|則|MF|+2|NF|=(|MF|+2|NF|)?(1當且僅當|MF|=1+2，|NF|=1+2如圖，過點M作準線的垂線，垂足為M′，交y軸于M1，取MF的中點為D，過點D作y軸的垂線，垂足為D1，則MM1∥OF，DD1是梯形OFMM1的中位線，由拋物線的定義可得|MM1|＝|MM′|﹣|M1M′|＝|MF|﹣1，所以|DD1|=|OF|+|MM所以(0，62)為圓與y軸的切點，所以點D又D為MF的中點，所以點M的縱坐標為6，又點M在拋物線上，所以點M的橫坐標為32，故C過G作GH垂直于準線，垂足為H，所以ΔGFM的周長為|MG|+|MF|+|GF|=|MG|+|MM'|+5當且僅當點M的坐標為（1，2）時取等號，故D錯誤．故選：BC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）經(jīng)過點P（0，﹣1）作直線l，若直線l與連接A（1，﹣2），B（2，1）的線段總有公共點，則直線l的傾斜角α的范圍為[0，π4【解答】解：kPA=kPB=∵l與線段AB相交，∴kpA≤k≤kpB∴﹣1≤k≤1∴0≤tanα≤1或﹣1≤tanα＜0由于y＝tanx在[0，π2）及（-∴直線l的傾斜角α的范圍為：[0，故答案為：[0，14．（5分）已知數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，其前n項和Sn＝﹣n2+2n+m，則實數(shù)m的取值范圍是（﹣2，+∞）．【解答】解：①當n＝1時，a1②當n≥2時，an=Sn-Sn-1=-n2+2n+m-[-(n-1)∴當n≥2時，an+1＜an，數(shù)列{an}遞減，綜上所述，若使{an}為遞減數(shù)列，只需滿足a2＜a1，即﹣2×2+3＜1+m，解得m＞﹣2，故答案為：（﹣2，+∞）．15．（5分）已知橢圓y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)的兩個焦點分別為F1、F2，經(jīng)過F1的直線交橢圓于A，B兩點，△ABF2【解答】解：不妨設(shè)F1為下焦點，F(xiàn)2為上焦點，延長BI交AF2于D，如圖：分別記△ABF2，△IF2B，△IF2A，△IAB面積為S，S1，S2，S3，以IF2→，IA又B，I，D三點共線，ID→=S∴S△AID由內(nèi)心的性質(zhì)知，S1：S2：S3＝BF2：AF2：AB＝3：5：6，不妨令BF2＝6，AF2＝10，AB＝12，由橢圓的第一定義4a＝28?a＝7，且BF1＝8，在△ABF2中，余弦定理得cosB=59，∴sinB=2∴S△∴e2=1-b故答案為：1052116．（5分）如圖所示，平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCD滿足AB⊥AD，CB⊥CD，BA→?BC→+2DA→?DC→=0，若點A，C分別為橢圓E：x28+y【解答】解：由題意得A（0，b），C（0，﹣b），設(shè)B（x1，y1），D（x2，y2），連接BD，如圖所示：∵AB⊥AD，CB⊥CD，∴A，B，C，D在以BD為直徑的圓M上，且∠ABC+∠ADC＝π，又原點O為圓M的弦AC的中點，則圓心在AC的垂直平分線上，即在x軸上，則y1+y2＝0，又BA→?BC∵∠ABC+∠ADC＝π，∴cos∠ABC+cos∠ADC＝0，∴(|當cos∠ADC≠0時，則|BA若cos∠ADC＝0時，則四邊形ABCD為矩形，則點D也在橢圓E上，與點D不在橢圓E上矛盾，∴S△ABC＝2S△ADC，∴x1＝﹣2x2，故圓M的圓心坐標為(x∴圓M的方程為(x-將（0，b）代入得b2又x128+故橢圓E的焦距為28-故答案為：4．四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．半徑為3的圓C過點A（1，﹣1），圓心C在直線y＝2x上且圓心在第一象限．（1）求圓C的方程；（2）過點（4，3）作圓C的切線，求切線的方程．【解答】解：（1）∵圓心C在直線y＝2x上且圓心在第一象限，∴可設(shè)圓心為C（a，2a）（a＞0），∵半徑為3的圓C過點A（1，﹣1），∴r=|CA|=(a-1)2故圓C的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9；（2）∵（4﹣1）2+（3﹣2）2＞9，∴點（4，3）在圓外，①切線斜率不存在時，切線方程為x＝4，圓心到直線的距離為d＝4﹣1＝3＝r，滿足條件，②切線斜率存在時，設(shè)切線l：y﹣3＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+3＝0，則圓心到切線的距離d=|k-2-4k+3|k2+1=3，解得k=-綜上所述，切線的方程為x﹣4＝0或4x+3y﹣25＝0．18．已知△ABC的兩個頂點A，B分別為橢圓x2+4y2＝4的左焦點和右焦點，且三個內(nèi)角A，B，C滿足關(guān)系式sinB-sinA=1（1）求線段AB的長度；（2）求頂點C的軌跡方程．【解答】解：（1）∵橢圓的方程為x2+4y2＝4，∴橢圓的方程為x2∴a＝2，b＝1，c=3∵A，B分別為橢圓x2∴A(-3∴|AB|=23∴線段AB的長度23（2）△ABC中根據(jù)正弦定理得：|AB|sinC=|BC|sinA=∴sinA=|BC|∵sinB-sinA=1∴|AC|2R∴|AC|-|BC|=1∴C點的軌跡是以A，B為左右焦點的雙曲線的右支，且不包含右頂點，設(shè)該雙曲線方程為x則|AC|-|BC|=∴a1∴頂點C的軌跡方程為4x19．已知數(shù)列{an}滿足a1+3a2+5a3+?+（2n﹣1）an＝3n．（1）求an；（2）若對任意的n∈N*，an≥（﹣1）nλ恒成立，求λ的取值范圍．【解答】解：（1）當n＝1時，a1＝3；當n≥2時，a1+3a2+5a3+?+（2n﹣3）an﹣1＝3n﹣1，又a1+3a2+5a3+?+（2n﹣3）an﹣1+（2n﹣1）an＝3n，上述兩式作差可得（2n﹣1）an＝3n﹣3n﹣1＝2?3n﹣1，即an=2?a1＝3不滿足an=2?所以an=3，n=1（2）當n≥2時，an+1﹣an=8(n-1)?3n-1(2n-1)(2n+1)＞0，即an所以，數(shù)列{an}從第二項開始為遞增數(shù)列，對任意的n∈N*，an≥（﹣1）nλ恒成立，①若n為正奇數(shù)，則an≥﹣λ，∵a1＝3＜a3=185＜a5＜…，則﹣λ②若n為正偶數(shù)，則an≥2，可得λ≤a2＝2．綜上所述，﹣3≤λ≤2．20．如圖，已知點A，B，C是拋物線x2＝y(tǒng)上的三個不同的點，且△ABC是以點B為直角頂點的等腰直角三角形．（Ⅰ）若直線BC的斜率為1，求頂點B的坐標；（Ⅱ）求三角形ABC的面積的最小值．【解答】解：（1）∵直線BC的斜率為1，∴直線BC的傾斜角為45°，即∠CBx＝45°，又△ABC是以點B為直角頂點的等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°＝∠CBx，∴直線AC與x軸平行，由拋物線的對稱性知，點B為原點，∴B（0，0）．（2）由對稱性知，不妨設(shè)點B在y軸的右側(cè)（包括y軸），且A（x1，y1），C（x2，y2），B（t，t2），則x1＜0＜t＜x2，設(shè)直線BC的斜率為k（k＞0），則直線AB的斜率為-1∴直線BC的方程為y﹣t2＝k（x﹣t），聯(lián)立y-t2=k(x-t)x2=y，得x2﹣kx∴x2+t＝k，x2?t＝kt﹣t2，∴|BC|=1+k2?（x2﹣t）=1+k同理可得，|AB|=1+(-1k)2?|-1k-2∵|AB|＝|BC|，∴1+1k2?（1k+2t）=化簡可得，t=k∴△ABC的面