2022-2023學(xué)年山東省菏澤市巨野一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年山東省菏澤市巨野一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．（5分）{an}是首項(xiàng)和公差均為3的等差數(shù)列，如果an＝2022，則n等于（）A．671 B．672 C．673 D．6742．（5分）設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a3＝11，S10＝60，則a5＝（）A．7 B．8 C．9 D．103．（5分）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)λ（λ＞0，且λ≠1），那么點(diǎn)P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓．若點(diǎn)C到A（﹣1，0），B（1，0）的距離之比為3，則點(diǎn)C到直線x﹣2y+8＝0的距離的最小值為（）A．25-3 B．5-3 4．（5分）如圖，某建筑物白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過(guò)雙曲線的設(shè)計(jì)元素賦予了這座建筑以輕盈，極簡(jiǎn)和雕塑般的氣質(zhì)，該建筑物外形弧線的一段可以近似看成焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線y2a2-xA．53 B．54 C．435．（5分）已知橢圓M：x2a2+y2=1(a＞1)的中心為O，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與M交于A，B兩點(diǎn)，線段AF的中點(diǎn)為P，若|OPA．x22+yC．x24+6．（5分）對(duì)于空間一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A，B，C，且有6OP→=OA→+A．O，A，B，C四點(diǎn)共面 B．P，A，B，C四點(diǎn)共面 C．O，P，B，C四點(diǎn)共面 D．O，P，A，B，C五點(diǎn)共面7．（5分）已知直線y＝kx+2與圓C：x2+y2＝2交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，則k的值為（）A．±33 B．±3 C．8．（5分）已知橢圓x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的下方，若線段PF2的中點(diǎn)在以原點(diǎn)OA．π6 B．π4 C．π3二、多選題（多選）9．（5分）已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是一個(gè)等腰直角三角形，且AB＝BC＝BB1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，M分別為B1C1，A1B1，AB，BC的中點(diǎn)，則（）A．GB1與平面ACC1A1夾角余弦值為25B．AB1與BC1所成的角為π3C．A1M∥平面EFB D．平面AB1C⊥平面A1MC（多選）10．（5分）已知橢圓C：x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，M（A．△MF1F2的周長(zhǎng)為6 B．△MF1F2的面積為153C．△MF1F2的內(nèi)切圓的半徑為159D．△MF1F2的外接圓的直徑為32（多選）11．（5分）過(guò)拋物線C：y2＝2px上一點(diǎn)A（1，﹣4）作兩條相互垂直的直線，與C的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，則（）A．C的準(zhǔn)線方程是x＝﹣4 B．過(guò)C的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為8 C．直線MN過(guò)定點(diǎn)（0，4） D．當(dāng)點(diǎn)A到直線MN的距離最大時(shí)，直線MN的方程為2x+y﹣38＝0（多選）12．（5分）已知C：x2+y2﹣6x＝0，則下述正確的是（）A．圓C的半徑r＝3 B．點(diǎn)（1，22）在圓C的內(nèi)部 C．直線l：x+3y+3＝0與圓C相切D．圓C′：（x+1）2+y2＝4與圓C相交三、填空題13．（5分）已知P為拋物線y2＝12x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2+（y﹣4）2＝1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到直線x＝﹣3的距離之和的最小值是．14．（5分）已知F為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，A為C的左頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF15．（5分）斐波那契數(shù)列（Fibonaccisequence）又稱黃金分割數(shù)列，是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…．已知在斐波那契數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝1，an+2＝an+1+an（n∈N+），若a2022＝m，則數(shù)列{an}的前2020項(xiàng)和為（用含m的代數(shù)式表示）．16．（5分）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，Q（2，3）為C內(nèi)的一點(diǎn)，M為C上任意一點(diǎn)，且|MQ|+|MF|的最小值為4，則p＝；若直線l過(guò)點(diǎn)Q，與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且Q為線段AB的中點(diǎn)，則△OAB的面積為．四、解答題17．（10分）已知空間三點(diǎn)A（﹣4，0，4），B（﹣2，2，4），C（﹣3，2，3）．設(shè)a→=AB（1）求|a→|（2）求a→與b（3）若向量ka→+b→18．（12分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知2Snn+n（1）證明：{an}是等差數(shù)列；（2）若a4，a7，a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值．19．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BF⊥A1B1．（1）證明：BF⊥DE；（2）當(dāng)B1D為何值時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最?。?0．（12分）如圖，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為棱CC1的中點(diǎn)．（1）用向量法證明：A1C∥平面B1ED1；（2）求直線B1D與平面B1ED1所成角的正弦值．21．（12分）已知P是離心率為22的橢圓C：x2（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)A是橢圓C的左頂點(diǎn)，直線AP交y軸于點(diǎn)D，E為線段AP的中點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得直線DM與OE交于Q，且點(diǎn)Q在一個(gè)定圓上，若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)與該圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由．22．（12分）已知橢圓C：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)的上、下焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且四邊形（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）M，N為C上且在y軸右側(cè)的兩點(diǎn)，MF1∥NF2，MF2與NF1的交點(diǎn)為P，試問(wèn)|PF1|+|PF2|是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2022-2023學(xué)年山東省菏澤市巨野一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選題1．（5分）{an}是首項(xiàng)和公差均為3的等差數(shù)列，如果an＝2022，則n等于（）A．671 B．672 C．673 D．674【解答】解：由題意，得an＝3+3（n﹣1）＝3n，再由an＝2022，得3n＝2022，即n＝674．故選：D．2．（5分）設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a3＝11，S10＝60，則a5＝（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a3=11S10=60所以a5＝a1+4d＝15﹣8＝7．故選：A．3．（5分）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)λ（λ＞0，且λ≠1），那么點(diǎn)P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓．若點(diǎn)C到A（﹣1，0），B（1，0）的距離之比為3，則點(diǎn)C到直線x﹣2y+8＝0的距離的最小值為（）A．25-3 B．5-3 【解答】解：由題意，設(shè)A（﹣1，0），B（1，0），C（x，y），因?yàn)閨CA||CB|=3，所以(x+1)2+y2所以點(diǎn)P的軌跡為以M（2，0）為圓心，半徑為3的圓，則點(diǎn)C到直線x﹣2y+8＝0的距離d=|2-0+8|1+4=故點(diǎn)C到直線x﹣2y+8＝0的距離的最小值為25-故選：A．4．（5分）如圖，某建筑物白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過(guò)雙曲線的設(shè)計(jì)元素賦予了這座建筑以輕盈，極簡(jiǎn)和雕塑般的氣質(zhì)，該建筑物外形弧線的一段可以近似看成焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線y2a2-xA．53 B．54 C．43【解答】解：由上焦點(diǎn)F到下頂點(diǎn)的距離為18，得a+c＝18①，點(diǎn)F（0，c）到漸近線y=abx，即ax﹣by又c2＝a2+b2③，聯(lián)立①②③解得：a＝8，c＝10，b＝6，所以e=c故選：B．5．（5分）已知橢圓M：x2a2+y2=1(a＞1)的中心為O，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與M交于A，B兩點(diǎn)，線段AF的中點(diǎn)為P，若|OPA．x22+yC．x24+【解答】解：設(shè)A(m，n)，F(xiàn)(a2-1因?yàn)閨OP|=|PF|=32，所以所以(m-a2-1)2+n2=3(m+a所以橢圓M的方程為x2故選：B．6．（5分）對(duì)于空間一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A，B，C，且有6OP→=OA→+A．O，A，B，C四點(diǎn)共面 B．P，A，B，C四點(diǎn)共面 C．O，P，B，C四點(diǎn)共面 D．O，P，A，B，C五點(diǎn)共面【解答】解：∵6OP→=OA→+∴OP→=1∴P，A，B，C共面．故選：B．7．（5分）已知直線y＝kx+2與圓C：x2+y2＝2交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，則k的值為（）A．±33 B．±3 C．【解答】解：由圓C：x2+y2＝2，得C（0，0），半徑r=2圓心C到直線l：y＝kx+2的距離d=|2|又|AB|＝2，所以12+（|2|k2+1解得：k＝±3．故選：B．8．（5分）已知橢圓x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的下方，若線段PF2的中點(diǎn)在以原點(diǎn)OA．π6 B．π4 C．π3【解答】解：如圖，設(shè)線段PF2的中點(diǎn)為M，連接OM，連接PF1，則OM∥PF1，∵橢圓的方程為x2∴a2＝4，b2＝3，c2＝a2﹣b2＝1，即a＝2，c＝1，∵|OM|＝|OF2|=12|F1P|＝∴|F2M|=12|PF2|=12（2a﹣2c）＝∴△MF2O是等邊三角形，則∠MF2O=π3，即直線PF2的傾斜角為故選：C．二、多選題（多選）9．（5分）已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是一個(gè)等腰直角三角形，且AB＝BC＝BB1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，M分別為B1C1，A1B1，AB，BC的中點(diǎn)，則（）A．GB1與平面ACC1A1夾角余弦值為25B．AB1與BC1所成的角為π3C．A1M∥平面EFB D．平面AB1C⊥平面A1MC【解答】解：以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA→，BC→，BB1→為x設(shè)AB＝BC＝BB1＝2，則E（0，1，2），F(xiàn)（1，0，2），G（1，0，0），M（0，1，0），A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），對(duì)于A，設(shè)平面ACC1A1的一個(gè)法向量為n→=（x，y，∵AC→=（﹣2，2，0），∴-2x+2y=02z=0，取x＝1得y=1z=0，∴又∵GB∴GB1與平面ACC1A1夾角正弦值為|cos＜GB1→，∴GB1與平面ACC1A1夾角余弦值為1-(110)對(duì)于B，∵AB1→∴AB∴AB1與BC1所成角的余弦值為|cos＜AB1→，∴AB1與BC1所成的角為π3，故B對(duì)于C，設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為m→=（x，y，∵BE→=（0，1，2），∴y+2z=0x+2z=0，取z＝1得x=-2y=-2，∴又∵A1∴A1∴A1M∥平面EFB，故C正確，對(duì)于D，設(shè)平面AB1C的一個(gè)法向量為n1→=（x，y∵AB1→∴-2x+2z=0-2x+2y=0，取x＝1得y=1z=1，∴設(shè)平面A1MC的一個(gè)法向量為n2∵A1M→∴-2a+b-2c=0-2a+2b-2c=0，取a＝1得b=0c=-1，∴∵n1∴平面AB1C⊥平面A1MC，故D正確，故選：BCD．（多選）10．（5分）已知橢圓C：x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，M（A．△MF1F2的周長(zhǎng)為6 B．△MF1F2的面積為153C．△MF1F2的內(nèi)切圓的半徑為159D．△MF1F2的外接圓的直徑為32【解答】解：由題意知，a＝2，b=3，c由橢圓的定義知，|MF1|+|MF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2，所以△MF1F2的周長(zhǎng)為|MF1|+|MF2|+|F1F2|＝4+2＝6，即選項(xiàng)A正確；將M（43，y0）代入橢圓方程得，(43)24所以△MF1F2的面積為S=12|F1F2|?|y0|=15設(shè)△MF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r，則S=12（|MF1|+|MF2|+|F1F2|）?r，即153所以r=159，即選項(xiàng)不妨取M（43，153），則|MF1|=83，|MF所以△MF1F2的面積為S=12|MF1|?|MF2|sin∠F1MF2，即153=12?83?43?sin∠F1MF由正弦定理知，△MF1F2的外接圓的直徑D=|F1故選：ABC．（多選）11．（5分）過(guò)拋物線C：y2＝2px上一點(diǎn)A（1，﹣4）作兩條相互垂直的直線，與C的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，則（）A．C的準(zhǔn)線方程是x＝﹣4 B．過(guò)C的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為8 C．直線MN過(guò)定點(diǎn)（0，4） D．當(dāng)點(diǎn)A到直線MN的距離最大時(shí)，直線MN的方程為2x+y﹣38＝0【解答】解：將A（1，﹣4）代入C中得p＝8，則C為y2＝16x，故C的準(zhǔn)線方程為x＝﹣4，故A正確，當(dāng)過(guò)C的焦點(diǎn)且與x軸垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短，此時(shí)弦長(zhǎng)為16，故B錯(cuò)誤，設(shè)M(y1216，y1)，N(y聯(lián)立拋物線可得，y2﹣16my﹣16n＝0，∴y1+y2＝16m，y1y2＝﹣16n，∵AM⊥AN，∴AM→?AN→=(y12∵y1≠0，y2≠0，∴（y1+4）（y2+4）≠0，(y1-4)(y2-4)256+1=0，化簡(jiǎn)整理可得，y1y∴﹣16n﹣64m+272＝0，得n＝﹣4m+17，∴直線MN為x＝m（y﹣4）+17，∴直線MN過(guò)定點(diǎn)P（17，4），故C錯(cuò)誤，當(dāng)MN⊥AP時(shí)，A到直線MN的距離最大，此時(shí)直線MN為2x+y﹣38＝0，故D正確．故選：AD．（多選）12．（5分）已知C：x2+y2﹣6x＝0，則下述正確的是（）A．圓C的半徑r＝3 B．點(diǎn)（1，22）在圓C的內(nèi)部 C．直線l：x+3y+3＝0與圓C相切D．圓C′：（x+1）2+y2＝4與圓C相交【解答】解：圓C的方程即（x﹣3）2+y2＝9，則圓的半徑為3，選項(xiàng)A正確；(1-3)2+(22)圓心到直線x+3y+3=0的距離d=|3+0+3|C與C'的圓心距d=(-1-3)2故選：ACD．三、填空題13．（5分）已知P為拋物線y2＝12x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2+（y﹣4）2＝1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到直線x＝﹣3的距離之和的最小值是4．【解答】解：拋物線y2＝12x的焦點(diǎn)為F（3，0），圓x2+（y﹣4）2＝1的圓心為E（0，4），半徑為1，根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而推斷出當(dāng)P，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到直線x＝﹣1距離之和的最小為：丨QF丨＝|EF|﹣r=32故答案為：4．14．（5分）已知F為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，A為C的左頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF【解答】解：設(shè)雙曲線焦距為2c，則F(c，0)，B(c，b因?yàn)锳B的斜率為2，所以kAB整理得c2﹣2ac﹣3a2＝0，解得c＝3a，所以e＝3．故答案為：3．15．（5分）斐波那契數(shù)列（Fibonaccisequence）又稱黃金分割數(shù)列，是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…．已知在斐波那契數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝1，an+2＝an+1+an（n∈N+），若a2022＝m，則數(shù)列{an}的前2020項(xiàng)和為m﹣1（用含m的代數(shù)式表示）．【解答】解：因?yàn)閍1＝a2＝1，an+2＝an+1+an（n∈N+），a2022＝m，所以數(shù)列{an}的前2020項(xiàng)和為a1+a2+a3+a4+...+a2020＝（a2+a1）+a2+a3+a4+...+a2020﹣a2＝a3+a2+a3+a4+...+a2020﹣a2＝a4+a3+a4+...+a2020﹣a2＝a5+a4+...+a2020﹣a2＝a6+a5+a6+...+a2020﹣a2＝a2022﹣a2＝m﹣1．故答案為：m﹣1．16．（5分）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，Q（2，3）為C內(nèi)的一點(diǎn)，M為C上任意一點(diǎn)，且|MQ|+|MF|的最小值為4，則p＝2；若直線l過(guò)點(diǎn)Q，與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且Q為線段AB的中點(diǎn)，則△OAB的面積為22【解答】解：易知l：y=-p2是拋物線的準(zhǔn)線，過(guò)P作MN⊥l于N，過(guò)Q作QP⊥l于則|MF|＝|MN|，|QM|+|MF|＝|QM|+|MN|，易知當(dāng)M是QP與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，|QM|+|MF|取得最小值，所以3+p2=4設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），顯然x1≠x2，x1+x2＝4，y1+y2＝6，由x12=4y1直線AB方程為y﹣3＝x﹣2，即y＝x+1，原點(diǎn)O到直線AB的距離為d=1由y=x+1x2=4y，得x2﹣4x﹣4＝0，x1+x2＝4，x1則|AB|=所以S△OAB故答案為：2；22四、解答題17．（10分）已知空間三點(diǎn)A（﹣4，0，4），B（﹣2，2，4），C（﹣3，2，3）．設(shè)a→=AB（1）求|a→|（2）求a→與b（3）若向量ka→+b→【解答】解：（1）因?yàn)锳（﹣4，0，4），B（﹣2，2，4），所以a→所以|a→|=22因?yàn)锽（﹣2，2，4），C（﹣3，2，3），所以b→所以|b→|=（2）由（1）可知cos＜a→，又＜a→，b→＞所以＜a→，b→＞=2π3，即（3）∵a→=（2，2，0），∴ka→+b→=（2k，2kka→-2b→=（2k，2k，0）﹣（﹣2，0，﹣2）＝（2∵向量ka→+b→與k∴（ka→+b→）?（ka→-2b→）＝（2整理，得4k2+k﹣2＝0，解得實(shí)數(shù)k的值為-1±3318．（12分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知2Snn+n（1）證明：{an}是等差數(shù)列；（2）若a4，a7，a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值．【解答】解：（1）證明：由已知有：2Sn+把n換成n+1，2Sn+1+(n+1②﹣①可得：2an+1＝2（n+1）an+1﹣2nan﹣2n，整理得：an+1＝an+1，由等差數(shù)列定義有{an}為等差數(shù)列；（2）由已知有a72=a4?故（x+6）2＝（x+3）（x+8），解得x＝﹣12，故a1＝﹣12，所以an＝﹣12+（n﹣1）×1＝n﹣13，故可得：a1＜a2＜a3＜?＜a12＜0，a13＝0，a14＞0，故Sn在n＝12或者n＝13時(shí)取最小值，S12故Sn的最小值為﹣78．19．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BF⊥A1B1．（1）證明：BF⊥DE；（2）當(dāng)B1D為何值時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小？【解答】（1）證明：連接AF，∵E，F(xiàn)分別為直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱AC和CC1的中點(diǎn)，且AB＝BC＝2，∴CF＝1，BF=5∵BF⊥A1B1，AB∥A1B1，∴BF⊥AB∴AF=AB2+B∴AC2＝AB2+BC2，即BA⊥BC，故以B為原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，2，0），E（1，1，0），F(xiàn)（0，2，1），設(shè)B1D＝m，則D（m，0，2），∴BF→=（0，2，1），DE→∴BF→?DE→=0，即BF（2）解：∵AB⊥平面BB1C1C，∴平面BB1C1C的一個(gè)法向量為p→由（1）知，DE→=（1﹣m，1，﹣2），設(shè)平面DEF的法向量為n→=（x，y，z），則n→令x＝3，則y＝m+1，z＝2﹣m，∴n→=（3，m+1，2﹣∴cos＜p→，∴當(dāng)m=12時(shí)，面BB1C1C與面故當(dāng)B1D=12時(shí)，面BB1C1C與面20．（12分）如圖，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為棱CC1的中點(diǎn)．（1）用向量法證明：A1C∥平面B1ED1；（2）求直線B1D與平面B1ED1所成角的正弦值．【解答】解：（1）證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝1，AA1＝2，則A1（1，0，2），C（0，1，0），B1（1，1，2），E（0，1，1），D1（0，0，2），D（0，0，0），∴D1B1→=(1，1，0)設(shè)n→=(x，y，z)是平面B1ED則可得n→?D令x＝1，則y＝﹣1，z＝﹣1，即n→∴A1且A1C?平面B1ED1，∴A1C∥平面B1ED1；（2）由（1）可知DB1→=(1，1，2)，n→=(1，-1，-1)設(shè)B1D與面B1ED1所成角為α，∴sinα=|cos＜∴B1D與面B1ED1所成角的正弦值為