第七章布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的擴(kuò)展

第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的擴(kuò)展Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity主要內(nèi)容布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型的缺陷買賣本錢動(dòng)搖率淺笑和動(dòng)搖率期限構(gòu)造隨機(jī)動(dòng)搖率不確定的參數(shù)騰躍分散過(guò)程Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversityB-S模型的缺陷買賣本錢的假設(shè)動(dòng)搖率為常數(shù)的假設(shè)不確定的參數(shù)資產(chǎn)價(jià)錢的延續(xù)變動(dòng)Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity買賣本錢的影響規(guī)模效應(yīng)和買賣本錢差別化。即使是同一個(gè)投資者，在調(diào)整過(guò)程中，持有同一個(gè)合約的多頭頭寸和空頭頭寸，價(jià)值也不同。Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversityH-W-W買賣本錢模型根本假設(shè)：投資者投資于歐式期權(quán)的組合而不僅僅是單個(gè)期權(quán)；整個(gè)投資組合的調(diào)整存在買賣本錢；投資者的組合調(diào)整戰(zhàn)略事先確定；股票價(jià)錢的隨機(jī)過(guò)程以離散的方式給出；保值組合的預(yù)期收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)銀行存款利率Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversityH-W-W模型推導(dǎo)構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合之后,整個(gè)組合價(jià)值的變化相應(yīng)減少：要求買賣本錢項(xiàng),關(guān)鍵要獲得n值，顯然：〔7-1〕Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversityH-W-W模型推導(dǎo)〔續(xù)〕由Ito引理：根據(jù)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)假設(shè)，有:將公式7-1、7-2代入7-3，得H-W-W模型：〔7-3〕〔7-2〕〔7-4〕Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity對(duì)H-W-W方程的了解項(xiàng)在實(shí)踐中具有深化的金融含義的存在使得H-W-W方程大部分時(shí)候是一個(gè)非線性方程期權(quán)多頭和空頭價(jià)值的不一致性對(duì)于單個(gè)期權(quán)多頭，H-W-W方程實(shí)踐上是一個(gè)以為動(dòng)搖率的BS公式Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity買賣本錢的其他模型期權(quán)組合中的值不是同一個(gè)符號(hào)的情形買賣本錢不是前述的簡(jiǎn)單構(gòu)造，而是資產(chǎn)價(jià)錢和調(diào)整數(shù)量的函數(shù)的情況W-W模型Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity動(dòng)搖率淺笑和動(dòng)搖率期限構(gòu)造人們經(jīng)過(guò)研討發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)錢和BS公式推算出來(lái)的隱含動(dòng)搖率具有以下兩個(gè)方向的變動(dòng)規(guī)律：“動(dòng)搖率淺笑〞〔VolatilitySmiles〕：隱含動(dòng)搖率會(huì)隨著期權(quán)執(zhí)行價(jià)錢不同而不同；動(dòng)搖率期限構(gòu)造〔VolatilityTermStructure〕：隱含動(dòng)搖率會(huì)隨期權(quán)到期時(shí)間不同而變化。Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity動(dòng)搖率淺笑對(duì)于貨幣期權(quán)而言，隱含動(dòng)搖率經(jīng)常呈現(xiàn)近似U形。平價(jià)期權(quán)的動(dòng)搖率最低，而實(shí)值和虛值期權(quán)的動(dòng)搖率會(huì)隨著實(shí)值或虛值程度的增大而增大，兩邊比較對(duì)稱。股票期權(quán)的動(dòng)搖率淺笑那么呈現(xiàn)另一種不同的外形，即向右下方偏斜。當(dāng)執(zhí)行價(jià)錢上升的時(shí)候，動(dòng)搖率下降，而一個(gè)較低的執(zhí)行價(jià)錢所隱含的動(dòng)搖率那么大大高于執(zhí)行價(jià)錢較高的期權(quán)。Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity貨幣期權(quán)的動(dòng)搖率淺笑與分布Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity股票期權(quán)的動(dòng)搖率淺笑與分布Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity動(dòng)搖率期限構(gòu)造從長(zhǎng)期來(lái)看，動(dòng)搖率大多表現(xiàn)出均值回歸，即到期日接近時(shí)，隱含動(dòng)搖率的變化較猛烈，隨著到期時(shí)間的延伸，隱含動(dòng)搖率將逐漸向歷史動(dòng)搖率的平均值接近。動(dòng)搖率淺笑的外形也遭到期權(quán)到期時(shí)間的影響。大多時(shí)候，期權(quán)到期日越近，動(dòng)搖率“淺笑〞就越顯著，到期日越長(zhǎng)，不同價(jià)錢的隱含動(dòng)搖率差別越小，接近于常數(shù)Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity動(dòng)搖率矩陣執(zhí)行價(jià)格剩余有效期0.900.951.001.051.10一個(gè)月14.213.012.013.114.5三個(gè)月14.013.012.013.114.2六個(gè)月14.113.312.513.414.3一年14.714.013.514.014.8兩年15.014.414.014.515.1五年14.814.614.414.715.0Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity意義和運(yùn)用動(dòng)搖率淺笑和動(dòng)搖率期限構(gòu)造的存在，證明了BS公式關(guān)于動(dòng)搖率為常數(shù)的根本假設(shè)是不成立的，至少期權(quán)市場(chǎng)不是這樣預(yù)期的。因此放松動(dòng)搖率為常數(shù)的假設(shè)，成為期權(quán)實(shí)際開展的一個(gè)重要方向。目前主要有兩種不同的戰(zhàn)略：從期權(quán)市場(chǎng)出發(fā)的改良戰(zhàn)略創(chuàng)新戰(zhàn)略Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity隨機(jī)動(dòng)搖率模型普通模型股票風(fēng)險(xiǎn)中性的隨機(jī)動(dòng)搖率模型〔Hull等〕Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity隨機(jī)動(dòng)搖率對(duì)定價(jià)的影響當(dāng)動(dòng)搖率是隨機(jī)的，且與股票價(jià)錢不相關(guān)時(shí)，歐式期權(quán)的價(jià)錢是BS價(jià)錢在期權(quán)有效期內(nèi)平均方差率分布上的積分值：在股票價(jià)錢和動(dòng)搖率相關(guān)的情況下，這個(gè)隨機(jī)動(dòng)搖率模型沒(méi)有解析解，只能運(yùn)用數(shù)值方法得到期權(quán)價(jià)錢動(dòng)搖率隨機(jī)性質(zhì)的影響，也會(huì)因到期時(shí)間的不同而不同Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversityGARCH模型GARCH模型可以分為多種，其中最常見(jiàn)的是GARCH(1,1)模型：采用的方式，用最大似然估計(jì)法估計(jì)三個(gè)參數(shù)、和，可以進(jìn)一步得到和的值，并可計(jì)算出特定時(shí)辰動(dòng)搖率的大小〔7-5〕Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity不同時(shí)期的權(quán)重分布對(duì)公式7-5的右邊右邊反復(fù)的迭代過(guò)程，可以得到：經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，我們可以將式〔7-6〕寫作由于，可得未來(lái)動(dòng)搖率的預(yù)期值為：〔7-6〕Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity不確定的參數(shù)問(wèn)題：現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中存在著這樣的問(wèn)題：當(dāng)參數(shù)價(jià)值是不確定的時(shí)候，如何為期權(quán)定價(jià)？處理方法：假設(shè)我們知道的這些參數(shù)位于某個(gè)特定的區(qū)間之內(nèi)，之后思索最悲觀的情況下我們的期權(quán)至少值多少。用這樣的假設(shè)和思緒，我們不會(huì)計(jì)算出期權(quán)的某一特定價(jià)值，而會(huì)發(fā)現(xiàn)期權(quán)的價(jià)值也將位于某個(gè)區(qū)間之內(nèi)Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity不確定的動(dòng)搖率依然構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，組合價(jià)值：假設(shè)與思索最糟糕的情況，可以確定期權(quán)的最低值，用公式表示：Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity期權(quán)價(jià)值的下限期權(quán)價(jià)值下限滿足其中，且。Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity期權(quán)價(jià)值的上限期權(quán)價(jià)值上限滿足：其中，。Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity不確定的利率調(diào)查組合，假設(shè)：，那么：此時(shí)，我們選擇的利率將依賴于的符號(hào)，相應(yīng)的方程為：其中：，Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity不確定的紅利收益率在延續(xù)支付紅利的情況下，其推導(dǎo)過(guò)程很類似，在的假定下，只需解出：其中：Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity騰躍分散過(guò)程所謂的騰躍分散過(guò)程是普通的〔途徑延續(xù)的〕分散過(guò)程和一個(gè)在隨機(jī)時(shí)辰發(fā)生騰躍的〔騰躍幅度也是隨機(jī)的〕騰躍過(guò)程的結(jié)合，顯然這種變化過(guò)程更能反映現(xiàn)實(shí)價(jià)錢途徑，對(duì)應(yīng)的模型那么可以以為是思索資產(chǎn)價(jià)錢有不延續(xù)的騰躍時(shí)對(duì)BS公式的推行Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity資產(chǎn)價(jià)錢所遵照的騰躍分散過(guò)程運(yùn)用延續(xù)布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)反映延續(xù)分散過(guò)程，同時(shí)引入泊松過(guò)程來(lái)描畫資產(chǎn)價(jià)錢的騰躍為泊松過(guò)程，定義為：根據(jù)Ito引理，可得：Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity騰躍分散過(guò)程的保值組合和期權(quán)定價(jià)依然調(diào)查組合，運(yùn)用Ito引理，包含了騰躍的組合價(jià)值變化為假設(shè)時(shí)辰?jīng)]有騰躍發(fā)生，那么，那么我們就會(huì)選擇來(lái)降低風(fēng)險(xiǎn)。假設(shè)有騰躍，那么，我們依然可以選擇Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity包含了騰躍的期權(quán)定價(jià)公式Merton于1976年提出了一個(gè)重要的思想：假設(shè)資產(chǎn)價(jià)錢變化過(guò)程中的騰躍成分與整個(gè)市場(chǎng)無(wú)關(guān)的話，就屬于可分散風(fēng)險(xiǎn)，可分散風(fēng)險(xiǎn)不