輻射測量中的概率問題

第七章

輻射探測中的

概率統(tǒng)計問題統(tǒng)計性是微觀世界的屬性之一。放射性原子核的衰變、輻射微觀粒子的探測、輻射探測器接受入射粒子并產(chǎn)生輸出信號等都是一個隨機過程。這些粒子數(shù)、輸出信號的電荷量、信號出現(xiàn)的時刻等是一個漲落的隨機變量，這樣輻射測量所得到的數(shù)據(jù)也都是漲落的，要從這些數(shù)據(jù)推導(dǎo)出結(jié)論，就必須用概率論與數(shù)理統(tǒng)計的方法處理。

1、可用于檢驗一臺核計數(shù)裝置的功能和狀態(tài)是否正常；計數(shù)統(tǒng)計學(xué)的意義可歸結(jié)為兩個方面：

2、在處理只有一次或極為有限的測量中，可用計數(shù)統(tǒng)計學(xué)來預(yù)測其固有的統(tǒng)計不確定性，從而估計該單次測量應(yīng)有的精密度。7.1概率論基礎(chǔ)知識隨機試驗：隨機事件：隨機變量：一定條件下的每次觀察。每次隨機試驗的各種結(jié)果。樣本：N次測量中隨機變量的取值構(gòu)成代表隨機事件的數(shù)量概率：描述在某種隨機試驗的各個隨機事件出現(xiàn)的可能性。出現(xiàn)事件A的次數(shù)總試驗次數(shù)事件A發(fā)生的概率實驗的平均值：隨機變量可分為兩種離散型隨機變量可取值是有限個或“可列個”分立的數(shù)值。該類型隨機變量用

表示，其可取值用表示。連續(xù)型隨機變量可取值是整個數(shù)軸或某一區(qū)間內(nèi)的所有數(shù)值。連續(xù)型隨機變量及其可取值則用和表示。有一類特殊的隨機試驗，其試驗結(jié)果只有兩個，非此即彼。它的隨機變量的可取值只有兩個：“0”和“1”。這類隨機試驗稱為“伯努利試驗”。把正事件（即隨機變量取“1”）發(fā)生的概率定義為p，則正事件不發(fā)生（即隨機變量取“0”）的概率為q=1-p。1.隨機變量的分布函數(shù)與數(shù)字表征要確知某一隨機變量，就需要不僅知道這隨機變量的所有各個可取值，而且還要知道與各可取值相應(yīng)的概率。概率論中，用概率函數(shù)和分布函數(shù)來描述隨機變量的這一特性。(1)隨機變量的一般特征及定義連續(xù)型隨機變量

離散型隨機變量

可取值分布函數(shù)概率函數(shù)概率密度函數(shù)相互關(guān)系

歸一性(2)隨機變量的數(shù)字表征對服從任一種分布的隨機變量，有兩個最重要的數(shù)字特征。

數(shù)學(xué)期望值：

（簡稱期望值，在物理中也稱平均值，常用

表示）

，它表示隨機變量取值的平均位置。

均方偏差：

（簡稱方差），它表示隨機變量的取值相對于期望值的離散程度。其開根值稱均方根偏差，常用

表示。即：數(shù)學(xué)期望值（平均值）對離散型隨機變量

對連續(xù)型隨機變量

將若干次實驗中隨機變量所取的數(shù)值加在一起，再用實驗次數(shù)除后，得到算術(shù)平均值。當(dāng)實驗次數(shù)無限增加時，算術(shù)平均值將無限的接近數(shù)學(xué)期望。均方偏差（方差）

對離散型隨機變量：

對連續(xù)型隨機變量：

方差的意義：代表了隨機變量各個可取值相對于平均值的離散程度。方差小則代表隨機變量在各次實驗中所取得的數(shù)值越集中的分布在平均值附近，方差大則表示分布得越分散。均方根偏差

對離散型隨機變量：

對連續(xù)型隨機變量：

相對均方偏差

對離散型隨機變量：

對連續(xù)型隨機變量：

相對均方根偏差

對離散型隨機變量：

對連續(xù)型隨機變量：

方差或均方根偏差代表了隨機變量可取值相對于平均值的離散程度；相對方差或相對均方根偏差則代表了測量精度。(3)一些相似概念區(qū)分(A)誤差(error)和偏差(deviation)偏差：誤差：N次測量平均值

真值

當(dāng)真值未知的情況下，一般以偏差代替誤差。(B)準確度——精確度測量值與被測對象真值的一致程度。

一次測量的可重復(fù)性或可靠性。accuracyprecision準確度：精確度：可用測量的平均值與真值的差描述?？捎脺y量的均方偏差描述。(C)系統(tǒng)誤差——偶然誤差系統(tǒng)誤差：在同一條件下，多次測量同一物理量，測量值誤差的大小和符號保持恒定。產(chǎn)生原因：儀器本身不精確、或?qū)嶒灧椒ù致?、或?qū)嶒炘聿煌晟贫a(chǎn)生的。特點：在多次重做同一實驗時，誤差總是同樣地偏大或偏小，不會出現(xiàn)這幾次偏大而另幾次偏小的情況。要減小系統(tǒng)誤差，必須提高測量儀器的精度，改進實驗方法，設(shè)計在原理上更為完善的實驗。

偶然誤差：在同一條件下，多次測量同一物理量，測量值誤差的大小和符號隨機變化。也叫隨機誤差。2）是絕對存在且不可避免的。產(chǎn)生原因：由各種偶然因素對實驗者、測量儀器、被測物理量的影響而產(chǎn)生的。

特點：1）有時偏大有時偏小，并且偏大和偏小的機會相同；可以多進行幾次測量來減小偶然誤差。各次測得的數(shù)值的平均值就比一次測得的數(shù)值更接近于真實值。在核輻射測量中，偶然誤差是一項主要的誤差，產(chǎn)生的原因有兩個：一是核事件的隨機性產(chǎn)生的統(tǒng)計誤差；二是測量儀器在正常工作條件下的測量誤差。統(tǒng)計誤差是一種特殊的偶然誤差，是由微觀世界的隨機性所決定的。

系統(tǒng)誤差影響系統(tǒng)的準確度，

偶然誤差影響系統(tǒng)的精確度。2.幾種常用的統(tǒng)計模型(1)二項式分布二項式分布是支配偶然事件的最通用的概率分布，廣泛應(yīng)用于所有概率p恒定的過程。設(shè)一隨機試驗條件組為：作次獨立試驗，每次試驗中要么發(fā)生事件，要么不發(fā)生，且事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率為。定義隨機變量為按上述條件組試驗后，事件總共發(fā)生的次數(shù)?？扇≈禐?，1，2，...，

是離散型隨機變量。二項式分布的概率函數(shù)：

在一組個獨立試驗中，事件成功次的概率為：可見，二項式分布的概率函數(shù)是由雙參數(shù)N0和p決定的。二項式分布隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差:數(shù)學(xué)期望

方差

例子：

具有N0個放射性原子核的放射源在t時間內(nèi)的衰變總數(shù)，服從二項式分布。原子核衰變服從指數(shù)規(guī)律，即

那么在（0－t）時間內(nèi)，發(fā)生衰變的原子核數(shù)為：所以對于原子核衰變，其數(shù)學(xué)期望為：

方差：

也就是說原子核在t時間內(nèi)發(fā)生衰變的概率為：不發(fā)生衰變的概率為：(2)泊松分布泊松分布是在N0很大、概率p很小的條件下，二項式分布在數(shù)學(xué)上的直接簡化，是二項式分布的一種極限情況。對二項式分布，當(dāng)N0

很大，但p<<1，即m＝N0p

為不大的常數(shù)時，服從二項式分布的隨機變量就可服從泊松分布。此時，隨機變量

可取全部正整數(shù)，為離散型隨機變量，其概率函數(shù)為：泊松分布隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差數(shù)學(xué)期望

方差

泊松分布隨機變量的特點(A)

的取值為全部正整數(shù)。(B)(C)當(dāng)m較小時其概率函數(shù)非對稱，當(dāng)m較大時其概率函數(shù)趨于對稱。(D)相互獨立的服從泊松分布的隨機變量之和，仍遵守泊松分布。例子：

如果放射性原子核的個數(shù)N0非常大，同時測量時間t比半衰期小的多，即在t內(nèi)可不考慮放射原子核總數(shù)N0的改變，則在t內(nèi)放射源衰變數(shù)就可用泊松分布作為其概率函數(shù)。所以對于原子核衰變，其數(shù)學(xué)期望為：方差：

(3)高斯分布

高斯分布又稱正態(tài)分布，當(dāng)泊松分布中的m>>1(例如20)時，泊松分布就可簡化為高斯分布。對高斯分布，隨機變量X取值范圍為(－～＋)，為連續(xù)型隨機變量。其概率密度函數(shù)為：

高斯分布隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差數(shù)學(xué)期望

方差

對于核衰變，可以證明單位時間發(fā)生衰變的核數(shù)服從泊松分布。其特點為：

這一關(guān)系在高斯分布也是成立的?？梢宰C明：

此式表明，僅有統(tǒng)計漲落時，一般情況下，

高斯分布連續(xù)對稱，可以方便的計算測量值出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)的概率，即：令：可由高斯函數(shù)數(shù)值積分表查得。表示置信區(qū)間為該置信區(qū)間的置信度為：例如：當(dāng)Z＝1時，置信區(qū)間為該置信區(qū)間的置信度為當(dāng)Z＝2時，置信區(qū)間為該置信區(qū)間的置信度為3.隨機變量的運算和組合復(fù)雜隨機變量往往可以分解為由若干簡單的隨機變量運算、組合而成。這樣就可以由已知的簡單隨機變量的分布函數(shù)與數(shù)字表征來求復(fù)雜隨機變量的分布函數(shù)和數(shù)字表征。(1).隨機變量的函數(shù)已知隨機變量X，其可取值為x，概率密度函數(shù)為f(x)。而Y＝

(x)，求隨機變量Y的可取值y和概率密度函數(shù)g(y)。由于X取各可取值的概率就是Y取相應(yīng)可取值的概率，所以：的得到在數(shù)學(xué)上是十分困難的。它取決于和函數(shù)關(guān)系

僅對一些最簡單的函數(shù)才能得到其解析表達式。

如：對多個獨立隨機變量的函數(shù)

Y

也是一個隨機變量，其可取值和概率密度函數(shù)由各Xi

的可取值和概率密度函數(shù)共同確定。由此，可得到若干簡單的關(guān)系：

(A)(B)相互獨立的隨機變量的“和”、“差”與“積”的數(shù)學(xué)期望，是各隨機變量數(shù)學(xué)期望的“和”、“差”與“積”，即：

(C)相互獨立的隨機變量的“和”與“差”的方差，是各隨機變量方差的“和”，即：

(D)相互獨立的遵守泊松分布的隨機變量之“和”仍服從泊松分布。要注意的是相互獨立的遵守泊松分布的隨機變量之“差”，不服從泊松分布。(2).串級隨機變量輻射測量中經(jīng)常會遇到級聯(lián)、倍增過程的漲落問題，這些問題可以用串級型隨機變量的概念及運算規(guī)則來處理。設(shè)對應(yīng)于試驗條件組A定義一個隨機變量

1，對應(yīng)于另一試驗條件組B定義另一隨機變量

2，且二者相互獨立。按以下規(guī)則定義一個新的隨機變量

：(A)

先按條件組A作一次試驗，實現(xiàn)了隨機變量

1的一個可取值

1i；(B)

再按條件組B作

1i次試驗，實現(xiàn)了隨機變量

2的

1i個可取值；(C)

將這些可取值加起來得到一個值

i，并將此值定義為一個新的隨機變量

的一個可取值；這里，隨機變量

為隨機變量

1與

2的“串級”隨機變量。而且按順序分別稱

1和

2為此串級隨機變量的第一級和第二級。串級隨機變量的主要特點：(A)期望值：(B)方差：(C)相對方差：

假如第一級隨機變量的數(shù)學(xué)期望很大，那么就可以忽略第二級隨機變量的相對方差對串級隨機變量的相對方差的貢獻。

(D)由兩個伯努利型隨機變量

1和

2串級而成的隨機變量

仍是伯努利型隨機變量。即

仍是只有兩個可取值(0,1)的伯努利型隨機變量。若伯努利型隨機變量

1

的正結(jié)果發(fā)生概率為p1,

2

的正結(jié)果發(fā)生概率為p2，則

正結(jié)果發(fā)生概率為：(E)由遵守泊松分布的隨機變量

1與伯努利型隨機變量

2串級而成的隨機變量

仍遵守泊松分布。

設(shè)

1的平均值為m1,而

2的正結(jié)果發(fā)生概率為p2，則

的平均值為：對N個相互獨立的隨機變量串級而成的N級串級隨機變量

，有：7.2核衰變數(shù)與探測器計數(shù)的漲落分布1、核衰變數(shù)的漲落放射性衰變是一種隨機過程，放射性衰變規(guī)律為:

在0~t

時間內(nèi)，原來N0個放射性核中，發(fā)生了衰變的核的平均數(shù)為當(dāng)N0很大時，對一個核而言，一個核在0~t

時間內(nèi)發(fā)生衰變的概率為：每一個放射性核在t時間內(nèi)發(fā)生衰變是什么事件？是伯努利事件

隨機變量取1的正事件發(fā)生的概率取0的概率為則總的衰變數(shù)N就是上述伯努利事件重復(fù)N0次，發(fā)生正結(jié)果的事件之和。對于一個具有N0個放射性核的放射源，在t

時間內(nèi)發(fā)生核衰變數(shù)為N，是一個遵守二項式分布的隨機變量。概率函數(shù)數(shù)學(xué)期望值方差

長壽命核素，其衰變概率很小為有限量在t時間內(nèi)總衰變數(shù)N遵守泊松分布期望值方差在核衰變過程中核衰變數(shù)的方差與其平均值相等。2、放射性測量的統(tǒng)計誤差(1).

探測器輸出計數(shù)的統(tǒng)計分布脈沖探測器的特點：它的輸出脈沖數(shù)就反應(yīng)了t時間內(nèi)射入探測器的粒子數(shù)，也就代表了放射源在t時間內(nèi)發(fā)射出的總粒子數(shù)。

由于放射性核衰變具有統(tǒng)計分布，測量過程中射線與物質(zhì)相互作用過程也具有隨機性，因此在某個測量時間內(nèi)對樣品進行測量得到的計數(shù)值同樣是一個隨機變量。①、n1為t

時間內(nèi)放射源發(fā)出的粒子數(shù)，服從泊松分布

Ω源發(fā)射粒子數(shù)n1射入探測器粒子數(shù)n2探測器輸出脈沖數(shù)n3脈沖計數(shù)器的測量過程可以概括為三個基本過程，其計數(shù)值為一個三級串級型隨機變量。

③、n3為探測器輸出脈沖數(shù)。遵守泊松分布。平均值方差n3實際上是一個三級的串級型隨機變量。②、n2為進入探測器表面，即進入立體角Ω的粒子數(shù)。

n2仍為遵守泊松分布的隨機變量：放射源在t時間內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)n1遵守泊松分布，探測器相應(yīng)的輸出脈沖數(shù)n3也遵守泊松分布，探測器輸出脈沖數(shù)的平均值為源發(fā)射的平均粒子數(shù)與幾何因子及探測器效率之積。如果放射源發(fā)射粒子不是各向均勻的，上述結(jié)論是否成立？仍然成立，只要粒子落在Ω內(nèi)的概率是不變的——某一常數(shù)幾何因子不再是，而是(2).探測計數(shù)的統(tǒng)計誤差粒子計數(shù)——探測器輸出脈沖數(shù)服從統(tǒng)計分布規(guī)律，當(dāng)計數(shù)的數(shù)學(xué)期望值

m較小時，服從泊松分布。

m較大時，服從高斯分布。而且，m較大時，m與有限次測量的平均值

和任一次測量值N相差不大。

表明：對放射性計數(shù)的標準偏差只需用一次計數(shù)N或有限次計數(shù)的平均值開方即可得到?！咀⒁狻窟@種表示的標準偏差僅適用于誤差僅僅由統(tǒng)計漲落引起的情況。樣本方差是總體方差的無偏估計，可以由樣本方差來估計有限次測量的方差稱為標準偏差：不僅包括統(tǒng)計誤差，還反映了其他偶然誤差的貢獻?？捎糜跀?shù)據(jù)的檢驗.標準偏差

隨計數(shù)N增大而增大，因此用相對標準偏差來表示測量值的離散程度：計數(shù)測量結(jié)果的表示：表示一個置信區(qū)間，該區(qū)間包含真平均值的概率為68.3％（置信度）。7.3電離過程的漲落與法諾(Fano)分布產(chǎn)生電子—正離子對或電子—空穴對的碰撞都是隨機的，因而一定能量的帶電粒子形成的離子對數(shù)是漲落的，同樣是一個隨機變量，服從一定的概率分布。以氣體介質(zhì)為例，實驗發(fā)現(xiàn)：入射帶電粒子每產(chǎn)生一離子對需消耗能量為基本上是一個常數(shù)能量為E0的入帶電粒子把全部能量損耗在氣體中后，共產(chǎn)生的離子對數(shù)的平均值：假設(shè)能量為E0的入射帶電粒子在氣體中總共經(jīng)歷了N（是一個非常大的常數(shù)）次與氣體原子的碰撞。是一個伯努利型隨機試驗每一次碰撞只可能有兩種結(jié)果產(chǎn)生或不產(chǎn)生離子對。已知N次碰撞后產(chǎn)生

個離子對，因而每次碰撞中平均產(chǎn)生的離子對數(shù)是伯努利正事件概率為

N次碰撞產(chǎn)生n個離子對的概率服從二項式分布

且為一個有限的常數(shù)趨于泊松分布離子對數(shù)漲落的標準偏差及相對標準偏差由于各次碰撞電離過程是非獨立的，產(chǎn)生的離子對數(shù)不能簡單用泊松分布來描述，而要對泊松分布進行修正，引入法諾因子FF一般取(氣體)或

0.1~0.15(半導(dǎo)體)

不同材料法諾因子不同，

F由實驗測定。把這種分布稱為法諾分布。7.4粒子束脈沖的總電離電荷量的漲落1、脈沖型工作方式通過脈沖探測器對逐個輻射粒子進行探測測得的信號與單個入射粒子相對應(yīng)，脈沖計數(shù)的個數(shù)與入射的粒子數(shù)對應(yīng)，單個輸出信號的幅度反映入射粒子的能量。(2).

穩(wěn)定粒子束流在探測器內(nèi)產(chǎn)生的平均電離效應(yīng)。又稱電流型工作方式。輸出一個直流電流(電壓)信號，該信號的大小一般正比于粒子束流的大小。(1).

粒子束脈沖在探測器內(nèi)產(chǎn)生的總電離效果，形成一個大脈沖，脈沖幅度與粒子束內(nèi)粒子數(shù)和能量有關(guān)。2、累計型工作方式反映一定數(shù)量粒子的累計特性。僅討論粒子束脈沖的總電離電荷量的漲落例如在電子直線加速器加速電子打在靶上產(chǎn)生韌致輻射，在持續(xù)時間僅為

內(nèi)包含了大量粒子，這時輸出信號反映了這些粒子在探測器內(nèi)產(chǎn)生的總電離效果。n1代表一個入射粒子束脈沖中包含的粒子數(shù)，是一個服從泊松分布的隨機變量。每個入射帶電粒子(或入射γ/X

輻射通過次級效應(yīng)產(chǎn)生的次電子)在探測器內(nèi)產(chǎn)生n2個離子對，也是一個隨機變量，且服從法諾分布。粒子束脈沖的探測n1n2輸出信號N輸出信號

N是n1和n2

的串級型隨機變量其總離子對數(shù)平均值相對標準偏差由于n1服從泊松分布，n2服從法諾分布7.5輻射粒子與信號的時間分布1、相鄰兩個信號脈沖的時間間隔核輻射事件及探測器計數(shù)服從泊松分布，設(shè)單位時間內(nèi)的平均脈沖數(shù)m為一常數(shù)，相鄰兩個脈沖時間間隔T是一連續(xù)型隨機變量，它服從什么樣的分布呢？容易得到是脈沖間的平均時間間隔：t時間內(nèi)出現(xiàn)脈沖數(shù)為n的概率為：兩個相鄰脈沖時間間隔為

t的條件為：(1)在第一個脈沖發(fā)生后的t時間內(nèi)沒有脈沖發(fā)生；(2)在t后的dt時間內(nèi)有一個脈沖發(fā)生。即：所以，隨機變量T的概率密度函數(shù)為：即：相鄰兩個脈沖時間間隔T服從指數(shù)分布。表明：在短時間內(nèi)出現(xiàn)第二個脈沖的概率較大。其均值為：其方差為：2、相鄰進位脈沖的時間間隔設(shè)進位率為S，則相鄰進位脈沖的時間間隔T的概率密度函數(shù)為：其均值為：其方差為：最可幾時間間隔：令：7.6

計數(shù)統(tǒng)計誤差的傳遞在一般的核測量中，常涉及函數(shù)的統(tǒng)計誤差的計算，也就是誤差傳遞(ErrorPropagation)。若是相互獨立的隨機變量，其標準偏差相應(yīng)為，由這些隨機變量導(dǎo)出的任何量的標準偏差可以用下面公式求出：分析一些常見情況：(1)例如：存在本底時凈計數(shù)誤差的計算：輻射測量中，本底總是存在的。本底包括宇宙射線