2023年黑龍江省龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

黑龍江省龍東地區(qū)2023年初中畢業(yè)學(xué)業(yè)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)試題

考生注意：

1.考試時(shí)間120分鐘

2.全卷共三道大題，總分120分

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.下列運(yùn)算正確的是()

A.(-2a)2=-4/B.(?—Z?)2=a~-b~

C.(-m+2)(-/?-2)=m2-4D.(爐)-=蘇

【答案】C

【解析】

【分析】分別根據(jù)積的乘方，完全平方公式，平方差公式和幕的乘方法則進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.(—2。)2=44,原式計(jì)算錯(cuò)誤；

B.(a-b^^a2-2ah+b2,原式計(jì)算錯(cuò)誤;

C.(-m+2)(-m-2)=m2-4,計(jì)算正確;

D.(/)2="。，原式計(jì)算錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方，完全平方公式，平方差公式和累的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則，牢記乘法公

式是解題的關(guān)鍵.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直

線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)18()。，如果旋轉(zhuǎn)

后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心.

【詳解】解：A、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，符合題意；

B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

C、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，熟知二者的定義是解題的關(guān)鍵.

3.一個(gè)幾何體由若干大小相同的小正方體組成，它的俯視圖和左視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】

【分析】在“俯視打地基”的前提下，結(jié)合左視圖知俯視圖上一行三個(gè)小正方體的上方（第2層）至少還有

1個(gè)正方體，據(jù)此可得答案.

【詳解】解：由俯視圖與左視圖知，該幾何體所需小正方體個(gè)數(shù)最少分布情況如下圖所示：

俯視圖

所以組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少為5,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是掌握口訣“俯視打地基，主視瘋狂蓋，左視拆

違章

4.已知一組數(shù)據(jù)1,0,-3,5,X,2,—3的平均數(shù)是1,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）

A.-3B.5C.一3和5D.1和3

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)平均數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，求出x的值，從而還原這組數(shù)據(jù)，再利用眾數(shù)的概念求解

即可.

【詳解】解：；數(shù)據(jù)1,0,—3,5,x,2,—3的平均數(shù)是1,

；?1+0—3+5+X+2—3=7x1,

解得x=5,

則1,0,-3,5,5,2,-3,

這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是-3和5,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了眾數(shù)和平均數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握眾數(shù)和平均數(shù)的概念.

5.如圖，在長(zhǎng)為100m,寬為5（）m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉,

且花圃的面積是360（）0?，則小路的寬是（）

A.5mB.70mC.5m或70mD.10m

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)小路寬為河，則種植花草部分的面積等于長(zhǎng)為（100—2x）m,寬為（50-2x）m的矩形的面積，

根據(jù)花草的種植面積為360011?,即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)小路寬為xm,則種植花草部分的面積等于長(zhǎng)為（100-2x）m,寬為（50-2x）m的矩形的

面積，

依題意得：（100-2x）（50-2x）=3600

解得：%=5,々=7。（不合題意，舍去），

...小路寬為5m.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

777X

6.已知關(guān)于x的分式方程一^+1=不一的解是非負(fù)數(shù)，則加的取值范圍是（）

x—22—x

A.m<2B.m>2C.”工2且〃zw-2D.僅<2且〃zw-2

【答案】C

【解析】

2—m

【分析】解分式方程求出工=-----,然后根據(jù)解是非負(fù)數(shù)以及解不是增根得出關(guān)于相的不等式組，求解即

2

可.

【詳解】解：分式方程去分母得：m+x-2=-x,

口2-m

解得：x=-----

2

mx

???分式方程--+1="-的解是非負(fù)數(shù),

x—22—x

2-m

22個(gè)*2,

2

〃2?2且〃2。一2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，正確得出關(guān)于m的不等式組是解題的關(guān)鍵.

7.某社區(qū)為了打造“書香社區(qū)”，豐富小區(qū)居民的業(yè)余文化生活，計(jì)劃出資500元全部用于采購(gòu)A,B,C

三種圖書，A種每本30元，B種每本25元，C種每本20元，其中A種圖書至少買5本，最多買6本（三種

圖書都要買），此次采購(gòu)的方案有（）

A.5種B.6種C.7種D.8種

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)采購(gòu)A種圖書x本，B種圖書y本，C種圖書z本，根據(jù)采購(gòu)三種圖書需500元列出方程，再依

據(jù)x的數(shù)量分兩種情況討論求解即可.

【詳解】解：設(shè)采購(gòu)4種圖書x本，8種圖書y本，C種圖書z本，其中5Wx<6,y>0,z>0,且x,y,z均

為整數(shù)，根據(jù)題意得，

30x+25y+20z=500,

整理得，6x+5y+4z=100,

①當(dāng)x=5時(shí)，6x5+5y+4z=100,

70-4z

??y--,

?；y>0,z>0,且y,z均為整數(shù)，

...當(dāng)70—4z=10時(shí)，y=2,z=15；

當(dāng)70—4z=3()H寸，y=6,，z=10；

當(dāng)70-4z=50時(shí),y=10,???z=5；

②當(dāng)x=6時(shí)，6x6+5y+4z=10(),

.64-4z

?-y=~,

y>0">0,且乂2均為整數(shù)，

...當(dāng)64—4z=20時(shí)，y=4,z=ll；

當(dāng)64—4z=4()時(shí)，y=8,z=6；

當(dāng)64—4z=6()H寸，y=12,z=l；

綜上，此次共有6種采購(gòu)方案，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意、進(jìn)行分類討論是解答本題的關(guān)鍵.

k

8.如圖，是等腰三角形，A6過原點(diǎn)。，底邊軸，雙曲線y=一過兩點(diǎn)，過點(diǎn)C作

x

D.-9

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)根據(jù)反比例函數(shù)的中心對(duì)稱性可得A(—"一然后過點(diǎn)A作于E,求出

3c=①，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為一3。，再根據(jù)Sso=12列式求出8,進(jìn)而可得點(diǎn)。的縱坐標(biāo)，將點(diǎn)。坐標(biāo)

代入反比例函數(shù)解析式即可求出k的值.

【詳解】解：由題意，設(shè)8卜年

?'A8過原點(diǎn)。，

過點(diǎn)A作AEJ.8C于E,

：_ABC是等腰三角形，

CE=BE=b_(_b)=2b,

：.BC=4b,點(diǎn)、D的橫坐標(biāo)為—3b,

?.?底邊軸，C0〃y軸，

S=-BCCD=--4bCD=\2,

BC[D)22

6+公

??D\-3b,

6+k

=—3(6+人)

~~b~

9

解得：k=——，

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，中心對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性

質(zhì)等知識(shí)，設(shè)出點(diǎn)8坐標(biāo)，正確表示出點(diǎn)。的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形A8CD的邊40=5,04:0。=1:4,將矩形A5QD沿直線OE折疊到

如圖所示的位置，線段。2恰好經(jīng)過點(diǎn)8,點(diǎn)。落在y軸的點(diǎn)G位置，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（）

y

a

D

A.(1,2)C.(75-1,2)D.(1-V5,2)

【答案】D

【解析】

【分析】首先證明八A06AGO,求出AB=CD=2,連結(jié)。C，設(shè)BC與。G交于點(diǎn)F,然后求出

OC=OQ=275,可得C1b=2石—2,再用含ER的式子表示出EG，最后在Rt,EEG中，利用勾股

定理構(gòu)建方程求出EF即可解決問題.

【詳解】解：???矩形A8CO的邊相＞=5,04:8=1:4,

OA=\,OD=4,BC=5,

由題意知AB〃OG，

/.ZABO=NDQG,

又?/NBAO=NOD?=90°,

.AOBZ)|C|O,

OA_D,C,

?,瓦―"5^'

由折疊知OR=。。=4,Dg=DC=AB,

1AB

：.一=一，

AB4

AAB=2,即CE>=2,

連接。C,設(shè)BC與。G交于點(diǎn)F,

OC=y]OD2+CD2=742+22=2石,

???ZFOA=ZOAB=ZABF=90°,

四邊形OLB尸是矩形，

/.AB=OF=2,NBFO=90。=NEFC],OA=BF=1,

，CF=5-1=4,

由折疊知OCi=OC=2亞,EC】=EC=CF-EF=4-EF,

:.C、F=OC「OF=2亞-2,

?.?在RtE/&中，EF+CF=EC：,

：.EF2+（2A/5-2）2=（4-￡F）2,

解得：EF=布-T，

...點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1—6,2）,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊

的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，通過證明三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)求出AB的長(zhǎng)是解題的

關(guān)鍵.

10.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)分別是AB,8c上的動(dòng)點(diǎn)，目AFIDE，垂足為G,將△ABE沿

AF翻折，得到△AMEAM交?！暧邳c(diǎn)P,對(duì)角線8。交AF于點(diǎn)〃，連接HM,CM,DM,BM,下列

結(jié)論正確的是：@AF=DE；②BM〃DE：③若OV±FM,則四邊形BUM尸是菱形；④當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)

到的中點(diǎn)，tanNBHF=2日⑤)EP-DH=2AG?BH.()

A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤

【答案】B

【解析】

【分析】利用正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)，逐一判斷，即可解答.

【詳解】解：四邊形ABCD是正方形，

：.ZDAE=ZABF=90P,DA=AB,

AF1.DE,

，Za4F+Z4￡D=90°,

-.ABAF+ZAFB=9G°,

；.ZAED=ZBFA，

.-.AABF^AAED(AAS),

:.AF=DE，故①正確，

將AABF沿■翻折，得到，AMF，

BM.LAF，

?；AF工DE，

:.BM//DE，故②正確，

當(dāng)0"±￡1/時(shí)，NCMr=90。，

?,ZAMF=ZABF=90o.

:.ZAMF+ZCMF^\S00,即AM,C在同一直線上，

：.ZMCF=45°,

：.ZMFC=90°-ZMCF=45°,

通過翻折的性質(zhì)可得/”3/=/以以尸=45°,BF=MF，

AZHMF^ZMFC,ZHBC=ZMFC,

BC//MH,HB//MF,

，四邊形5HM歹是平行四邊形，

BF=MF,

，平行四邊形是菱形，故③正確,

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到A6的中點(diǎn)，如圖，

AD

M

設(shè)正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2a,則=B尸=a,

在RtZXAED中，DE=^AD1+AE1=yf5a^AF>

ZAHD=ZFHB,ZADH=NFBH=45°,

?_F___H_____B___F______a_____\_

"AH~AD~2a~2,

2_275

..AAHU=—AF=-----a>

33

NAGE=/4B尸=90°,

.-.△AGF^AABF,

.AEEGAGa_75

一而一而一法一夜一7’

:.EG=—BF=—a，AG=-AB=—^-a

5555

DG=ED-EG=-a>GH=AH-AG=-a

515

ZBHF=ADHA，

在Rt^DGH中，tanZBHF=tanZDHA=—^=3,故④錯(cuò)誤，

GH

△AH*AFHB，

BH1

/.----=—,

DH2

BH=-BD=-x2y/2a=^^a>DH=-BD=-x2y/2a=^^a，

333333

AFA.EP，

根據(jù)翻折的性質(zhì)可得EP=2EG==^-a，

5

ADnu2小4>/28V102

5315

0"°2百208屈2

2AG?BH=2----a-----a=-----a，

5315

EPDH=2AG-BH=與叵a2，故⑤正確；

15

綜上分析可知，正確的是①②③⑤.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切的概念，熟練按照要求

做出圖形，利用尋找相似三角形是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（每小題3分，共30分）

11.據(jù)交通運(yùn)輸部信息顯示：2023年“五一”假期第一天，全國(guó)營(yíng)運(yùn)性客運(yùn)量約5699萬人次，將5699萬用

科學(xué)記數(shù)法表示為.

【答案】5.699xlO7

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中1<\a\<10,〃為整數(shù)，確定〃的值時(shí)，要看把

原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同?當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值210時(shí)，”是正

數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，〃是負(fù)數(shù).

［詳解］5699萬=56990000=5.699xlO7.

故答案為：5.699xlO7.

【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法?科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中1<忖<10,

〃為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定”的值以及"的值.

12.函數(shù)y=J百中，自變量x的取值范圍是.

【答案】x>-3

【解析】

【詳解】解：由題意得，x+3>0,

解得3.

13.如圖，在矩形ABC。中對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件,使矩形

ABCO是正方形（填一個(gè)即可）

【答案】A3=BC或AC上8。

【解析】

【分析】根據(jù)正方形的判定定理可知：鄰邊相等的矩形是正方形，對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.

【詳解】???鄰邊相等的矩形是正方形，

，可添加條件AB=3C

或者?.?對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形

/.還可以添加條件AC1BD

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定，找出正方形與矩形的性質(zhì)差異，即為可添加的條件.

14.一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些小球除標(biāo)號(hào)外完全相同，隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，恰好

是一紅一白的概率是.

3

【答案】-##0.6

5

【解析】

【分析】首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結(jié)果與隨機(jī)摸出一紅一白

的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【詳解】解：列表得：

紅1紅2紅3白1白2

紅1（紅1,紅2）（紅1,紅3）（紅1,白1）（紅1,白2）

紅2（紅2,紅1）（紅2,紅3）（紅2,白1）（紅2,白2）

紅3（紅3,紅1）（紅3,紅2）（紅3,白1）（紅3,白2）

白1（白1,紅1）（白1,紅2）（白1,紅3）（白1,白2）

白2（白2,紅1）（白2,紅2）（白2,紅3）（白2,白1）

由列表可知：共有20種等可能的結(jié)果，其中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，恰好是一紅-一白的情況有12種,

123

.??恰好是一紅一白的概率是一=一,

205

3

故答案為：—

【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出

所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識(shí)

點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

x+5>0

15.關(guān)于x的不等式組《，有3個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是__________.

x-m<1

【答案】-3Km<一2##—2>〃2之一3

【解析】

【分析】解不等式組，根據(jù)不等式組有3個(gè)整數(shù)解得出關(guān)于，”的不等式組，進(jìn)而可求得用的取值范圍.

x+5>0

【詳解】解：解不等式組，得：一5<xWm+l,

x-m<\

x+5>0

?.,關(guān)于X的不等式組《，有3個(gè)整數(shù)解，

x—m<1

...這3個(gè)整數(shù)解為T，-3,-2，

—2Wm+1<—1,

解得：—3W加<—2,

故答案為：-3<:〃<一2.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解，正確得出關(guān)于，〃的不等式組是解

題的關(guān)鍵.

16.如圖，A3是?。的直徑，Q4切。于點(diǎn)A,P。交C。于點(diǎn)C，連接BC,若NB=28°,則

【解析】

【分析】首先根據(jù)等邊對(duì)等角得到N8=NOCB=28。，然后利用外角的性質(zhì)得到

NAOC=NB+NOCB=56°,利用切線的性質(zhì)得到NQ4P=90°,最后利用三角形內(nèi)角和定理求解即

可.

【詳解】解：???NB=28°,OB=OC,

N3=NOCB=28。，

???ZAOC=NB+ZOCB=56°，

切.。于點(diǎn)A,

/.NO4P=90°,

ZP=180°-ZOAP-ZAOP=34。.

故答案為：34.

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握以上知識(shí)點(diǎn).

17.已知圓錐的母線長(zhǎng)13cm，側(cè)面積65萬cn?，則這個(gè)圓錐的高是cm.

【答案】12

【解析】

【分析】利用圓錐的側(cè)面積公式可得到底面半徑，再利用勾股定理即可得到高.

【詳解】解：根據(jù)圓錐側(cè)面積公式片=nrl變形可得r=-^=-=5cm,

7rl134

根據(jù)圓錐母線公式/=，,+川，可得h=廬：=J132-52=12cm，

故答案為：12.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式和母線公式，熟知上述公式是解題的關(guān)鍵.

18.在RtaACB中，ZBAC=30°,CB=2,點(diǎn)￡是斜邊AB的中點(diǎn)，把RtAiABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

得Rt^AED,點(diǎn)C,點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)。，點(diǎn)尸，連接。尸，EF,CE,在旋轉(zhuǎn)的過程中，

△CE尸面積的最大值是.

【答案】4+73##>/3+4

【解析】

【分析】過點(diǎn)A作AG_LCE交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,求出AG='AC=G，然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知點(diǎn)F

2

在以A為圓心AB的長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則可得如圖中G、A、F三點(diǎn)共線時(shí)點(diǎn)F到直線CE的距離最大，

求出距離的最大值，然后計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，在RtZvlCB中，NR4C=30。，CB=2,點(diǎn)E是斜邊AS的中點(diǎn)，

AAB=2CB=4,CE=^AB=2=AE,AC=6BC=26

/.ZEC4=ZBAC=30°,

過點(diǎn)A作AG_LC￡交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

AG——AC-y/3,

2

又?.?在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)F在以A為圓心AB的長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，AF=AB=4,

.?.點(diǎn)F到直線CE的距離的最大值為4+6，（如圖，G、A、F三點(diǎn)共線時(shí)）

...△CEF面積最大值=gcEx（4+G）=gx2x（4+G）=4+G，

故答案為：4+V3.

【點(diǎn)睛】本題考查了含30。直角三角形的性質(zhì)，直角三

角形斜邊中線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出點(diǎn)F到直線CE距離的最

大值是解答本題的關(guān)鍵.

19.矩形ABCD中，AB=3,A￡>=9,將矩形438沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)8落在點(diǎn)E處，若VADE

是直角三角形，則點(diǎn)七到直線BC的距離是.

【答案】6或3+2&或3-2夜

【解析】

【分析】由折疊的性質(zhì)可得點(diǎn)E在以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，延長(zhǎng)84交A的另一側(cè)于

點(diǎn)E,則此時(shí)VAOE是直角三角形，易得點(diǎn)E到直線的距離；當(dāng)過點(diǎn)。的直線與圓相切于點(diǎn)E時(shí)，

VAOE是直角三角形，分兩種情況討論即可求解.

【詳解】解：由題意矩形ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，

可知點(diǎn)E在以點(diǎn)A為圓心，A3長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

如圖，延長(zhǎng)84交OA的另一側(cè)于點(diǎn)E,則此時(shí)VADE是直角三角形，

點(diǎn)E到直線8c的距離為BE的長(zhǎng)度，即8E=2A8=6,

當(dāng)過點(diǎn)。的直線與圓相切與點(diǎn)E時(shí)，VADE是直角三角形，分兩種情況,

①如圖，過點(diǎn)、E作EHJ.BC交BC于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)G,

/.EG1AD,

四邊形ABHG是矩形，GH=AB=3

VAE^AB=3,AEA.DE，AO=9,

由勾股定理可得22，

DE=79-3=672

'：S.=-AEDE=-ADEG,

AmED22

EG=2叵,

，E到直線BC的距離EH=EG+GH=3+2J5，

②如圖，過點(diǎn)E作EN工BC交BC于點(diǎn)、N,交AO于點(diǎn)M,

?..四邊形4BCO是矩形,

：.NM±AD,

，四邊形ABNM是矩形，MN=AB=3

VAE=AB=3,AELDE，AD=9,

由勾股定理可得DE=492-32=672，

-S^ED^AE-DE^AD-EM,

???EM=20，

E到直線BC的距離EN=MN-GN=3-2>/2，

綜上，6或3+2也或3-2&，

故答案為：6或3+20或3-20.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形折疊問題切線的應(yīng)用，以及勾股定理，找到點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A在直線4：y=、±x上，頂點(diǎn)8在x軸上，A6垂直x軸，

且08=2夜，頂點(diǎn)。在直線小尸底上，BC上％；過點(diǎn)A作直線12的垂線，垂足為G，交x軸于B,，

過點(diǎn)用作44垂直X軸，交4于點(diǎn)A，連接4G，得到第一個(gè)△A16￡；過點(diǎn)4作直線4的垂線，垂足

為。2,交X軸于耳，過點(diǎn)當(dāng)作4名垂直X軸，交4于點(diǎn)連接4G，得到第二個(gè)△&B？G；如此下

去，,則二A202382023G023的面積是----------

【答案】24046V3

【解析】

分析】解直角三角形得出NAQB=30。，ZBOC=60°,求出5ABe=6，證明△ABCS^AAG，

ABC^A2B2C2,得出SAB,G=4S"C，SMG=42-5ABC=僅2)26神，總結(jié)得出

Sme=(2"『SABC=22"SABC，從而得出4C=Xy/j=2^.

劣6”?！癨/A6CA6C?々2023020235()23

【詳解】解：???QB=2&，

/.B（2A/2,0）,

??,4?1》軸，

點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2加，

..._^3

?1\?y=—x,

1-3

.?.點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為立x2&=2匹

33

2屈

'tanNAOB=AB=~Y~=V3,

OB—2y/l-3

NAO8=30。，

l2：y-\l3x,

/.設(shè)C（線,％）,則yc=6xc，

tanNB0C=k=6

xc

???ZBOC=60°，

/.OC=OBxcos60°=2V2x—=V2,

2

BC=OBxsin60°=2V2x—=V6.

2

?/ZAOC}=ZBOC-ZAOB=30°,

ZAOB=ZAOC],

平分/BOC，

?ZAC,112,ABVOB,

??AC】=A_B=—-—,

?/AB=AC,,OA^OA,

RtOAB^RtOAC,,

OC}=OB=2sfi,

/.CC}=OC；_OC=2五_8=夜，

??SABC=2sOAB-SACC,HOC

=2x、2&x也」xax友」x夜x"

23232

—y/3，

?.?BC±,

NBCO=90。,

ZCBO=90°-60°=30°,

■：BtC,ll2,BC±l2,82c2U，

/.BC〃〃82G，

NJB。=ZC2B2O=ZCBO=30°,

NCgO=ZC2B2O=ZCBO=ZAOB,

/.AO=Ag,4。=4昆，

軸，44J_x軸，

：.OB=goB],OBi=；OB”

：A8_Zx軸，A4_Lx軸，4為！.》軸，

AB//AjB,//A2B2,

ABOB\AB_OB

-

*'2'A2B2~OB?4'

???BC〃4ci〃82c2,

BCOB\BCOB\

*'2'82G一函一"

ABBC

‘麗=而’

ZABC=*B,C,=90°-30°=60°,

△A3CS/^A4C],

同理ABCs-2c2,

?

??0qAMG-4vABC，

S.2c2=42?SABC=(2~).§ABC,

22n

■■^Ac,.-(")^ABc=2SABC

???S.BC=22X2023X/3=24046V3.

?&2023%023so23>

故答案為：24046A/3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形面積的計(jì)算，平行線的判定和

性質(zhì)，一次函數(shù)規(guī)律探究，角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得出一般規(guī)律

S.qB.Q=（2"）SABC=2~"SABC.

三、解答題（滿分60分）

（2、7%2—2/71+1

21.先化簡(jiǎn)，再求值：1--------............——,其中加=tan60?！?.

\77?4-1/-m

【答案】一工，原式=土史

m+13

【解析】

【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，然后求出根=6-1,最后代值計(jì)算即可.

2m2-2m+1

【詳解】解:1

"2+1m2-m

_m+1-2(m-1)2

m+1m(m-l)

_m-1/n(m-l)

根+](m-1)2

m

771+1

??,m=tan60°-l=V3-l-

6-1

.?.原式=

V3-1+1

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，求特殊角三角函數(shù)值，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知.A5C的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（2,—1）,3（1,—2）,C（3,-3）.

（1）將ABC向上平移4個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到△AgG，請(qǐng)畫出△Age.

（2）請(qǐng)畫出_A」BC關(guān)于V軸對(duì)稱的△&與G.

（3）將△AH2c2著原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△44G，求線段A2G在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積（結(jié)果

保留乃）.

【答案】（1）見解析（2）見解析

、134

（3）——

4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置進(jìn)而畫出圖形；

（2）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置進(jìn)而畫出圖形；

（3）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，根據(jù)02c2=5。中國(guó)=5扇0231—5扇0/即可得出答案.

【小問1詳解】

解：如圖所示，△4與G即為所求;

【小問2詳解】

如圖所示，2G即為所求；

【小問3詳解】

將△兒與G著原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△4B3C3,

設(shè)&A所在圓交。。3于點(diǎn)。，交。。2于點(diǎn)E,

OA-,—OA3,OC2=OC3,

C2E—C3D,

2404=90。，NC20G=90°，

ZA3OD=ZA2OE,

：.AiD=A,E>

=

4,CjD>OC3=3A/2,OD=OA,=

。乃)。乃卜披).90。）（石『

_90(OC)90”(OD2_90_13_7r，

扇DOL—360°360°360°360。4

故線段4G在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積為上空.

4

【點(diǎn)睛】本題考查平移、軸對(duì)稱變換作圖和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及扇形的面積，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)

點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，拋物線丁=0?+版+3與》軸交于4（—3,0）,3（1,0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式.

（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)尸，使得SpBc=gsAB「若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

【答案】（1）y=-x2-2x+3

（2）存在，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-2,3）或（3,-12）

【解析】

【分析】（1）采用待定系數(shù)法，將點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)直接代入拋物線y=ox2+加+3,即可求得拋物線的

解析式.

（2）過線段AB的中點(diǎn)。，且與3c平行的直線上的點(diǎn)與點(diǎn)8,點(diǎn)C連線組成的三角形的面積都等于

械;，則此直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求；求出此直線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，即可求得答

案.

【小問1詳解】

解：因?yàn)閽佄锞€y=辰+3經(jīng)過點(diǎn)A(—3,0)和點(diǎn)8(1,0)兩點(diǎn)，所以

’94—38+3=0

a+/?+3=0

解得

a=-l

。=-2'

所以拋物線解析式為：y=-x2-2x+3.

【小問2詳解】

解：如圖，設(shè)線段的中點(diǎn)為￡＞，可知點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-1,0)，過點(diǎn)。作與平行的直線/,假設(shè)與拋

物線交于點(diǎn)［，P2(4在鳥的左邊)，(巴在圖中未能顯示).

因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)8(1,0)和C(0,3),所以

左+4=0

b、二3

k=-3

解得，

也=3

所以，直線BC的函數(shù)解析式為：y=-3x+3.

又PFJIBC,

可設(shè)直線P}P2的函數(shù)解析式為y=-3x+a，

因?yàn)橹本€［鳥經(jīng)過點(diǎn)O（-1,0）,所以

3+歷—0.

解得仇=—3.

所以，直線片鳥的函數(shù)解析式為y=-3x—3.

根據(jù)題意可知，

S--S

u.DBC-2ABC?

又PRHBC,

所以，直線66上任意一點(diǎn)p與點(diǎn)B,點(diǎn)C連線組成的4Pze的面積都滿足Sp.Bc=gs

所以，直線，鳥與拋物線了=一/一2%+3的交點(diǎn)［,鳥即為所求，可得

一3%一3——x2-2x+3>

化簡(jiǎn)，得

%2—尤-6=0?

解得％=3,x2=-2,

所以，點(diǎn)6的坐標(biāo)為（一2,3）,點(diǎn)鳥的坐標(biāo)為（3,-12）.

故答案為：存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2,3）或（3,-12）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一元二次方程、一元一次方程

等，靈活結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

24.某中學(xué)開展主題為“垃圾分類，綠色生活”的宣傳活動(dòng)、為了解學(xué)生對(duì)垃圾分類知識(shí)的掌握情況，該校團(tuán)

委在校園內(nèi)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)在，將他們的得分按人優(yōu)秀，B-.良好，C：合格，D：不合格

四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.

(2)將條形圖補(bǔ)充完整;

(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中C組對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)是.

(4)如果該校共有2200人，請(qǐng)估計(jì)該校不合格的人數(shù).

【答案】(1)40(2)見解析

(3)90

(4)220人

【解析】

【分析】(1)用4優(yōu)秀的人數(shù)除以其人數(shù)占比即可求出參與調(diào)查的學(xué)生人數(shù);

(2)先求出C：合格的人數(shù)，再補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；

(3)用360度乘以C組對(duì)應(yīng)人數(shù)占比即可得到答案；

(4)用2200乘以樣本中。組對(duì)應(yīng)的人數(shù)占比即可得到答案.

小問1詳解】

解：12+30%=40人，

這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是4()人，

故答案為：40；

【小問2詳解】

解：由(1)得C：合格的人數(shù)為40—12—14一4=10人，

補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下所示：

【小問3詳解】

...扇形統(tǒng)計(jì)圖中C組對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)是90。,

故答案為：90；

【小問4詳解】

4

解：2200x—=220人,

40

.??估計(jì)該校不合格的人數(shù)為220人.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖信息相關(guān)聯(lián)，用樣本估計(jì)總體，正確讀懂統(tǒng)計(jì)圖是解題

的關(guān)鍵.

25.已知甲，乙兩地相距480km,一輛出租車從甲地出發(fā)往返于甲乙兩地，一輛貨車沿同一條公路從乙地

前往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，貨車途經(jīng)服務(wù)區(qū)時(shí)，停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時(shí)與出租車相距120km,貨車

2

繼續(xù)出發(fā)一h后與出租車相遇.出租車到達(dá)乙地后立即按原路返回，結(jié)果比貨車早15分鐘到達(dá)甲地.如圖

3

是兩車距各自出發(fā)地的距離y(km)與貨車行駛時(shí)間x(h)之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：

(1)圖中。的值是;

(2)求貨車裝完貨物后駛往甲地的過程中，距其出發(fā)地的距離y(km)與行駛時(shí)間》(h)之間的函數(shù)關(guān)系

式；

(3)直接寫出在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間與出租車相距12km.

【答案】（1）120（2）y=60x

125,-131,

（3）---?；颉猦

1717

【解析】

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得OC的解析式，將（1,。）代入解析式，解方程即可解答：

（2）根據(jù)題意可得”的值，即為貨車裝貨時(shí)距離乙地的長(zhǎng)度，結(jié)合貨車停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時(shí)與出

租車相距120km,可求出裝貨時(shí)間，即點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)貨車?yán)^續(xù)出發(fā)2h后與出租車相遇，求出裝完

3

貨后貨車的速度，即直線BG的解析式中上的值，最后將點(diǎn)B坐標(biāo)代入直線BG的解析式，利用待定系數(shù)法

即可解答；

（3）根據(jù)（2）中直線3G的解析式求得點(diǎn)尸的坐標(biāo)，結(jié)合題意，可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而可得到出租車返

回時(shí)的速度，然后進(jìn)行分類討論：①出租車和貨車第二次相遇前，相距12km時(shí)；②出租車和貨車第二次相

遇后，距離12km時(shí)，分別進(jìn)行解答即可.

【小問1詳解】

解：結(jié)合圖象，可得0（4,480）,

設(shè)直線OC的解析式為y=kx,

將C（4,480）代入解析式，可得480=4%,解得人=120,

?1.直線OC的解析式為y=120%,

把0,a）代入y=120%,得“=120,

故答案為：120；

【小問2詳解】

解：根據(jù)貨車停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時(shí)與出租車相距120km,

可得此時(shí)出租車距離乙地為120+120=240km,

???出租車距離甲地為48（）-240=240km,

把y=240代入y=12（）x,可得240=120%,解得x=2,

.,?貨車裝完貨時(shí)，x=2,可得3（2,120）,

22

根據(jù)貨車?yán)^續(xù)出發(fā)一h后與出租車相遇，可得一X（出租車的速度+貨車的速度）=120,

33

根據(jù)直線OC的解析式為y=12（）x,可得出租車的速度為120km/h,

2

???相遇時(shí)，貨車的速度為120+3—120=60km/h,

故可設(shè)直線BG的解析式為y=60x+b,

將3(2,120)代入y=60x+。，可得120=120+)，解得力=0,

???直線BG的解析式為y=60x,

故貨車裝完貨物后駛往甲地的過程中，距其出發(fā)地的距離V(km)與行駛時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系式為

y=60A-；

【小問3詳解】

解：把y=480代入y=60x,可得480=60%，解得％=8,

.?.G（8,480）,

.?1(8,0),

根據(jù)出租車到達(dá)乙地后立即按原路返回，結(jié)果比貨車早15分鐘到達(dá)甲地，可得￡/="=,，

604

.??哈,0),

???出租車返回時(shí)的速度為480+(m—4)=128km/h,

設(shè)在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)“、時(shí)，與出租車相距12km，

此時(shí)貨車距離乙地為60/km,出租車距離乙地為128(r-4)=(128，—512)km,

①出租車和貨車第二次相遇前，相距12km時(shí)；

可得604_(128z)—512^=12,

解得%喈，

②出租車和貨車第二次相遇后，相距12km時(shí)；

可得(12跖—512)—6(總=12,

131

解得/=_L,

17

125131

故在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)一/1或一論與出租車相距12km.

1717

【點(diǎn)睛】本題考查了從函數(shù)圖象獲取信息，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，能準(zhǔn)確地理

解題意，根據(jù)題中信息求得所需數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵.

26.如圖①，ABC和VAOE是等邊三角形，連接。C,點(diǎn)凡G,"分別是。E,和BC的中點(diǎn)，連接

FG,FH.易證：FH=y[3FG.

若和VA0E都是等腰直角三角形，且N84C=NZME=90。，如圖②：若和VAOE都是等

腰三角形，且ZB4C=ND4E=120。，如圖③：其他條件不變，判斷777和尸G之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你

的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明.

圖①

（答案】圖②中FH="1FG，圖③中FH=FG,證明見解析

【解析】

【分析】圖②：如圖②所示，連接3D,HG,CE,先由三角形中位線定理得到

FG//CE,FG=-CE,GH//BD,=再證明得到

22

CE=BD,NACE=NABD,則尸G="G,進(jìn)一步證明NkG”=90。，即可證明△HGE是等腰直角

三角形，則FH=y/iFG；

圖③：仿照?qǐng)D②證明是等邊三角形，則FH=FG.

【詳解】解：圖②中FH=0EG，圖③中FH=FG,

圖②證明如下：

如圖②所示，連接50,HG,CE,

?.?點(diǎn)F,G分別是Z5C的中點(diǎn)，

/.尸G是?COE的中位線，

FG//CE,FG=-CE,

2

同理可得GH〃8DGH=-BD,

2

,/一ABC和VAZ5E都是等腰直角三角形，且N84C=NA4E=90°,

AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD^AE,

：.△ABZ注△ACE(SAS),

:.CE=BD,NACE=NABD,

：.FG=HG,

'：BD//GH,FG//CE,

/.ZFGH=ZFGD+ZHGD

=NDCE+NGHC+NGCH

=NDBC+NDCB+ZACD+NACE

=/DBC+NASD+ZACB

=ZACB+ZABC

=90°,

/.△”G尸是等腰直角三角形，

.**FH=y[2FG；

圖③證明如下：

如圖③所示，連接3D,HG,CE,

;點(diǎn)尸，G分別是DE,。。的中點(diǎn),

EG是uCDE的中位線，

FG//CE,FG=-CE,

2

同理可得GH〃8。，GH=-BD,

2

,/_ABC和VADE都是等腰三角形，且ABAC=ZDAE=120°,

：.AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE,

：.△ABZ涇△ACE(SAS),

:.CE=BD,NACE=NABD,

/.FG=HG,

BD//GH,FG//CE,

：.ZFGH=ZFGD+ZHGD

=ZDCE+NGHC+NGCH

=ZDBC+ZDCB+ZACD+ZACE

ZDBC+NABD+ZACB

^ZACB+ZABC

=180°—ZR4C

=60°,

，AHGF是等邊三角形,

FH=FG.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位

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件8款文化衫多10元，用500元購(gòu)進(jìn)A款和用400元購(gòu)進(jìn)B款的文化衫的數(shù)量相同.

（1）求4款文化衫和B款文化衫每件各多少元？

（2）已知畢業(yè)班的同學(xué)一共有300人，學(xué)校計(jì)劃用不多于14800元，不少于14750元購(gòu)買文化衫，