2022年高考數(shù)學(xué)模擬自測(cè)題（根據(jù)以往高頻出現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)編輯）(四十五)

2022年高考數(shù)學(xué)模擬自測(cè)題（根據(jù)以往高頻出現(xiàn)知

識(shí)點(diǎn)編輯）_009

單選題（共8個(gè)，分值共：）

1、一次速算表演中，主持人出題：一個(gè)31位整數(shù)的64次方根仍是一個(gè)整數(shù)，下面我報(bào)出這個(gè)31位數(shù)，請(qǐng)

說(shuō)出它的64次方根，這個(gè)31位數(shù)是......未等主持人報(bào)出第一位數(shù)字，速算專(zhuān)家已經(jīng)寫(xiě)出了這個(gè)整數(shù)的64次

方根.原理很簡(jiǎn)單，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)整數(shù)，它的64次方是一個(gè)31位整數(shù).可是，在事先不知道題目的情況下,

速算專(zhuān)家是怎么快速得出這個(gè)結(jié)論的呢？速算專(zhuān)家的秘訣是記住了下面的表.

X2345

lgx（近似

0.3010.4770.6020.699

值）

根據(jù)上表，這個(gè)31位整數(shù)的64次方根是（）.

A.2B.3c.4D.5

答案：B

解析：

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則判斷.

【本題詳解】

。八0.0.4688c處<0.4844-L

設(shè)此數(shù)為了,則3041gx<31,而64,觀(guān)察已知數(shù)據(jù)，x“=3.

所以正確答案為：B.

2、定義在R上的奇函數(shù),（X）,滿(mǎn)足/（x+4）+f（x）=2〃2）,則“2022）+1=（）

A.-2B.-1C.0D.1

答案：D

解析：

由*=-2得出/⑵=°,再結(jié)合周期性得出函數(shù)值.

【本題詳解】

Q〃2）+〃-2）=2〃2）,〃-2）=-"2）,.42）=0

即〃x+4)=-/(x),一f(x+4)=/(x+8),則〃x)=/(x+8)

/(2022)+1=/(8x252+6)+1=/(6)+1=-/(2)+1=1

所以正確答案為：D

3、已知函數(shù)/(力=丁+優(yōu)'-1(〃eR)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

，+0

卜川I訓(xùn)C1泗

ABH°)D

答案：B

解析：

將函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)進(jìn)行求解即可.

【本題詳解】

對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)得，r(x)=2x+ae'.

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=丁+?e'-1(?e&有兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以/'(刈=°有兩個(gè)不等實(shí)根，即2x+ae"=°有兩個(gè)不等實(shí)根,

_2x

亦即“一/有兩個(gè)不等實(shí)根.

g(x)=?g，(x)=g/l

令e,，則ex

可知且口)在(—」)上單調(diào)遞增，在(L*°)上單調(diào)遞減,

g(xLx=g(l)="j

所以

又因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí)，g(x)<°,當(dāng)X>O時(shí)，g(x)>0,

2

-a<—

.e2

n—<〃<0

所以〔一”°,解得e

即。的范圍是Ie

所以正確答案為：B

一+16-I2+12-拒

A.2B.2C.2D.

答案：A

解析：

利用平方關(guān)系和正弦的二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得答案.

【本題詳解】

2

1.nI.2%孩―—-支G?萬(wàn)兀\/3+\

.1+sin—=./sin--+cos-——l-2sin—cos—=sin—+cos—=-----

V3V6666662

所以正確答案為：A.

5,下列四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）

①垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行；

②圓柱的所有母線(xiàn)是互相平行的；

③若一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖完全相同，則這個(gè)簡(jiǎn)單兒何體一定是球體；

④用斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面四邊形的直觀(guān)圖，其面積一定小于原四邊形的面積.

A.OB.IC.2D.3

答案：C

解析：

垂直于同一平面的兩個(gè)平面可能相交，可判斷①錯(cuò)誤；根據(jù)圓柱的集合特征判斷②；正視圖、側(cè)視圖、俯視圖

完全相同的幾何體也可能是正方體，可判斷③；根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀(guān)圖與原圖面積之間的關(guān)系可判斷

④.

【本題詳解】

①垂直于同一平面的兩個(gè)平面不一定平行，還可能相交，故①錯(cuò)誤；

②根據(jù)圓柱的幾何特征，其所有母線(xiàn)都是平行的，故②正確；

③若一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖完全相同，這個(gè)幾何體有可能是正方體，故③錯(cuò)誤；

S'=—Sy；圖

④用斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面四邊形的直觀(guān)圖的面積4…，故其面積一定小于原四邊形的面積，故④

正確，

所以正確答案為：C.

6、若p：￡+*-6=0是q：以-1=0（arO）的必要而不充分條件，則實(shí)數(shù)a的值為（）

X1_11_1

A.2B.5或3c.§D.E或3

答案：D

解析：

根據(jù)題意確定q可以推得P,但p不能推出q,由此可得到關(guān)于。的等式，求得答案.

【本題詳解】

1

X=-

p：d+x-6=0,即x=2或x=-3,q.a,

由題意知p：V+x_6=0是q：公-1=°（的必要而不充分條件，

1cle11

則。一，或。一，解得一2,或一3,

3

所以正確答案為：D.

7、已知,=（l'G）,人（3,同，旦M，則I萬(wàn)/=（）

A.2B.2百c.4D.4G

答案：C

解析：

由向量垂直的坐標(biāo)表示求用，再由向量的模的坐標(biāo)公式求打一切.

【本題詳解】

?.alb4引詞石=（3,加）

?J，，

?1x3+6/%=。，m=-也

〃_研-2,2百）

?,9

,忖叫=［（-2）2+（2@2=4.

所以正確答案為：C.

8、若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z（l+i）=2,則復(fù)數(shù)z的模為（）

A.血B.1C.2近D.2

答案：A

解析：

由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再結(jié)合復(fù)數(shù)模公式求解即可.

【本題詳解】

由z（l+i）=2可得z-幣--二故%|=拒

所以正確答案為：A.

多選題（共4個(gè)，分值共：）

—^（x）=sin|2x+—|

9、將函數(shù)J（V=sm（2x+切（°<9<乃）的圖象向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)I6J的圖

象，則下列說(shuō)法正確的是（）

7t

A.3

B.函數(shù)/（X）的最小正周期為萬(wàn)

7C

C.函數(shù)“X）的圖象關(guān)于點(diǎn)（一§,0）成中心對(duì)稱(chēng)

4

5萬(wàn)1\n

D.函數(shù)〃x）的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為I1？‘12一

答案：BC

解析：

先由三角函數(shù)的圖象變換求出8的值并判斷選項(xiàng)A,再求出/（“）的解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判

斷B,C,D即可得解.

【本題詳解】

兀

〃x）=sin（2x+e）的圖象向右平移了個(gè)單位長(zhǎng)度后得到:

\(兀、兀、=g(x)=sin(2x+^

y=sin21x—~I+^91=si.n(I2x+cp——I

兀兀2兀

(P—=——(p=—

...0<9<無(wú)，...26,即3,故A不正確;

/(x)=sinf2x+y

的最小正周期"土故B正確;

2x+—=knx=-—+—(keZ)

令3,keZ,得32'，

7ikit

——4--,0(fceZ)

即/（X）的對(duì)稱(chēng)中心為327，故C正確;

71._-27137t.71,/,5兀，

—+2kji<2x4-——<---卜ku---+AX<X<—+KTI

令23-2，&eZ,解得1212,

z、---+kTt,—+k7t(kwZ)

1212

???函數(shù)八月的遞減區(qū)間為L(zhǎng)故D不正確.

所以正確答案為：BC

10、下列命題中，為真命題的有（）

A.若c>d>09貝若則。從

C.若貝若”>b,貝

答案：AC

解析：

由不等式的同向正值可以相乘可判斷A；取。=1,方=-2時(shí)可以判斷大由可以判斷c；由。=°可以判

斷D.

【本題詳解】

因?yàn)椤?gt;人>0,c>d>0,所以ac>6c,bobd,所以ac>脫/,所以A為真命題；

當(dāng)。=1,。=-2時(shí)，則所以B不是真命題；

5

因?yàn)?2>歷2,所以。2>°,所以所以C為真命題;

當(dāng)c=0時(shí)，的2=兒2=0,所以D不是真命題.

所以正確答案為：AC.

11、已知函數(shù)〃力=2百sinxcosx+Zco/xT,則（）

A/（x）=5/3sin2x4-cos2x

/(x)=2cos2x+—

B.6

C./（X）的圖象可以看作是由）'=2sin2x的圖象向左平移立而得到

D.如果將/（X）看成某個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率為萬(wàn)

答案：ACD

解析：

利用三角恒等變換可判斷AB選項(xiàng)，利用三角函數(shù)圖象變換可判斷C選項(xiàng)，利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷

D選項(xiàng).

【本題詳解】

/（x）=273sinxcosx+2cos2x-1=^3sin2x+cos2x=2sin2x+—

因?yàn)镮

=2cos+?一=2cos

f(x)=2sin卜R+看］

71

因?yàn)長(zhǎng)I12〃，所以,/（x）的圖象可以看作是由y=2sin2x的圖象向左平移丘而得至u,

將/（M看成某個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率為萬(wàn)一

所以ACD正確，B不正確.

所以正確答案為：ACD.

12、已知向量“=（&」），g=（cosasine）（0464萬(wàn)），則下列命題正確的是（）

A.若則tan"&

^1-12萬(wàn)

B.若分在2上的投影為一百四，則向量々與5夾角為§

c.與2共線(xiàn)的單位向量只有一個(gè)為133'

6

D.存在夕，使得?IIIII

答案：BD

解析：

對(duì)A：由向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解判斷；對(duì)B：根據(jù)投影的定義即可求解判斷；對(duì)C：與。共線(xiàn)的單位向

±4

量為“即可判斷；對(duì)D：根據(jù)向量3與B共線(xiàn)同向時(shí)，滿(mǎn)足|〃+目二|々|+|目一

?iiii?即可判斷.

【本題詳解】

n—(夜』)b=(cos^sin0)(0<0<TI^

解：向量

對(duì)A：因?yàn)樗?cose+sin6=O,所以tan?=一&,所以正確答案為項(xiàng)A錯(cuò)誤;

對(duì)B：因?yàn)锽在公上的投影向量為

所以8s6%同W=Jcos?，+sin。6=1,同=｛網(wǎng)2+T=百

11

/71以，XY，

cos<a,b>=--」

所以6x12

11里

因?yàn)樗?，所以向量￡與分夾角為3,所以正確答案為項(xiàng)B正確;

(亞回|，如，一回

對(duì)C：與2共線(xiàn)的單位向量有兩個(gè)，分別為〔③3)和133人所以正確答案為項(xiàng)c錯(cuò)誤；

cos0=,sin0__1%+不=1才+國(guó)-

對(duì)D：當(dāng)33時(shí)，a=Sb,此時(shí)向量。與&共線(xiàn)同向，滿(mǎn)足I門(mén)IH,所以存在。,

使得卜+4附+W,所以正確答案為項(xiàng)D正確；

所以正確答案為：BD.

填空題(共3個(gè)，分值共：)

13、已知拋物線(xiàn)C:4x2+my=0恰好經(jīng)過(guò)圓M:(%-I)2+(y-2)2=1的圓心，則拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

答案:(嗎)

解析：

將圓M的圓心代入拋物線(xiàn)的方程可求得TH,進(jìn)而可求焦點(diǎn)坐標(biāo).

【本題詳解】

由題可得圓M的圓心為(1,2),

7

代入4/+my=0得?n=-2,

將拋物線(xiàn)C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得/=gy,

故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0*).

故答案為：(0*).

14、已知/(logex)=Vx+1>則/'(4)=.

答案：10

解析：

令g=4,解得x,計(jì)算即可得出結(jié)果.

【本題詳解】

4

f(log3x)=y/x+1,令1。。3光=4,解得：x=3=81,

???/(4)=V81+1=10.

故答案為：10.

15、若直線(xiàn)x-ay+2a=0被圓/+y2=4截得的弦長(zhǎng)為2,則實(shí)數(shù)a的值為.

答案：±百##

解析：

利用圓的弦長(zhǎng)公式列式即求.

【本題詳解】

?.?圓M+y2=4的圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑為2,

???(懸y+

解得則a=+V3.

故答案為：±71

解答題(共6個(gè)，分值共：)

/(x)=log2h4，一伙+1)2'+女+：

16、已知函數(shù)L2」.

(1)若f(x)的最小值是T,求A的值；

(2)已知&>1,若存在兩個(gè)不同的正數(shù)“力，當(dāng)Xi"，勿時(shí)，f(x)的值域?yàn)?+1/+11,求實(shí)數(shù)k的取值范

圍.

答案：

(1)卜=1；

(2)

解析:

8

.Irxg(x)=k?4’一(％+1)2、+4Hf

(1)討論％=0,Z<°和%>0三種情況，設(shè)2,/=2(r>0)>進(jìn)而結(jié)合二次函

數(shù)求最值的方法解得答案;

log?k-4'-(k+i)2x+k+-=x+lk-4x-(k+l)2x+k+-=2x￥,,

(2)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)2」即2有兩個(gè)不同的正根0冶,

進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布解得答案.

(1)

X

/(x)=log2(~2+：］<log'=-1

當(dāng)左=°時(shí)，I2,不符合題意.

當(dāng)心0時(shí)，令g…(x)=&,4"—(&+1),2"+AH—2,設(shè)”2cr。,，>0)則外g(r，)=—(/+l)r+上4—2.

①當(dāng)人<°時(shí)，8(，)的圖象開(kāi)口向下，/(X)無(wú)最小值，不符合題意；

Jt+lc

t-....>0

②當(dāng)《>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸2k,函數(shù)/(X)的最小值是T,所以

g⑺-二g察T詈,+1.111

—(A:+1)----F2+—=—k=——

2k22,解得k=l或3(舍去)，所以&=1.

(2)

g(f)=&廠(chǎng)-(Z+1)，+%H—t=——-e(0,1),八、

當(dāng)Q1時(shí)，則2的對(duì)稱(chēng)軸2k,所以當(dāng)，>1時(shí)g(f)為增函數(shù)，即"X)為增

logk-4*-(k+1).2*+%+；

2=x+l

函數(shù)，所以當(dāng)xe［"，句時(shí)，f(x)的值域?yàn)椋踑+"+U,問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為即

2

-4'-(我+1>2、+&+2=2川,kt~(k+l)t+k+^=2t

2有兩個(gè)不同的正根”涉，所以關(guān)于t的方程即

k>T,

△=(Z+3)2-4@+g)>0,

k+3,

---->1,

2k

k*

h1-(4+3)?1+k+g>0,5

kt2-(k+3)t+k+-=0—<

2有兩個(gè)大于1且不相等的根，所以,解得23

(52+圖)

2'-3-

所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是

/(x)=41og2x+—!—、八cx+i

logx

17、已知函數(shù)2,g(x)=”-4+2-m(m<Q

(1)求函數(shù)”x)在區(qū)間(L”)上的最小值;

(2)求函數(shù)g(x)在區(qū)間工2］上的最大值：

9

（3）若對(duì)WX|C（l,+8）,3x,e［l,2］j使得〃內(nèi)）+g（M>7成立，求實(shí)數(shù)，”的取值范圍.

答案：

（1）最小值為4；

（2）答案見(jiàn)解析；

解析：

（1）通過(guò)基本不等式即可求得答案；

（2）設(shè)2*=乙將函數(shù)轉(zhuǎn)化為、（'）=""+2"，小式2,4］）,然后討論函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系，進(jìn)

而求出函數(shù)的最大值；

（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（x）2>［7-〃x）；L,然后結(jié)合（2）求得答案.

（1）

/、41og2x+-!—>2/4log^x!—=4

當(dāng)X￡（l,yo）時(shí)，log2x>Oy所以->og2xV［幅％,

1

41og2x=-------/、/、

當(dāng)且僅當(dāng)"log）,即'=五時(shí)，等號(hào)成立，所以，函數(shù)/（”在區(qū)間。，田）上的最小值為4.

（2）

g（x）="4，+2，+j=〃Q）2+2.2j,xe［l,2］,令2*=t,則上述函數(shù)化為刈=/+%-%

問(wèn)2,4］

L」〉0--<2m<~~

因?yàn)??<0,所以對(duì)稱(chēng)軸-一京>，當(dāng)一面"，即時(shí)，函數(shù)M'）在［2,4］上單調(diào)遞減，所以當(dāng)r=2

11

?1“1?ra1r4

m

時(shí)，%加=3機(jī)+4：當(dāng)-m，即24時(shí)，函數(shù)8U）在L上單調(diào)遞增，在L」上單調(diào)

^max=y\一］=F-

遞減，所以%

當(dāng)一二\即一片時(shí)，函數(shù)g⑺在［2,4］上單調(diào)遞增，所以）嬴=刈=15加+8

」<相。（、（、_w_l

綜上，當(dāng)4時(shí)，的最大值為15機(jī)+8；當(dāng)24時(shí)，g（町的最大值為m.當(dāng)

““5時(shí)，g（x）的最大值為癡+4.

(3)

10

對(duì)“?1收),刊41,2],使得小)+g㈤>7成立,等價(jià)于g(W)>7-小)成立,即

g(x)?“>[7-〃x)L,由(1)可知，當(dāng)x?l,加)時(shí)，[7-4x)L=7-/a)1nhi,因此，只需要

g(x)a>3

——<771<0m>——―<0

所以當(dāng)4時(shí)，15//J+8>3,解得3,所以4.

111—3—\/5—3+\15-3+y/511

——<tn<———m----->3tn<---------------------<<A()----------<m<——m<——

當(dāng)24時(shí)，“，解得2或2,所以，24；當(dāng)2

1

m>—

時(shí)，3機(jī)+4>3,解得3,此時(shí)解集為空集；

-3+^/5八

----------<m<0

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為2

18>已知函數(shù)f(x)=*2+ax+b,a,/(1)=0

(1)若函數(shù)y」/(x)l在[0,1]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)設(shè)F(x)=/(|2'-l|)+?(|2'-l|-2)；若函數(shù)F(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，

求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)是否存在整數(shù)m,”，使得m9(x)"的解集恰好是[m,n],若存在，求出m,。的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

答案：

(1)l-00,12]5。,+°°)

(3)存在；m=-l?n=2

解析：

(1)根據(jù)f(l)=0以及△判別式，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸位置討論。的范圍，結(jié)合函數(shù)在[°刀上的增減性，可得答案；

(2)設(shè)'=根據(jù)題意畫(huà)出圖像，通過(guò)討論’的范圍，可得a的值；

(3)根據(jù)題意，利用/(x)的圖像和作差法，求出a的不等式和關(guān)系式，然后通過(guò)已知條件求值，可得答

案.

(1)

由/(l)=l+a+b=0,可知0=_Q_]

a

所以f(x)=V+?_qT,對(duì)稱(chēng)軸為人_2

則△=6廠(chǎng)+4(。+1)=(。+2)~20

11

因?yàn)閥=lf(x)l在[0』]上是減函數(shù),

--21r

當(dāng)2,即2一時(shí)，在[°1]上是減函數(shù)，符合題意

_?<1[--,11.,￡<o-

當(dāng)a>-2,即2時(shí)，丫=1/(切在12」上是減函數(shù)，2'

綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(f，-2]7[0,〃).

(2)

函數(shù)F(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則方程川2'一力+M2T一2)=°有三個(gè)不同根

設(shè)其圖象如下圖

由題意，關(guān)于t的方程：產(chǎn)+G_"T+a(-2)=()

即產(chǎn)+2〃-3a-1=0有兩根4也(4<4),且這兩根有三種情況：

tx=0,0<r2<1；0<^<l,r2=1；0<z,<l,r2>1

122

t_nn/,/[-3。-1=0,/.a=—t~—f=0,/.f=0t=—

若4一°'°<’2<1,則3,此時(shí)方程為3或3,符合題意

若0<4<"=1,則l+24-3a-l=°，:,a=0f此時(shí)方程為『-1=0,??：=±1舍去

J-3a-l>0

若0<4<1冉>1,則jl+24-3a-l<0’不存在

1

a=——

綜上得：3

(3)

、m<—<n,m</(x).乙、//、

因?yàn)椤癤)是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，所以2mm且"⑼=/(〃)=〃

由/(加)=/(〃)作差可得小+/7+。=0,所以n+a=-m

由/m)=”可得〃5+〃)—(〃+")―1=0,所以一m九+m_]=0,所以〃

因?yàn)閙,"為整數(shù)且相<〃，所以m=-L〃-1=1,即〃2=T,〃=2,

12

此時(shí)a=TJ(x)=xr符合題意

所以存在m=-l,n=2,使得〃"/(力的解集恰好是［叫川.

19、已知數(shù)列｛"加滿(mǎn)足"'一5,3*=24+1,“為正整數(shù)

(1)證明：數(shù)列｛""｝是等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；

(2)證明：數(shù)列也｝中的任意三項(xiàng)bi,瓦(i<j<k)都不成等差數(shù)列：

(3)若關(guān)于正整數(shù)n的不等式'也，〉機(jī)的解集中有且僅有三個(gè)元素，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

答案：

"W嚴(yán)，(〃eN*)

(1)證明見(jiàn)解析；43

(2)證明見(jiàn)解析

38

--<<-

3X49

71

解析：

(1)將所給等式3aL=2"：+1變形為=2(1-%)2,根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明結(jié)論；

(2)假設(shè)存在%，嘰成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可推出矛盾，故說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤。從而

證明原結(jié)論；

5+1)%1

(3)求出n=l,2,3,4時(shí)的情況，再結(jié)合〃23時(shí)，也，即可求得結(jié)果

(1)

由已知可知，顯然有"”*±1,否則數(shù)列也"｝不可能是等比數(shù)列；

因?yàn)?,2=>4,故可得4,

2

由3%=2d+1得：3(l-a?+1)=2(1-a/?,

如「

即有""3,所以數(shù)列也"｝是等比數(shù)列，

(2)

假設(shè)存在4,",A)成等差數(shù)列，

則溝=々+包，即2椅(|嚴(yán)=注產(chǎn)+》|產(chǎn),

13

整理得2f=3'"+2f3M,即盧印泊―3b）=2?T,

而2尸泊-3尸是奇數(shù)，故上式左側(cè)是奇數(shù)，右側(cè)是一個(gè)偶數(shù)，不可能相等,

故數(shù)列?"｝中的任意三項(xiàng)"J都不成等差數(shù)列；

（3）

關(guān)于正整數(shù)"的不等式曲即了（3）

8

3<-

班

當(dāng)

時(shí)

m<—<nm<當(dāng)n9

當(dāng)n=l時(shí)，4=3=4

（n+1）%2（〃+1）＜]

并且當(dāng)〃23時(shí)，曲3〃,

因關(guān)于正整數(shù)n的不等式也＞m的解集中有且僅有三個(gè)元素,

38

--<m<-

故49

20、設(shè)等差數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為整數(shù)，且滿(mǎn)足對(duì)任意正整數(shù)〃，總存在正整數(shù)加，使得4+%+…+4=4,,

則稱(chēng)這樣的數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)P.

（1）若數(shù)列｛"）的通項(xiàng)公式為&"=2〃，數(shù)列｛《J是否具有性質(zhì)P?并說(shuō)明理由；

（2）若4=3,求出具有性質(zhì)P的數(shù)列｛4｝公差的所有可能值；

（3）對(duì)于給定的可，具有性質(zhì)戶(hù)的數(shù)列｛""｝是有限個(gè)，還是可以無(wú)窮多個(gè)？（直接寫(xiě)出結(jié)論）

答案：

（1）數(shù)列｛“"｝具有性質(zhì)產(chǎn)，理由見(jiàn)解析；

（2）±1,3；

（3）有限個(gè).

解析：

（1）由題意％+/+…+%=2x（l+2+3+…+〃），由性質(zhì);＞的定義，即可知｛叫是否具有性質(zhì)P.

（2）由題設(shè)，存在）,結(jié)合已知得心2且~k-2,則

4+%+…+〃“=4+----d

-2」，由性質(zhì)尸的定義只需保證”為整數(shù)即可確定公差的所有可能

值；

J=-^-eZ上工工

（3）根據(jù)（2）的思路，可得4*2且k-2,由4+%+…為整數(shù)，在為為定值只需"為整數(shù)，

14

即可判斷數(shù)列｛""｝的個(gè)數(shù)是否有限.

(1)

由q=2〃，對(duì)任意正整數(shù)〃，4+出+…+%=2x(l+2+3+…+〃)，

說(shuō)明4+%+…+4,仍為數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)，

數(shù)列加"｝具有性質(zhì)P.

(2)

設(shè)｛“"｝的公差為".由條件知:4+%=怎("*")，則2q+d=4+伙T)",即儀-2)d=q.

,必有E且八臺(tái)3([、力1喳n—l

a?^al+[n-1)d=a]+-—a]=3+--x3

口,則K—乙K一乙

n(n-l)

a\+4+…+?！?na\+-d--=-q--+(w-l)伏-2)+微

而此時(shí)對(duì)任意正整數(shù)",

(n-l)(A:-2)+-

又“，〃-1必一奇一偶，即2」為非負(fù)整數(shù)

d=3

因此，只要‘-"2為整數(shù)且％-2+1N0,

mn

4]+(〃-1)(我-2)+—^―

那么L2為｛%｝中的一項(xiàng).

易知：左-2可取±1,3,對(duì)應(yīng)得到3個(gè)滿(mǎn)足條件的等差數(shù)列.

(3)

同(2)知：4+“2=%(&eN"),則4=伏-2M

d=-^-eZ4+a,+…+=4+(〃—1)(女-2)H—d

..?必有左=2且k-2，則2

故任意給定4,公差”均為有限個(gè)，

???具有性質(zhì)尸的數(shù)列｛“"｝是有限個(gè).

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)性質(zhì)戶(hù)的定義，在第2、3問(wèn)中判斷4+%+…+可滿(mǎn)足等差數(shù)列｛%｝通項(xiàng)公式，結(jié)合各項(xiàng)

均為整數(shù)，判斷公差的個(gè)數(shù)是否有限即可.

_r~v~3

A

—+2_=1￡(1-)

21、已知橢圓°：/h2(a>b>Q)的離心率為5,且過(guò)點(diǎn)‘2.

15

(1)求橢圓C的方程；

(2)點(diǎn)、M、N在C上，且直線(xiàn)AA7、AN的斜率滿(mǎn)足心加+砥N=1,若AP,MN于尸，在平面內(nèi)是否存在

定點(diǎn)°，使得戶(hù)@是一個(gè)確定的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

答案：

丁+「一1

(1)43

(-1-2)

(2)存在，定點(diǎn)為24.

解析：

⑴利用給定條件列式計(jì)算求出橢圓C的方程.

⑵討論直線(xiàn)MN斜率不存在的情況，直線(xiàn)MN斜率存在時(shí)設(shè)出直線(xiàn)MN的方程，再與橢圓C的方程聯(lián)立，借

助韋達(dá)定理計(jì)算判斷作答.

(1)

江+《=11￡=1

令橢圓C：/b23"的半焦距為c,由離心率為5得：。-2,即。=2c,b=?,

9

22

xy3141

--7=1A(l,—)---H-=1

則橢圓的方程為4，3c2,而點(diǎn)2在橢圓上，即4c23廠(chǎng),解得c-2=l,

22

工+工=1

所以橢圓的方程為43.

(2)

\x=t+&2-3產(chǎn)

當(dāng)直線(xiàn)MN斜率不存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MMx=由13/+分2=12解得,一一一廠(chǎng)

3J12-3產(chǎn)3J12-3-

2I”+左AN=----------+-----------==1

則‘I1—1—,解得『=-2,矛盾，因此，直線(xiàn)MN斜率存在，