北師大版小學(xué)五年級數(shù)學(xué)下冊奧數(shù)講座第十二課（容斥原理）

五年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)專題講座第十二課《容斥原理》難題練習(xí)及題目答案

五年級奧數(shù)下冊：第十二講容斥原理

第十二講容斥原埋

在很多計數(shù)問題中常用到數(shù)學(xué)上的一個包含與排除原理，也稱為容斥原理.

為了說明這個原理，我們先介紹一些集合的初步知識。

在討論問題時，常常需要把具有某種性質(zhì)的同類事物放在一起考慮.如：

A={五（1）班全體同學(xué)）.我們稱一些事物的全體為一個集合4=（￡（1）班

全體同學(xué)}就是一個集合。

例1B={全體自然數(shù)）={1,2,3,4,-}是一個具體有無限多個元素的集

例2C={在1,2,3,100中能被3整除的數(shù)＞=（3,6,9,12,…，99}

是一個具有有限多個元素的集合。

集合通常用大寫的英文字母A、B、C、…表示.構(gòu)成這個集合的事物稱為這

個集合的元素.如上面例子中五（1）班的每一位同學(xué)均是集合A的一個元素.又

如在例1中任何一個自然數(shù)都是集合B的元素.像集合B這種含有無限多個元素的

集合稱為無限集.像集合C這樣含有有限多個元素的集合稱為有限集.有限集合所

含元素的個數(shù)常用符號冏、|B|、|C|、…表示。

記號AUB表示所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合.就是右邊

示意圖中兩個圓所覆蓋的部分.集合AUB叫做集合A與集合B的并集.“U”讀作

“并”，%08"讀作“并3”。

例3設(shè)集合A={1,2,3,4},集合B={2,4,6,8},則AUB={1,2,

3,4,6,8}一元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只寫一個。

記號APIB表示所有既屬于集合A也屬于集合B中的元素的全體.就是上頁圖

中陰影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所組成的集合.它稱為集

合A、B的交集.符號“D”讀作“交”，“ACIB”諛作“A交B”.如例3中的集

合A、B,則AC1B={2,4}。

下面再舉例介紹補集的概念。

例4設(shè)集合1={1,3,5,7,9},集合A={3,5,1}。

A={屬于集合I,但不屬于集合A的全體元素}=（1,9）。

我們稱屬于集合I但不屬于集合A的元素的集合為集合A在集合I中的

補集（或余集），如右圖中陰影部分表示的集合（整個長方形表示集合I）.

常記作鼠

如例4中云={1,9}就是集合A在集合I中的補集。

顯然，A和A沒有公共元素，即表示空集，即沒有元

素的集合）。

此外，AUA=L

對于兩個沒有公共元素的集合與陽，顯然有|AUB|=|A|+|B|。

例如，A={1,2,100},B={101},則

AUB={1,2,…，100,101},AClB=6，

所以|AUB|=101=100+l=|A|+|B|o

如果集合A與B有公共元素，例如

A={1,2,100},B={90,91,101},則AClB=（90,

91,100},AUB={1,2,…，101}.此時，|AUB|與|A|+|B府什么關(guān)系呢?

在這個例中，|AUB|=101,|A|+|B|=100+12=112O

所以|AUB|=|A|+|B|-11

我們注意到，11恰為AHB的元素個數(shù)一這是合理的，因為在求|AUB|時，

90,91,…，10啦11個數(shù)各被計入一次，而在求|A|+|B|時，這11個數(shù)各被計

入兩次（即多算了一次），并且這11個數(shù)組成的集合恰為APIB.因此得到

|AUB|=|A|+|B|-|AnB|,（1）

這就是

關(guān)于兩個集合的容斥原理：集合A與B的并的元素個數(shù)，等于集合A的元素

個數(shù)與集合B的元素個數(shù)的和，減去集合A與B的交的元素個數(shù)。

（1）是容斥原理的第一個公式.我們還可以用右圖來說明.如圖我們用N1、

N2、N3分別表示AUB中互不重疊的部分的元素個數(shù)?？梢姡簗A|=N1+N3,

|B|=N2+N3,|AriB|=N3.因此|AUB|=N1+N2+N3=（N1+N3）+（N2+

N3）-N3=|A|+|B|-|AAB|o

我們知道，當集合A與B沒有公共元素時，有

|AUB|=|A|+|B|.

實際上這是公式Q）的特殊情形，因為此時

IAAB|=|OI=oo

例5桌上有兩張圓紙片A、B.假設(shè)圓紙片A的面積為30平方厘米，圓紙片B的面

積為20平方厘米.這兩張圓紙片重疊部分的面積為10平方厘米則這兩張圓紙片

覆蓋桌面的面積由容斥原理的公式（1）可以算出為：IAUBI=30+20-10=

40（半方厘米）。

例6求在1至100的自然數(shù)中能被3或7整除的數(shù)的個數(shù)。

分析解這類問題時首先要知道在一串連續(xù)自然數(shù)中能被給定整數(shù)整除的

數(shù)的個數(shù)規(guī)律是：在n個連續(xù)自然數(shù)中有且僅有一個數(shù)能被n整除根據(jù)這個規(guī)律

我們可以很容易地求出在1至100中能被3整除的數(shù)的個數(shù)為33個，被7整除的數(shù)

的個數(shù)為14個，而其中被3和7都能整除的數(shù)有4個，因而得到

解：設(shè)人=｛在1~100的自然數(shù)中能被3整除的數(shù)｝,

B=｛在1700的自然數(shù)中能被7整除的數(shù)｝,則

AAB=｛在1~100的自然數(shù)中能被21整除的數(shù)｝。

:100+3=33…1,二IAI=33。

,.'100-7=14-2,IBI=14。

■/100-21=4-16,?.IADBI=4?

由容斥原理的公式（1）：IAUBI=33+14-4=43。

答：在1~100的自然數(shù)中能被3或7整除的數(shù)有43個。

例7求在1~100的自然數(shù)中不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個？

分析如果在1~100的自然數(shù)中去掉5的倍數(shù)、6的倍數(shù)，剩下的數(shù)就既不

是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)，即問題要求的結(jié)果。

解：設(shè)人=｛在1~100的自然數(shù)中5的倍數(shù)的數(shù)）,

B=｛在1~100的自然數(shù)中6的倍數(shù)的數(shù)｝,

則問題就是要求AUB在集合｛1,2,100｝中的補集鼠區(qū)的元素個

數(shù)為此先求IAUBIo

:100+50=20,IAI=20

XV100*6=16-4,IBI=16

V100-30=3-10,

/.IAP1BI=3,

IAUBI=IAI+IBI-IAP1BI=20+16-3=33。

IAUBI=100-IAUBI=100-33=67（個）。

答：在1~100的自然數(shù)中既不是5的倍數(shù)又不是6的倍數(shù)的數(shù)共67個。

我們也可以把公式（1）用于求幾何圖形的面積.這時，折咕是平面上的兩

個點集（即點的集合），都是幾何圖形"AI,IBI,…分別表示A的面積，

B的面積，…。

例8設(shè)下面圖中正方形的邊長為1厘米，半圓均以正方形的邊為直徑，求圖中陰

影部分的面積。

分析如圖，四個直徑為1厘米的半圓不但蓋住了正方形，還有四個重疊部分.這

正好是要求的陰影部分的面積.或者，用A表示上、下兩個半圓，用B表示左、

右兩個半圓，則AUB為邊長為1厘米的正方形，AAB為圖中陰影部分.由（1）

可得

IAAB1=1Al+lBl-lAUBI,

因此可求出陰影部分的面積。

解法1：大正方形面積=4個直徑為1厘米的半圓面積-陰影圖形面積

二?陰影圖形面積=2個直徑為1厘米的圓面積-正方形面積=2X兀X

-IX1=0.57（平方厘米）。

解法2：我們從圖（a）的對稱性分出其中的;圖形.圖中葉狀陰影圖形

面積的一半等于半徑為9厘米的圓面積的;減去邊為!厘米的正方形面積的

一個葉狀陰影面積=2X-XTTXX一X一

4

=0.57X-（平方厘米）。

二上頁圖（a）中陰影面積=0.57（平方厘米）。

答：陰影面積為0.57平方厘米。

上面的例子是把一組事物按兩種不同的性質(zhì)來分類后，求具有其中一種性

質(zhì)的元素個數(shù)問題.如果把一組事物按三種不同性質(zhì)來分類后，求具有其中一種

性質(zhì)的元素個數(shù)的公式該是什么樣的呢？我們?nèi)杂脠D形來說明它具有與公式

（1）類似的公式：

IAUBUC|=|Al+lB|+|C|-|APIBI-IADCI-IBPlCI+

IAABACI,（2）

其中AUBUC=AU（BUC）,AClBnC=An（BClC）.

右圖中三個圓A、B、C分別表示具有三種不同性質(zhì)的集合，并如圖用Ml、

M2、M3、…、M7表示由三個圓形成的內(nèi)部互不重疊的部分所含元素的個數(shù),

可見：

IAUBUCI=M1+M2+-+M7

=（M1+M4+M6+M7）+（M2+M4+M5+M7）+（M3+M5+M6+

M7）-［（M4+M7）+（M5+M7）+（M6+M7）］+M7

=|A|+|B|+|C|-|APBI-IBACI-IAACI+IAriBHC

I,

即公式（2）成立。

事實上這個規(guī)律還可推廣到按多種性質(zhì)來分類的情形.設(shè)集合M中的每個元

素至少具有t種性質(zhì)中的一種，用％表示各個具有1種性質(zhì)的集合中的元素個數(shù)

的和，”表示各個具有2種性質(zhì)的集合中元素個數(shù)的和，…，n.表示具有t種性質(zhì)

的集合力元素的個數(shù)，則集合M中元素的個數(shù)m為：

m=ni-n；+%-%+…士nt

最后一項當t為偶數(shù)時取“號，否則取“+”號。

例9某校有學(xué)生960人，其中510人訂閱“中國少年報”，330人訂閱“少年文

藝“，120人訂閱“中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)報”；其中有270人訂閱兩種報刊，有58人

訂閱三種報刊.問這個學(xué)校中沒有訂閱任何報刊的學(xué)生有多少人？

解：設(shè)人=｛訂“中國少年報”的學(xué)生）,

B=｛訂“少年文藝”的學(xué)生》,

C=｛訂“中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)報”的學(xué)生》,

1=｛全校學(xué)生〉,

則問題是要求AUBUC^I中的補集AUBUC所含元素的個數(shù)：

IAUBUCI=960-IAUBUCI=960-（510+330+120-270+58）

=212（人）。

答：全校有212名學(xué)生沒訂閱任何報刊。

例10在一次數(shù)學(xué)競賽中，甲答錯了題目總數(shù)的：，乙答錯了遁，

甲、乙都錯的題占題目總數(shù)的!，求甲、乙都答對的題目數(shù)。

6

題目號中嚏f，b設(shè)這攀春蓼普，用委目；B分別表示甲、乙答錯的

舞黑藏的賽程端褊廉罐能的集合沖形成的

|c+b=3,（2）

將⑶代入⑴…沁,

數(shù)：然意爵:、，Ac、躅表示題目的道數(shù)，應(yīng)為自然數(shù)或零，因此k為12的倍

將（3）代入（2）：|+b=3,

0

b=3（30）o

6

?'.k=12,b=1,c=2,a=l,d=12-（a+b+c）=12-（1+2+1）=8

（道）。答：甲、乙兩人都對的題共8道。

五年

級奧數(shù)下冊：第十二講容斥問題習(xí)題

習(xí)題十二

1.某班有50人，會游泳的有27人，會體操的有18人，都不會的有15人.問

既會游泳又會體操的有多少人？

2.在1~1000這1000個自然數(shù)中，不能被2、3,5中任何一個數(shù)整除的數(shù)

有多少個？

3.五環(huán)圖中每一個環(huán)內(nèi)徑為4厘米，外徑為5厘米.其中兩兩相交的小曲邊

四邊形（右圖中陰影部分）的面積相等.已知五個圓環(huán)蓋住的總面積是122.5平

方厘米.求每個小曲邊四邊形的面積。

4.某班全體學(xué)生進行短跑、游泳和籃球三項測驗，有4個學(xué)生這三項均未

達到優(yōu)秀，其余每人至少一項達到優(yōu)秀，這部分學(xué)生達到優(yōu)秀的項目及人數(shù)如

下表：

短跑游泳以球短跑及游泳海冰及籃球短跑及誑球三項

問這個班有多少名學(xué)生？

5.有100位學(xué)生回答A、B兩題.A、B兩題都沒回答對的有10人，有75人答

對A題，83人答對B題，問有多少人A、B兩題都答對？

6.在一次數(shù)學(xué)競賽中甲答錯題目總數(shù)的乙答對7道題，兩人都對的

題目是題目總數(shù)的1，問：甲答對了多少道題？

6

五年級奧數(shù)下冊：第十二講容斥問題習(xí)題解答

習(xí)題十二解答

1.因至少會游泳或體操的人數(shù)有50-15=35（人）。答：既會游泳又會體

操的人數(shù)=27+18-35=10（人）。

2.設(shè)4=｛在1~1000的自然數(shù)中能被2整除的數(shù)｝,

B=｛在1~1000的自然數(shù)中能被3整除的數(shù)｝,

C=｛在1~100