新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用習(xí)題課導(dǎo)數(shù)的概念及運算法則課后訓(xùn)練北師大版選擇性必修第二冊

習(xí)題課——導(dǎo)數(shù)的概念及運算法則課后訓(xùn)練鞏固提升1.函數(shù)f(x)可導(dǎo),則limΔx→0fA.f'(x) B.f'(2) C.f(x) D.f(2)答案:B2.下列結(jié)論中正確的是().A.若y=cos1x,則y'=-1xB.若y=sinx2,則y'=2xcosx2C.若y=cos5x,則y'=-sin5xD.若y=12xsin2x,則y'=xsin2解析:對于A,y=cos1x,則y'=1x2sin1x,對于B,y=sinx2,則y'=2xcosx2,故B正確;對于C,y=cos5x,則y'=-5sin5x,故C錯誤;對于D,y=12xsin2x,則y'=12sin2x+xcos2x,故D故選B.答案:B3.設(shè)直線y=12x+b是曲線y=f(x)=lnx(x>0)的一條切線,則實數(shù)b的值為()A.ln2-1 B.ln2-2C.2ln2-1 D.2ln2-2解析:設(shè)切點坐標(biāo)為(x0,lnx0),則f'(x0)=1x0=12,即x0=又切點在直線y=12x+b上∴l(xiāng)n2=1+b,即b=ln2-1.答案:A4.已知函數(shù)f(x)=3x+cos2x+sin2x,a=f'π4,f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則過曲線y=x3上一點P(a,b)的切線方程為()A.3x-y-2=0B.4x-3y+1=0C.3x-y-2=0或3x-4y+1=0D.3x-y-2=0或4x-3y+1=0解析:由f(x)=3x+cos2x+sin2x,得f'(x)=3-2sin2x+2cos2x,則a=f'π4=3-2sinπ2+2cosπ2∵點P(a,b)在曲線y=x3上,且a=1,∴b=1.∴點P的坐標(biāo)為(1,1).由y=x3,得y'=3x2.當(dāng)P為切點時,切線的斜率k=3×12=3.此時,切線方程為y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.當(dāng)P不是切點時,設(shè)切點坐標(biāo)為(x0,x03),則切線的斜率k=3∴切線方程為y-x03=3x02(將點P的坐標(biāo)代入切線方程,得1-x03=3x02∴2x03-3x02+1=0,即2x03-即(x0-1)2(2x0+1)=0,可得切點坐標(biāo)為-12,-18,此時,切線方程為y+18即3x-4y+1=0.綜上,滿足題意的切線方程為3x-y-2=0或3x-4y+1=0,故選C.答案:C5.設(shè)函數(shù)f(x)=cos(3x+φ)(0<φ<π),若f'33π=32,則φ=;若f(x)+f'(x)是奇函數(shù),則φ=.

解析:f'(x)=-3sin(3x+φ).由條件知,f'33π=-3sin(π+φ)=3sinφ=32,有sinφ=12∵0<φ<π,∴φ=π6或φ=5又f(x)+f'(x)=cos(3x+φ)-3sin(3x+φ)=2sin3x+φ+5π6,若f(x)+f'(x)為奇函數(shù),則f(0)+f'(0)=0,即0=2sinφ+5π6,∴φ+5π6=kπ(k∈Z∵φ∈(0,π),∴φ=π6答案:π6.如圖,y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù),直線l:y=kx+2是曲線y=f(x)在x=3處的切線.令g(x)=xf(x),其中g(shù)'(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù),則g'(3)=.

(第6題)解析:由題圖可知切點坐標(biāo)為(3,1),將其代入直線l的方程得k=-13,則f'(3)=-1又因為g(x)=xf(x),所以g'(x)=f(x)+xf'(x),所以g'(3)=f(3)+3f'(3),由題圖可知f(3)=1,所以g'(3)=1+3×-13=答案:07.曲線y=f(x)=ax(a>0)與曲線y=g(x)=lnx有公共點,且在公共點處的切線相同,求a的值.解:設(shè)公共點的坐標(biāo)為(m,lnm)(m>0).∵函數(shù)f(x)=ax(a>0)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=a2x,函數(shù)g(x)=12lnx的導(dǎo)函數(shù)g'(x)∴f'(m)=a2m,g'(m)=由f'(m)=g'(m),即a2m=得a=1m又lnm=am=1∴m=e,則a=1m8.若存在過點O(0,0)的直線l與曲線y=f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,求實數(shù)a的值.解:易知點O(0,0)在曲線y=f(x)=x3-3x2+2x上.當(dāng)O(0,0)是切點時,由f'(x)=3x2-6x+2,得f'(0)=2,即直線l的斜率為2,故直線l的方程為y=2x.由y=2x,y=x2依題意Δ=4-4a=0,解得a=1.當(dāng)O(0,0)不是切點時,設(shè)直線l與曲線y=f(x)=x3-3x2+2x相切于點P(x0,y0),則y0=x03-3x02+由f'(x)=3x2-6x+2,得直線l的斜率k=f'(x0)=3