高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 壓軸題思維練三 文科試題

壓軸題思維練三1.(2016·甘肅診斷)已知橢圓C:x2a2+y(1)求橢圓C的方程;(2)點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),四邊形ONPM的面積為S,如果四邊形ONPM是平行四邊形,且S=λb2,試求出該λ的值.2.(2016·荊、荊、襄、宜四地聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=xe(1)記F(x)=f(x)-g(x),證明F(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有且僅有唯一零點(diǎn);(2)記F(x)在(1,2)內(nèi)的零點(diǎn)為x0,m(x)=min{f(x),g(x)},若m(x)=n(n∈R)在(1,+∞)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根x1,x2(x1<x2),判斷x1+x2與2x0的大小,并給出證明.壓軸題思維練三1.解:(1)c=1,kOM=233=b2ac=b2ac=a2解得a=3,所以b=a2-c故橢圓C的方程為x23+(2)設(shè)直線l:x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),則聯(lián)立x消x得(2m2+3)y2y1+y2=-4m2m2+3,y設(shè)線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則y0=y1+yx0=my0+1=32所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(62m2+3又P在C上,所以滿足橢圓的方程,得2m2即m2=12所以y1+y2=-m,y1y2=-1.因此S=c|y1-y2|=m2+4=322=λb2=2λ?2.(1)證明:F(x)=xlnx-xex,定義域?yàn)?0,+F′(x)=1+lnx+x-而x∈(1,2),故F′(x)>0,即F(x)在(1,2)上單調(diào)遞增.又F(1)=-1eF(2)=2ln2-2e而F(x)在(1,2)上連續(xù),故根據(jù)零點(diǎn)存在性定理有F(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有且僅有唯一零點(diǎn).(2)解:當(dāng)0<x≤1時(shí),f(x)=xlnx≤0,而g(x)=xe故此時(shí)有f(x)<g(x),由(1)知,F′(x)=1+lnx+x-當(dāng)x>1時(shí),F′(x)>0,且存在x0∈(1,2)使得F(x0)=f(x0)-g(x0)=0,故1<x<x0時(shí),f(x)<g(x);當(dāng)x>x0時(shí),f(x)>g(x).因而m(x)=x顯然當(dāng)1<x<x0時(shí),m(x)=xlnx,m′(x)=1+lnx>0,因而m(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>x0時(shí),m(x)=xex,m′(x)=m(x)=n在(1,+∞)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根x1,x2,則x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞).顯然當(dāng)x2→+∞時(shí),x1+x2>2x0,下面用分析法給出證明.要證:x1+x2>2x0即證x2>2x0-x1>x0,而m(x)在(x0,+∞)上遞減,故可證m(x2)<m(2x0-x1),又m(x1)=m(x2),即證m(x1)<m(2x0-x1),即x1lnx1<2x記h(x)=xlnx-2x0-其中h(x0)=0.h′(x)=1+lnx+1+=1+lnx+1e2x記(t)=tet,′(t)=1-當(dāng)t∈(0,1)時(shí),′(t)>0;t∈(1,+∞)時(shí),′(t)<0,故(t)max=1e,而(t)>0,故0<(t)<1e,而2x0-x>0,從而-1e<-2因此h′(x)=1+ln