4.3.2等比數列的前n項和公式5題型分類（原卷版）

n項和公式5題型分類一、等比數列的前n項和公式若等比數列{}的首項為，公比為q，則等比數列{}的前n項和公式為

=.二、等比數列前n項和公式與指數函數的關系(1)當q=1時，=是關于n的正比例函數，點(n,)是直線y=x上的一群孤立的點.(2)當q≠1時，=.記A=，則=+Aq>0且q≠1時，y=是指數函數，此時，點(n,)是指數型函數y=+A圖象上的一群孤立的點.三、等比數列前n項和的性質已知等比數列{}的公比為q，前n項和為，則有如下性質：

(1).

(2)若(k)均不為0，則成等比數列，且公比為.

(3)若{}共有2n(n)項，則=q；

若{}共有(2n+1)(n)項，則=q.（一）等比數列基本量的求解1．等比數列的通項公式：an＝a1qn－1＝amqnm＝eq\f(a1,q)qn.2．等比數列的前n項和公式：Sn=a113.等比數列基本量的運算:在等比數列的通項公式和前n項和公式中，共涉及五個量：a1，an，n，q，Sn，做到“知三求二”．題型1：等比數列前n項和基本量的求解11．（2023·全國·高二專題練習）在等比數列{an}中.（1）S2＝30，S3＝155，求Sn；（2）a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；（3）a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.12．（2023上·四川成都·高二校考階段練習）已知遞增的等比數列中，，，則（

）A．25 B．31 C．37 D．4113．（2023·浙江·）設為等比數列的前項和，，則A．11 B．5 C． D．14．（2023上·四川·高三樹德中學校考階段練習）設正項等比數列的前n項和為，若，則公比（

）A．2 B． C．2或 D．2或15．（2023上·江西·高三校聯考階段練習）記正項等比數列的前n項和為，若，則該數列的公比（

）A． B． C．2 D．316．（2023上·河南安陽·高三統(tǒng)考開學考試）已知等比數列的前n項和，則（

）A． B． C． D．17．（2023下·高二課時練習）在等比數列中，若，則（

）A． B． C． D．18．（2023下·高二課時練習）已知是等比數列，，，則（

）A． B． C． D．19．（2023上·河南安陽·高二林州一中階段練習）設數列的前項和為，點均在直線上．若，則數列的前項和.110．（2023上·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）中國古代數學著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔仔細算相還”.其大意為：“有一人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”.則下列說法正確的是（

）A．該人第五天走的路程為14里B．該人第三天走的路程為42里C．該人前三天共走的路程為330里D．該人最后三天共走的路程為42里111．（2023·湖南·統(tǒng)考二模）在流行病學中，基本傳染數是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數.一般由疾病的感染周期?感染者與其他人的接觸頻率?每次接觸過程中傳染的概率決定，假設某種傳染病的基本傳染數，平均感染周期為7天，那么感染人數由1（初始感染者）增加到999大約需要的天數為（

）（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，這個人每人再傳染個人為第二輪傳染……參考數據：）A．42 B．56 C．63 D．70（二）等比數列前n項和的性質等比數列前n項和的性質已知等比數列{}的公比為q，前n項和為，則有如下性質：

(1).

(2)若(k)均不為0，則成等比數列，且公比為.

(3)若{}共有2n(n)項，則=q；

若{}共有(2n+1)(n)項，則=q.題型2：等比數列片段和性質及應用21．（2023下·寧夏石嘴山·高一平羅中學校考期中）等比數列的前n項和為，已知，，則（

）A． B． C． D．22．（2023·高二課時練習）已知各項為正的等比數列的前5項和為3，前15項和為39，則該數列的前10項和為（

）A． B． C．12 D．1523．（2023上·寧夏銀川·高二銀川九中階段練習）設等比數列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．24．（2023·江西·校聯考模擬預測）已知等比數列的前n項和為，公比為，且，則（

）A．36 B．39 C．40 D．4425．（2023·全國·高三專題練習）已知數列是等比數列，為其前n項和，若，，則（

）A．40 B．60 C．32 D．5026．（2023上·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中?？奸_學考試）已知等比數列的前項和為，，，則A． B． C． D．27．（2023上·貴州銅仁·高二貴州省思南中學?？茧A段練習）設正項等比數列的前項和為，，則公比等于（

）A． B． C． D．題型3：等比數列奇、偶項和的性質及其應用31．（2023·全國·高二學業(yè)考試）已知一個項數為偶數的等比數列，所有項之和為所有偶數項之和的倍，前項之積為，則（）A． B．C． D．32．（2023上·河南·高二校聯考階段練習）已知等比數列共有32項，其公比，且奇數項之和比偶數項之和少60，則數列的所有項之和是（

）A．30 B．60 C．90 D．12033．（2023上·全國·高三校聯考階段練習）已知數列的前項和，則數列的前10項中所有奇數項之和與所有偶數項之和的比為（

）A． B．2 C． D．34．（2023上·陜西寶雞·高三統(tǒng)考階段練習）已知等比數列中，，，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5題型4：等比數列前n項和的其他性質41．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）已知等比數列的公比q，前n項的和，對任意的，恒成立，則公比q的取值范圍是．42．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預測）已知為等比數列，的前n項和為，前n項積為，則下列選項中正確的是（

）A．若，則數列單調遞增B．若，則數列單調遞增C．若數列單調遞增，則D．若數列單調遞增，則43．（2023上·河南·高二校聯考階段練習）已知等比數列的前項和，則函數的最小值．44．（2023·全國·高三專題練習）設等比數列的公比為q，前n項和為，前n項積為，并滿足條件，，則下列結論中不正確的有（

）A．q>1B．C．D．是數列中的最大項45．（2023上·河南鄭州·高二鄭州外國語學校?？计谥校┰O等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，，，則下列結論正確的是（

）A．

B．

C．的最大值為

D．的最大值為46．（2023·四川成都·校聯考三模）已知等比數列的前項和滿足，數列滿足，其中，給出以下命題：①；②若對恒成立，則；③設，，則的最小值為；④設，若數列單調遞增，則實數的取值范圍為．其中所有正確的命題的序號為．（三）等差數列與等比數列的綜合應用1．等差數列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d=am＋(n－m)d.等差數列的前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).2.等比數列的通項公式：an＝a1qn－1＝amqnm＝eq\f(a1,q)qn.等比數列的前n項和公式：Sn=a113.根據具體條件，借助等差、等比數列的通項公式、性質、求和公式等進行轉化求解即可.題型5：等差數列與等比數列的綜合應用51．（2023下·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學校?？茧A段練習）在正項等比數列中，，是，的等差中項，則.52．（2023下·吉林長春·高二東北師大附中?？计谥校┮阎獢盗袨榈缺葦盗?，若，且與的等差中項為，則的值為．53．（2023·江蘇·校聯考模擬預測）若數列是等比數列，且是與的等差中項，則．54．（2023上·河南·高三統(tǒng)考階段練習）已知等比數列的前項和為．若為和的等差中項，，則．55．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）已知等比數列的公比為，前項和為，則下列命題中錯誤的是（

）A．B．C．，，成等比數列D．“”是“，，成等差數列”的充要條件56．（2023下·廣西·高三校聯考階段練習）已知數列的前項和為，其中，，，成等差數列，且，則（

）A． B． C． D．一、單選題1．（2023·安徽·統(tǒng)考模擬預測）已知項數為奇數的等比數列的首項為1，奇數項之和為21，偶數項之和為10，則這個等比數列的項數為（

）A．5 B．7 C．9 D．112．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習）已知正項等比數列前項和為，且，，則等比數列的公比為（

）A． B．2 C． D．33．（2023·高二課時練習）在數列中，（為非零常數），且其前n項和，則實數的值為（

）A． B． C． D．4．（2023下·黑龍江綏化·高二綏化市第九中學?？计谀┮阎獢盗械那皀項和為，q為常數，則“數列是等比數列”為“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要5．（2023上·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習）等比數列的前n項和，則（

）A． B．2 C．1 D．6．（2023上·山東·高三統(tǒng)考階段練習）已知數列滿足，若數列前5項的和為31，則的值為（

）A．8 B．16 C．31 D．327．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預測）在數列中，，，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．68．（2023·江蘇南通·沭陽如東中學校聯考模擬預測）著名的“康托三分集”是數學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于，則需要操作的次數n的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．99．（2023上·江蘇無錫·高二江蘇省梅村高級中學?？茧A段練習）我國明代著名樂律學家?明宗室王子朱載堉在《律學新說》中提出的十二平均律，即是現代在鋼琴的鍵盤上，一個八度音程從一個c鍵到下一個鍵的8個白鍵與5個黑鍵(如圖)的音頻恰成一個公比為的等比數列的原理，也即高音的頻率正好是中音c的頻率為440Hz，那么頻率為的音名是（

）A．d B．f C．e D．#d10．（2023上·天津河北·高三天津外國語大學附屬外國語學校校考階段練習）已知是首項為1的等比數列，是的前項和，且，則（

）A．31 B． C．31或5 D．或511．（2023·全國·高三專題練習）設等比數列中，前n項和為，已知，，則等于（

）A． B．C． D．12．（2023上·四川南充·高二閬中中學校考開學考試）設為等比數列的前項和，且則等于（

）A． B． C． D．13．（2023上·河北廊坊·高三校考階段練習）中國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第三天走了（

）A．192里 B．96里 C．48里 D．24里14．（2023·河北·校聯考一模）設正項等比數列的前項和為，若，，則公比（

）A．5 B．4 C．3 D．215．（2023下·遼寧·高二校聯考期中）等比數列的前n項和為，若，，則（

）A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或1216．（2023下·安徽滁州·高二校聯考期中）若等比數列的前n項和為，，，則（

）A． B． C． D．17．（2023下·山東·高二校聯考階段練習）為等比數列的前項和，且，則（

）A． B．C． D．18．（2023上·浙江·高二校聯考階段練習）設等比數列的前項和為，若，則的值是（

）A． B． C． D．419．（2023·高二課時練習）一個等比數列共有項，若前項之和為15，后項之和為60，則這個等比數列的所有項的和為（）A．63 B．72 C．75 D．8720．（2023上·安徽池州·高三統(tǒng)考期末）已知等比數列的公比，前項和為，則其偶數項為（

）A．15 B．30C．45 D．6021．（2023下·浙江·高一校聯考期中）已知一個等比數列首項為，項數是偶數，其奇數項之和為，偶數項之和為，則這個數列的項數為（

）A． B． C． D．22．（2023下·浙江·高一校聯考期中）等比數列中，，，則的值為（

）A． B．C． D．23．（2023上·陜西商洛·高三統(tǒng)考期末）已知等比數列的前n項和為，若，，則（）A．9 B．10 C．12 D．1724．（2023下·河南·高三校聯考階段練習）設數列的前n項和為，若，則（

）A． B． C． D．二、多選題25．（2023·河北·校聯考模擬預測）數學中有各式各樣富含詩意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類．螺旋線這個名詞源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”．小明對螺旋線有著濃厚的興趣，連接嵌套的各個正方形的頂點就得到了近似于螺旋線的美麗圖案，其具體作法是：在邊長為1的正方形中，作它的內接正方形，且使得；再作正方形的內接正方形，且使得；與之類似，依次進行，就形成了陰影部分的圖案，如圖所示．設第個正方形的邊長為（其中第1個正方形的邊長為，第2個正方形的邊長為，…），第個直角三角形（陰影部分）的面積為（其中第1個直角三角形的面積為，第2個直角三角形的面積為，…），則（

）A．數列是公比為的等比數列 B．C．數列是公比為的等比數列 D．數列的前項和26．（2023上·江蘇淮安·高三江蘇省清浦中學校聯考階段練習）已知為等比數列，是其前與的等差中項為20，則（

）A． B．公比C． D．27．（2023上·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知等比數列前項和為，且，是與的等差中項，數列滿足，數列的前項和為，則下列結論正確的是（

）A．數列的通項公式為 B．C．數列是等比數列 D．28．（2023上·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學?？计谀┮阎缺葦盗械那皀項和為，且，是與的等差中項，數列滿足，數列的前n項和為，則下列命題正確的是（

）A．數列的通項公式B．C．數列的通項公式為D．的取值范圍是29．（2023上·山東青島·高二統(tǒng)考期中）已知數列是公比的正項等比數列，是與的等比中項，是與等差中項，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．30．（2023上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）對于數列，設其前項和，則下列命題正確的是（

）A．若數列為等比數列，成等差，則也成等差B．若數列為等比數列，則C．若數列為等差數列，且，則使得的最小的值為13D．若數列為等差數列，且，則中任意三項均不能構成等比數列三、填空題31．（2023·廣東·高考真題）設數列是首項為，公比為的等比數列，則.32．（2023上·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）等比數列的前項和，則．33．（2023下·高二課時練習）在等比數列中，若，則.34．（2023下·高二課時練習）若等比數列的公比為，且，則的前100項和為．35．（2023下·高二課時練習）公差不為0的等差數列的部分項構成等比數列，且，，，則.36．（2023·江蘇·高三專題練習）作邊長為的正三角形的內切圓，在這個圓內作內接正三角形，然后，再作新三角形的內切圓．如此下去，則前個內切圓的面積和是．37．（2023·全國·校聯考一模）設等比數列的前n項和為，若，且，則.38．（2023·高二課時練習）在等比數列中，若，且公比，則數列的前100項和為．39．（2023·高二課時練習）已知等比數列的前n項和為，若，，則．40．（2023上·遼寧沈陽·高三?？茧A段練習）已知數列的前項和，則數列的前項和.41．（2023下·安徽滁州·高二校聯考階段練習）《九章算術》中的“兩鼠穿墻題”是我國數學的古典名題．“今有城墻厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”題意是：“兩只老鼠從城墻的兩邊相對分別打洞穿墻．大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半……”，則前6天兩只老鼠一共穿城墻尺．42．（2023上·浙江溫州·高二統(tǒng)考期末）如圖，一個小球從10m高處自由落下，每次著地后又彈回到原來高度的，若已知小球經過的路程為，則小球落地的次數為．四、解答題43．（2023下·高二課