新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章函數(shù)3函數(shù)的單調(diào)性和最值課后訓(xùn)練北師大版必修第一冊

§3函數(shù)的單調(diào)性和最值課后訓(xùn)練鞏固提升一、A組1.(多選題)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,則對于任意x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列結(jié)論正確的是().A.f(xB.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)<f(x1)<f(x2)≤f(b)D.f(x1)≠f(x2)解析:由函數(shù)單調(diào)性的定義知,函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增,則x1-x2與f(x1)-f(x2)同號,由此可知,選項(xiàng)A,B正確;對于C,若x1>x2,則f(x1)>f(x2),故C不正確;對于D,因?yàn)閒(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào),且x1≠x2,所以f(x1)≠f(x2),故D正確.答案:ABD2.若函數(shù)f(x)=ax+1在R上是減函數(shù),則函數(shù)g(x)=a(x2-4x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是().A.[2,+∞) B.(-∞,2]C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax+1在R上是減函數(shù),所以a<0,所以g(x)=a(x2-4x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間為函數(shù)h(x)=x2-4x+3的單調(diào)遞減區(qū)間.又函數(shù)h(x)=x2-4x+3的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,2],故g(x)=a(x2-4x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,2].答案:B3.若函數(shù)f(x)=4x2-kx-8在區(qū)間[5,8]上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是().A.(-∞,40] B.(40,64)C.(-∞,40]∪[64,+∞) D.[64,+∞)解析:由f(x)=4x2-kx-8=4x-k82-k216-8,得函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=k8,又函數(shù)f(x)在區(qū)間[5,8]上是單調(diào)函數(shù),則k8≤5或k8答案:C4.函數(shù)g(x)=x2-4x+3,x∈(1,4]的值域是().A.[-1,+∞) B.[0,3]C.(-1,3] D.[-1,3]解析:g(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,當(dāng)x=2時,g(x)取得最小值-1;當(dāng)x=4時,g(x)取得最大值3,所以函數(shù)g(x)的值域?yàn)閇-1,3].答案:D5.已知函數(shù)f(x)=(a+3)x-5,x≤1,2ax,x解析:依題意得a解得-2≤a<0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2,0).答案:[-2,0)6.某社區(qū)積極響應(yīng)黨的二十大關(guān)于推進(jìn)城鄉(xiāng)人居環(huán)境整治的號召,改善社區(qū)居民的居住環(huán)境.如圖,欲在一塊銳角三角形空地中,建一座內(nèi)接矩形花園(陰影部分).設(shè)該矩形花園的一邊長為xm,則當(dāng)x=時,該內(nèi)接矩形花園的面積最大,最大面積為m2.

解析:設(shè)矩形花園與邊長為x的一邊相鄰的另一邊的長為ym,且0<y<40,則由題意可得x40=40-y40,即y=40-x(0<x<40),于是矩形花園的面積S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400(0<x<40),故當(dāng)x=20時,答案:204007.函數(shù)y=-x2+3x解析:畫出函數(shù)y=-x2+3x,x>0,答案:08.已知函數(shù)f(x)=2x-1(x(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并證明;(2)求函數(shù)的最大值和最小值.解:(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,6]上是減函數(shù).證明:設(shè)x1,x2是區(qū)間[2,6]上的任意兩個實(shí)數(shù),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=2x由2≤x1<x2≤6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函數(shù)f(x)=2x-1是區(qū)間(2)由(1)可知,函數(shù)f(x)=2x-1(x∈[2,6])在x=2處取得最大值,且最大值是2,在x=6處取得最小值,9.已知函數(shù)f(x)=a-2x(1)若2f(1)=f(2),求a的值;(2)判斷f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性并用定義證明.解:(1)∵2f(1)=f(2),∴2(a-2)=a-1,∴a=3.(2)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上是增函數(shù),證明如下:任取x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=a-∵x1<x2<0,∴x1x2>0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)=a-2x在區(qū)間(-∞,0)上是增函數(shù)10.已知函數(shù)f(x)=-x2+2x-3.(1)求f(x)在區(qū)間[2a-1,2]上的最小值g(a);(2)求g(a)的最大值.解:(1)由題意得,f(x)=-(x-1)2-2,f(2)=-3,f(0)=-3,2a-1<2.所以當(dāng)2a-1≤0,即a≤12時,f(x)最小值=f(2a-1)=-4a2+8a-6當(dāng)0<2a-1<2,即12<a<32f(x)最小值=f(2)=-3.所以g(a)=-(2)由(1)知,當(dāng)a≤12時,g(a)=-4a2+8a-6單調(diào)遞增,所以g(a)≤g(12)=-當(dāng)12<a<32時,g(a)=-3.所以g(a)的最大值為-二、B組1.(多選題)下列關(guān)于函數(shù)f(x)=x+|x-1|的說法正確的有().A.有最小值,且最小值為1B.沒有最小值C.有最大值,且最大值為10D.沒有最大值解析:f(x)=x+|x-1|=2其圖象如圖所示:由圖象可知f(x)的最小值為1,沒有最大值.答案:AD2.函數(shù)f(x)=(3a-1)x+4a,x<A.18,1C.0,13解析:由函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù),知3a-1<0,-綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[18,答案:A3.函數(shù)f(x)=-x+1x在區(qū)間[-2,-13]上的最大值是(A.32 B.-C.-2 D.2解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=-x+1x在區(qū)間-2,-13上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=-2時,f(x)取得最大值,答案:A4.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+2(a>0)在區(qū)間[0,2]上的最大值為8,則a=,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,1]上的取值范圍為.

解析:由題意知函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為直線x=-a2,且-a2<0,故f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值為f(2)=6+2a=8,所以a=1,則f(x)=x2+x+2=(x+12)2+74,其圖象的對稱軸為直線x=-12,又-12∈[-2,1],且f(-12)=74,f(-2)=4,f(1)=4,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間答案:1[745.用min{a,b,c}表示a,b,c三個數(shù)中的最小值,則函數(shù)f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的最大值是.

解析:在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的圖象,如圖所示.由圖象可知,函數(shù)f(x)在x=2時取得最大值6.答案:66.已知函數(shù)y=f(x)(x>0)滿足:f(xy)=f(x)+f(y),當(dāng)x<1時,f(x)>0,且f12=1(1)證明:y=f(x)是區(qū)間(0,+∞)上的減函數(shù);(2)解不等式f(x-3)>f1x-2(1)證明:設(shè)0<x1<x2,則0<x1x2<1,由題意得,f(x1)-f(x2)=fx1x2·x2-f(x2)=fx1x2+f(x2)-f(x2)=fx1∴y=f(x)是區(qū)間(0,+∞)上的減函數(shù).(2)解:由函數(shù)f(x)的定義域知x-3>0,又f12=1,∴f14=f12×12=f12+f1由f(x-3)>f1x-2,得f(x-3)+2>f1x,即f(x-3)+f14>f1x,即fx-34>f1x,由(1)綜上所述,所求不等式的解集為(3,4).7.已知函數(shù)f(x)=2x(1)判斷并證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的單調(diào)性;(2)若x∈[1,m]時,函數(shù)f(x)的最大值與最小值的差為12,求m的值解:(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增.證明如下:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=2-3x1+1-(2-3x因?yàn)閤1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增.(2)由(1)知f(x)在區(qū)間[1,m]上單調(diào)遞增,所以f(m)-f(1)=12,即2解得m=2.8.已知函數(shù)f(x)對任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當(dāng)x>0時,f(x)>1.若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.解:∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3.∴原不等式可化為f(3m2-m-2)<f(2).任取x1,x2∈R,且x1<x2,則x2-x1>0,f(x2-x1)>1.∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.∴f(x2)>f(x1).故f(x)在R上是增函數(shù).∴3m2-m-2<2,解得-1<m<43故原不等式的解集為-19.已知函數(shù)f(x)=x2-ax,a∈R.記f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值為M,最小值為m.(1)若M=f(2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)證明:M-m≥14(1)解:函數(shù)f(x)=x2-ax的圖象開口向上,對稱軸為直線x=a2,∵x∈[1,2],∴M為f(1),f(2)中較大者∵f(1)=1-a,f(2)=4-2a,當(dāng)1-a≥4-2a,即a≥3時,M=f(1)=1-a;當(dāng)1-a≤4-2a,即a≤3時,M=f(2)=4-2a.∵M(jìn)=f(2),∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,3].(2)證明:①當(dāng)a2>2,即a>4時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減∴M=f(1)=1-a,m=f(2)=4-2a,∴M-m=1-a-4+2a=a-3>1>14②當(dāng)a2<1時,即a<2時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增∴M=f(2)=4-2a,m=f(1)=1-a,∴M-m=4-2a-