江西省新干縣第二中學(xué)2024屆高三4月高考模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題試卷

江西省新干縣第二中學(xué)2024屆高三4月高考模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓（a＞b＞0）與雙曲線(xiàn)（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)相同，則雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為（）A． B．C． D．2．將一張邊長(zhǎng)為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線(xiàn)折疊并拼成一個(gè)有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()A． B． C． D．3．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．4．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．5．雙曲線(xiàn)：（，）的一個(gè)焦點(diǎn)為（），且雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)與圓：均相切，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．6．定義在上函數(shù)滿(mǎn)足，且對(duì)任意的不相等的實(shí)數(shù)有成立，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．7．過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線(xiàn)，若與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的總有恒成立，記的最小值為，則最大值為（）A．1 B． C． D．9．已知正方體的體積為，點(diǎn)，分別在棱，上，滿(mǎn)足最小，則四面體的體積為A． B． C． D．10．函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則可能是（）A．B．C．D．11．已知直線(xiàn)：過(guò)雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)且與其中一條漸近線(xiàn)平行，則雙曲線(xiàn)的方程為（）A． B． C． D．12．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為．則“”是“為遞增數(shù)列”的（）條件．A．必要而不充分 B．充要 C．充分而不必要 D．即不充分也不必要二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)，若在上的最大值為，則________.14．已知函數(shù)為奇函數(shù)，，且與圖象的交點(diǎn)為，，…，，則______．15．在直角坐標(biāo)系中，某等腰直角三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)該三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則的解析式為_(kāi)__________.16．若滿(mǎn)足約束條件，則的最小值是_________，最大值是_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則的模為_(kāi)_____.18．（12分）已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若函數(shù)存在零點(diǎn)，求的求值范圍．19．（12分）己知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.設(shè)（1）求的值；（2）若，且，求的值.20．（12分）在新中國(guó)成立70周年國(guó)慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達(dá)對(duì)祖國(guó)的熱愛(ài)之情，在數(shù)學(xué)中，有多種方程都可以表示心型曲線(xiàn)，其中有著名的笛卡爾心型曲線(xiàn)，如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線(xiàn)就是笛卡爾心型曲線(xiàn)，其極坐標(biāo)方程為（），M為該曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求M點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）將射線(xiàn)OM繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與該曲線(xiàn)相交于點(diǎn)N，求的最大值.21．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0；（Ⅲ）確定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為實(shí)數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，曲線(xiàn)與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為．（1）求線(xiàn)段長(zhǎng)的最小值；（2）求點(diǎn)的軌跡方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由題意可得，即，代入雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程可得答案.【題目詳解】依題意橢圓與雙曲線(xiàn)即的焦點(diǎn)相同，可得：，即，∴，可得,雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：,故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓和雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，考查漸近線(xiàn)方程的求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，故由題設(shè)可得，所以四棱錐的體積，應(yīng)選答案B．3、D【解題分析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體是由一個(gè)三棱錐和一個(gè)三棱柱構(gòu)成，利用錐體和柱體的體積公式計(jì)算出體積并相加求得幾何體的體積.【題目詳解】由三視圖可知該幾何體的直觀圖是由一個(gè)三棱錐和三棱柱構(gòu)成，該多面體體積為.故選D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查三視圖還原為原圖，考查柱體和錐體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

根據(jù)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可寫(xiě)出漸近線(xiàn)方程.【題目詳解】雙曲線(xiàn),雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于容易題.5、A【解題分析】

根據(jù)題意得到，化簡(jiǎn)得到，得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意知：焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，故，故漸近線(xiàn)為.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.6、B【解題分析】

結(jié)合題意可知是偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,化簡(jiǎn)題目所給式子,建立不等式,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,構(gòu)造新函數(shù),計(jì)算最值,即可.【題目詳解】結(jié)合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故可以轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)于恒成立,即即對(duì)恒成立即對(duì)恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【題目點(diǎn)撥】本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,計(jì)算范圍,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù),計(jì)算最值,即可得出答案.7、A【解題分析】

直線(xiàn)的方程為，令，得，得到a,b的關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)求解即可【題目詳解】直線(xiàn)的方程為，令，得.因?yàn)椋?，只有選項(xiàng)滿(mǎn)足條件.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系以及雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查運(yùn)算求解能力.8、C【解題分析】

對(duì)任意的總有恒成立，因?yàn)椋瑢?duì)恒成立，可得，令，可得，結(jié)合已知，即可求得答案.【題目詳解】對(duì)任意的總有恒成立，對(duì)恒成立，令，可得令，得當(dāng)，當(dāng)，，故令，得當(dāng)時(shí)，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立的解法和導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的解法，考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.9、D【解題分析】

由題意畫(huà)出圖形，將所在的面延它們的交線(xiàn)展開(kāi)到與所在的面共面，可得當(dāng)時(shí)最小，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，得，進(jìn)一步求出四面體的體積即可．【題目詳解】解：如圖，

∵點(diǎn)M，N分別在棱上，要最小，將所在的面延它們的交線(xiàn)展開(kāi)到與所在的面共面，三線(xiàn)共線(xiàn)時(shí)，最小，

∴

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，∴．

取，連接，則共面，在中，設(shè)到的距離為，

設(shè)到平面的距離為，

.

故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查多面體體積的求法，考查了多面體表面上的最短距離問(wèn)題，考查計(jì)算能力，是中檔題．10、B【解題分析】

根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；【題目詳解】解：當(dāng)時(shí)，，無(wú)意義，故排除A；又，則，故排除D；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以不單調(diào)，故排除C；故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式，這類(lèi)問(wèn)題利用特殊值與排除法是最佳選擇，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】

根據(jù)直線(xiàn)：過(guò)雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)，得，又和其中一條漸近線(xiàn)平行，得到，再求雙曲線(xiàn)方程.【題目詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)：過(guò)雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，所以，又和其中一條漸近線(xiàn)平行，所以，所以，，所以雙曲線(xiàn)方程為.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】

根據(jù)遞增數(shù)列的特點(diǎn)可知，解得，由此得到若是遞增數(shù)列，則，根據(jù)推出關(guān)系可確定結(jié)果.【題目詳解】若“是遞增數(shù)列”，則，即，化簡(jiǎn)得：，又，，，則是遞增數(shù)列，是遞增數(shù)列，“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件．故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查充分條件與必要條件的判斷，涉及到根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由在上，可得在上單調(diào)遞增，則函數(shù)最大值為，即可求出參數(shù)的值.【題目詳解】解：定義域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，故在上的最大值為故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于基礎(chǔ)題.14、18【解題分析】

由題意得函數(shù)f（x）與g（x）的圖像都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行求解即可．【題目詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱(chēng)，與圖像的交點(diǎn)為，，…，,兩兩關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，.故答案為：18【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)奇偶性以及分式函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.15、【解題分析】

結(jié)合題意先畫(huà)出直角坐標(biāo)系，點(diǎn)出所有可能組成等腰直角三角形的點(diǎn)，采用排除法最終可確定為點(diǎn)，再由函數(shù)性質(zhì)進(jìn)一步求解參數(shù)即可【題目詳解】等腰直角三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)可能的位置如下圖中的點(diǎn)，其中點(diǎn)與已有的兩個(gè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)重復(fù)，舍去；若為點(diǎn)則點(diǎn)與點(diǎn)的中間位置的點(diǎn)的縱坐標(biāo)必然大于或小于，不可能為，因此點(diǎn)也舍去，只有點(diǎn)滿(mǎn)足題意.此時(shí)點(diǎn)為最大值點(diǎn)，所以，又，則，所以點(diǎn)，之間的圖像單調(diào)，將，代入的表達(dá)式有由知，因此.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查由三角函數(shù)圖像求解解析式，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題16、06【解題分析】

作不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果．【題目詳解】作出可行域，如圖中的陰影部分：求的最值，即求直線(xiàn)在軸上的截距最小和最大時(shí)，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，軸上截距最大，即z取最小值，．當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，軸上截距最小，即z取最大值，.故答案為：0；6.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了線(xiàn)性規(guī)劃中的最值問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的基本方法，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、1【解題分析】

整理已知利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算方式計(jì)算，再由求模公式得答案.【題目詳解】因?yàn)椋此缘哪?故答案為：1【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與求模，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）或；（2）．【解題分析】

（1）通過(guò)討論的范圍，將絕對(duì)值符號(hào)去掉，轉(zhuǎn)化為求不等式組的解集，之后取并集，得到原不等式的解集；（2）將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線(xiàn)交點(diǎn)問(wèn)題解決，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【題目詳解】（1）有題不等式可化為，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，不滿(mǎn)足，舍去；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，所以不等式的解集為．（2）因?yàn)椋匀艉瘮?shù)存在零點(diǎn)則可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖像存在交點(diǎn)，函數(shù)在上單調(diào)增，在上單調(diào)遞減，且.數(shù)形結(jié)合可知．【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)不等式的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有分類(lèi)討論求絕對(duì)值不等式的解集，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線(xiàn)交點(diǎn)的問(wèn)題來(lái)解決，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題目.19、（1）（2）【解題分析】

（1）由正弦定理將，轉(zhuǎn)化，即，由余弦定理求得，再由平方關(guān)系得再求解.（2）由，得，結(jié)合再求解.【題目詳解】（1）由正弦定理，得，即，則，而，又，解得，故.（2）因?yàn)?，則，因?yàn)?，故，故，解得，故，則.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.20、（1）點(diǎn)M的極坐標(biāo)為或（2）【解題分析】

（1）令，由此求得的值，進(jìn)而求得點(diǎn)的極坐標(biāo).（2）設(shè)出兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，利用勾股定理求得的表達(dá)式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【題目詳解】（1）設(shè)點(diǎn)M在極坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，由，得，∵∴或，所以點(diǎn)M的極坐標(biāo)為或（2）由題意可設(shè)，.由，得，.故時(shí)，的最大值為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查極坐標(biāo)的求法，考查極坐標(biāo)下兩點(diǎn)間距離的計(jì)算以及距離最值的求法，屬于中檔題.21、（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，<0，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，＞0，單調(diào)遞增；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）.【解題分析】試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，解決恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力.第（Ⅰ）問(wèn)，對(duì)求導(dǎo)，再對(duì)a進(jìn)行討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性；第（Ⅱ）問(wèn)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明結(jié)論，第（Ⅲ）問(wèn)，構(gòu)造函數(shù)=（），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求解a的值.試題解析：（Ⅰ）<0，在內(nèi)單調(diào)遞減.由=0有.當(dāng)時(shí)，<0，單