新教材適用2023-2024學年高中數(shù)學第4章對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)3對數(shù)函數(shù)3.2對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象和性質課件北師大版必修第一冊

3.2

對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象和性質自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

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習課標定位素養(yǎng)闡釋1.會畫函數(shù)y=log2x的圖象.2.能應用函數(shù)y=log2x的圖象和性質解決問題.3.感悟數(shù)學抽象的過程,體會數(shù)學直觀在解決數(shù)學問題中的應用.

自主預習·新知導學對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象與性質【問題思考】1.對數(shù)函數(shù)y=log2x與指數(shù)函數(shù)y=2x有何關系?提示:(1)對數(shù)函數(shù)y=log2x與指數(shù)函數(shù)y=2x互為反函數(shù),它們的圖象關于直線y=x對稱;(2)對數(shù)函數(shù)y=log2x與指數(shù)函數(shù)y=2x的定義域與值域互換,即y=log2x的定義域(0,+∞)是y=2x的值域,而y=log2x的值域R恰好是y=2x的定義域.(3)對數(shù)函數(shù)y=log2x與指數(shù)函數(shù)y=2x的單調性一致,都是增函數(shù).2.函數(shù)y=log2x的圖象與性質3.函數(shù)y=log2x在區(qū)間[1,2]上的值域是(

)A.R B.(-∞,1] C.[0,1] D.[0,+∞)解析:∵1≤x≤2,∴l(xiāng)og21≤log2x≤log22,即0≤y≤1.答案:C【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)函數(shù)y=2log2x是對數(shù)函數(shù).(

×

)(3)對數(shù)函數(shù)y=log2x在區(qū)間(1,+∞)上單調遞增.(

√

)(4)若x>1,則y=log2x的函數(shù)值都大于零.(

√

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究一

函數(shù)y=log2x的圖象的應用【例1】

畫出函數(shù)y=|log2(x+1)|+2的圖象,并說明其單調性.解:第一步:畫出函數(shù)y=log2x的圖象,如圖(1).第二步:將函數(shù)y=log2x的圖象向左平移1個單位長度,得到函數(shù)y=log2(x+1)的圖象,如圖(2).第三步:將函數(shù)y=log2(x+1)的圖象在x軸下方的部分以x軸為對稱軸翻折到x軸的上方,得到函數(shù)y=|log2(x+1)|的圖象,如圖(3).第四步:將函數(shù)y=|log2(x+1)|的圖象向上平移2個單位長度,得到函數(shù)y=|log2(x+1)|+2的圖象,如圖(4).由圖可知,函數(shù)y=|log2(x+1)|+2在區(qū)間(-1,0]上單調遞減,在區(qū)間[0,+∞)上單調遞增.1.一般地,函數(shù)y=f(x+a)+b(a,b均為正數(shù))的圖象可由函數(shù)y=f(x)的圖象變換得到.將y=f(x)的圖象向左平移a個單位長度得到函數(shù)y=f(x+a)的圖象,再向上平移b個單位長度得到函數(shù)y=f(x+a)+b的圖象(記憶口訣:左加右減,上加下減).2.含有絕對值的函數(shù)的圖象變換是一種對稱變換.一般地,y=f(|x-a|)的圖象是關于直線x=a對稱的軸對稱圖形;函數(shù)y=|f(x)|的圖象是由y=f(x)在x軸及上方的圖象保留不變,將x軸下方的圖象關于x軸對稱得到的.【變式訓練1】

求函數(shù)y=log2|x|的定義域,并畫出它的圖象.探究二

函數(shù)y=log2x的性質的應用【例2】

根據函數(shù)f(x)=log2x的圖象和性質求解以下問題:(1)若f(x-1)>f(1),求x的取值范圍.解:作函數(shù)y=log2x的圖象如圖:解:(1)∵函數(shù)f(x)=log2x在定義域(0,+∞)上為增函數(shù),(2)log2(2-x)>0,即log2(2-x)>log21.∵函數(shù)y=log2x為區(qū)間(0,+∞)上的增函數(shù),函數(shù)f(x)=log2x是基本的對數(shù)函數(shù)之一,它在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù).利用單調性可以解不等式、求函數(shù)值域、比較對數(shù)值的大小.易

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析因忽視自變量的取值范圍致誤【典例】

求函數(shù)y=(log2x)2+2log2x-2(x≥4)的值域.錯解

設t=log2x,則y=t2+2t-2=(t+1)2-3,所以ymin=-3,故函數(shù)的值域為[-3,+∞).以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?正解:設t=log2x(x≥4),則t≥2,于是y=t2+2t-2=(t+1)2-3,t≥2,由二次函數(shù)的圖象(圖略)可得當t=2時,y取得最小值6,無最大值,故函數(shù)的值域為[6,+∞).1.對數(shù)型函數(shù)的值域問題常用函數(shù)的單調性或者換元法解決.2.在利用換元法時,一定要注意換元后新變量的取值范圍.隨

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習1.函數(shù)y=log2x(1≤x≤8)的值域是(

)A.R B.[0,+∞) C.(-∞,3] D.[0,3]解析:∵y=log2x在區(qū)間[1,8]上單調遞增,∴l(xiāng)og21≤y≤log28,即y∈[0,3].答案:D2.函數(shù)f(x)=log2|2x-4|的大致圖象為(

).解析:函數(shù)f(x)=log2|2x-4|的圖象可以看作是由函數(shù)y=log2|2x|的圖象向右平移2個單位長度得到的.答案:A3.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x∈(0,+∞)時,f(x)=log2x,則f(-8)=

.

解析:因為f(x)是奇函數(shù),所以f(-8)=-f(8),又因為當x∈(0,+∞)時,f(x)=log2x,所以f(8)=log28=3,故f(-8)=-3.答案:-34.已知函數(shù)f(x)=log2x的值域是[1,2],則它的定義域可用區(qū)間表示為

.

解析:因為1≤log2x≤2,所以log22≤log2x≤log24.又y=log2x是區(qū)間(0,+∞)上的增函數(shù),所以2≤x≤4,所以f(x)的定義域為[2,4].答案:[2,4]5.已知函數(shù)f(x)=log2(x+3)