3.2雙曲線部分重要結(jié)論知識清單-2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

雙曲線部分重點(diǎn)結(jié)論及其推導(dǎo)過程1.雙曲線的第三定義若一個(gè)動點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）。（a>0）連線的斜率之積為一個(gè)常數(shù)三個(gè)重要推論：①當(dāng)k=b2a2時(shí)，軌跡為雙曲線（除去A，B兩點(diǎn)），方程為②當(dāng)k=-b2a2③當(dāng)k=-1時(shí)，軌跡為圓（除去A，B兩點(diǎn)），方程為x22.雙曲線的焦點(diǎn)三角形（1）如圖，P是雙曲線x2a2-y2b2=1（2）設(shè)∠F1PF2=PF12+PF22②-①，得2PF1·所以PF1又S△PF3.利用正弦定理求離心率e=4.雙曲線焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為x=5.雙曲線的一般方程：①當(dāng)雙曲線的位置不確定時(shí)，可以設(shè)雙曲線的一般方程為Ax2+B②當(dāng)雙曲線的位置不確定時(shí)且已知實(shí)軸和虛軸相等時(shí)，即a=b時(shí)，可以設(shè)雙曲線的一般方程為mx2-6.與漸近線有關(guān)的常用性質(zhì)性質(zhì)一：雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸進(jìn)線的距離均為常數(shù)b，雙曲線的頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離均為常數(shù)abc性質(zhì)二：雙曲線上的任意一點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)a2性質(zhì)三：設(shè)點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作雙曲線兩條漸進(jìn)線的平行線分別與兩漸近線交于Q，R兩點(diǎn)，則平行四邊形PQOR的面積為17.計(jì)算雙曲線離心率的常用結(jié)論：e8.雙曲線的第二定義（1）定義：平面內(nèi)，當(dāng)動點(diǎn)M到一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線（定點(diǎn)不在定直線上）的距離之比是常數(shù)e=ca（（2）準(zhǔn)線方程：左準(zhǔn)線：x=-a2上準(zhǔn)線：y=a2（3）焦半徑公式：設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F(xiàn)1同理有焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的焦半徑公式：MF1=（其中F1，9.直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程y=kx+m（m≠0）代入雙曲線E的方程x2a2-y2b例如，由y=kx+m，b2x（1）當(dāng)b2-a2k2=0，即k=（2）當(dāng)b2-a①若?>0，則直線l與雙曲線②若?=0，則直線l與雙曲線③若?<0，則直線l與雙曲線10.雙曲線的通徑定義：過焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫做雙曲線的通徑。通徑長：對于雙曲線x2a2-y可得y2b所以直線x=c與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)為A（c，b2a），計(jì)算得通徑長AB=2b同理，可求得雙曲線y2a2-x常用結(jié)論：過焦點(diǎn)的弦中，若直線與雙曲線的單支相交，則最短弦為通徑；若直線與雙曲線的兩支相交，則最短弦長為2a。11.與雙曲線有關(guān)的常用結(jié)論（1）若點(diǎn)A，B是雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a提示：若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則結(jié)論為：kPA推論1：若點(diǎn)A,B是雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a推論2：若點(diǎn)A，B是雙曲線C：y2a2-x2b2=1（a>（2）（中點(diǎn)弦）