（滬教版2020選修二）2022年上海高二數(shù)學(xué)同步講義-第7章概率初步（續(xù)）（壓軸題）（教師版）

第7章概率初步(續(xù))壓軸題專練

出能力提升

一、單選題

1.(2021?全國?高二單元測(cè)試)我們知道，在"次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(即伯努利試驗(yàn))中,

每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為。，則事件A發(fā)生的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布p),事實(shí)上，

在無限次伯努利試驗(yàn)中，另一個(gè)隨機(jī)變量的實(shí)際應(yīng)用也很廣泛，即事件A首次發(fā)生時(shí)試驗(yàn)進(jìn)

行的次數(shù)丫，顯然網(wǎng)丫=%)=0(1-0廣,&=1,2,3L.，我們稱y服從“幾何分布”，經(jīng)計(jì)算得

E(y)=".由此推廣，在無限次伯努利試驗(yàn)中，試驗(yàn)進(jìn)行到事件A和?都發(fā)生后停止，此時(shí)

所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)記為Z,則尸(Z=H)=p(l-p)i+(l-p)*%=2,3,…,那么E(Z)=

()

A-島LB.

1,1

C.-----;+1D.

p(l-p)(1-p)

【答案】A

【分析】首先得出若尸"=々)=2(1-°廣次=2,3「.，則EG)'一,

然后石(Z)=2/?(1—〃)+2(1—p)p+3P(1—+3(1—p)//卜kp(l-p)&1+k(l—p)1尸+…

=q-P+20-P)P+30-P)p2+…+…，設(shè)4=2p+3/+…+即*.利用錯(cuò)位相

減法即可得出4,然后可得答案.

【詳解】因?yàn)閜(y=^)=Mi-p)iM=i，2,3,…，E(y)=：

」.若p(y=A)=p(i_p)，',z=2,3「..jujE(y)=q_p.

里口么E(Z)=2p(l-p)+2(l-p)p+3p(l-p『+3(l-p)p2+—+Ap(l-p)i+k(\-p)pk'x+???

=--p+2(l-p)p+3(l-p).2+…+&(1-p)pi+….

設(shè)&=2p+3p2+…+切i.

pAf.=2p2+3p3H----p("i)pk-[4.iqpk

kk

；?(1-p)A=2p+p2+p3H----hp>_kpk=p+---------------kp.

1-〃

?，?左一+00時(shí)，(l-p)A-?p+—^—.

1-〃

E(Z)=~-p+p+-^-=—^---1.

p"PP(1-P)

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是隨機(jī)變量的期望和利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題.

2.(2020?浙江?三模)隨機(jī)變量X的分布列是()

X246

Pabc

A.E(X)“D(X)B.E(X)〈jD(X)

C.E(X)>D(X)D.E(X)<￡?(X)

【答案】A

【分析】由均值的定義求出均值E(X)=2a+帖+6c,a+Hc=l

由方差公式計(jì)算出方差￡>(X)=(2—E(X))2a+(4—E(X))2〃+(6—E(X))2c

做差比較E"X)—O(X)可得.

【詳解】E(X)=2a+4Z?+6c,a+b+c-l

D(X)=(2-E(X))2a+(4-E(X))2/j+(6-E(X))2c

6(X)一￡>(X)=(2a+4b+6靖一[(2—E(X))%+(4-E(X)產(chǎn)。+(6—E(X))2c]

=2(2“+4/?+6c>-(4a+16〃+36c)=4[2(a+2h+3c)2~(a+4h+9c)]=4f2(1+h+2c)2-(1+3〃+8c)]=

2(1+6+2c>-(1+3。+8c)=2[1+(，+2c>+2(，+2c)]-(l+3/>+8c)=1+2(，+2c>+人>0故選：A

【點(diǎn)睛】1.均值與方差的一般計(jì)算步驟

(1)理解X的意義，寫出X的所有可能取的值；

(2)求X取各個(gè)值的概率，寫出分布列；

(3)根據(jù)分布列，由均值的定義求出均值E(X),進(jìn)一步由公式Q(X)=f(占一￡(X))2p,.求出

/=1

D(X)

3.(2020?新疆?新源縣第二中學(xué)高二期末(理))拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，在有

一枚正面朝上的條件下，另外兩枚也正面朝上的概率是()

【答案】c

【分析】由題可知，拋擲三枚硬幣，則基本事件共有8個(gè)，其中有一枚正面朝上的基本事件

有7個(gè)，分別求出“有?枚正面朝上"和''三枚都正面朝上”的概率，最后根據(jù)條件概率的

計(jì)算公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)題意，可知拋擲三枚硬幣，則基本事件共有8個(gè)，

其中有一枚正面朝上的基本事件有7個(gè)，

記事件A為“有一枚正面朝上”，則P（A）=1,

O

記事件8為“另外兩枚也正面朝上”，

則AB為“三枚都正面朝上”，故尸（A8）=J,

O

故P（則=需=棄;.

8

即在有一枚正面朝上的條件下，另外兩枚也正面朝上的概率是，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的計(jì)算公式的應(yīng)用，考查分析和計(jì)算能力.

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)0＜。＜（,隨機(jī)變量將J分布列是：

才-112

11aa

P——a—+—

2222

則當(dāng)仇X）最大時(shí)的a的值是

A.1B.」C.1D,

416525

【答案】D

【分析】先求得E（X）宮，E（X2）=1+|,得到。（X）=E（X2）-6（X）=l+」a-型，結(jié)

2224

合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】根據(jù)隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算公式，

可得E（X）=-lx（!-a）+lx（g+g+2x^=^,

又由E（X2）=lx（；-4+lx（g+?+22x1=l+|a

-rZEi/x（2\口2/v\1325a22532,109

叫寸On（Xv）=Er（XV）-￡（X）=l+-a---=-（a--）-+—,

因?yàn)?＜a＜；,所以當(dāng)。（X）最大時(shí)的a的值為A.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的期望與方差的計(jì)算及應(yīng)用，其中解答中熟記離散

型隨機(jī)變量的分布列的期望與方差的計(jì)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算求解

能力，屬于中檔試題.

5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）一只小蟲從數(shù)軸上的原點(diǎn)出發(fā)爬行，若一次爬行過程

中，小蟲等概率地向前或向后爬行1個(gè)單位，設(shè)爬行“次后小蟲所在位置對(duì)應(yīng)的數(shù)為隨機(jī)變

量女，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.E&）=0B.D&）=”

C.^2020=0）＜^2020=2）D.尸（人=0）＜P（基M=0）

【答案】C

【分析】利用小蟲等概率地向前或向后爬行，可知隨機(jī)變量或€[_〃,〃],且向前或向后爬行1

個(gè)單位的概率均為結(jié)合二項(xiàng)分布公式求概率，根據(jù)E（4）=1＞p、

力仁）=E閭）-以女）2即可判斷各選項(xiàng)的正誤；

【詳解】由題意知：設(shè)爬行〃次后小蟲所在位置對(duì)應(yīng)的數(shù)為隨機(jī)變量€[-〃，〃]，且小蟲向

前或向后爬行1個(gè)單位的概率均為3,

爬行〃次后小蟲一共向前爬行r次，貝I」向后爬行次，有g(shù),,=r+[-（〃-r）]=2r-〃；故

P{￡=2r-〃}=C：（；）",貝IJ：

1、后依）這C（：F）=o,D（幻=E閭）-Eg）=E（J：戶之半式=",故從B正

r=QZr=0Z

確；

2、臉儂=0）=嘀鏟%P（加。=2）=C；昵嚴(yán)。，即耨皿=?=黑＞1,有

z乙r\b2020-1U1U

P（金0=0）＞網(wǎng)加0=2）,故蹊昔誤；

3、P&8=0）=嚼（；產(chǎn),即猙格=翳＜1,有P（G=0）＜P（息8=0），故〃正

，1162018—UJ華處”

確;

故選：c

【點(diǎn)睛】本題考查了利用二項(xiàng)分布公式求概率，及求隨機(jī)變量的期望、方差，進(jìn)而判斷選項(xiàng)

正誤；

6.(2022?江蘇?高三專題練習(xí))已知集合A={1,2,3,4},8={1,2,3,4,5},從集合A中任取

3個(gè)不同的元素，其中最小的元素用。表示，從集合B中任取3個(gè)不同的元素，其中最大的元

素用。表示，記X=b-a,則隨機(jī)變量X的期望為()

1315

A.—B.—C.3D.4

44

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，求得隨機(jī)變量X=b-a的取值為1,2,3,4,分別求得相應(yīng)的概率，結(jié)合期

望的計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意,從集合A中任取3個(gè)不同的元素,則有{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},其

中最小的元素。取值分別為L2,

從集合8中任取3個(gè)不同的元素，其中最大的元素6的取值分別為3,4,5,

因?yàn)閄=b-a,可得隨機(jī)變量X的取值為123,4,

[X]]3xl4-lx3_3

則尸=而=/(X=2)=CG=癡'

3x3+lx333x69

瞪=3)=^^=/-4)=西=此

133913

所以隨機(jī)變量X的期望為：E(X)=1X-A-+2XA+3X^+4X^-=：H.

4020o204

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，其中解答中正確理解

題意，求得隨機(jī)變量的取值，求得相應(yīng)的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬

于中檔試題.

7.(2021?重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校高二階段練習(xí))已知拋物線尸af+bx+c(aW0)的對(duì)稱軸在

謝的左側(cè),其中a、b、ce{-3,-2,-1,0,1,2,3),在這些拋物線中，記隨機(jī)變量f="a

一引的取值”，則f的數(shù)學(xué)期望雙門為()

A-|B-|C?D'I

【答案】A

【詳解】由于對(duì)稱軸在＞軸左側(cè)，故-與＜0,故。,人同號(hào)，基本事件有3x3x7x2=126.自的

2a

可能性有0,1，2三種，P仔=0)=嚶=：,p(g=l)=噢=：,*4=2)=黑=[.故期望值

1Zo312091Zoy

iA2S

7^0x-+lx-+2x-=--^A.

3999

8.（2021?江蘇?南京市中華中學(xué)高二期中）2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎

（COVIA19）疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人

體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特異治療方法，防控難度很大，武漢市出現(xiàn)疫情

最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新

冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切

接觸者等''四類"人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家

被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)

行“核糖核酸”檢測(cè)，若出現(xiàn)陽性，則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈

陽性的概率均為P（O<P<1）且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了5個(gè)人才能確定為“感染高危

戶”的概率為/（p）,當(dāng)時(shí)，f（p）最大，則%=（）

A.1-旦B.—C.—D.1一立

3333

【答案】A

【分析】先求出概率/（0）=p（2-p）（l-p）‘，再求最大值，借助于均值不等式求解.

【詳解】解：設(shè)事件4檢測(cè)5個(gè)人確定為“感染高危戶”，

事件氏檢測(cè)6個(gè)人確定為“感染高危戶”.

.??P（A）=P（I-P）4,P（B）=P（I-P）5.

即/（P）=P（1-+P（l-P）5=P（2-p）（l-p）4.

設(shè)x=l—p>0,則

g（x）=/（i_p）=（i_x）（i+x）y

242

^（x）=（1-x）x=^X^2-2X2）XX2xxJ

1（2-2X2）+JC2+JC24

當(dāng)且僅當(dāng)2-=d即x="時(shí)取等號(hào)，

3

即。=%=1-*

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查概率，以及求函數(shù)最值，屬于中檔題.

9.（2021?北京?首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期末）袋中有4個(gè)黑球，3個(gè)白球.現(xiàn)擲一枚均

勻的骰子，擲出兒點(diǎn)就從袋中取出兒個(gè)球.若已知取出的球全是白球，則擲出2點(diǎn)的概率為

()

A.2B-7cD-為

3-IF

【答案】C

【分析】記4：骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為/，0=12,3),事件B:取出的球全是白球,

分別求出P(A/),P(8)，利用條件概率公式即可求解.

【詳解】記4：骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為7,0=1,2,3),事件B:取出的球全是白球，則P(4)=',

6

P(B⑷等,

5

所以*)4尸⑷”⑷耳令+：噌+3*演+M+W4

所以若已知取出的球全是白球，則擲出2點(diǎn)的概率為:

故選：C.

10.(2021?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛a.｝滿足國=0,且對(duì)任意〃eN*,a,等概率地

取a.+l或&-1,設(shè)a,,的值為隨機(jī)變量&“則()

A.P(43=2)=yB.￡■(€3)=1

C.P(€s=0)<P(€s=2)D.P(G=0)<P(^3=0)

【答案】D

【分析】由題意可知匈=1或比=-1,且/(位=1)=2(a=-1)=3,進(jìn)而可求加的期望,

可判斷AB；再結(jié)合條件求P(g5=0),可判斷CD.

>

【詳解】依題意a=1或32=-1,.目/(a=1)=/(a2=-1)=y,

『=&的可能取值為2,0,-2

P(&：,=2)=；X；=；,

224

P(C3=0)=2乂葭!=；,

222

P(€：(=-2)=*=!，

224

￡(€：<)=2X,+0X；+(-2)Xy=0,由此排除A和B；

424

的可能取值為3,1,-1,-3,

P(g尸3)=；P(。=2)=1,

/O

_%=2)+4=0)_3

P(€尸1)

2-8

_/(4=0)+%=-2)_3

P(&尸一1)

2-8

P(€尸-3)=\p(&3=-2)=：,

/O

小=晶的可能取值為4,2,0,-2,-4

_P(^=1)+P(^=-1)_3

P(g5=0)

28

…尸2)=陛三答三=；,

所以夕(&5=0)>P(Cs=2),排除C.

因?yàn)?5=0)=1.夕(&3=0)=J,所以&3=0)<P(€3=0),故D正確.

O乙

故選：D.

11.（2021?全國?高三專題練習(xí)）如果｛4｝不是等差數(shù)列，但若*eN?，使得

4+4+2=24”，那么稱｛q｝為'‘局部等差”數(shù)列.已知數(shù)列｛%｝的項(xiàng)數(shù)為4,記事件A：集合

｛菁，司,即,匕｝<｛1,2,3,4,5｝,事件B：｛斗｝為“局部等差”數(shù)列，則條件概率尸（04）=

【答案】C

,、RAB）

【分析】分別求出事件A與事件B的基本事件的個(gè)數(shù)，用P（B|A）=下0■計(jì)算結(jié)果.

【詳解】由題意知，事件A共有C；?&=120個(gè)基本事件，事件及“局部等差”數(shù)列共有以下

24個(gè)基本事件，

（1）其中含1,2,3的局部等差的分別為1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3共3個(gè)，含

3,2,1的局部等差數(shù)列的同理也有3個(gè)，共6個(gè).

含3,4,5的和含5,4,3的與上述（1）相同，也有6個(gè).

含2,3,4的有5,2,3,4和2,3,4,1共2個(gè)，

含4,3,2的同理也有2個(gè).

含1,3,5的有1,3,5,2和2,1,3,5和4,1,3,5和1,3,5,4共4個(gè)，

含5,3,1的也有上述4個(gè)，共24個(gè)，

I,1205

故選c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了條件概率的求法，綜合運(yùn)用了等差數(shù)列與集合的知識(shí)，理解題意是

解決此類題的關(guān)鍵.

二、填空題

12.（2021?全國?高二課時(shí)練習(xí)）某校高二學(xué)生一次數(shù)學(xué)診斷考試成績（單位：分）X服

從正態(tài)分布N（110,IO?）,從中抽取一個(gè)同學(xué)的數(shù)學(xué)成績看,記該同學(xué)的成績90<JV110為事

件A,記該同學(xué)的成績8OVJV1OO為事件8,則在A事件發(fā)生的條件下B事件發(fā)生的概率

P（B|A）=.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）

附參考數(shù)據(jù)：P（〃-b<XW〃+cr）=0.68；尸（〃-2cr<X4M+2b）=0.95；

P(〃-3b<X4〃+3cr)=0.99.

【答案喋

P（A8）

【分析】計(jì)算出P（AB）和P（A）,然后利用條件概率公式可得出P（B|A）=而y的值?

【詳解】由題意可知"=11。，<7=10,事件A8為90<JW10。，Q90=〃—2b,100=〃—b,

所以，P（AB）=P（90<^<100）=P（//-2<T<^<X/-O-）

_P（〃-2b<X<//+2（T）-P（//-cr<X</./+a）_0.95-0.68_27

-2-2-200'

P（A2CT<V/Z+2a）

P（A）=/>（90<^<110）=P（A-2<T<^<A）=-2-=^>

由條件概率公式得P（即）=^=獲嘿W，故答案為青

【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了正態(tài)分布3cr原則計(jì)算概率，解題時(shí)要將

相應(yīng)的事件轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布事件，充分利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬

于中等題.

13.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)占、%、/、分為互不相等的正實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X和V

的分布列如下表，若記DX,可分別為X1的方差，則0xDY.（填>,<,=）

X%七%

?+工3—+%

Y

2222

j_

P

4444

【答案】>

【分析】根據(jù)方差計(jì)算公式，計(jì)算出。x,ov的表達(dá)式，由此利用差比較法，比較出兩者的

大小關(guān)系.

【詳解】EX=—(X,+x2+x3+x4),故

2222

￡>X=-|(^-￡%)+(^2-￡%)+(^-￡%)+(^4-￡%)l=-

44.j=]

Ey=；(詈+巖+巖+亨卜/為+%+w+x4)=EX,

“J卜+%EXJ+J+WEXJ+_破J+-EXJ]

x,+xYx+x,I(七+匕J[(%+X|j

￡22Y-4(EX)2

42)

要比較ox,Z）y的大小，只需比較士片與（與上；+（&1么］+［玉/）+（笠±）-,兩者

作差并化簡得

2x：+2^2+2xj+2^4一2（西龍2+X2X3+X3X4+X4X\）

4

=（內(nèi)一式2）+（七一芻）+（七-％4）+（工4一%）①,

4

由于M，%,不，匕為互不相等的正實(shí)數(shù)，故①>0,也即

P>［（等J+（巖j+（號(hào)］+（號(hào)j］，也即DX>”

故答案為：>

【點(diǎn)睛】本小題主要考查隨機(jī)變量期望和方差的計(jì)算,考查差比較法比較大小，考查運(yùn)算求

解能力，屬于難題.

14.（2020?廣東佛山?高三階段練習(xí)）連續(xù)投擲一枚均勻硬幣，正面出現(xiàn)〃次或者背面只

要出現(xiàn)一次，就算比賽結(jié)束，則比賽結(jié)束時(shí)出現(xiàn)正面的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是.

【答案】

【分析】由題意分析可知：比賽在正面出現(xiàn)〃次前結(jié)束，則最后一次一定是背面，之前的全

部為正面；比賽在第〃次結(jié)束，則可能全部是正面，也可能最后一次是背面；由此計(jì)算出現(xiàn)

正面的次數(shù)的概率，進(jìn)而得到期望；

【詳解】由題意知：每次投擲硬幣正面、背面出現(xiàn)的概率均為

?.?正面出現(xiàn)“次或者背面只要出現(xiàn)一次，比賽結(jié)束，

...假設(shè)比賽結(jié)束時(shí)，硬幣拋擲了火次，k&n；

1、當(dāng)時(shí)，有前I次全部為正面，第A次為背面，則加=；.擊=?，出現(xiàn)正面的

次數(shù)的期望為E(X)R=7，

2,當(dāng)％=〃時(shí)，k次全部為正面，則《=3?￡=!，出現(xiàn)正面的次數(shù)的期望為E(X)“=/,

?白11

?-EL(/XV)\=gEL(X/V)\?+EL(/XV\)“=1--1+—2—^-1+...+”--^1-+—=\--1

故答案為：一g

【點(diǎn)睛】本題考查了求獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的期望，根據(jù)比賽規(guī)則分類討論情況下比賽

結(jié)束時(shí)正面出現(xiàn)次數(shù)的期望，它們的和即所求期望；

15.(2021?全國?高二單元測(cè)試)將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲“次，以匕表示沒有出現(xiàn)連

續(xù)3次正面的概率.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①居=1;②匕=捺③當(dāng)〃22時(shí)，&<=,；④月,="T+"<+"-3(〃24).

oJoZ4d

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①③④

【分析】由2的對(duì)立事件概率可得A和6,可判斷①②，再由第〃次分正反面，依次討論前

〃-1的正反及前〃-2次，從而得到概率的遞推關(guān)系，可判斷④，由

匕=：*心4)及以尸"+-2,可得以_3<0，(江4),

243Z4-o1O

從而可判斷③.

17

【詳解】當(dāng)〃=3時(shí)，/^=1-(-)3=-,①正確；

當(dāng)”=4時(shí)，出現(xiàn)連續(xù)3次正面的情況可能是：正正正反、正正正正、反正正正，

I1a

所以A=1-3X(：)4=9,②錯(cuò)誤；

216

要求P,,,即拋擲〃次沒有出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率，

分類進(jìn)行討論，

若第〃次反面向上，前〃-1次未出現(xiàn)連續(xù)3此正面即可；

若第〃次正面向上，則需要對(duì)第〃T進(jìn)行討論，依次類推，得到下表：

第欹/L1次引2次概率

反面~PH-l

*

正面反面

正面正面反面!P“-3

o

所以匕立2+(匕一式〃")，④正確；

Z4o

由上式可得%=；K+J%:P..-2

匕+「；匕=(；P“+；勺一1+(匕一2)—J(JB-l+T4.2+(勺-3)=l勺一4勺一3,

224oZZ4o21O

所以總「因=一/a3<0，(〃24),

16

713

又6=E=1，A=『6=77,滿足當(dāng)“22時(shí)，月向<匕，③正確.

O16

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是找到第〃次和第〃T和第〃-2次的關(guān)系，通過分類討

論及列表格的形式得到口=;*+J么2+J史3(〃24),屬于難題.

16.(2022?全國?高三專題練習(xí))對(duì)一個(gè)物理量做〃次測(cè)量，并以測(cè)量結(jié)果的平均值作為

該物理量的最后結(jié)果.已知最后結(jié)果的誤差J~N(O,￡|,為使誤差%在(-050.5)的概率不

小于0.9545,至少要測(cè)量次(若X~N(〃,『)，則P(|X-〃|<2b)=0.9545)).

【答案】32

【分析】因?yàn)椤辍皛N(0,￡|,得到〃=0,b=J|,要使誤差J在(-050.5)的概率不小于

0.9545,

則(〃一2er,〃+2b)u(-0.5,0.5),得到不等式計(jì)算即可.

【詳解】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性知：要使誤差6,在(-050.5)的概率不小于0.9545,

2

則(〃-25〃+26口-0.5,0.5)且〃=0,◎

n

f-=>n>32.

所以().542

n

故答案為：32.

【點(diǎn)睛】本題是對(duì)正態(tài)分布的考查，關(guān)鍵點(diǎn)在于能從名,~N（（）3卜賣出所需信息.

17.（2021?江蘇鎮(zhèn)江?高二期末）某人投籃命中的概率為0.3,投籃15次，最有可能命中

次.

【答案】4

【分析】易知投籃命中次數(shù)服從二項(xiàng)分布，設(shè)最有可能命中初次，于是

P；（X==：tn）>"P；（X=W+1；，解出不等-式即可得,到答案?

【詳解】投籃命中次數(shù)X~B（15,0.3）,P（X=Z）=C>0.3*0715-*

設(shè)最有可能命中〃，次，則

P（X=m）>P（X=m-l）CJV0.3”07“-”>C；7'0.3M-'-0.7l（--m

=<

<P（X=m）>P（X=m+\）瑪?0.3m-0.7l5-M>C?+，-0.3M+1-0.714-m

=>3.8<w<4.8,?「"zwZ,=

最有可能命中4次.

故答案為：4.

18.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（0,l）,則下列結(jié)論正確的

是_（填序號(hào)）

①唯|<?）=Pe<a）+P信>-a）（a>0）.

②P（?<a）=2P（央a）-l（a>0）；

③P（?<a）=1-2P（J<a）（a>0）；

④P（因<a）=l-P（用>a）（a>0）.

【答案】②④

【分析】隨機(jī)變量g服從正態(tài)分布N（O」），根據(jù)概率和正態(tài)曲線的性質(zhì)，即可得到答案.

【詳解】因?yàn)槭▅司<。）=尸（一<<「<"）,所以①不正確;

因?yàn)镻（周<。）=/（-a"<a）

=P（^<a）-P（^<-a）=P（^<a）-P（^>a）

=P（€<a）—（l-P（J<a））=2尸1,

所以②正確，③不正確；

因?yàn)镻（團(tuán)<a）+P（尚>a）=l,所以尸（團(tuán)<a）=I-P（尚>a）（a>0）,所以④正確.

故答案為：②④.

三、解答題

19.（2021?重慶市鳳鳴山中學(xué)高二期中）2019年春節(jié)期間，某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎(jiǎng)促銷

活動(dòng)，若顧客一次消費(fèi)達(dá)到400元?jiǎng)t可參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，超市設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案.

方案一：一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個(gè)紅球，20個(gè)白

球，攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到

白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽取3次.

方案二：一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個(gè)紅球，20個(gè)白

球，攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到

白球則未中獎(jiǎng)，且顧客有放回地抽取3次.

（1）現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，且都按方案一抽獎(jiǎng)，試求這兩位顧客均獲得180元返金

券的概率；

（2）若某顧客獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).

①試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎(jiǎng)方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望；

②為了吸引顧客消費(fèi)，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案進(jìn)行促

銷活動(dòng)？

【答案】⑴上⑵①100元,80元②第一種抽獎(jiǎng)方案.

【分析】（D方案一中每一次摸到紅球的概率為P=2=g，每名顧客有放回的抽3次獲180元

返金券的概率為吟,根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率可知兩顧客都獲得180元返金券的概

率

（2）①分別計(jì)算方案一，方案二顧客獲返金卷的期望，方案一列出分布列計(jì)算即可，方案二

根據(jù)二項(xiàng)分布計(jì)算期望即可②根據(jù)①得出結(jié)論.

【詳解】（1）選擇方案一，則每一次摸到紅球的概率為P=9=g

1

設(shè)“每位顧客獲得180元返金券”為事件力，則尸（A）=C；

27

所以兩位顧客均獲得180元返金券的概率P=P（A）-P（A）=之

12

（2）①若選擇抽獎(jiǎng)方案一，則每一次摸到紅球的概率為（，每一次摸到白球的概率為

設(shè)獲得返金券金額為X元，則X可能的取值為60,100,140,180.

自叫

則P（X=60）=C；

P（X=100）=C；

NX/。）：嘯）［|）會(huì)

3

1

P（X=180）=C：

327

所以選擇抽獎(jiǎng)方案一，該顧客獲得返金券金額的數(shù)學(xué)期望為

E（X）=60x豺00亭》|+18。$=1。。

（元）

若選擇抽獎(jiǎng)方案:，設(shè)三次摸球的過程中，摸到紅球的次數(shù)為丫，最終獲得返金券的金額為

Z元，則丫~803）,故E（y）=3x；=l

所以選擇抽獎(jiǎng)方案二，該顧客獲得返金券金額的

數(shù)學(xué)期望為E（Z）=E（8（?）=80（元）.

②即E（X）＞E（Z）,所以該超市應(yīng)選擇第一種抽獎(jiǎng)方案

【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型，相互獨(dú)立事件的概率，二項(xiàng)分布，期望，及概率知識(shí)在

實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.（2020?甘肅?民勤縣第一中學(xué)高二期末（理））2018年，依托用戶碎片化時(shí)間的娛樂

需求、分享需求以及視頻態(tài)的信息負(fù)載力，短視頻快速崛起；與此同時(shí)，移動(dòng)閱讀方興未

艾，從側(cè)面反應(yīng)了人們對(duì)精神富足的一種追求，在習(xí)慣了大眾娛樂所帶來的短暫愉悅后，部

分用戶依舊對(duì)有著傳統(tǒng)文學(xué)底蘊(yùn)的嚴(yán)肅閱讀青睞有加.

某讀書APP抽樣調(diào)查了非一線城市M和一線城市N各100名用戶的日使用時(shí)長（單位：分鐘），

繪制成頻率分布直方圖如下，其中日使用時(shí)長不低于60分鐘的用戶記為“活躍用戶”.

（1）請(qǐng)?zhí)顚懸韵?x2列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為用戶活躍與否與所在城市有

關(guān)？

活躍用戶不活躍用戶合計(jì)

城市M

城市,

合計(jì)

（2）以頻率估計(jì)概占區(qū)，從城市M中任選2名用戶，從城市N中任選1名用戶，設(shè)這3名用戶中活

躍用戶的人數(shù)為九求4的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（3）該讀書APP還統(tǒng)計(jì)了2018年4個(gè)季度的用戶使用時(shí)長y（單位：百萬小時(shí)），發(fā)現(xiàn)y與季

度（x）線性相關(guān)，得到回歸直線為3=4x+4,已知這4個(gè)季度的用戶平均使用時(shí)長為12.3

百萬小時(shí)，試以此回歸方程估計(jì)2019年第一季度（x=5）該讀書APP用戶使用時(shí)長約為多少

百萬小時(shí).

n〈ad—bc)-

附：爛=其中"=q+6+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)R+d)'

2

P(K>kn)0.0250.0100.0050.001

5.0246.6357.87910.828

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）22.3百萬小時(shí)

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)填入對(duì)應(yīng)表格，再根據(jù)卡方公式求K,最后對(duì)照

數(shù)據(jù)作判斷，（2）先確定隨機(jī)變量取法，再判斷從M城市中任選的2名用戶中活躍用戶數(shù)服

從二項(xiàng)分布，從N城市中任選的1名用戶中活躍用戶數(shù)服從兩點(diǎn)分布，進(jìn)而求得對(duì)應(yīng)概率，列

表得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式得期望，（3）先求均值，解得6,再估計(jì)x=5對(duì)應(yīng)函

數(shù)值.

【詳解】

（1）由已知可得以下2x2列聯(lián)表:

活躍用戶不活躍用戶合計(jì)

城市M6040100

城市N8020100

合計(jì)14060200

200x(60x20-80x4()y200

計(jì)算K?=?9.524>7.879

100x100x140x60~2\

所以有99.5%的把握認(rèn)為用戶是否活躍與所在城市有關(guān).

（2）由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，城市M中活躍用戶占3;，城市N中活躍用戶占］4,

設(shè)從M城市中任選的2名用戶中活躍用戶數(shù)為X,則X~8（2,皆

設(shè)從N城市中任選的1名用戶中活躍用戶數(shù)為y,則y服從兩點(diǎn)分布，其中p（y=i）=］4.

故J=o,1,2,3,

p(g=o)=尸(x=o)"(y=o)=d《J?1_4

5-125

尸(g=i)=尸(x=o))(y=i)+p(x=i)/(y=o)=G>[Jt+cm=^

3丫157

Q(4=2)=p(x=i>p(y=i)+p(x=2)p(y=o)=c||q+cl—I?一=---

5)5125

p(q=3)=p(x=2>p(y=i)=c；圖［唱

故所求4的分布列為

0123

4285736

P

125125125125

E（力。唱+】嚷+2喘+3日=2.

(3)由已知可得元=2.5,又?=12.3,

可得12.3=4x2.5+3所以。=2.3,所以g=4x+2.3.

以x=5代入可得夕=22.3（百萬小時(shí)），

即2019年第一季度該讀書APP用戶使用時(shí)長約為22.3百萬小時(shí).

【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、回歸直線方程以及分布列和數(shù)學(xué)期望，考查基本分析求

解能力，屬中檔題.

21.（2019?湖南?長郡中學(xué)一模（理））隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，個(gè)人收入的提高，自2019年1月1

日起，個(gè)人所得稅起征點(diǎn)和稅率的調(diào)整，調(diào)整如下：納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入

額減除5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額，依照個(gè)人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計(jì)算方法如下表：

個(gè)人所得我現(xiàn)率表（調(diào)空前）個(gè)人所得低稅率表（兩處后）

電征糠3500元tU?5000C

級(jí)數(shù)全月應(yīng)妁他所得凝3晨公月應(yīng)加稅所得荻能率（外）

1不燃過1500元郃分3!不起it3000七郃分3

42it1500元越過3000K.

210210

至4500七的缽分i12000t的辭分

超過4500元”過1200（）元

320320

￡9000元的卻分至25000亡的部分

???——.????????

（1）假如小紅某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記x表示總收入，y表示應(yīng)

納的稅，試寫出調(diào)整前后）'關(guān)于》的函數(shù)表達(dá)式：

（2）某稅務(wù)部門在小紅所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個(gè)不同層次員工的稅前收入，并制

成下面的頻數(shù)分布表：

收入[3000,[5000,[7000,[9000,[11000[1SOOO

（元）5000)7000)9000)11000),13000),15000)

人我3。4010875

①先從收入在［3000,5000）及［5000,7000）的人群中按分層抽樣抽取7人，再從中選4人作為新納稅

法知識(shí)宣講員，用。表示抽到作為宣講員的收入在［3000,5000）元的人數(shù)，人表示抽到作為宣講員

的收入在［5000,7000）元的人數(shù)，隨機(jī)變量Z=|a-6］,求z的分布列與數(shù)學(xué)期望；

②小紅該月的工資、薪金等稅前收入為7500元時(shí)，請(qǐng)你幫小紅算一下調(diào)整后小紅的實(shí)際收入比調(diào)

整前增加了多少？

【分析】（1）依照個(gè)人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計(jì)算方法表示調(diào)整前后y關(guān)于x的函數(shù)表

達(dá)式：

（2）①由頻數(shù)分布表可知Z的取值可能為0,2,4,求出相應(yīng)的概率值得到分布列與期望值，

②由于小李的工資、薪金等收入為7500元，按調(diào)整前起征點(diǎn)應(yīng)納個(gè)稅為295元，按調(diào)整后起

征點(diǎn)應(yīng)納個(gè)稅為75元，從而得到結(jié)果.

【詳解】（1）調(diào)整前y關(guān)于x的表達(dá)式為

0,x<3500

y=1(x-3500)x0.03,xe(3500,5000]

45+(x-5000)x0.1,xe(5000,8000]

調(diào)整后y關(guān)于x的表達(dá)式為

J0,x<5000

V=［（x-5000）x0.03,xe（5000,8000］,

（2）①由頻數(shù)分布表可知從［3000,5000）及［5000,7000）的人群中抽取7人，其中

［3000,5000）中占3人，［5000,7000）的人中占4人，再從這7人中選4人，所以Z的取值可

能為0,2,4,（5分）

P（Z=0）=P（a=2/=2）=^^=募,

P(Z=2)=P(a=l,b=3)+F(a==1)=℃+』℃=3,

P(Z=4)P(a=0,b=4)=^^-=^~,

所以其分布列為

Z024

18161

P

353535

所以E(Z)=0x羽+2X3+4X^=36

v735353535

②由于小李的工資、薪金等收入為7500元，按調(diào)整前起征點(diǎn)應(yīng)納個(gè)稅為

1500X3%+2500X10%=295元；

按調(diào)整后起征點(diǎn)應(yīng)納個(gè)稅為2500X3%=75元，

比較兩個(gè)納稅方案可知，按調(diào)整后起征點(diǎn)應(yīng)納個(gè)稅少交220元，

即個(gè)人的實(shí)際收入增加了220元，所以小李的實(shí)際收入增加了220元.

【點(diǎn)睛】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：

第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；

第二步是：“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有占典概型公式、

幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對(duì)立事件的概率公式

等），求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布

列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或事件的概率是否正確；第四步是“求期望

值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)

變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項(xiàng)分布X?B(n,p)),則此隨機(jī)變量的期

望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.

22.(2020?河南?高三階段練習(xí)(理))某公司生產(chǎn)了A,8兩種產(chǎn)品投放市場(chǎng)，計(jì)劃每年

對(duì)這兩種產(chǎn)品投人200萬元，每種產(chǎn)品一年至少投入20萬元，其