2022-2023學(xué)年浙江省杭州師大附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年浙江省杭州師大附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇（共8題，每小題5分；滿分40分）1．（5分）空間兩點A，B的坐標(biāo)分別為（1，2，3），（﹣1，﹣2，3），則A，B兩點的位置關(guān)系是（）A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于xOy平面對稱 C．關(guān)于z軸對稱 D．關(guān)于原點對稱2．（5分）若把數(shù)據(jù)x1，x2，x3，?，x2022，改變?yōu)閤1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，?，x2022﹣2，則它們的（）A．平均數(shù)與方差均不改變 B．平均數(shù)改變，方差保持不變 C．平均數(shù)不變，方差改變 D．平均數(shù)與方差均改變3．（5分）若直線l的一個方向向量為v→=(-2，-2，-4)，平面α的一個法向量為A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．平行或線在面內(nèi)4．（5分）已知橢圓x2a2+y225=1（a＞5）的兩個焦點為F1、F2，且|F1F2|＝8．弦A．10 B．20 C．241 D．4415．（5分）“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個問題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，則a6＝（）A．103 B．107 C．109 D．1056．（5分）拋物線C1：y2＝4x和圓C2：（x﹣1）2+y2＝1，直線l經(jīng)過C1的焦點F，依次交C1，C2于A，B，C，D四點，則AB→A．34 B．1 C．2 D．7．（5分）已知棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，M為BC中點，N為平面DCC1D上的動點，若MN⊥A1C，則三棱錐N﹣AA1D的體積最小值為（）A．110 B．112 C．114 8．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，A．2 B．3 C．2 D．5二、多項選擇（共4題，每小題5分滿分20分．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）（多選）9．（5分）已知橢圓C1：x216+y29=1與雙曲線C2：x2A．C1的長軸長與C2的實軸長相等 B．C1的短軸長與C2的虛軸長相等 C．焦距相等 D．離心率不相等（多選）10．（5分）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知SnA．{an}是遞增數(shù)列 B．a(chǎn)10＝﹣14 C．當(dāng)n＞4時，an＜0 D．當(dāng)n＝3或4時，Sn取得最大值（多選）11．（5分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點．則（）A．直線D1D與直線AF垂直 B．直線A1G與平面AEF平行 C．平面AEF截正方體所得的截面面積為92D．點A1和點D到平面AEF的距離相等（多選）12．（5分）泰戈爾說過一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星，卻沒有交匯的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓．已知點F（1，0），直線l：x＝4，動點P到點F的距離是點P到直線l的距離的一半．若某直線上存在這樣的點P，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論中正確的是（）A．點P的軌跡方程是x24B．直線l1：x+2y﹣4＝0是“最遠(yuǎn)距離直線” C．平面上有一點A（﹣1，1），則|PA|+2|PF|的最小值為5 D．點P的軌跡與圓C：x2+y2﹣2x＝0是沒有交匯的軌跡（也就是沒有交點）三、填空題（共4題，每小題5分；滿分20分）13．（5分）雙曲線mx2+y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則m＝．14．（5分）甲、乙兩人獨立地破譯同一份密碼，已知各人能成功破譯的概率分別是12，13，則該密碼被成功破譯的概率為15．（5分）已知矩形ABCD，AB=1，BC=3，沿對角線AC將△ABC折起，若二面角B﹣AC﹣D的余弦值為-13，則B與D之間距離為16．（5分）如圖，已知拋物線的方程x2＝2py（p＞0），過點A（0，﹣1）作直線與拋物線相交于P，Q兩點，點B的坐標(biāo)為（0，1），連接BP，BQ，設(shè)QB，BP的延長線與x軸分別相交于點M，N．如果直線BQ與BP的斜率之積為﹣2，則cos∠MBN＝．四、解答題（共6題，滿分70分）17．（10分）某社區(qū)為了解轄區(qū)住戶中離退休老人每天的平均戶外“活動時間”，從轄區(qū)住戶的離退休老人中隨機(jī)抽取了100位老人進(jìn)行調(diào)查，獲得了每人每天的平均戶外“活動時間”（單位：小時），活動時間按照[0，0.5）、[0.5，1）、…、[4，4.5]從少到多分成9組，制成樣本的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求圖中a的值；（2）估計該社區(qū)住戶中離退休老人每天的平均戶外“活動時間”的中位數(shù)；（3）在[1，1.5）、[1.5，2）這兩組中采用分層抽樣抽取7人，再從這7人中隨機(jī)抽取2人，求抽取的兩人恰好都在同一個組的概率．18．（12分）如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，CB⊥BD，∠C1CD＝45°，∠CC1B＝60°，CC1＝CB＝BD＝1．（1）求對角線CA1的長度；（2）求異面直線CA1與DA所成角的余弦值．19．（12分）如圖，某海面上有O、A、B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東45°方向距O島402千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處，以O(shè)為坐標(biāo)原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，圓C經(jīng)過O、A、B三點．（1）求C的方程；（2）若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？20．（12分）已知等比數(shù)列{an}(n∈N*)滿足a2a3＝a4，2a1+a（1）定義：首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M﹣數(shù)列”，證明：數(shù)列{an}是“M﹣數(shù)列”；（2）記等差數(shù)列{bn}的前n項和記為Sn，已知b5＝9，S8＝64，求數(shù)列{b2n﹣1an}的前n項的和Tn．21．（12分）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD=12AD，現(xiàn)以AC為折痕把△ABC折起，使點B到達(dá)點P的位置，且PA（1）證明：CD⊥平面PAC；（2）若M為PD上一點，且三棱錐D﹣ACM的體積是三棱錐P﹣ACM體積的2倍，求平面PAC與平面ACM夾角的余弦值．22．（12分）已知拋物線y2＝43x的準(zhǔn)線過橢圓E的左焦點，且橢圓E的一個焦點與短軸的兩個端點構(gòu)成一個正三角形：（1）求橢圓E的方程；（2）直線y=12交橢圓E于A，B兩點，點P在線段AB上移動，連接OP交橢圓于M，N兩點，過P作MN的垂線交x軸于Q，求△

2022-2023學(xué)年浙江省杭州師大附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項選擇（共8題，每小題5分；滿分40分）1．（5分）空間兩點A，B的坐標(biāo)分別為（1，2，3），（﹣1，﹣2，3），則A，B兩點的位置關(guān)系是（）A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于xOy平面對稱 C．關(guān)于z軸對稱 D．關(guān)于原點對稱【解答】解：A，B的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，它們的豎坐標(biāo)相同，所以點A，B關(guān)于z軸對稱．故選：C．2．（5分）若把數(shù)據(jù)x1，x2，x3，?，x2022，改變?yōu)閤1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，?，x2022﹣2，則它們的（）A．平均數(shù)與方差均不改變 B．平均數(shù)改變，方差保持不變 C．平均數(shù)不變，方差改變 D．平均數(shù)與方差均改變【解答】解：數(shù)據(jù)x1，x2，x3，?，x2022的平均數(shù)x=數(shù)據(jù)x1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，?，x2022﹣2的平均數(shù)為x=x1數(shù)據(jù)x1，x2，x3，?，x2022的方差為：S2=(數(shù)據(jù)x1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，?，x2022﹣2的方差為：(x1-2-故選：B．3．（5分）若直線l的一個方向向量為v→=(-2，-2，-4)，平面α的一個法向量為A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．平行或線在面內(nèi)【解答】解：因為v→所以v→與n→共線，直線l與平面故選：A．4．（5分）已知橢圓x2a2+y225=1（a＞5）的兩個焦點為F1、F2，且|F1F2|＝8．弦A．10 B．20 C．241 D．441【解答】解：由題意可得橢圓x2a2+y225=1的a=b由橢圓的定義可得|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a，即有△ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝4a＝441．故選：D．5．（5分）“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個問題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，則a6＝（）A．103 B．107 C．109 D．105【解答】解：由題意，被3除余2且被7除余2的數(shù)即為被21除余2的數(shù)，故an則a6＝21×6﹣19＝107．故選：B．6．（5分）拋物線C1：y2＝4x和圓C2：（x﹣1）2+y2＝1，直線l經(jīng)過C1的焦點F，依次交C1，C2于A，B，C，D四點，則AB→A．34 B．1 C．2 D．【解答】解：由特殊化原則，當(dāng)直線過焦點F且垂直于x軸時，|AD|＝2p＝4，|BC|＝2r＝2，由拋物線與圓的對稱性知：|AB|＝|CD|＝1，所以AB→?CD→=|AB|?|故選：B．7．（5分）已知棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，M為BC中點，N為平面DCC1D上的動點，若MN⊥A1C，則三棱錐N﹣AA1D的體積最小值為（）A．110 B．112 C．114 【解答】解：以D為原點，分別以DA，DC，DD為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(1，0，1)，C(0，1，0)，M(12，1，0)，設(shè)∴A1又MN⊥A1C，∴12+a-1-b=0，即∴b=a-12，0≤b≤1故選：B．8．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，A．2 B．3 C．2 D．5【解答】解：依題意得，以線段F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2＝c2，雙曲線C的一條漸近線的方程為y=b由y=baxx2+y2=c2解得x=ay=b或x=不妨取M（a，b），則N（﹣a，﹣b）．因為A（﹣a，0），∠MAN＝135°，所以∠MAO＝45°，又tan∠所以b2a所以b2＝4a2，所以（c2﹣a2）＝4a2，所以c2＝5a2，所以該雙曲線的離心率e=5故選：D．二、多項選擇（共4題，每小題5分滿分20分．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）（多選）9．（5分）已知橢圓C1：x216+y29=1與雙曲線C2：x2A．C1的長軸長與C2的實軸長相等 B．C1的短軸長與C2的虛軸長相等 C．焦距相等 D．離心率不相等【解答】解：橢圓C1：x216+y29=1則c1雙曲線C2：x216-k+y29-k=1（9焦點在x軸上，a22=16-k則c2∴C1與C2的焦距相等，而C1的長軸長與C2的實軸長不相等，則離心率不相等，C1的短軸長與C2的虛軸長不相等．故選：CD．（多選）10．（5分）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知SnA．{an}是遞增數(shù)列 B．a(chǎn)10＝﹣14 C．當(dāng)n＞4時，an＜0 D．當(dāng)n＝3或4時，Sn取得最大值【解答】解：當(dāng)n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣2n+8，又a1＝S1＝6＝﹣2×1+8，所以an＝﹣2n+8，則{an}是遞減數(shù)列，故A錯誤；a10＝﹣12，故B錯誤；當(dāng)n＞4時，an＝8﹣2n＜0，故C正確；因為Sn=-n而n是正整數(shù)，且n＝3或4距離對稱軸一樣遠(yuǎn)，所以當(dāng)n＝3或4時，Sn取得最大值，故D正確．故選：CD．（多選）11．（5分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點．則（）A．直線D1D與直線AF垂直 B．直線A1G與平面AEF平行 C．平面AEF截正方體所得的截面面積為92D．點A1和點D到平面AEF的距離相等【解答】解：假設(shè)D1D⊥AF，∵D1D⊥AE，且AE∩AF＝A，AE，AF?平面AEF，∴D1D⊥AEF，∴DD1⊥EF，∴CC1⊥EF，顯然不成立，故A錯誤，取B1C1的中點Q，連接A1Q，GQ，如圖所示：由已知條件可得，GQ∥EF，A1Q∥AE，且GQ∩A1Q＝Q，EF∩AE＝E，∴平面A1GQ∥平面AEF，∵A1G?平面A1GQ，∴A1G∥平面AEF，連接D1F，D1A，如圖所示：∵E，F(xiàn)分別為BC，C1C的中點，∴EF∥AD1，EF=1∴A，E，F(xiàn)，D1四點共面，∴截面即為梯形AEFD1，延長DC，D1F，AE交于點S，易知D1S＝AS=42+22∴S△A∴S梯形AEFD建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可求得平面AEF的法向量為n→∴點A1到平面AEF的距離為d1=|AA1→∴點A1和點D到平面AEF的距離相等，故D正確．故選：BCD．（多選）12．（5分）泰戈爾說過一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星，卻沒有交匯的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓．已知點F（1，0），直線l：x＝4，動點P到點F的距離是點P到直線l的距離的一半．若某直線上存在這樣的點P，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論中正確的是（）A．點P的軌跡方程是x24B．直線l1：x+2y﹣4＝0是“最遠(yuǎn)距離直線” C．平面上有一點A（﹣1，1），則|PA|+2|PF|的最小值為5 D．點P的軌跡與圓C：x2+y2﹣2x＝0是沒有交匯的軌跡（也就是沒有交點）【解答】解：對于A，設(shè)P（x，y），因為點P到點F的距離是點P到直線l距離的一半，所以2(x-1)2故選項A正確；對于B，聯(lián)立方程組x+2y-4=0x24故存在點P（1，32所以直線l1：x+2y﹣4＝0是“最遠(yuǎn)距離直線”，故選項B正確；對于C，過點P作PB垂直直線l：x＝4，垂足為B，由題意可得，|PB|＝2|PF|，則|PA|+2|PF|＝|PA|+|PB|，由圖象可知，|PA|+|PB|的最小值即為點A到直線l：x＝4的距離5，故選項C正確；對于D，由x2+y2﹣2x＝0可得（x﹣1）2+y2＝1，故圓心為（1，0），半徑為1，所以點P的軌跡與圓C交于點（2，0），故選項D錯誤．故選：ABC．三、填空題（共4題，每小題5分；滿分20分）13．（5分）雙曲線mx2+y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則m＝-14【解答】解：雙曲線mx2+y2＝1的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2-x21-m=1，虛軸的長是由題意知，21-m=4，∴m故答案為-114．（5分）甲、乙兩人獨立地破譯同一份密碼，已知各人能成功破譯的概率分別是12，13，則該密碼被成功破譯的概率為2【解答】解：根據(jù)題意，甲乙兩人能成功破譯的概率分別是12，1則密碼沒有被破譯，即甲乙都沒有成功破譯密碼的概率P1＝（1-12）×（1-1故該密碼被成功破譯的概率P2＝1﹣P1＝1-1故答案為：2315．（5分）已知矩形ABCD，AB=1，BC=3，沿對角線AC將△ABC折起，若二面角B﹣AC﹣D的余弦值為-13，則B與D之間距離為【解答】解：過B和D分別作BE⊥AC，DF⊥AC，由AB=1，BC=3，則AC由等面積法知：12故BE=DF=3則AE=CF=12，即EF＝∵二面角B﹣AC﹣D的余弦值為-13，即cos＜∴BD→則|BD→|=3，即B與故答案為：3．16．（5分）如圖，已知拋物線的方程x2＝2py（p＞0），過點A（0，﹣1）作直線與拋物線相交于P，Q兩點，點B的坐標(biāo)為（0，1），連接BP，BQ，設(shè)QB，BP的延長線與x軸分別相交于點M，N．如果直線BQ與BP的斜率之積為﹣2，則cos∠MBN＝13【解答】解：設(shè)直線PQ的方程為y＝kx﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由y=kx-1x2=2py，得x2﹣2pkx+2p＝0，Δ＝4p2k2﹣又x1+x2＝2pk，x1?x2＝2p，因為kBP=y故kBP+kBQ=2kx1x故解得kBP所以tan∠BNO=2所以|BN|=|BM|=1由余弦定理得cos∠故答案為：13四、解答題（共6題，滿分70分）17．（10分）某社區(qū)為了解轄區(qū)住戶中離退休老人每天的平均戶外“活動時間”，從轄區(qū)住戶的離退休老人中隨機(jī)抽取了100位老人進(jìn)行調(diào)查，獲得了每人每天的平均戶外“活動時間”（單位：小時），活動時間按照[0，0.5）、[0.5，1）、…、[4，4.5]從少到多分成9組，制成樣本的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求圖中a的值；（2）估計該社區(qū)住戶中離退休老人每天的平均戶外“活動時間”的中位數(shù)；（3）在[1，1.5）、[1.5，2）這兩組中采用分層抽樣抽取7人，再從這7人中隨機(jī)抽取2人，求抽取的兩人恰好都在同一個組的概率．【解答】（本小題滿分12分）解：（1）由頻率分布直方圖，可知，平均戶外“活動時間”在[0，0.5）的頻率為0.08×0.5＝0.04．同理，在[0.5，1），[1.5，2），[2，2.5），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5）等組的頻率分別為0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02，由1﹣（0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02）＝0.5×a+0.5×a．解得a＝0.30．（2）設(shè)中位數(shù)為m小時．因為前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.25＝0.72＞0.5，而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20＝0.47＜0.5，所以2≤m＜2.5．由0.50×（m﹣2）＝0.5﹣0.47，解得m＝2.06．故可估計該社區(qū)住戶中離退休老人每天的平均戶外“活動時間”的中位數(shù)為2.06小時．（3）由題意得平均戶外活動時間在[1，1.5），[1.5，2）中的人數(shù)分別有15人、20人，按分層抽樣的方法分別抽取3人、4人，記作A，B，C及a，b，c，d，從7人中隨機(jī)抽取2人，共有21種，分別為：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，C），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（C，a），（C，b），（C，c），（C，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），同時在同一組的有：（A，B），（A，C），（B，C），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）．共9種，故抽取的兩人恰好都在同一個組的概率P=918．（12分）如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，CB⊥BD，∠C1CD＝45°，∠CC1B＝60°，CC1＝CB＝BD＝1．（1）求對角線CA1的長度；（2）求異面直線CA1與DA所成角的余弦值．【解答】解：（1）因為CB＝BD＝1，CB⊥BD，所以三角形BCD為等腰直角三角形，所以CD=1+1又因為CC1＝CB＝1，∠CC1B＝60°，所以三角形CC1B為邊長為1的等邊三角形，又CA則CA1所以|C所以對角線CA1的長度為3；（2）因為CA1→=CB→+所以CA所以cos＜即異面直線CA1與DA所成角的余弦值為5619．（12分）如圖，某海面上有O、A、B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東45°方向距O島402千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處，以O(shè)為坐標(biāo)原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，圓C經(jīng)過O、A、B三點．（1）求C的方程；（2）若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？【解答】解：（1）由題意可求A（40，40），B（20，0），設(shè)過O，A，B三點的圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，可得402+402+40D+40E+F=0F=0202+20D+F=0，解得D故圓C的方程為x2+y2﹣20x﹣60y＝0，圓心為C（10，30），半徑r＝1010．（2）設(shè)船初始位置為點D，則D（﹣20，﹣203），且該船航線所在直線l的斜率為1，故該船航行方向為直線l：y﹣x﹣20+203=0由于圓心C到直線l的距離d=|30-10-20+203|12故該船有觸礁的危險．20．（12分）已知等比數(shù)列{an}(n∈N*)滿足a2a3＝a4，2a1+a（1）定義：首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M﹣數(shù)列”，證明：數(shù)列{an}是“M﹣數(shù)列”；（2）記等差數(shù)列{bn}的前n項和記為Sn，已知b5＝9，S8＝64，求數(shù)列{b2n﹣1an}的前n項的和Tn．【解答】（1）證明：由題意可設(shè)公比為q，則a12q3=a2a1+a1q2=3a∴數(shù)列{an}是“M﹣數(shù)列”；（2）設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，易得4（b4+b5）＝S8＝64，得b4＝7，∴d＝b5﹣b4＝2，得bn＝2n﹣1，若q＝1，則b2n﹣1an＝4n﹣3，∴Tn若q＝2，則an∴b∴Tn=1×∴2Tn①﹣