2024屆新教材二輪復習 　排列的綜合問題 學案

2024屆新教材二輪復習排列的綜合問題學案素養(yǎng)導引1.進一步理解排列、排列數(shù)的概念.(數(shù)學抽象)2.能用排列知識解決綜合的實際問題.(數(shù)學建模)學習任務(wù)一特殊元素與特殊位置問題(數(shù)學建模、數(shù)學運算)【典例1】(1)某班級從A,B,C,D,E,F六名學生中選四人參加4×100m接力比賽,其中第一棒只能在A,B中選一人,第四棒只能在A,C中選一人,則不同的選派方法共有 ()A.24種 B.36種 C.48種 D.72種【解析】選B.若第一棒選A,則有A42種選派方法;若第一棒選B,則有2A42種選派方法.由分類加法計數(shù)原理知,共有A42+2A4(2)杭州亞運會啟動志愿者招募工作,甲、乙等6人報名參加了A,B,C三個項目的志愿者工作,因工作需要,每個項目僅需1名志愿者.若甲不能參加A,B項目,乙不能參加B,C項目,那么共有______種不同的選拔志愿者的方案.(用數(shù)字作答)

【解析】根據(jù)題意,分4種情況討論:①甲、乙都不參加志愿活動,在剩下4人中任選3人參加即可,有A43=24②甲參加乙不參加志愿活動,甲只能參加C項目,在剩下4人中任選2人參加A,B項目即可,有A42=12③乙參加甲不參加志愿活動,乙只能參加A項目,在剩下4人中任選2人參加B,C項目即可,有A42=12④甲、乙都參加志愿活動,甲只能參加C項目,乙只能參加A項目,在剩下4人中任選1人參加B項目,有A41=4則有24+12+12+4=52種選拔方法.答案:52【思維提升】1.特殊位置分析法先滿足特殊位置的要求,再處理其他位置,若有兩個及以上的約束條件,則在考慮一個約束條件的同時要兼顧其他條件.2.特殊元素分析法先滿足特殊元素的要求,再處理其他的元素.提醒:當直接求解困難時,可考慮用間接法求解,即先不考慮限制條件,計算出排列總數(shù),再減去不符合要求的排列數(shù).【即學即練】1.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿活動,要求每人參加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外兩位前面,不同的安排方法共有 ()A.20種 B.30種 C.40種 D.60種【解析】選A.根據(jù)題意,要求甲安排在另外兩位前面,則甲有3種分配方法,即甲在周一、周二、周三,分3種情況討論可得,甲在周一有A42=12種安排方法,甲在周二有A3甲在周三有A22=2種安排方法,總共有12+6+2=202.一場小型晚會有3個唱歌節(jié)目和2個相聲節(jié)目,排出一個節(jié)目單,要求前3個節(jié)目中要有相聲節(jié)目,有________種排法.

【解析】5個節(jié)目全排列減去后兩個都是相聲的排法,共有A55-A答案:108【加固訓練】某年級舉辦線上小型音樂會,由6個節(jié)目組成,演出順序有如下要求:節(jié)目甲必須排在前兩位,節(jié)目丙必須排在節(jié)目乙的下一個,則該小型音樂會節(jié)目演出順序的編排方案共有________種.(用數(shù)字作答)

【解析】由題意知,甲的位置影響乙的排列,①甲排在第一位共有A44=24種,②甲排在第二位共有A3所以編排方案共有24+18=42種.答案:42學習任務(wù)二與數(shù)字有關(guān)的排列問題(數(shù)學運算、邏輯推理)【典例2】用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成__________個無重復數(shù)字的六位奇數(shù).

【解析】方法一從特殊位置入手(直接法)分三步完成:第一步填個位,有A31種填法;第二步填十萬位,有A41種填法;第三步填其他位,有A44種填法.故共有方法二從特殊元素入手(直接法)0不在兩端有A41種排法,從1,3,5中任選一個排在個位有A31種排法,其他各位上用剩下的元素作全排列有A44種排法,故共有方法三(間接法)6個數(shù)字的全排列有A66個,0,2,4在個位上的排列數(shù)為3A55個,1,3,5在個位上,0在十萬位上的排列數(shù)有3A44個,故對應(yīng)的六位奇數(shù)的排列數(shù)為A答案:288【一題多變】用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成__________個無重復數(shù)字且不大于4310的四位偶數(shù).

【解析】①當千位上排1,3時,有A21②當千位上排2時,有A21③當千位上排4時,形如40××,42××的偶數(shù)各有A31個,形如41××的偶數(shù)有A21·A31個,形如43××故共有A21A31A42+A答案:110【思維提升】數(shù)字排列問題應(yīng)注意的事項(1)首位數(shù)字不為0,若所選數(shù)字中含有0,則可先排0,即“元素分析法”.(2)若排列的是特殊數(shù)字,如偶數(shù),則先排個位數(shù)字,即“位置分析法”.【即學即練】(2023·天津高二檢測)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù),其中比40000大的偶數(shù)共有________個.

【解析】根據(jù)題意,符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4,5其中1個,末位數(shù)字為0,2,4中其中1個;分兩種情況討論:①首位數(shù)字為5時,末位數(shù)字有3種情況,在剩余的4個數(shù)中任取3個,放在剩余的3個位置上,有A43=24種情況,此時有3×24=72②首位數(shù)字為4時,末位數(shù)字有2種情況,在剩余的4個數(shù)中任取3個,放在剩余的3個位置上,有A43=24種情況,此時有2×24=48共有72+48=120個.答案:120【加固訓練】從集合{1,2,3,…,20}中任意選出3個不同的數(shù),使這3個數(shù)成等差數(shù)列,這樣的等差數(shù)列可以有多少個?【解析】設(shè)a,b,c∈N*,且a,b,c成等差數(shù)列,則a+c=2b,由此可以得出a+c應(yīng)是偶數(shù).因此從1到20這20個自然數(shù)中任選3個數(shù)成等差數(shù)列,則第一個數(shù)與第三個數(shù)必同時為偶數(shù)或同時為奇數(shù),而1到20這20個自然數(shù)中有10個偶數(shù)和10個奇數(shù),當?shù)谝粋€數(shù)a和第三個數(shù)c選定后,中間的數(shù)b也就唯一確定了,所以選法只有兩類:①a與c都是偶數(shù),有A102②a與c都是奇數(shù),有A102根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,選出3個不同的數(shù)成等差數(shù)列,這樣的等差數(shù)列有A102+A102學習任務(wù)三“相鄰”與“不相鄰”問題(數(shù)學運算、邏輯推理)角度1“相鄰”問題【典例3】(2023·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰,則不同排列方式共有 ()A.12種 B.24種C.36種 D.48種【解析】選B.因為丙丁要在一起,先把丙丁捆綁,看作一個元素,連同乙,戊看成三個元素排列,有A33種排列方式;為使甲不在兩端,必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入,有2種插空方式;注意到丙丁兩人的順序可交換,有2種排列方式,故安排這5名同學共有A3【思維提升】“捆綁法”解決相鄰問題將n個不同的元素排成一列,其中k(k≤n)個元素排在相鄰的位置上,求不同排法的種數(shù)的方法如下:(1)先將這k個元素“捆綁”在一起,看成一個整體;(2)把這個整體當成一個元素與其他元素一起排列,有An-(3)“松綁”,即將“捆綁”在一起的元素進行內(nèi)部排列,其排列方法有Akk(4)由分步乘法計數(shù)原理知,符合條件的排法有An-角度2“不相鄰”問題【典例4】(2023·德州高二檢測)某夜市的一排攤位上共有9個鋪位,現(xiàn)有6家小吃類店鋪,3家飲料類店鋪打算入駐,若要排出一個攤位規(guī)劃,要求飲料類店鋪不能相鄰,則可以排出的攤位規(guī)劃總個數(shù)為 ()A.A77C.A33【解析】選D.先排6家小吃類店鋪,有A66種排法,再將3家飲料類店鋪插入小吃類店鋪形成的7個空位上,有A73種排法【思維提升】“插空法”解決不相鄰問題將n個不同的元素排成一列,其中k(當n為奇數(shù)時,k≤n+12;當n為偶數(shù)時,k≤n2)個元素互不相鄰(1)將沒有不相鄰要求的(n-k)個元素排成一排,其排列方法有An-(2)將要求兩兩不相鄰的k個元素插入(n-k+1)個空隙中,相當于從(n-k+1)個空隙中選出k個分別分配給兩兩不相鄰的k個元素,其排列方法有An-(3)根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知,符合條件的排法有An-【即學即練】4名男生和3名女生站成一排.(1)男生相鄰的站法有__________種.

(2)女生不相鄰的站法有__________種.

(3)男、女生相間的站法有__________種.(用數(shù)字作答)

【解析】(1)將4名男生捆在一起視作一人,與3名女生全排列共有A44種排法,但4名男生之間有A44種排法,由分步乘法計數(shù)原理可知,共有A4(2)4名男生排好有A44種排法,女生插入男生形成的5個空位中有A53種排法.所以女生不相鄰的站法有A44(3)如圖,1男2男3男4男5男生排好后,形成5個空位,要使男女相間排列,女生應(yīng)排在2,3,4號位,所以有A44A33答案:(1)576(2)1440(3)144【加固訓練】記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相鄰但不排在兩端,不同的排法共有 ()A.1440種 B.960種C.720種 D.480種【解析】選B.先將5名志愿者排好,有A55種排法,2位老人只能排在5名志愿者之間的4個空隙中,先將2位老人排好,有A22種排法,再把他們作為一個元素插入空隙中,有4種插法,所以共有4A2學習任務(wù)四定序問題(數(shù)學運算、邏輯推理)【典例5】將A,B,C,D,E這5個字母排成一列,要求A,B,C在排列中的順序為“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相鄰),則有多少種不同的排列方法?【解析】方法一(整體法):5個字母無約束條件的全排列有A55種排法,由于字母A,B,C的排列順序為“A,B,C”或“C,B,A”,因此,在上述的全排列中恰好符合“A,B,C”或“C,B,A”排列方式的排法有A55方法二(插空法):若字母A,B,C的排列順序為“A,B,C”,將字母D,E插入形成的4個空中,分兩步:第一步,將D插入,有A41第二步,將E插入,有A51綜上,有A41A同理,若字母A,B,C的排列順序為“C,B,A”,也有20種不同的排列方法.因此,滿足條件的排列方法有20+20=40(種).【思維提升】處理定序問題的基本方法(1)除階乘法:n個元素的全排列中有m(m≤n)個元素的順序固定,則滿足題意的排法有Ann(2)插空法:m個對象之間的先后順序確定不變,因此先排這m個對象,只有一種排法,然后把剩下的n個對象分類或分步插入由以上m個對象形成的空隙中.【即學即練】在一次學校組織的研究性學習成果報告會上,有A,B,C,D,E,F共6項成果要匯報,如果B