第02章平面體系的幾何構(gòu)造分析

第二章平面體系的幾何構(gòu)造分析§2-1幾何構(gòu)造分析的根本概念§2-2幾何不變體系的組成規(guī)律§2-3平面體系的計(jì)算自由度制作：周書敬郭延華一、幾何構(gòu)造分析的目的1、判斷某個(gè)體系是否為幾何不變體系，因?yàn)橹挥袔缀尾蛔凅w系才能作為結(jié)構(gòu)使用；此外應(yīng)根據(jù)幾何不變體系的規(guī)律設(shè)計(jì)新結(jié)構(gòu)。2、正確區(qū)分靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)。二、根本概念1、幾何不變體系和幾何可變體系幾何不變體系：假設(shè)不考慮材料的應(yīng)變，體系的位置和形狀不會改變?！?-1幾何構(gòu)造分析的根本概念制作：周書敬郭延華對于幾何不變體系，體系的內(nèi)部和外部都具有足夠的聯(lián)系(約束)；幾何不變體系制作：周書敬郭延華幾何可變體系：假設(shè)不考慮材料的應(yīng)變，體系的位置或形狀是可以改變的。幾何可變體系常變體系瞬變體系常變體系——可以發(fā)生大位移的幾何可變體系叫作常變體系。瞬變體系——是指本來是幾何可變的、經(jīng)微小位移后又成為幾何不變的體系。特別注意：瞬變體系是幾何可變體系的一種特例，因而不能作為結(jié)構(gòu)使用，這尤其需要引起工程界的重視。制作：周書敬郭延華CABo瞬變體系幾何可變體系不能作為結(jié)構(gòu)來使用。對于幾何可變體系，體系的內(nèi)部和(或)外部缺少足夠的聯(lián)系(約束)。常變體系制作：周書敬郭延華(1)從微小運(yùn)動看是可變體系——具有自由度；(2)經(jīng)微小位移后成為不變體系——瞬變體系；(3)具有多余約束——是暫時(shí)的。從有多余約束來說，它具有超靜定結(jié)構(gòu)的性質(zhì)；從靜力學(xué)方面講，在荷載作用下它的解是不唯一的。2、剛片(剛體)由于不考慮材料的應(yīng)變，可以把一根梁、一根鏈桿或一個(gè)幾何不變的局部作為一個(gè)剛體，在幾何構(gòu)造分析中稱為剛片。研究剛片上兩點(diǎn)連線的轉(zhuǎn)動就代表了剛片的轉(zhuǎn)動。瞬變體系具有三個(gè)特點(diǎn)：制作：周書敬郭延華3、自由度自由度：是指物體或體系在平面內(nèi)運(yùn)動時(shí)，彼此可以獨(dú)立改變的幾何參數(shù)的個(gè)數(shù)。(1)一個(gè)結(jié)點(diǎn)在平面內(nèi)有兩個(gè)自由度，因?yàn)榇_定該結(jié)點(diǎn)在平面內(nèi)的位置需要兩個(gè)獨(dú)立的幾何參數(shù)xA、yA。xAAxAyOyCBByBx

(2)一個(gè)剛片在平面內(nèi)有三個(gè)自由度，因?yàn)榇_定該剛片在平面內(nèi)的位置需要三個(gè)獨(dú)立的幾何參數(shù)xB、yB、

。制作：周書敬郭延華一般：n個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動方式=n個(gè)自由度4、約束(聯(lián)系)但凡能減少體系自由度的裝置就稱為約束。約束的種類可分為外部約束和內(nèi)部約束兩種。(1)外部約束(支承條件)：是指體系與根底之間的聯(lián)系，也就是支座。一個(gè)滾軸支座=1個(gè)約束一個(gè)鉸支座=2個(gè)約束一個(gè)固定支座=3個(gè)約束一個(gè)定向支座=2個(gè)約束制作：周書敬郭延華(2)內(nèi)部約束(桿件間的聯(lián)系)：是指體系內(nèi)部各桿之間或結(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)系，如鉸結(jié)點(diǎn)、剛結(jié)點(diǎn)和鏈桿等。討論：平面上的兩個(gè)剛片的連接情況(未連接前有6個(gè)自由度)。①用一根單鏈桿連接AAx

OxyAy

BC確定它們的位置需要5個(gè)坐標(biāo)參數(shù)，減少了一個(gè)自由度。一根單鏈桿=1個(gè)約束②用一個(gè)單鉸連接AAx

OxyAy

B制作：周書敬郭延華用4個(gè)坐標(biāo)參數(shù)可以確定他們的位置，減少了2個(gè)自由度。一個(gè)單鉸=2個(gè)約束③

用一個(gè)單剛結(jié)點(diǎn)連接用3個(gè)坐標(biāo)參數(shù)可以確定他們的位置，減少了3個(gè)自由度。一個(gè)單剛結(jié)點(diǎn)=3個(gè)約束5、多余約束多余約束：如果在一個(gè)體系中增加一個(gè)約束，而體系的自由度并不因此而減少，那么此約束稱為多余約束。討論：將一個(gè)點(diǎn)固定在剛片(根底)上的情況。制作：周書敬郭延華點(diǎn)A有兩個(gè)自由度，只需兩個(gè)約束就可以了。可用不共線的兩根鏈桿①、②固定。假設(shè)再增加一根鏈桿③，三根鏈桿也只能減少兩個(gè)自由度，所以有一根是多余的。A①②A①②③問題是哪一根是多余的呢？請思考！6、瞬鉸(虛鉸)兩根鏈桿的約束作用相當(dāng)于在鏈桿交點(diǎn)處一個(gè)單鉸所起的約束作用。故兩根鏈桿可以看作在交點(diǎn)處有一個(gè)瞬鉸(虛鉸)。制作：周書敬郭延華關(guān)于∞點(diǎn)的情況需強(qiáng)調(diào)幾點(diǎn)：①每一個(gè)方向有一個(gè)∞點(diǎn)；②不同方向有不同∞點(diǎn)；注意：連接兩剛片的兩鏈桿構(gòu)成瞬鉸。③各∞點(diǎn)都在同一直線上，此直線稱為∞線；④各有限點(diǎn)都不在∞線上。AA相交在∞點(diǎn)制作：周書敬郭延華§2-2幾何不變體系的組成規(guī)律前提：平面體系的無多余約束的幾何不變體系的組成規(guī)律。一、幾何不變體系的組成規(guī)律根本規(guī)律就是三角形規(guī)律。1、一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)剛片的連接被約束對象：結(jié)點(diǎn)A、剛片I提供的約束：兩根鏈桿1、2ABC2Ⅰ1二元體規(guī)則制作：周書敬郭延華規(guī)律1：一個(gè)結(jié)點(diǎn)與一個(gè)剛片用不共線的兩根鏈桿相連，那么組成幾何不變體系且無多余約束。圖示體系，結(jié)點(diǎn)A、剛片I由共線的鏈桿1，2相連，是瞬變體系。A12I2、兩個(gè)剛片之間的連接1ABCⅠⅡ被約束對象：剛片I、II提供的約束：鉸B、鏈桿1鏈桿不過鉸的中心規(guī)律2：兩個(gè)剛片用一個(gè)鉸以及與該鉸不共線的一根鏈桿相連，那么組成幾何不變體系且無多余約束。制作：周書敬郭延華ⅢABCⅠⅡ3、三個(gè)剛片之間的連接被約束對象：剛片I、II、III提供的約束：鉸A、B、C三鉸不共線規(guī)律3：三個(gè)剛片用三個(gè)鉸兩兩相連，且三個(gè)鉸不在同一直線上，那么組成幾何不變體系且無多余約束。上述三條規(guī)律表述方式不同，但可歸納為一個(gè)三角形規(guī)律：如果三個(gè)鉸不共線，那么一個(gè)鉸結(jié)三角形的形狀是不變的，而且沒有多余約束。下面看看幾種特殊情況：制作：周書敬郭延華一根鏈桿相當(dāng)于一個(gè)約束，一個(gè)單鉸相當(dāng)于兩個(gè)約束，故一個(gè)單鉸可以用兩根鏈桿代替，那么有規(guī)律4：4、兩個(gè)剛片用三根鏈桿連接A3III21被約束對象：剛片I、II提供的約束：鏈桿1、2、3形成一個(gè)虛鉸A規(guī)律4：兩個(gè)剛片用三根不交于同一點(diǎn)的鏈桿相連，那么組成幾何不變體系且無多余約束。討論1：當(dāng)兩剛片用三根鏈桿連接時(shí)，有六種情況發(fā)生，但是什么情況下才能組成幾何不變體系呢？分析下面各種情況。(都可歸結(jié)為規(guī)律4)制作：周書敬郭延華①三根鏈桿中有兩根桿形成一個(gè)實(shí)鉸，且第三根桿不通過該鉸中心(圖a)；(a)幾何不變體系132ⅠⅡ(1,2)(b1)幾何不變體系132ⅠⅡ(b2)幾何不變體系132ⅠⅡA②三根鏈桿中有兩根桿形成一個(gè)虛鉸，且第三根桿不通過該虛鉸中心(圖b)；③

三根鏈桿相交于一點(diǎn)，形成一個(gè)實(shí)鉸(圖c)；(c)幾何常變體系132ⅠⅡ④三根鏈桿的延長線相交于一點(diǎn)，形成一個(gè)虛鉸(圖d)；制作：周書敬郭延華(d)幾何瞬變體系132ⅠⅡ(1,2,3)⑤三根鏈桿平行且等長，形成一個(gè)無窮遠(yuǎn)處虛鉸(圖e)；⑥三根鏈桿平行不等長，形成一個(gè)無窮遠(yuǎn)處虛鉸(圖f)。(e)幾何常變體系132ⅠⅡ(f)幾何瞬變體系132ⅠⅡ因此，規(guī)律2和規(guī)律4也可以統(tǒng)一表達(dá)為：兩個(gè)剛片用一鉸(實(shí)鉸或虛鉸)和一根不通過該鉸中心的鏈桿連接，那么組成幾何不變體系且無多余約束。制作：周書敬郭延華特別說明：平行兩桿在無窮遠(yuǎn)處形成“虛鉸〞。討論2(看規(guī)律3)：三個(gè)剛片用三個(gè)不共線的鉸兩兩相連，組成無多余約束的幾何不變體系。看以下幾種情況，即：3個(gè)鉸用6根鏈桿代替的情況：

②6根鏈桿兩兩形成實(shí)鉸，三鉸不共線，組成無多余約束的幾何不變體系(圖b)；CBA(a)幾何瞬變體系ⅠⅡⅢ①當(dāng)三個(gè)鉸共線時(shí)，那么為幾何瞬變體系(圖a)；(b)幾何不變體系ⅡⅠⅢCBA制作：周書敬郭延華③6根鏈桿兩兩形成虛鉸，三鉸不共線，組成無多余約束的幾何不變體系(圖c)；(c)幾何不變體系ⅡⅠⅢCBA④6根鏈桿形成一個(gè)實(shí)鉸和無窮遠(yuǎn)處的兩個(gè)虛鉸，三鉸不共線，那么體系幾何不變，且無多余約束(圖d)；(d)幾何不變體系ⅡⅠCBAⅢ⑤6根鏈桿形成一個(gè)實(shí)鉸和一個(gè)虛鉸，而這兩個(gè)鉸的連線與另外兩根鏈桿平行，那么體系幾何瞬變(圖e)；制作：周書敬郭延華(e)幾何瞬變ⅡⅠCBAⅢ⑥6根鏈桿形成三個(gè)無窮遠(yuǎn)鉸，數(shù)學(xué)上可證明三鉸共線，故體系幾何瞬變(圖f)。(f)幾何瞬變ⅡⅠCBAⅢ看幾種混合情況：⑦三鉸(不同的鉸)不共線，體系幾何不變。ⅡⅠⅢCBA制作：周書敬郭延華AIII1IIB2ICAIIIIIBIC⑧三鉸(不同的鉸)共線，體系幾何可變。IIIIIIABC四根鏈桿相互平行(不等長)形成的瞬鉸B、C在同一無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以三個(gè)鉸A、B、C位于同一直線上，故體系為瞬變體系。制作：周書敬郭延華由此可知，規(guī)律3還可表達(dá)如下：三個(gè)剛片用不共線的三個(gè)鉸(實(shí)鉸或虛鉸)兩兩相連，組成無多余約束的幾何不變體系。上述四個(gè)根本組成規(guī)律可歸結(jié)為三種根本裝配格式：(1)簡單裝配格式固定一個(gè)結(jié)點(diǎn)的裝配格式用不共線的兩根鏈桿將結(jié)點(diǎn)固定在根本剛片上。(2)聯(lián)合裝配格式固定一個(gè)剛片的裝配格式用不共線的鉸和鏈桿，或用不共點(diǎn)的三根鏈桿將一個(gè)剛片固定在根本剛片上。(3)復(fù)合裝配格式固定兩個(gè)剛片的裝配格式制作：周書敬郭延華用不共線的三個(gè)鉸將兩個(gè)剛片固定在根本剛片上。裝配過程通常有兩種：(1)從根底出發(fā)進(jìn)行裝配(圖a、b、c)。(2)從內(nèi)部剛片出發(fā)進(jìn)行裝配(圖d、e)。(a)10123456789EABCD(b)ABCD123ⅥⅠⅡⅢⅣⅤ(c)制作：周書敬郭延華IIIIII二、根本組成規(guī)律的應(yīng)用1、利用根本組成規(guī)律構(gòu)成幾何不變體系；2、對已給的體系進(jìn)行幾何組成分析。在此，主要介紹第二方面的內(nèi)容。解題思路：根底看作一個(gè)大剛片；要區(qū)分被約束對象及提供的約束；在被約束對象之間找約束；除復(fù)鏈桿和復(fù)鉸外，約束不能重復(fù)使用。(b)ABCDEFABCDGEF(a)制作：周書敬郭延華例2-2-1試分析如以下圖所示體系的幾何構(gòu)造。解：(方法1)被約束對象：剛片I、II及結(jié)點(diǎn)D。45III(基礎(chǔ))D剛片I、II用鏈桿1、2、3相連，符合規(guī)律4，組成大剛片I'；123I'大剛片I'

、結(jié)點(diǎn)D用鏈桿4、5相連，符合規(guī)律1。制作：周書敬郭延華故體系為幾何不變且無多余約束。(方法2)被約束對象：剛片I、II、III及結(jié)點(diǎn)D。34III(基礎(chǔ))DIII12I'BAO剛片I、II用鏈桿1、2相連(瞬鉸O)；剛片I、III用鉸B相連；剛片II、III用鉸A相連。鉸A、B、O不共線，符合規(guī)律3，組成大剛片I'。大剛片I'與結(jié)點(diǎn)D用鏈桿3、4相連，符合規(guī)律1。即可得出結(jié)論。制作：周書敬郭延華例2-2-2

試分析圖示體系的幾何構(gòu)造。III(基礎(chǔ))123解：被約束對象：剛片I、II(根底)。剛片I、II用鏈桿1、2、3相連，符合規(guī)律4。故該體系幾何不變且無多余約束。注意：約束等效代換，直桿1、3代替折桿。制作：周書敬郭延華例2-2-3

試分析圖示體系的幾何構(gòu)造。C65A12IIIIIIB34解：剛片I、Ⅱ用鏈桿1、2相連，(瞬鉸A)；剛片I、Ⅲ用鏈桿3、4相連，(瞬鉸B)；剛片Ⅱ、Ⅲ用鏈桿5、6相連，(瞬鉸C)。A、B、C三鉸均在無窮遠(yuǎn)處，位于同一無窮遠(yuǎn)線上，故為瞬變體系。制作：周書敬郭延華例2-2-4

試分析圖示體系的幾何構(gòu)造。A1243BC56解：剛片I、II用鏈桿1、2相連(瞬鉸A)；剛片I、III用鏈桿3、4相連(瞬鉸B)；剛片II、III用鏈桿5、6相連(瞬鉸C)。因?yàn)锳、B、C三鉸不在同一直線上，符合規(guī)律3，故該體系幾何不變且無多余約束。小結(jié)：(1)要正確選定被約束對象(剛片或結(jié)點(diǎn))以及所提供的約束。IIII(基礎(chǔ))II制作：周書敬郭延華(2)要在被約束對象(剛片或結(jié)點(diǎn))之間找約束，除復(fù)鏈桿和復(fù)鉸外，約束不能重復(fù)使用。(3)注意約束的等效替換。特別說明：當(dāng)體系與根底的連接不符合兩剛片連接規(guī)律時(shí)，應(yīng)從體系內(nèi)部尋找構(gòu)造單元，進(jìn)行分析。(1)復(fù)雜形狀(曲線、折線等)鏈桿可用直鏈桿代替；(a)(b)(c)AⅡ(d)Ⅰ(2)連接兩剛片的兩根鏈桿，可用其交點(diǎn)處的瞬鉸代替。制作：周書敬郭延華(3)排除二元體方法體系中假設(shè)局部有不共線的兩根鏈桿將一鉸結(jié)點(diǎn)連于主體，那么此局部稱為“二元體〞。(見規(guī)律1)分析體系時(shí)，可以先排除“二元體〞，然后分析主體局部的幾何構(gòu)造；假設(shè)主體局部幾何不變，那么整個(gè)體系幾何不變。11098765342EABCD123485679111210制作：周書敬郭延華§2-3平面體系的計(jì)算自由度一、單約束與復(fù)約束1、單鏈桿與復(fù)鏈桿單鏈桿：僅連接兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的鏈桿稱為單鏈桿，一根單鏈桿相當(dāng)于一個(gè)約束。復(fù)鏈桿：連接三個(gè)或三個(gè)以上結(jié)點(diǎn)的鏈桿稱為復(fù)鏈桿。一根復(fù)鏈桿相當(dāng)于(2n-3)根單鏈桿，其中n為一根鏈桿連接的結(jié)點(diǎn)數(shù)。n=3制作：周書敬郭延華2、單鉸與復(fù)鉸單鉸：只與兩個(gè)剛片連接的鉸稱為單鉸。一個(gè)單鉸能減少體系兩個(gè)自由度，故相當(dāng)于兩個(gè)約束。單鉸xyxIIIy復(fù)鉸：連接三個(gè)或三個(gè)以上剛片的鉸稱為復(fù)鉸。假設(shè)剛片數(shù)為m，那么該復(fù)鉸相當(dāng)于(m-1)個(gè)單鉸，故其提供的約束數(shù)為2(m-1)。制作：周書敬郭延華復(fù)鉸2

(3-1)=4xyxIIIIIIy3、單剛結(jié)點(diǎn)與復(fù)剛結(jié)點(diǎn)看作一個(gè)剛片單剛結(jié)點(diǎn)復(fù)剛結(jié)點(diǎn)一個(gè)連接n個(gè)剛片的復(fù)剛結(jié)點(diǎn)=n-1個(gè)單剛結(jié)點(diǎn)制作：周書敬郭延華4、封閉剛架有三個(gè)多余約束無多余約束二、計(jì)算自由度W的定義式W=(各部件的自由度總和)-(全部約束數(shù))說明：“部件〞和“約束〞。部件：可以是“點(diǎn)〞(鉸)，也可以是剛片(需注意“剛片內(nèi)部是否有多余約束〞，如果有多余約束，那么應(yīng)變成無多余約束的剛片，而這種附加約束數(shù)應(yīng)計(jì)入體系的總約束數(shù)中去)。制作：周書敬郭延華約束：分為“單約束〞和“復(fù)約束〞。單約束：連接兩個(gè)部件的約束；復(fù)約束：連接兩個(gè)以上部件的約束。三、計(jì)算自由度W的計(jì)算公式1、剛片體系將體系看作剛片、鉸結(jié)點(diǎn)、剛結(jié)點(diǎn)以及鏈桿組成的體系，其中剛片為被約束對象，鉸結(jié)點(diǎn)、剛結(jié)點(diǎn)、鏈桿為約束。那么計(jì)算自由度公式為：m—剛片數(shù)(無多余約束)；g—單剛結(jié)點(diǎn)數(shù)；制作：周書敬郭延華h—單鉸數(shù)；b—單鏈桿數(shù)(含支座鏈桿數(shù))特別注意：當(dāng)具有復(fù)約束(復(fù)鉸、復(fù)剛結(jié)點(diǎn))時(shí)應(yīng)折算成單約束。在求解時(shí)，地基的自由度為零，不計(jì)入剛片數(shù)。2、鏈桿體系(鉸結(jié)體系)將體系看作結(jié)點(diǎn)以及鏈桿組成的體系，其中結(jié)點(diǎn)為被約束對象，鏈桿為約束。那么計(jì)算自由度公式為：制作：周書敬郭延華j—結(jié)點(diǎn)數(shù)；b—單鏈桿數(shù)(包含復(fù)鏈桿折算的單鏈桿數(shù))。3、混合公式約束對象為剛片和結(jié)點(diǎn)，約束為鉸結(jié)點(diǎn)、剛結(jié)點(diǎn)和鏈桿。那么計(jì)算自由度公式為：式中：m、j、g、h、b意義同前。四、舉例例2-3-1

求計(jì)算自由度W。12解：方法一，按剛片體系計(jì)算制作：周書敬郭延華12注意：復(fù)鉸結(jié)點(diǎn)1、2折算。方法二，按鉸結(jié)體系計(jì)算注意：復(fù)鏈桿(梁式桿)的折算。利用前述規(guī)律可知，體系幾何不變，且有一個(gè)多余約束。(內(nèi)部鏈桿的任何一桿均可視為多余約束)例2-3-2

試求圖示體系的計(jì)算自由度。制作：周書敬郭延華ABCIIIIII123解：按剛片體系計(jì)算分析可知，該體系為無多余約束的幾何不變體系。例2-3-3

求圖示體系的計(jì)算自由度。AIII12345BCD解：B、C不作為鉸，D作為剛結(jié)點(diǎn)制作：周書敬郭延華AIII12345BCDB、C不作為鉸，D不作為剛結(jié)點(diǎn)B、C作為鉸，D作為剛結(jié)點(diǎn)B、C不作為鉸，D不作為剛結(jié)點(diǎn)，每根桿均作為剛片制作：周書敬郭延華例2-3-4

求圖示體系的計(jì)算自由度。BDACE81234567910I解：①混合公式計(jì)算②剛片公式計(jì)算③鉸結(jié)體系公式計(jì)算制作：周書敬郭延華例2-3-5

求圖示體系的計(jì)算自由度。解：用剛片體系公式計(jì)算。剛片10個(gè)，單鉸13個(gè)(結(jié)點(diǎn)B、C處各二個(gè)單鉸，結(jié)點(diǎn)E處三個(gè)單鉸)，鏈桿4個(gè)(1~4)。1BDA342567893CE10412制作：周書敬郭延華用鉸結(jié)體系公式計(jì)算。鉸結(jié)點(diǎn)數(shù)9個(gè)，單鏈桿數(shù)18個(gè)