利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題專題講座

利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題專題講座1整理課件全國(guó)卷高考數(shù)學(xué)題展示(2021年全國(guó)卷〕函數(shù)，假設(shè)存在唯一的零點(diǎn)，且，那么的取值范圍？2整理課件函數(shù)零點(diǎn)是新課標(biāo)教材的新增內(nèi)容之一,縱觀近幾年全國(guó)各地的高考試題,經(jīng)常出現(xiàn)一些與零點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題,它可以以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，也可以在解答題中與其它知識(shí)交匯后閃亮登場(chǎng)，可以說(shuō)“零點(diǎn)〞成為了高考新的熱點(diǎn)和亮點(diǎn).高考地位3整理課件一：復(fù)習(xí)舊知函數(shù)零點(diǎn)使函數(shù)的實(shí)數(shù)方程的實(shí)數(shù)解函數(shù)的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)函數(shù)與方程函數(shù)與圖像函數(shù)零點(diǎn)使函數(shù)的實(shí)數(shù)方程的實(shí)數(shù)解函數(shù)的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)4整理課件結(jié)論：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。等價(jià)關(guān)系：方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)5整理課件唯一在上單調(diào)在有零點(diǎn)在上連續(xù)零點(diǎn)的存在性定理6整理課件等價(jià)關(guān)系除了用判定定理外，你還想到什么方法呢？7整理課件導(dǎo)數(shù)在函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題上的應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合零數(shù)零位參數(shù)范圍8整理課件研究?jī)蓷l曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的根本方法(1)數(shù)形結(jié)合法，通過(guò)畫出兩個(gè)函數(shù)圖象，研究圖形交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出答案.(2)函數(shù)與方程法，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)得出兩曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù).1、三次函數(shù)的圖象四種類型2.三次函數(shù)的零點(diǎn)分布三次函數(shù)在存在兩個(gè)極值點(diǎn)的情況下，由于當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)值也趨向∞，因此只要按照極值與零的大小關(guān)系確定其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可.存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2且x1＜x2的函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零點(diǎn)分布情況如下：a的符號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù)充要條件a＞0(f(x1)為極大值，f(x2)為極小值)一個(gè)f(x1)＜0或f(x2)＞0兩個(gè)f(x1)＝0或者f(x2)＝0三個(gè)f(x1)＞0且f(x2)＜0a＜0(f(x1)為極小值，f(x2)為極大值)一個(gè)f(x2)＜0或f(x1)＞0兩個(gè)f(x1)＝0或者f(x2)＝0三個(gè)f(x1)＜0且f(x2)＞0例1：

函數(shù)f(x)=x3-3x2+a(a∈R)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).例題選講一、三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題12整理課件函數(shù)f(x)=x3-3x2+a(a∈R)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).幾何畫板演示13整理課件函數(shù)f(x)=x3-3x2+a(a∈R)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).幾何畫板演示14整理課件函數(shù)f(x)=x3-x2-x+a的圖象與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.穩(wěn)固練習(xí)115整理課件16整理課件幾何畫板演示17整理課件穩(wěn)固練習(xí)2當(dāng)x變化時(shí)，g(x)與g′(x)的變化情況如下：x(－∞，0)0(0，1)1(1，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)t＋3t＋1所以，g(0)＝t＋3是g(x)的極大值，g(1)＝t＋1是g(x)的極小值.當(dāng)g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3時(shí)，此時(shí)g(x)在區(qū)間(－∞，1]和[1，＋∞)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn).當(dāng)g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1時(shí)，此時(shí)g(x)在區(qū)間(－∞，0)和[0，＋∞)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn).當(dāng)g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1時(shí)，因?yàn)間(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所以g(x)分別在區(qū)間[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1個(gè)零點(diǎn)，由于g(x)在區(qū)間(－∞，0)和(1，＋∞)上單調(diào)，所以g(x)分別在區(qū)間(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1個(gè)零點(diǎn).綜上可知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切時(shí)，t的取值范圍是(－3，－1).探究提高解決曲線的切線問(wèn)題的關(guān)鍵是求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解題時(shí)先不要管其他條件，先使用曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)表達(dá)切線方程，再考慮該切線與其他條件的關(guān)系，如此題第(2)問(wèn)中的切線過(guò)點(diǎn)(1，t).穩(wěn)固練習(xí)3(2)證明由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.設(shè)g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.由題設(shè)知1－k＞0.當(dāng)x≤0時(shí)，g′(x)＝3x2－6x＋1－k＞0，g(x)單調(diào)遞增，g(－1)＝k－1＜0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一實(shí)根.當(dāng)x＞0時(shí)，令h(x)＝x3－3x2＋4，那么g(x)＝h(x)＋(1－k)x＞h(x).h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)單調(diào)遞減，在(2，＋∞)單調(diào)遞增，所以g(x)＞h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)沒(méi)有實(shí)根.綜上，g(x)＝0在R有唯一實(shí)根，即曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個(gè)交點(diǎn).探究提高研究方程的根的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，并借助函數(shù)的大致圖象判斷方程根的情況，這是導(dǎo)數(shù)這一工具在研究方程中的重要應(yīng)用.例題選講二、非三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題24整理課件幾何畫板演示25整理課件附：非三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題也是通過(guò)導(dǎo)數(shù)求極值來(lái)畫出其圖象，采用類似于三次函數(shù)的方法探究零點(diǎn)。26整理課件例題選講f(x)與f′(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的變化情況如下表：探究提高對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來(lái)求解.這類問(wèn)題求解的通法是：(1)構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；(3)畫出函數(shù)草圖；(4)數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解.1、函數(shù)f(x)=x3-3ax-1,a>0(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)假設(shè)f(x)在x=-1處取得極值，直線y=m與y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．課后測(cè)試31整理課件32整理課件幾何畫板演示33整理課件解:(1)設(shè)曲線y=f(x)與x軸切于點(diǎn),那么

,即

解得當(dāng)時(shí),x軸是y=f(x)的切線.3.函數(shù),g(x)=-lnx(1)當(dāng)a為何值時(shí),x軸為曲線y=f(x)的切線(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)當(dāng)x>1時(shí),g(x)=-lnx<0,從而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0故h(x)在無(wú)零點(diǎn).當(dāng)x=1時(shí),假設(shè),那么f(1)=h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,x=1是h(x)的一個(gè)零點(diǎn)假設(shè),那么h(1)=f(1)<0,h(x)無(wú)零點(diǎn).38整理課件當(dāng)0<x<1時(shí),g(x)>0無(wú)零點(diǎn),只需考慮f(x)在(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

(?)當(dāng)a≥0時(shí),,f(x)在(0,1)單調(diào)遞增且f(0)>0故f(x)(0,1)上無(wú)零點(diǎn).(??)當(dāng)a≤-3時(shí),,f(x)在(0,1)單調(diào)遞減且,f(x)在(0,1)內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn).(???)當(dāng)-3<a<0時(shí),f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增故f(x)在(0,1)上的最小值為a)假設(shè),即時(shí),f(x)在(0,1)上無(wú)零點(diǎn)b)假設(shè),即時(shí),f(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn)39整理課件c)當(dāng),即時(shí)

綜上所述:當(dāng)或時(shí),h(x)有一個(gè)零點(diǎn)。當(dāng)或時(shí),h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)。