淮安市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

淮安市2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試高二數(shù)學(xué)試題2023.01一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.以直線為準(zhǔn)線拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，直接寫出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程作答.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線是直線，則該拋物線焦點(diǎn)在y軸上，開口向下，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C2.已知直線：，：，若，則（）A.－1 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線垂直得到，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€，且，故，解得.故選：D.3.設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列通項(xiàng)列式，求出公比的平方即可求解作答.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比，因?yàn)椋?，則，解得，所以.故選：A4.直線與曲線相切于點(diǎn)，則（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】直線與曲線相切于點(diǎn),可得求得的導(dǎo)數(shù),可得,即可求得答案.【詳解】直線與曲線相切于點(diǎn)將代入可得:解得:由,解得:.可得根據(jù)在上,解得:故選:.5.已知直線l：，圓C：，若圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1，則（）A.1 B.3 C. D.4【答案】B【解析】【分析】由數(shù)形結(jié)合結(jié)合點(diǎn)線距離即可求【詳解】由題意得，，則點(diǎn)C到直線l的距離為，圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1，則如圖所示，直線l交圓于A、B垂直半徑于，.故，故.故選：B6.數(shù)列滿足，，則的最大值為（）A.3 B.2 C. D.－1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)遞推公式，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，判斷數(shù)列的周期，即可求解.【詳解】由條件可知，，，則，則，，，所以數(shù)列是周期為3的數(shù)列，由前3項(xiàng)可知，的最大值為2.故選：B7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的左支上，且，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.3 D.7【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得，，，，由余弦定理解決即可.【詳解】由雙曲線定義知，，因?yàn)椋?，，因?yàn)?，，所以中，由余弦定理得，即，化?jiǎn)得，所以，故選：A8.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，假設(shè)，則，此時(shí)構(gòu)造函數(shù)，，，由函數(shù)圖像可知，在時(shí)，故.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，關(guān)于曲線C：，下列說法正確的是（）A.曲線C不可能是圓B.曲線C可能是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C.曲線C不可能是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D.曲線C可能是雙曲線【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)的不同取值，結(jié)合橢圓和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，方程化簡(jiǎn)為，即為圓的方程，故A錯(cuò)誤；B.曲線方程整理為，當(dāng)時(shí)，，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故B正確；C.當(dāng)時(shí)，，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故C錯(cuò)誤；D.當(dāng)時(shí)，，曲線表示雙曲線，故D正確.故選：BD10.已知數(shù)列和滿足，，，．則下列結(jié)論不正確的是（）A.數(shù)列為等比數(shù)列B.數(shù)列為等差數(shù)列C.D.【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A，條件兩等式相減，根據(jù)定義判斷等比數(shù)列；對(duì)B，條件兩等式相加，根據(jù)定義判斷等差數(shù)列；對(duì)C，由B的結(jié)論求出通項(xiàng)，再求第6項(xiàng)；對(duì)D，由AB的結(jié)論求出通項(xiàng)公式，再兩式相加.【詳解】對(duì)A，，即，，故數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，A對(duì)；對(duì)BC，，即，即，故數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，故，故，故數(shù)列不為等差數(shù)列，，BC錯(cuò)；對(duì)D，由A得，又，兩式相加得，即，D錯(cuò).故選：BCD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，則，即，所以，，A錯(cuò)B對(duì)；因?yàn)?，則，即，所以，，C對(duì)D錯(cuò).故選：BC.12.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線，經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過C上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)C上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，經(jīng)過點(diǎn)Q，則（）A.B.C.的面積為D.延長(zhǎng)AO交直線于點(diǎn)M，【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，求出，進(jìn)而求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，得到，A錯(cuò)誤；求出，利用兩點(diǎn)間距離公式求出，B正確；求出，并求出高，得到三角形面積，C正確；求出直線AO的方程，得到，根據(jù)三點(diǎn)共線，得到D正確.【詳解】中，令，即，解得：，故，則直線必經(jīng)過焦點(diǎn)，故直線的方程為，即，聯(lián)立與得：，故，所以，A錯(cuò)誤；將代入中，，故，，B正確；由于，則以為底，則高為，其中，故，C正確；直線AO的方程為，令，則，故，由于直線，點(diǎn)Q縱坐標(biāo)為-4，故三點(diǎn)共線，故延長(zhǎng)AO交直線于點(diǎn)M，，D正確.故選：BCD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．13.若圓：與圓：外切，則實(shí)數(shù)______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩圓外切列方程，從而求得的值.【詳解】圓的圓心為，半徑為.圓的圓心為，半徑為.由于兩圓外切，所以，得.故解得.故答案為：.14.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為______．【答案】【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)，求出的解即可求出答案.【詳解】因?yàn)?則令,即,且所以,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為故答案為：15.已知，是雙曲線C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限交于點(diǎn)M，則的面積為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求出圓方程和漸近線方程，聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求面積.【詳解】由題可知，所以線段為直徑的圓方程為，漸近線為，聯(lián)立得，因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以，所以，故答案?.16.小張計(jì)劃連續(xù)十年向某公司投放資金，第一年年初投資10萬(wàn)元，以后每年投資金額比前一年增加2萬(wàn)元，該公司承諾按復(fù)利計(jì)算，且年利率為10%，第十年年底小張一次性將本金和利息取回，則小張共可以取得______萬(wàn)元．（結(jié)果用數(shù)字作答）．參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】305【解析】【分析】根據(jù)給定信息，構(gòu)建數(shù)列，再利用錯(cuò)位相減法求和作答.【詳解】依題意，小張每年向公司投資金額構(gòu)成以10為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，因此每年的投資到第十年年底的本金和利息和為，10次投資到第十年年底本金和利息總和為，則，于是得，兩式相減得，則有，所以小張共可以取得305萬(wàn)元.故答案為：305四、解答題：本大題共6小題，共計(jì)70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，______．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的最大值．注：作答前請(qǐng)先指明所選條件，如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）；（2）49.【解析】【分析】（1）選擇①②③，利用已知列出關(guān)于等差數(shù)列公差、首項(xiàng)的方程組，再解方程組即可作答.（2）利用（1）中結(jié)論，求出，再求其最大值作答.【小問1詳解】選①，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，依題意，，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.選②，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，依題意，，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.選③，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，依題意，，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）知，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值49．18.已知圓C過兩點(diǎn)，，且圓心在直線上．（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)作直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，若，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法求解；（2）根據(jù)弦長(zhǎng)及圓的半徑求出弦心距，據(jù)此分直線斜率存在與不存在兩種情況求解即可.【小問1詳解】設(shè)圓C方程為，則，解得，所以圓C的方程為．【小問2詳解】設(shè)圓心到直線l的距離為d，則，則．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：，滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即，所以，解得，此時(shí)，直線l的方程為，即．綜上所述，直線l的方程為或．19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記為區(qū)間中的整數(shù)個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)關(guān)系,結(jié)合應(yīng)用等差等比數(shù)列基本量運(yùn)算即可得出通項(xiàng)公式;(2)計(jì)算后再應(yīng)用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式,等比數(shù)列前項(xiàng)和公式分組求和即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，時(shí)也成立，所以．設(shè)等比數(shù)列公比q，因?yàn)?，，成等差?shù)列，且，所以，則，所以，所以．【小問2詳解】因?yàn)闉樵趨^(qū)間中的整數(shù)個(gè)數(shù)，所以，則所以．20.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上的最小值為，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】（1）的極小值為，極大值為11；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值作答.（3）利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在的單調(diào)性，求出最小值即可求解作答.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)镽，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在，上遞減，在上遞增，因此當(dāng)時(shí)，取得極小值，當(dāng)時(shí)，取得極大值，所以的極小值為，極大值為11．【小問2詳解】函數(shù)，，求導(dǎo)得，因?yàn)?，則由得，顯然，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，則函數(shù)在上的最小值為，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為1.21.已知函數(shù)，．（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，由函數(shù)單調(diào)性討論恒成立問題即可；（2）由導(dǎo)數(shù)法直接研究或由換元法化簡(jiǎn)后研究恒成立問題.【小問1詳解】，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，恒成立，即恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，則．故實(shí)數(shù)a的取值范圍為；【小問2詳解】因?yàn)楹愠闪ⅲ院愠闪?，設(shè)，，則，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，且，，則，使，即，且，，列表得x＋0－極大值所以，則.解法二：恒成立，即恒成立，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)闀r(shí)，，所以在上的值域?yàn)椋驗(yàn)?，所以，恒成立，設(shè)，，則，令得，列表得t1＋0－極大值所以，則．解法三：恒成立，即恒成立，令，，則在上單調(diào)遞增，的值域?yàn)镽．因?yàn)椋?，恒成立，設(shè)，，則，令得，列表得t0＋0－極大值所以，則．故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．22.已知橢圓E：的離心率為，A，B為橢圓的左、右頂點(diǎn)，C為橢圓的上頂點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線AC的距離為．（1）求橢圓E的方程；（2）P為橢圓上一點(diǎn)，直線AC與直線PB交于點(diǎn)Q，直線PC與x軸交于點(diǎn)T，設(shè)直線PB，QT的斜率分別為，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件建立關(guān)于的方程組，即可求解；（2）解法一：首先設(shè)點(diǎn)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示直線PB的斜率，以及直線的方程，并利用直線方程聯(lián)立求得點(diǎn)和的坐標(biāo)，代入并化簡(jiǎn)直線的斜率，