例談數(shù)學項目學習開發(fā)路徑與實踐-以“量身定做的全身鏡”為例

例談數(shù)學項目學習開發(fā)路徑與實踐——以“量身定做的全身鏡”為例

杭州市豐潭摘

要：項目學習是實施綜合與實踐領域課程的有效載體．本文通過“量身定制的全身鏡”這一項目學習課例，分析圖形與幾何視角下項目學習的設計思路，形成教學目標確定、教學活動設計、教學評價實施的方法，為后續(xù)教師研究、設計和實踐項目學習提供實施路徑．關鍵詞：項目學習；數(shù)學方法；學會思考一、問題提出《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》要求進一步加強綜合與實踐，以提高學生綜合運用所學知識和方法解決實際問題的能力，根據(jù)不同學段學生特點，適當采用主題式學習和項目式學習的方式，設計情境真實、較為復雜的問題，引導學生綜合運用數(shù)學學科和跨學科的知識與方法解決問題.初中階段綜合與實踐領域，將要以跨學科項目學習的方式，整合數(shù)學與其他學科的知識和思想方法，從數(shù)學的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋社會生活以及科學技術中遇到的現(xiàn)實問題，感受數(shù)學與科學、技術、經濟、金融、地理、藝術等學科領域的融合，積累數(shù)學活動經驗，體會數(shù)學的科學價值，發(fā)展應用意識、創(chuàng)新意識和實踐能力．本文以《量身定制的全身鏡》為例，經歷初中數(shù)學項目學習的實踐過程，探尋數(shù)學核心素養(yǎng)視角下項目學習的設計的一般路徑與方法．二、項目簡述《量身定制的全身鏡》項目學習課，結合現(xiàn)實生活中的真實情境，以“每班配一面經濟實用的全身鏡”為話題，促成學生自主提出本項目的驅動性問題，并利用平面鏡成像知識和相關數(shù)學知識研究完成項目的具體實踐過程，最終根據(jù)學生的設計為班級剪裁一面經濟實用的全身鏡，促使學生綜合應用所學知識解決問題，提升能力．1.項目：量身定制的全身鏡.2.驅動性問題：如何為班級設計一面經濟實用的全身鏡.3.核心知識：相似三角形、軸對稱圖形.4.項目具體實踐過程：操作體驗，探索規(guī)律，嘗試解決，優(yōu)化方案.

5.項目成效：(1)確定全身鏡長度與身高有關.全身鏡的最短鏡長等于身高的，兩者存在函數(shù)關系.(2)明確全身鏡擺放要求.鏡面最低點到地面的距離等于眼睛到腳底的.(3)美化全身鏡的途徑.利用黃金比以及美學的知識使設計更協(xié)調美觀.(4)全身鏡制作的秘籍.形成設計全身鏡的一般步驟及制作要點.通過項目化學習，促使學生經歷完整的數(shù)學抽象、幾何證明和多學科知識整合應用的過程，掌握數(shù)學抽象、證明和數(shù)學建模的方法與步驟，進一步理解從實際生活中抽象出數(shù)學問題，利用相似三角形等知識證明得到結論的過程，培養(yǎng)了學生的實踐能力及合作交流能力，提升數(shù)學抽象和數(shù)學運算的素養(yǎng)，發(fā)展了學生幾何直觀、推理能力、創(chuàng)新意識和應用意識等核心素養(yǎng)．三、項目學習教學實踐1．提出問題，任務驅動《量身定制的全身鏡》項目從“校園設計大賽”中學生的真實問題出發(fā)，引發(fā)學生深度思考，師生合作互動，共同探尋問題解決的子任務，形成學習共同體．提出問題：如何在材料有限的情況下，為班級設計一面經濟實用的全身鏡？任務驅動：子任務1：探究全身鏡最短鏡長與身高的關系.子任務2：探索并明確全身鏡擺放的位置要求.子任務3：探究美化全身鏡的途徑，使設計更協(xié)調美觀.子任務4：探索全身鏡制作的秘籍，形成設計全身鏡的方法和制作要點.2．探究實踐，優(yōu)化設計環(huán)節(jié)一操作體驗，探索規(guī)律活動1請一位同學在撕開軟鏡貼保護紙過程中，觀察何時鏡子能恰好照到全身？問題1在改變鏡子大小的過程中，你看到鏡子里的畫面有什么變化？問題2在鏡子材料有限的情況下，什么時候恰好能變成一面全身鏡？問題3全身鏡的長度與什么因素有關？活動分析：在活動中，通過不斷改變鏡子的長度和學生站立位置離鏡子的遠近，促使學生獲得直接真切的感知，并提出何時恰好成為一面全身鏡等問題，水到渠成地獲得項目學習的驅動性問題：“如何為班級設計一面實用且美觀的全身鏡”.全身鏡的寬度一般是40-50cm左右，因此本項目主要探究全身鏡的長度。活動2

探究鏡子中像的大小與人站立點位的關系問題4思考由全身鏡聯(lián)想到哪些知識點(多學科知識點)？問題5根據(jù)平面鏡成像的特征，作出人在平面鏡中所成的像.問題6人與像關于鏡面是什么數(shù)學變換？問題7

改變人與鏡面的距離，像的大小是否會發(fā)生改變？問題8為什么人站得離鏡面越遠，我們看到自己的像越“小”？活動分析：在探究活動中，通過提供學習支架引導學生結合多學科知識作圖，讓學生經歷數(shù)學抽象過程。人有寬度和高度，如何將人抽象成數(shù)學幾何圖形是學生抽象思維的難點。在不考慮寬度的情況下，學生通過感知人的高度不可無限延伸，因此將人抽象成一點線段。

借助學生所學的軸對稱知識，作出人照鏡子得到的像(如下圖)，以此來加深學生對人和像關系的理解.通過改變人與鏡面的距離，讓學生感悟像的大小與人的站立點位無關。最后學生得到結論：鏡子中像的大小與人站立點位無關.證明簡單的猜想入手，做到了低起點，激發(fā)了學生的探究欲望，提高學生學習的積極性和主動性.活動2探究鏡長與人的身高有什么關系？問題9請利用所學知識畫出眼睛看到鏡中全身像的光路圖.活動分析：活動2讓學生回憶平面鏡成像的原理，為學生提供了學習支架，引導學生根據(jù)提供的蠟燭成像光路圖及分析這一學習支架獨立完成作圖，獨立思考后進行1-2分鐘的小組討論，通過準確分析光路圖明確鏡長與身高的關系，將其轉化成數(shù)學問題.環(huán)節(jié)二數(shù)學抽象，嘗試解決問題10要照到全身，至少保留鏡子的哪段長度？問題11DE與AC有什么數(shù)量關系？如何證明？問題12如何根據(jù)光路圖作出數(shù)學幾何圖形？（光學→數(shù)學）問題13如何將問題寫成命題，進行嚴格的幾何證明？問題14全身鏡的最短鏡長與人的身高是否存在函數(shù)關系？分析：通過五個層層遞進的問題，引導學生從實際問題中抽象出數(shù)學問題，將任務鏈拆解，給學生思考空間，學生根據(jù)光路特點得到結論：至少需要保留線段DE才能使人照到全身，作出猜想，DE=

AC,通過引導學生將人照鏡子的光路圖抽象成幾何圖形的過程，讓學生明確線段關系，探究DE與AC的關系，發(fā)展學生的幾何直觀和推理能力.命題：已知線段AC與線段A'C'關于DE所在的直線對稱，且DE//A'C'//AC,若身高AC=x米，則最短鏡長DE的長度為多少米？學生1：由反射角等于入射角、AC和A'C'關于QG對稱→BD=A'D,同理得到BE=EC'且DE//A'C',得到DE=AC（三角形的中位線、平行線分線段成比例）.學生2：由AC//QG//A'C',AC和A'C'關于QG對稱→△A'QD∽△A'AB，△BDE∽△BA'C'→

=

=→==→=.學生3：過點B作DE的垂線交QG于點F→△CGE≌△BEF,△BDF≌△ADG→DE=AC（全等三角形）.結論：全身鏡的最短鏡長是身高的.函數(shù)建模:數(shù)據(jù)收集→畫圖描點→一次函數(shù)→擬合檢驗.在此基礎上，通過收集全班的身高數(shù)據(jù)，畫圖描點，擬合并檢驗函數(shù).變量身高為x，全身鏡的最短鏡長yx160161162162.2163163.8164165y8080.580.581.18081.98282.5x166167168169170171172173y8383.58484.585.585.58686.5x174174.3176177.7178178.6179180y86.587.158888.858989.289.590不難發(fā)現(xiàn)大部分點都在函數(shù)圖象附近，也有幾組數(shù)據(jù)存在誤差，不符合實際，有可能是測量時的讀數(shù)誤差等，我們可以刪去一些誤差較大的數(shù)據(jù)，并且使數(shù)據(jù)的取值盡量均勻，優(yōu)化后的散點圖如下：確定最短鏡長與身高存在函數(shù)關系：y=

x.思考：確保鏡子能照到全身，還要考慮哪些因素？(邊實踐邊發(fā)現(xiàn)邊解決)環(huán)節(jié)三優(yōu)化方案，歸納總結活動3利用提供的材料剪裁一面適合組員的全身鏡.分工合作，步驟如下（15分鐘）：(1)每組針對核心知識和驅動性問題，先在圖紙上討論好設計方案；(2)根據(jù)設計目標剪裁一面適合組員的全身鏡，具體分工和要求如下：

活動4在設計過程中遇到了什么問題？問題15在最短鏡長確定后，如何明確全身鏡的擺放高度？問題16鏡子能夠照到全身后，探究如何美化全身鏡，使得畫面更協(xié)調美觀？活動分析：在學生掌握了核心知識后開展小組合作，加深學生對理論知識的理解，讓學生在實踐中繼續(xù)去發(fā)現(xiàn)和提出問題，并在不斷嘗試檢驗中解決問題。學生依次解決設計中出現(xiàn)的問題：學生1：最短鏡長確定后仍照不到全身可能跟鏡子的張貼高度有關，即求解鏡子張貼的最低點離地面的距離，從幾何圖形中提取出基本結構（如下圖），由相似三角形得到△C'EG∽△C'BC,所以得到結論鏡子最低點離地面的距離為眼睛到足底的一半，即EG=BC.學生2：借助黃金分割，優(yōu)化鏡子設計.活動5：如果要為全組、全班、全校設計一面經濟實用的全身鏡，需要搜集哪些信息？該如何計算呢？請總結出全身鏡制作的秘籍形成設計全身鏡的一般方法和規(guī)律.活動分析：研究全身鏡的鏡長最終是為了服務班級和學校，通過實踐后的追問，引導學生進行更深層次的頭腦風暴，探究出全身鏡制作的秘籍，總結出設計全身鏡的一般方法和規(guī)律，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識。3．成果展示，遷移應用學生要在解決的過程中創(chuàng)造同伴可共享，公開獲得的有形學習成果．小組展示：請小組進行創(chuàng)意分享，展示各組設計的鏡子、設計方案和依據(jù)。小組1：為了使畫面更美觀，1組學生將黃金分割的相關內容融入到鏡子的設計中。首先會想到將人放置在鏡子的黃金點（如下圖1），將鏡子長度抽象成一條線段，身高已知時根據(jù)比例中項科研求出線段BC的長度。此時學生會發(fā)現(xiàn)仍然不夠協(xié)調，將改變長度后的鏡子上下移動使得人身高的黃金點與鏡子的黃金點重合（如下圖2），頭頂是D點，足底是E點，點A為人的黃金點，線段BC和線段DE長度已知，可以求解出線段AE和線段AB的長度，從而求解得到BE的長度，即鏡子需要下移的距離。

圖1

圖2小組2:該組成員從鏡中的像出發(fā)，要使得看到的像協(xié)調美觀，找到像的黃金點，使得≈0.618,小組某成員的身高是180cm,求出線段EP=111.24cm,由△BDO∽△BEP得到OG=EP=55.62cm,因此可以使得這段鏡子的長度位于鏡子總長的黃金點，即≈0.618,則GH=90cm,因此改變鏡子的張貼高度即可使畫面更協(xié)調。小組3：在最短鏡長確定、張貼高度適宜的情況下，3組學生發(fā)現(xiàn)通過改變人的站立點位來使視覺上看到的像變“小”，讓畫面更協(xié)調，比如站在離鏡子1.88米的距離時照出來的畫面就比較美觀協(xié)調。小組4：為使畫面更協(xié)調，改變鏡子的長和寬，使得鏡子的長和寬成黃金比。規(guī)律總結：要為全班、全校設計一面經濟實用的全身鏡，全身鏡的擺放的最高點按全班(全校)身高最高的人確定，全身鏡的最低點按全班(全校)身高最矮的人確定，如下圖.班級全身鏡展示：4．項目評價，內化經驗課堂上要關注學習目標，對學生提出具有科學標準的要求，并進行評估.項目量身定制的全身鏡評價一級指標二級指標自己評小組評老師評我會參與★★★積極舉手發(fā)言，積極參與討論與交流★★能舉手發(fā)言，會參與討論與交流★少有發(fā)言，較少參與討論與交流☆☆☆☆☆☆☆☆☆我會合作★★★在團隊與成員良好合作，在小組內起到領導作用，能給出建議，并且對小組貢獻大★★幫助協(xié)作，推動小組工作，對最終成果有一定貢做★有參與討論、協(xié)作，但是參與度不高☆☆☆☆☆☆☆☆☆我會探究★★★有強烈的求知欲，不斷提出與項目有關的問題，并努力尋找答案★★能提出與主題有關的問題，希望找到答案，能在遇到困難時與同伴討論尋求解決方案★能提出問題，有時問題偏離主題，對問題不做進一步思考☆☆☆☆☆☆☆☆☆我會創(chuàng)新★★★全身鏡的設計有亮點，且觀點有一定的合理性，能不斷優(yōu)化設計★★學習中有一定的創(chuàng)新意識，能解決相關問題★學習中能開始培養(yǎng)創(chuàng)新意識☆☆☆☆☆☆☆☆☆拓展在全身鏡大小確定的情況下，探究改變全身鏡放置的角度，讓老師和同學照鏡子時更美，并確定一個最佳站立點位，使美觀程度達到最佳(黃金角度)。遷移所學內容，思考為什么紅綠燈要設置在一個適當高度？三、項目開發(fā)與實踐的基本路徑通過以上課例，我們發(fā)現(xiàn)項目學習是一種有指導的探究性學習，學生參與了與科學、美學和工程學相關的較為開放的探索活動，教師適當指導(項目支架)，產生可遷移的學習效果．在開展“圖形與幾何”主題中的項目學習時，可以通過“提出問題，任務驅動”“探究實踐，優(yōu)化設計”“成果展示，遷移應用”“項目評價，內化經驗”四個方面對項目進行實施，可選擇以下方式切入：1．提出問題，任務驅動——“化散為聚”.新課標指出項目的選取應盡可能貼近學生的現(xiàn)實，以利于學生經歷從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學知識與方法的過程，并結合多學科知識解決問題。“發(fā)散”體現(xiàn)著多學科的知識廣度，連結真實生活與問題，將其聚焦到學科價值，才能開發(fā)出靈動、吸人眼球、樂于探索的項目。對于貼近生活的情景，可以發(fā)現(xiàn)在道德與法治、科學、藝術、語文等學科中，有很多與數(shù)學相似度與重合度較高的主題，可以利用其特點化散為聚，以問題導入，激發(fā)興趣，引導學生明確項目任務。例如本項目以生活中全身鏡的問題作為切入點，融合了數(shù)學、科學、美學和工程等學科知識，將多學科內容交互一體，從理解光學中的平面鏡成像原理開始，從實際生活中抽象出數(shù)學問題，引導學生感受現(xiàn)實意義，通過將分散的多學科知識整合，聚焦核心知識與關鍵能力，培養(yǎng)學生解決生活問題的創(chuàng)造力。2．探究實踐，優(yōu)化設計——“化零為整”.項目設計需要將分散的學科知識，按照知識的內在邏輯和大框架進行有序的排列重組、合理串聯(lián)，將零散的知識點通過一條線串聯(lián)成整體。本項目以師生互動為保障，通過創(chuàng)設問題和追問引導學生明確項目流程，尋找學科間的關聯(lián)性。從生活實際出發(fā)，將全身鏡作為串聯(lián)數(shù)學、科學和美學的工具，全身鏡的尺寸是數(shù)學問題，但全身鏡的設計本身又涉及到科學和美學，從而將生活問題轉化為合理的數(shù)學問題，利用光學中平面鏡成像的原理，結合數(shù)學中圖形的軸對稱知識探究影響全身鏡長度的因素，并從中抽象出數(shù)學幾何圖形，發(fā)現(xiàn)圖形基本結構，讓學生經歷分析全身鏡的最短鏡長與身高的關系，通過幾何證明得到最短鏡長與身高存在函數(shù)關系，結合證明得到的結論建立簡單的函數(shù)模型，最終引導學生解釋數(shù)學結論的現(xiàn)實意義，利用兩者的關系對全身鏡進行剪裁設計，并結合多學科核心知識對設計進行不斷優(yōu)化，讓學生感受結論的合理性，從而解決問題(如圖1)。3．成果展示，遷移應用——“化無為有”.跨學科項目化以解決問題或制造“產品”為驅動性任務，最終可以通過所學知識與經驗遷移應用，服務生活。本項目以生生合作為精髓，引導學生在具有知識儲備的基礎上小組合作，展示成果，形成經驗。學生在經歷了本項目實施的全過程后，掌握了如何從實際問題中抽象出數(shù)學問題，熟知有關圖形與幾何視角下項目化學習的基本步驟，借助實踐探究內化經驗，形成方法，解決更多的生活問題。比如服裝店的秘密、紅綠燈的高度設計、身份證拍攝位置等問題都能夠通過化歸、抽象和創(chuàng)新得以解決。4．項目評價，內化經驗——“化一為多”.本項目以多元評價和總結經驗為升華，通過項目學習，學生初步體驗利用幾何證明建立簡單函數(shù)模型解決問題的過程，會“用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界”。有意識地用圖形與幾何、函數(shù)、美學、科學和工程學等知識解決實際問題，發(fā)展幾何直觀、數(shù)學抽象、推理能力、創(chuàng)新意識和應用意識的核心素養(yǎng)，從而獲得項目的成效．同時，在關注學生知識技能掌握的同時，更要關注核心素養(yǎng)的相關表現(xiàn)，關注學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，對學生學習活動中操作、思考、交流、創(chuàng)新、作品設計優(yōu)化等進行多元的評價，堅持以評促學，將單一的評價轉向多元，將探究的過程內化為豐富的經驗。

“圖形與幾何”視角下項目化開發(fā)與實踐的基本路徑除了以上四個主要環(huán)節(jié)外，還要關注以下內容：明確可視且可行的教學目標，設計適切的教學活動，注重學生自主探索、合作和探究的學習方式，將課堂真正地交給學生。四、項目實施的啟示通過以上課例的實踐，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學圖形與幾何視角下的項目學習設計流程(圖1)在研究生活實際中的問題(跨學科)時是有效的，它是有效實施“綜合與實踐”課程的載體，學生通過運用多門學科的知識解決生活中的問題，促進了知識的深度融合，提升了學生的綜合素養(yǎng)．在項目實施的過程中，我們也存在疑惑和思考．1．搭建學習腳手架，幫助學生解決問題初中階段課標并沒有明確給出圖形與幾何領域數(shù)學抽象與證明、建模的基本步驟，只是在活動中讓學生體會數(shù)學抽象思想．項目研究的問題取材于實際，從實際問題中抽象出數(shù)學問題并通過證明應用于設計，解決生活問題，這對九年級的學生來說存在困難．因此，在項目設計時要充分考慮學生可能遇到的問題，通過適當?shù)囊龑?知識聯(lián)系、信息技術手段)給學生搭建腳手架，幫助學生更好的抽象數(shù)學問題后結合多學科知識得到結論和規(guī)律，也為后續(xù)開展其他有關圖形與幾何的