2022年云南省紅河州高考理科數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2022年云南省紅河州高考理科數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合4={在凹-l<x<5},8={0,2,4},則ACB=（）

A.{2,4}B.{0,2,4}C.{1,2,3,4}D.{0.1,2,3,4）

2.（5分）教育部《關(guān)于落實主體責(zé)任強化校園食品安全管理的指導(dǎo)意見》指出，非寄宿制

中小學(xué)、幼兒園原則上不得在校園內(nèi)設(shè)置食品小賣部或超市，已設(shè)置的要逐步退出.某

校對學(xué)生30天內(nèi)在小賣部消費過的天數(shù)進行統(tǒng)計，（視頻率為概率，同一組中數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間右端點值作代表），則下列說法不正確的是（）

B.該校學(xué)生在小賣部消費天數(shù)不超過15天的概率為25%

C.估計學(xué)生在小賣部消費天數(shù)平均值約為18天

D.估計學(xué)生在小賣部消費天數(shù)在25-30天的最多

3.（5分）復(fù)數(shù)z滿足（1-f）z—2i,則2=（）

A.-1-?B.-1+zC.1-/D.1+z

4.（5分）在連鎖交換定律中，重組率指雙雜合體測交產(chǎn)生的重組型配子的比例，重組率通

常也稱作交換率，但是二者之間是有區(qū)別的.生物學(xué)家在研究基因重組率和繪制遺傳圖

時，用函數(shù)R=3（l-e-2x）作為重組率和交換率的校正公式（R代表基因重組率，x代

表基因交換率）.當某生物的基因重組率為:時，其交換率為（）

（參考數(shù)據(jù):加2=0,6931,/n3?=1.0986.）

A.1.2424B.0.2894C.0.0323D.0.1438

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5.（5分）在等比數(shù)列｛斯｝中，已知a5ali=3,?3+ai3-4,則短?的值為（）

a6

A.3B.9C.3或工D.9或工

39

6.（5分）在下列四個正方體中，A、8為正方體的兩個頂點，M、N、。為所在棱的中點,

則在這四個正方體中，直線4B與平面MNQ不平行的是（）

7.（5分）紅河州個舊市是一個風(fēng)景優(yōu)美的宜，居城市，如圖是個舊寶華公園的摩天輪，半

徑為20米，圓心。距地面的高度為25米，摩天輪運行時按逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周需

要10分鐘.摩天輪上的點P的起始位置在最低點處.若游客在距離地面至少35米的高

度能夠?qū)€舊市區(qū)美景盡收眼底，則摩天輪轉(zhuǎn)動一周內(nèi)具有最佳視覺效果的時間長度（單

8.（5分）有如下形狀的花壇需要栽種4種不同顏色的花卉，要求有公共邊界的兩塊不能種

同種顏色的花，則不同的種花方式共有（）

C.48利?D.24種

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9.（5分）銳角三角形的內(nèi)角B、C滿足：tanB-tanC=則有（）

A.sin2^-sinC=OB.sin2B+sinC=0

C.sin2B-cosC=0D.sin2B+cosC=0

10.（5分）已知橢圓Cl和雙曲線C2有公共焦點F\（-c,0）,Fl（c,0）,曲線Cl和C2

在第一象限的交點為點P,ZFIPF2=則“橢圓Ci的離心率為日”是“雙曲線C2的

漸近線方程是>=±缶”的（）

A.充分必要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

11.（5分）在四面體S-ABC中，SAJ_平面ABC,BC=用,SA=AC=2,AB=1,則該四

面體外接球的表面積為（）

2840

A.7nB.1InC.—nD.一n

33

12.（5分）已知函數(shù)/（x）=e'x-ex-xi+2x-1,下列說法中正確的個數(shù)是（）

①函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（0,-1）對稱；

②函數(shù),f（x）由三個零點：

③x=0是函數(shù)/（x）的極值點；

④不等式『（"L2）+f（nr）>-2的解集是（-2,1）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

->T.TT

13.（5分）已知向量a=（1,2）,b=（2,-2）,則下列向量與向量Q—2b垂直的有.

（只填正確的序號）

①（2,1）；

②（-2,-1）；

③（-1,2）；

1

④（1,一）.

2

14.（5分）曲線y=舒在犬=1處的切線方程是-

15.（5分）已知函數(shù)f（x）=sin（a）x+（p）（a）>0,0V（pV，），其圖象的對稱軸與對稱中

心之間的最小距離為:，x=-號是函數(shù)/（X）的一個極小值點.若把函數(shù)/（X）的圖象向

4u

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71

右平移r（r>0）個單位長度后，所得函數(shù)的圖象關(guān)于點（孑，0）對稱，則實數(shù)r的最小

值為.

16.（5分）曲線C上任意一點P到點（1,0）的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,A,3是曲線C

上異于坐標原點。的兩點，直線。8的斜率之積為-；，若直線48與圓（x-II）

，/=25交于點E,F,則的最小值是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共

60分。

17.（12分）2022北京冬奧會即將開始，北京某大學(xué)鼓勵學(xué)生積極參與志愿者的選拔，某學(xué)

院有6名學(xué)生通過了志愿者選拔，其中4名男生，2名女生.

（1）若從中依次抽取2名志愿者，求在第1次抽到男生的條件下，第2次也抽到男生的

概率；

（2）若從6名志愿者中任選3人負責(zé)滑雪項目服務(wù)崗位，且所選3人中女生人數(shù)為X,

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

18.（12分）已知數(shù)列｛斯｝的前八項和為S”且滿足ai=4,Sn+l-3Sn=l,nGN*.

⑴求◎的的值及數(shù)列｛斯｝的通項公式;

（2）若%=不一，數(shù)列｛與｝的前"項和為力“求證：

以九十JL1U

19.（12分）如圖，在四棱錐尸-ABCZ）中，已知底面A8C。為直角梯形，AB//DC,AB±

AD,AB=AD=2CD=2,平面B43_L平面A8C￡>,PALPB,PA=PB.

（1）從下列條件①、條件②中再選擇一個作為已知條件，求證：EF〃平面限B；

條件①：E,尸分別為棱尸。，BC的中點；

條件②：E,F分別為棱PC,AO的中點.

PM

（2）若點”在棱PO（含端點）上運動，當:7：為何值時，直線CM與平面物。所成角

PD

V3

的正弦值為三.

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20.(12分)在平面直角坐標系0沖中，點M是以原點O為圓心，半徑為。的圓上的一個

動點.以原點。為圓心，半徑為％(a>b>0)的圓與線段交于點M作M。軸

于點。，作NQLMO于點Q.

(1)令/MOO=a,若a=4,b=l,a=求點。的坐標；

(2)若點Q的軌跡為曲線C,求曲線C的方程；

(3)設(shè)(2)中的曲線C與x軸的正半軸交于點A,與y軸的正負半軸分別交于點Bi，

Bi，若點E、尸分別滿足族=一3辦，4AF=3OB2,設(shè)直線BIE和B2尸的交點為K,設(shè)

直線/：及點”(C0)，(其中c=7心—b2),證明：點K到點，的距離與點K到

直線/的距離之比為定值￡.

a

21.(12分)已知函數(shù)/(X)=x/ogM-(2+焉)x(a為常數(shù)，a>0且a/l).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當a=e時，若g(x)—f(x)—+3》有兩個極值點內(nèi)，xi，證明：Inx\+lnx2

>0.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一道作答，如果多做，則按所做的

第一題計分。［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

22.(10分)已知曲線C的參數(shù)方程為：匕二(。為參數(shù))，以坐標原點為極點，x

(y=sinf)

軸正半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求曲線C的極坐標方程；

(2)過點A(-4,V3)的光線經(jīng)x軸反射后，與曲線C只有一個公共點P,求點尸的

極坐標.

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［選修4-5：不等式選講］

23.已知a,h,c為實數(shù)且a+2H5c=10.

(1)若a,b,c均為正數(shù)，當72ab+75ac+dTObc=10時,求a+b+c的值:

(2)證明：(26+5c)2+(a+b+5c)2+(a+2h+4c)2>

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2022年云南省紅河州高考理科數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.(5分)已知集合4={在兇-l<x<5},B={0,2,4},則AAB=()

A.{2,4}B.{0,2,4)C.{1,2,3,4}D.{0.1,2,3,4)

【解答】解：集合A={xCNLl<x<5}={0,1,2,3,4},

集合8={0,2,4),

則ACB={0,2,4),

故選：B.

2.(5分)教育部《關(guān)于落實主體責(zé)任強化校園食品安全管理的指導(dǎo)意見》指出，非寄宿制

中小學(xué)、幼兒園原則上不得在校園內(nèi)設(shè)置食品小賣部或超市，已設(shè)置的要逐步退出.某

校對學(xué)生30天內(nèi)在小賣部消費過的天數(shù)進行統(tǒng)計，(視頻率為概率，同一組中數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間右端點值作代表)，則下列說法不正確的是()

B.該校學(xué)生在小賣部消費天數(shù)不超過15天的概率為25%

C.估計學(xué)生在小賣部消費天數(shù)平均值約為18天

D.估計學(xué)生在小賣部消費天數(shù)在25-30天的最多

【解答】解：對于4該校學(xué)生在小賣部消費天數(shù)超過20天的概率為(0.04+0.06)X5

=0.5,故A正確；

對于B：該校學(xué)生在小賣部消費天數(shù)不超過15天的概率為(0.02+0.03)X5=0.25,故3

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正確：

對于C：（0.02X7.5+12.5X0.03+17.5X0.05+22.5X0.04+27.5X0.06）X5=17.125,約為

17天，故C錯誤；

對于6估計學(xué)生在小賣部消費天數(shù)在25-30天的最多，故。正確.

故選：C.

3.（5分）復(fù)數(shù)z滿足（1-i）z=2i,則2=（）

A.-1-iB.-1+zC.1-iD.1+i

【解答】解：因為（1-i）z—2i,

所以Z=E=（I+D（IT）=T+，,

故5=-1-i,

故選:A.

4.（5分）在連鎖交換定律中，重組率指雙雜合體測交產(chǎn)生的重組型配子的比例，重組率通

常也稱作交換率，但是二者之間是有區(qū)別的.生物學(xué)家在研究基因重組率和繪制遺傳圖

時，用函數(shù)R=±（l-e-2x）作為重組率和交換率的校正公式（R代表基因重組率，x代

表基因交換率）.當某生物的基因重組率為:時，其交換率為（）

（參考數(shù)據(jù)：/〃2Po.6931,//13^1,0986.）

A.1.2424B.0.2894C.0.0323D.0.1438

【解答】解：由3=*—e-2）得［=1一e-2".32,=

3

：?—2x—ln^9-2x=ln3-21n2,

所以X="2-"3x0.6931-10^86=0.1438.

故選：D.

5.（5分）在等比數(shù)列｛斯｝中，已知。5〃11=3,。3+〃13=4,則二巨的值為（）

%

11

A.3B.9C.3或一D.9或一

39

【解答】解：???等比數(shù)列｛斯｝中，45ali=3,，。3?。13=3,又,.?。3+。13=4,

.??。3=1，。13=3或。3=3,。13=1，???/°=蟲3=3或士

a33

.?.%=產(chǎn)=3或士

3

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故選：c.

6.（5分）在下列四個正方體中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、。為所在棱的中點,

則在這四個正方體中，直線48與平面不平行的是（）

【解答】解：對于選項8,由于結(jié)合線面平行判定定理可知B不滿足題意；

對于選項C,由于48〃MQ,結(jié)合線面平行判定定理可知C不滿足題意：

對于選項。，由于AB〃NQ,結(jié)合線面平行判定定理可知O不滿足題意；

所以選項A滿足題意，

故選：A.

7.（5分）紅河州個舊市是一個風(fēng)景優(yōu)美的宜，居城市，如圖是個舊寶華公園的摩天輪，半

徑為20米，圓心。距地面的高度為25米，摩天輪運行時按逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周需

要10分鐘.摩天輪上的點P的起始位置在最低點處.若游客在距離地面至少35米的高

度能夠?qū)€舊市區(qū)美景盡收眼底，則摩天輪轉(zhuǎn)動一周內(nèi)具有最佳視覺效果的時間長度（單

位：分鐘）為（）

81011

A.-B.3C.—D.—

333

【解答】解：設(shè)/(力=Asin(oit+cp)+h,

依題意，A=20,h=25,7=10,

所以3==看，又/(0)=5>cp=—

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：.f（f）=20sin（一71T7r）+25=25-20co冗sr（，>0）,

J525

7T711

依題意25-20cos—，235,所以cos—r<―亍又OWfWlO,

55/

解得T</<拳

201010

摩天輪轉(zhuǎn)動一周內(nèi)，有二-二=二分鐘會有這種最佳視覺效果.

333

故選：C.

8.（5分）有如下形狀的花壇需要栽種4種不同顏色的花卉，要求有公共邊界的兩塊不能種

同種顏色的花，則不同的種花方式共有（）

A.96種B.72種C.48種D.24種

【解答】解:若AC相同,則A有4種,8有3種,E有2種,。有2種,

則有4X3X2X2=48種，

若AC不同，則A有4種，B有3種，E有2種，C有1種，。有2種，

則有4X3X2X1X2=48種，

根據(jù)分類計數(shù)原理可得，共有48+48=96種.

故選：A.

9.（5分）銳角三角形的內(nèi)角B、C滿足：tanB-tanC=則有（）

SLTLZ.D

A.sin2B-sinC=OB.sin2B+sinC=0

C.sin2B-cosC=0D.sin2B+cosC=0

【解答】解：因為tcmB-tanC=

sinB1sinC

所以t一;二二，

cosB2sinBcosBcosC

第10頁共22頁

r2sin2B-l-cos2BsinC

即----------=--------=-----，

2sinBcosBsinlBcosC

所以sinCsin28+cos28cosc=cos(28-C)=0,

因為3,C都為銳角，

所以一為<2B-C<n,

所以2B-C=3,即sin2B=sin(C+1)=cosC.

故選：C.

10.(5分)已知橢圓Ci和雙曲線C2有公共焦點Fi(-c,0),Fi(c,0),曲線Ci和C2

在第一象限的交點為點P,ZFIPF2=則''橢圓Ci的離心率為三”是“雙曲線C2的

漸近線方程是的()

A.充分必要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：設(shè)橢圓的半長軸為0,雙曲線實半軸為42,雙曲線的虛半軸長為歷,

橢圓的離心率為ei，雙曲線的離心率為C2,

由定義知:喘‘隔=『,可得呻=。1+。2,\PFi\=ax-a2,

設(shè)|尸|92|=2o,ZF\PF2=

TC

22aac

由余弦定理得：4c2=(a1+a2)+(a1-a2)-2(%+a2)(i-2)*os—,

22

化簡得：Q/+3a2=4c,

a23a2口「13

???-7x+—―2=4,即f+—^=4,

zz

ce/e2

22

/e=*,e2=3,即a2+b2

12—=3,

可得竺=V2,則雙曲線方程為卜=±缶；

a2

2

反之，由雙曲線方程為》=±岳，得”=0,BPe2=3,

a2

代入=4,解得q=冬

“橢圓Cl的離心率為?”是“雙曲線C2的漸近線方程是丫=±岳”的充分必要條件.

故選：A.

11.(5分)在四面體S-ABC中，SA_L平面ABC,BC=V7,SA=AC=2,A8=l,則該四

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面體外接球的表面積為()

2840

A.7TTB.IlirC.—71D.——71

33

【解答】解：,.?SA_L平面45C,SA=AC=2fA8=l,

l1—4—71

BC=y[7,.?.cos/8AC=，%X；JLX/Z=一彳/^BAC=\20°,

.?.△ABC截球。所得的圓O'的半徑，=2x=學(xué),

LsiniZO3

...球O的半徑R=J1+-=苧，

...球O的表面積S=4TTR2=竽.

故選：D.

12.(5分)已知函數(shù)/(x)1,下列說法中正確的個數(shù)是()

①函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(0,-1)對稱；

②函數(shù)/(X)由三個零點；

③x=0是函數(shù)/(x)的極值點：

④不等式/(m-2)+f(m2)>-2的解集是(-2,1).

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：由/(*)+1=/、-/-丁+2為

令g(x)—e'x--x3+2r,則g(-x)=，--2x=-g(x),

所以函數(shù)g(x)=/'-，-4+2犬是奇函數(shù)，所以g(x)的圖象關(guān)于原點對稱，

所以/(x)的圖象關(guān)于點(0,-1)對稱，故①正確：

又因為g，(x)=-e~x—ex—3x2+2=+ex)+2-3x2<-2+2-3x2=-3x2<

0,

所以g(x)在R上單調(diào)遞減，所以/(x)在H上單調(diào)遞減，

所以/(x)只有一個零點且無極值點，故②③錯誤；

由機-2)+f(w2)>2得/(優(yōu)-2)+14/(/)+1>0,

所以g(m-2)+g(〃/)>0,所以所以g(,”-2)>g(-m2),

所以〃？-2<一切2,所以m2+m-2<0?所以(m+2)(w-1)<0?

所以-2<機<1,故④正確，

綜上所述，正確的個數(shù)是2個.

故選：B.

第12頁共22頁

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)已知向量］=(1,2),b=(2,-2),則下列向量與向量2-21垂直的有?

②④.(只填正確的序號)

①(2,1)；

②(-2,-1)；

③(-1,2)；

…1

(4)(1,-).

【解答】解：因為2=(1，2),1=(2,-2),

所以：-2了=(1,2)-(4,-4)=(-3,6),

①由于2X(-3)+1X6=0,符合題意；

②由于-2X(-3)+(-1)X6=0,符合題意；

③由于-IX(-3)+2X6^0,不符合題意；

④由于IX(-3)+/x6=0,符合題意；

故答案為：①②④.

14.(5分)曲線丫=骷■在》=1處的切線方程是+

【解答】解：由y'=3三，得切線的斜率k=J，

(*+1)24

又當x=l時y=：,所以切線方程為=

即y=+4,

故答案為：y=

15.(5分)已知函數(shù)f(x)=sin(a)x+(p)(u)>0,0<(p<^),其圖象的對稱軸與對稱中

心之間的最小距離為巴，x=-等是函數(shù)/G)的一個極小值點.若把函數(shù)f(x)的圖象向

4□

71

右平移f(r>0)個單位長度后，所得函數(shù)的圖象關(guān)于點(孑，0)對稱，則實數(shù)1的最小

一,57r

值為77?

—12—

【解答】解：函數(shù)/(x)=sin(0)尢+(p)(u)>0,0V(pV?),

第13頁共22頁

其圖象相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為工?空=Au）=2.

40）4

??”二T是一個極小值點，A2X（-J）+（p=2內(nèi)1一￡依Z,

**.（p=5,/（x）=sin（2x+J）.

把函數(shù)/（X）的圖象向右平移f（f>0）個單位長度后，

所得函數(shù)的尸sin⑵-2什卷）圖象關(guān)于直線（孑，0）對稱，

**?2x—27+Z=^TT,即2t=-^-，k￡Z.

Doo

57r

則實數(shù)/的最小值為二.

12

57r

故答案為：—.

12

16.（5分）曲線C上任意一點P到點（1,0）的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,A,B是曲線C

上異于坐標原點。的兩點，直線OA,08的斜率之積為-表若直線AB與圓（x-II）

2+夕=25交于點E,F,則|屏]的最小值是8.

【解答】解：由題意可知，曲線C上任意一點P到點（1,0）的距離等于到直線x=-l

的距離，

因此曲線是以（1,0）為焦點的拋物線，方程為尸=4》,.

因為點A,8兩點在拋物線上，所以直線AB的斜率不為0,

設(shè)A（xi,yi）,B（*2，）2），設(shè)直線A8的方程：x=my+n,

因為koA，koB=一義,所以型2=-

z%1%22

由點A,B在拋物線上可得（yi"）2=[6XIX2,所以yi”=-32,

由x—tny+n聯(lián)立y2=4x,得：）？-4my-4〃=0,

所以yi）'2=-4”，

所以"=8,即直線過定點（8,0）,

所以當弦EF過（8,0）且垂直于x軸時，|EF|最短，且|EF|=2j25-（ll—8）2=8.

故答案為：8.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共

60分。

17.（12分）2022北京冬奧會即將開始，北京某大學(xué)鼓勵學(xué)生積極參與志愿者的選拔，某學(xué)

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院有6名學(xué)生通過了志愿者選拔，其中4名男生，2名女生.

(1)若從中依次抽取2名志愿者，求在第1次抽到男生的條件下，第2次也抽到男生的

概率；

(2)若從6名志愿者中任選3人負責(zé)滑雪項目服務(wù)崗位，且所選3人中女生人數(shù)為X,

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：(1)設(shè)''第1次抽到的男生”為事件A,“第2次抽到男生”為事件8,

則''第1次和第2次都抽到男生”為事件AB.

方法一根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得n(A)=盤心=20,n(4B)=&=12,

所以「(卬)=需=踩4

432

-X-=-

方法二易知P(A)=石=可,655

所匕以二Pn/(DBi|A)=尢P(ABf)=+3

(2)X的取值可能為0,1,2

依題意，得P(X=0)=4具

ci5

P(X=1)=管J

P(X=2)=管=:

所以X的分布列為:

X012

P131

555

E(X)=0113x|+2x11=1.

18.(12分)已知數(shù)列｛斯｝的前幾項和為S〃,且滿足ai=4,S〃+L3S〃=1,n€N*.

(1)求42，〃3的值及數(shù)列｛斯｝的通項公式;

(2)若垢=忘萬，數(shù)列｛加｝的前〃項和為T”，求證：Tn<^.

【解答】解：⑴當〃=1時，52-351=1,

即“1+42-3ai=l,而m=4,

所以42=9,

當〃=2時S3-3S2=1,即。1+。2+43-3(4|+。2)=“3-2(ai+42)=1，解得“3=27,

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所以42,硝的值分別為9和27；

因為S”+i-3S”=1①，

時，則S”-3szi一1=1②,

-=

①-②可得??+i3an0>

即a“+i=3（"22）,jfff——-H3,

an?i4

所以可得｛““｝為從第二項起等比數(shù)列且公比q=3,

所以通項公式如=[4,"=1；

（3n,n>2

4/n=1

（2）證明：由（1）可得式斯=

3n,n>2

n=l

所以b=

n.島32

n=l時，Ti=〃i=|V卷顯然成立;

QQ33

當時，T=b\+b2+……+b〃=V+f—+

n532+133+1r+i9

又因為高31

V—=

3n3兀_1，

金工+上+……_3_<31±±……+1

所以32+133+13n+l5+3+2+33+=++

33時111

一六）

—14J(11

+(1

1-156-3n-2),

1-3

1

當n趨近于+8時,

3n-2?趨近于0,

所（M（一言嗡+仙=牯

可證得〃〈蘇

19.（12分）如圖，在四棱錐P-ABC。中，已知底面A8CQ為直角梯形，AB//DC,AB1.

AD,AB=AD=2CD=2,平面孫B_L平面ABC。，PALPB,PA=PB.

（1）從下列條件①、條件②中再選擇一個作為已知條件，求證：EF〃平面B4以

條件①：E,尸分別為棱P￡>,8C的中點：

條件②：E,尸分別為棱PC,4。的中點.

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（2）若點M在棱P。（含端點）上運動，當一為何值時，直線CM與平面以。所成角

PD

V3

的正弦值為

【解答】證明：（1）若選條件（1）,取4。的中點為G,連接EG,GF,則EG〃必，GF

//AB,

因為EGC平面限B,F-GC平面以B,以u平面以B,A8u平面布8,

所以EG"平面以8,FG〃平面以B,

因為EGCIGF=G,

所以平面EFG〃平面PAB,

又因為EFu平面EFG,所以E/〃平面PAB.

B

若選條件（2）,取8c的中點為G,連接EG,GF,^\EG//PB,GF//AB,

因為EG<t平面以B,FGC平面BAB,以u平面匕IB,ABu平面B4B,

因為EGCGF=G,所以平面EFG〃平面布8,

又因為Eft平面EFG,所以平面以8.

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解：(2)取A3中點為0,連接PO,CO,

因為單=PB,所以PO_L4B,

又因為POu平面以8,平面以81.平面A8CD,平面%BC平面48c￡>=AB,

所以「O_L平面ABCD,

又因為AB=2,PA=PB,PAYPB,所以尸0=1,

又因為A8|C￡>,AB=2CD=2,。為AB中點，所以CQ〃AO,CD=AO,

又因為所以四邊形OAOC為矩形，所以。B1.0C,

故以O(shè)為坐標原點，辦為x軸正方向，兒為y軸正方向，能為z軸正方向建立空間直

角坐標系，

直角坐標系如圖，則A(-1,0,0),P(0,0,1),￡>(-1,2,0),C(0,2,0),

所以PD=(一1,2,-1),

又因為M在PO上，所以存在入[0,1],使P)=/l而，所以俞=(一九24,-A),

又因為P(0,0,1),所以M(-X,2A,-A+1),所以西=(-4,2/1-2,1-A),

又因為晶=(1,0,1),元)=(0,2,0),

設(shè)平面刑￡)的法向量￡=(x,y,z),則所以y=。，取x=l,則z=-l.

所以n=(1,0,—1).

設(shè)直線CM與平面PAD所成角為0,

則sin。=\cos(CM,n)|=此=-I-，+。+4-1=卑，

\CM\,|n|V2-JA2+(2A-2)2+(1-Z)2

故12入2-204+7=0,所以2=1或;I=:,

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又因為入日0,1],所以4=寺,

即比=-

PD2

20.（12分）在平面直角坐標系。孫中，點M是以原點。為圓心，半徑為a的圓上的一個

動點.以原點。為圓心，半徑為6（〃>6>0）的圓與線段OM交于點N,作軸

于點。，作NQLMD于點。.

（1）令/MOO=a,若a=4,b=l,a=g,求點Q的坐標；

（2）若點Q的軌跡為曲線C,求曲線C的方程；

（3）設(shè)（2）中的曲線C與x軸的正半軸交于點A,與y軸的正負半軸分別交于點Bi，

Bi，若點E、尸分別滿足族=一3荒，4AF=3OB2,設(shè)直線8化和歷尸的交點為K,設(shè)

直線/：及點“（C0），（其中。=7a2—b2）,證明：點K到點，的距離與點K到

直線/的距離之比為定值二

a

n_

x=4Acos5>/3

7r3,所以。（2,—）；

{y=sin2

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_22

(2)設(shè)NMOO=a，則｛；;黑器，則點Q的軌跡C為橢圓，方程為京+=1<?

>&>0)；

a2

證明：⑶設(shè)K(x,y),由題可得Bi(0,b),E(-,0),歷(0,-b),F(a,一沙，

xy

則直線8iE1方程為萬+7=1,BP4bx+ay=ab,

一D

4

,y+匕x

直線B2F的方程為一§----=一，即bx-4ay=4ab,

--b+ba

4

f_8

聯(lián)立可得，

IKHI=J得"c)2+(一1|b)2=-c)2+(-1|)2(az-c2)=

I~~~/8~88

IQ，+(yyC)-2XyyCLC—Cl--jyC?

crCL28Q

令點K到直線/的距離為|KM|，則一?|KM=?(-—一。)=a-^=c9

aQc171/

^\KH\c

故喃=1

21.(12分)已知函數(shù)/'(%)=xIogM—(2+焉)x(a為常數(shù)，a>0且aWl).

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當a=e時，若g(x)=f(x)-2nl/+3x有兩個極值點劉，X2>證明：Inxi+lg

>0.

【解答】解：(1)函數(shù)/(x)的定義域為(0,+8),/(x)=log“x-2,

①當a>l時，由/(x)>0,解得x>/,由/(x)<0,解得0<x</,

2

所以/(x)的增區(qū)間為(J,+8),減區(qū)間為(0,a)；

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②當OVoVl時，由/（x）>0解得OVxVj,由/（x）<0,解得x>/，

所以/（X）的增區(qū)間為（0,。2）,減區(qū)間為（/，+oo）,

綜上：當時，/（%）的增區(qū)間為（a2,+8）,減區(qū)間為（0,。2）；

當0<。<1時，/（X）的增區(qū)間