2024屆廣東省揭陽、金中高三高考信息卷（二）數學試題

2024屆廣東省揭陽、金中高三高考信息卷（二）數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若直線經過拋物線的焦點，則（）A． B． C．2 D．2．已知復數滿足：，則的共軛復數為（）A． B． C． D．3．設復數滿足，則（）A．1 B．-1 C． D．4．已知函數，若函數在上有3個零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．5．的展開式中的一次項系數為（）A． B． C． D．6．空氣質量指數是反映空氣狀況的指數，指數值趨小，表明空氣質量越好，下圖是某市10月1日-20日指數變化趨勢，下列敘述錯誤的是（）A．這20天中指數值的中位數略高于100B．這20天中的中度污染及以上（指數）的天數占C．該市10月的前半個月的空氣質量越來越好D．總體來說，該市10月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好7．設a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關系是（）A． B． C． D．8．已知直線：與橢圓交于、兩點，與圓：交于、兩點.若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．9．定義在上的函數與其導函數的圖象如圖所示，設為坐標原點，、、、四點的橫坐標依次為、、、，則函數的單調遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．10．已知是定義是上的奇函數，滿足，當時，，則函數在區(qū)間上的零點個數是（）A．3 B．5 C．7 D．911．在中，，則=（）A． B．C． D．12．若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個交點，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．數列的前項和為，則數列的前項和_____．14．已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是_______.15．展開式中的系數的和大于8而小于32，則______．16．若函數，其中且，則______________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某公園準備在一圓形水池里設置兩個觀景噴泉，觀景噴泉的示意圖如圖所示，兩點為噴泉，圓心為的中點，其中米，半徑米，市民可位于水池邊緣任意一點處觀賞．（1）若當時，，求此時的值；（2）設，且．（i）試將表示為的函數，并求出的取值范圍；（ii）若同時要求市民在水池邊緣任意一點處觀賞噴泉時，觀賞角度的最大值不小于，試求兩處噴泉間距離的最小值．18．（12分）已知函數.（1）求不等式的解集；（2）若函數的最大值為，且，求的最小值.19．（12分）設函數．（1）當時，求不等式的解集；（2）若存在，使得不等式對一切恒成立，求實數的取值范圍．20．（12分）購買一輛某品牌新能源汽車，在行駛三年后，政府將給予適當金額的購車補貼.某調研機構對擬購買該品牌汽車的消費者，就購車補貼金額的心理預期值進行了抽樣調查，其樣本頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計擬購買該品牌汽車的消費群體對購車補貼金額的心理預期值的方差（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）將頻率視為概率，從擬購買該品牌汽車的消費群體中隨機抽取人，記對購車補貼金額的心理預期值高于萬元的人數為，求的分布列和數學期望；（3）統計最近個月該品牌汽車的市場銷售量，得其頻數分布表如下：月份銷售量（萬輛）試預計該品牌汽車在年月份的銷售量約為多少萬輛？附：對于一組樣本數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.21．（12分）為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護意識，高二年級準備成立一個環(huán)境保護興趣小組.該年級理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.現按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人，按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人，組成環(huán)境保護興趣小組，再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學校的環(huán)保知識競賽.（1）設事件為“選出的這4個人中要求有兩個男生兩個女生，而且這兩個男生必須文、理科生都有”，求事件發(fā)生的概率；（2）用表示抽取的4人中文科女生的人數，求的分布列和數學期望.22．（10分）已知為坐標原點，單位圓與角終邊的交點為，過作平行于軸的直線，設與終邊所在直線的交點為，.（1）求函數的最小正周期；（2）求函數在區(qū)間上的值域.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

計算拋物線的交點為，代入計算得到答案.【題目詳解】可化為，焦點坐標為，故.故選：.【題目點撥】本題考查了拋物線的焦點，屬于簡單題.2、B【解題分析】

轉化，為，利用復數的除法化簡，即得解【題目詳解】復數滿足：所以故選：B【題目點撥】本題考查了復數的除法和復數的基本概念，考查了學生概念理解，數學運算的能力，屬于基礎題.3、B【解題分析】

利用復數的四則運算即可求解.【題目詳解】由.故選：B【題目點撥】本題考查了復數的四則運算，需掌握復數的運算法則，屬于基礎題.4、B【解題分析】

根據分段函數，分當，，將問題轉化為的零點問題，用數形結合的方法研究.【題目詳解】當時，，令，在是增函數，時，有一個零點，當時，，令當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，所以當時，取得最大值，因為在上有3個零點，所以當時，有2個零點，如圖所示：所以實數的取值范圍為綜上可得實數的取值范圍為，故選：B【題目點撥】本題主要考查了函數的零點問題，還考查了數形結合的思想和轉化問題的能力，屬于中檔題.5、B【解題分析】

根據多項式乘法法則得出的一次項系數，然后由等差數列的前項和公式和組合數公式得出結論．【題目詳解】由題意展開式中的一次項系數為．故選：B．【題目點撥】本題考查二項式定理的應用，應用多項式乘法法則可得展開式中某項系數．同時本題考查了組合數公式．6、C【解題分析】

結合題意，根據題目中的天的指數值，判斷選項中的命題是否正確.【題目詳解】對于，由圖可知天的指數值中有個低于，個高于，其中第個接近，第個高于，所以中位數略高于，故正確.對于，由圖可知天的指數值中高于的天數為，即占總天數的，故正確.對于，由圖可知該市月的前天的空氣質量越來越好，從第天到第天空氣質量越來越差，故錯誤.對于，由圖可知該市月上旬大部分指數在以下，中旬大部分指數在以上，所以該市月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好，故正確.故選：【題目點撥】本題考查了對折線圖數據的分析，讀懂題意是解題關鍵，并能運用所學知識對命題進行判斷，本題較為基礎.7、D【解題分析】

，，得解．【題目詳解】，，，所以，故選D【題目點撥】比較不同數的大小，找中間量作比較是一種常見的方法．8、A【解題分析】

由題意可知直線過定點即為圓心，由此得到坐標的關系，再根據點差法得到直線的斜率與坐標的關系，由此化簡并求解出離心率的取值范圍.【題目詳解】設，且線過定點即為的圓心，因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故選：A.【題目點撥】本題考查橢圓與圓的綜合應用，著重考查了橢圓離心率求解以及點差法的運用，難度一般.通過運用點差法達到“設而不求”的目的，大大簡化運算.9、B【解題分析】

先辨別出圖象中實線部分為函數的圖象，虛線部分為其導函數的圖象，求出函數的導數為，由，得出，只需在圖中找出滿足不等式對應的的取值范圍即可.【題目詳解】若虛線部分為函數的圖象，則該函數只有一個極值點，但其導函數圖象（實線）與軸有三個交點，不合乎題意；若實線部分為函數的圖象，則該函數有兩個極值點，則其導函數圖象（虛線）與軸恰好也只有兩個交點，合乎題意.對函數求導得，由得，由圖象可知，滿足不等式的的取值范圍是，因此，函數的單調遞減區(qū)間為.故選：B.【題目點撥】本題考查利用圖象求函數的單調區(qū)間，同時也考查了利用圖象辨別函數與其導函數的圖象，考查推理能力，屬于中等題.10、D【解題分析】

根據是定義是上的奇函數，滿足，可得函數的周期為3，再由奇函數的性質結合已知可得，利用周期性可得函數在區(qū)間上的零點個數．【題目詳解】∵是定義是上的奇函數，滿足，，可得，

函數的周期為3，

∵當時，，

令，則，解得或1，

又∵函數是定義域為的奇函數，

∴在區(qū)間上，有．

由，取，得，得，

∴．

又∵函數是周期為3的周期函數，

∴方程=0在區(qū)間上的解有共9個，

故選D．【題目點撥】本題考查根的存在性及根的個數判斷，考查抽象函數周期性的應用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬于中檔題．11、B【解題分析】

在上分別取點,使得,可知為平行四邊形，從而可得到，即可得到答案．【題目詳解】如下圖，，在上分別取點,使得,則為平行四邊形，故,故答案為B.【題目點撥】本題考查了平面向量的線性運算，考查了學生邏輯推理能力，屬于基礎題．12、C【解題分析】

求得雙曲線的漸近線方程，可得圓心到漸近線的距離，由點到直線的距離公式可得的范圍，再由離心率公式計算即可得到所求范圍．【題目詳解】雙曲線的一條漸近線為，即，由題意知，直線與圓相切或相離，則，解得，因此，雙曲線的離心率.故選：C.【題目點撥】本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運用圓心到漸近線的距離不小于半徑，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

解：兩式作差，得，經過檢驗得出數列的通項公式，進而求得的通項公式，裂項相消求和即可．【題目詳解】解：兩式作差，得化簡得，檢驗：當n=1時，，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列；，，令故填：．【題目點撥】本題考查求數列的通項公式，裂項相消求數列的前n項和，解題過程中需要注意n的范圍以及對特殊項的討論，側重考查運算能力．14、【解題分析】

結合圖形可以發(fā)現，利用三角形中位線定理，將線段長度用坐標表示成圓的方程，與橢圓方程聯立可進一步求解.利用焦半徑及三角形中位線定理，則更為簡潔.【題目詳解】方法1：由題意可知，由中位線定理可得，設可得，聯立方程可解得（舍），點在橢圓上且在軸的上方，求得，所以方法2：焦半徑公式應用解析1：由題意可知，由中位線定理可得，即求得，所以.【題目點撥】本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質、直線與圓的位置關系，利用數形結合思想，是解答解析幾何問題的重要途徑.15、4【解題分析】

由題意可得項的系數與二項式系數是相等的，利用題意，得出不等式組，求得結果.【題目詳解】觀察式子可知，，故答案為：4.【題目點撥】該題考查的是有關二項式定理的問題，涉及到的知識點有展開式中項的系數和，屬于基礎題目.16、【解題分析】

先化簡函數的解析式，在求出，從而求得的值.【題目詳解】由題意，函數可化簡為，所以，所以.故答案為：0.【題目點撥】本題主要考查了二項式定理的應用，以及導數的運算和函數值的求解，其中解答中正確化簡函數的解析式，準確求解導數是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)(i)，；(ii).【解題分析】

（1）在中，由正弦定理可得所求；（2）（i）由余弦定理得，兩式相加可得所求解析式．（ii）在中，由余弦定理可得，根據的最大值不小于可得關于的不等式，解不等式可得所求．【題目詳解】（1）在中，由正弦定理得，所以，即．（2）（i）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又所以，即．又，解得，所以所求關系式為，．（ii）當觀賞角度的最大時，取得最小值．在中，由余弦定理可得，因為的最大值不小于，所以，解得，經驗證知，所以．即兩處噴泉間距離的最小值為．【題目點撥】本題考查解三角形在實際中的應用，解題時要注意把條件轉化為三角形的邊或角，然后借助正余弦定理進行求解．解題時要注意三角形邊角關系的運用，同時還要注意所得結果要符合實際意義．18、（1）（2）【解題分析】

（1）化簡得到，分類解不等式得到答案.（2）的最大值，，利用均值不等式計算得到答案.【題目詳解】（1）因為，故或或解得或，故不等式的解集為.（2）畫出函數圖像，根據圖像可知的最大值.因為，所以，當且僅當時，等號成立，故的最小值是3.【題目點撥】本題考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查學生的計算能力和轉化能力.19、(Ⅰ).(Ⅱ).【解題分析】

(Ⅰ)時，根據絕對值不等式的定義去掉絕對值，求不等式的解集即可；(Ⅱ)不等式的解集為，等價于，求出在的最小值即可．【題目詳解】(Ⅰ)當時，時，不等式化為，解得，即時,不等式化為，不等式恒成立，即時,不等式化為，解得，即綜上所述，不等式的解集為(Ⅱ)不等式的解集為對任意恒成立當時，取得最小值為實數的取值范圍是【題目點撥】本題考查了絕對值不等式的解法與應用問題，也考查了函數絕對值三角不等式的應用問題，屬于常規(guī)題型．20、（1）1.7；（2），見解析；（2）2.【解題分析】

（1）平均數的估計值為每個小矩形組中值乘以小矩形面積的和；（2）易得，由二項分布列的期望公式計算；（3）利用所給公式計算出回歸直線即可解決.【題目詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，消費群體對購車補貼金額的心理預期值的平均數的估計值為，所以方差的估計值為；（2）由頻率分布直方圖可知，消費群體對購車補貼金額的心理預期值高于3萬元的頻率為，則，所