常州2015年中考數(shù)學(xué)試卷

2015年江蘇省常州市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每小題2分，共16分）

1.（2分）（2015?潛江）-3的絕對(duì)值是（）

A.3B.-3C.1D.-1-

33

考點(diǎn)：Ml25絕對(duì)值

難易度：容易題

分析：根據(jù)一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)得出.

解：|-3|=-（-3）=3

解答：A.

點(diǎn)評(píng)：本題難度不大，考查絕對(duì)值的概念和求法.絕對(duì)值規(guī)律總結(jié)：

一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.

2.（2分）（2015?常州）要使分式工-有意義，則x的取值范圍是（）

x-2

A.x>2B.x<2C.xW-2D.xW2

考點(diǎn)：M216分式的意義

難易度：容易題

分析：根據(jù)分式有意義得到分母不為0,即可求出x的范圍.

解：要使分式有意義，須有X-2W0,即xW2,

x-2

解答：D.

點(diǎn)評(píng)：本題難度較小，此題考查了分式有意義的條件，

分式有意義的條件為：分母不為0.

3.（2分）（2015?常州）下列"慢行通過(guò)，注意危險(xiǎn)，禁止行人通行，禁止非機(jī)動(dòng)車通行"四

個(gè)交通標(biāo)志圖（黑白陰影圖片）中為軸對(duì)稱圖形的是（）

AA??

考點(diǎn)：M373圖形的翻折與軸對(duì)稱圖形

難易度：容易題

分析：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得出答案.

解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；

C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

解答：B.

點(diǎn)評(píng)：本題是中考的?？碱}型，考查了軸對(duì)稱圖形，掌握軸對(duì)稱圖形的概念:

軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合.

4.（2分）（2015?常州）如圖，BC_LAE于點(diǎn)C,CD〃AB,ZB=40°,則NECD的度數(shù)是

40°

考點(diǎn)：M323平行線的判定、性質(zhì)

M325垂線

難易度：容易題

分析:由BC與AE垂直，得到三角形ABC為直角三角形，

利用直角三角形兩銳角互余，求出/A的度數(shù)，

再利用兩直線平行同位角相等即可求出NECD的度數(shù).

解：VBCXAE,

.?.NACB=90°,

在RtZ^ABC中，/B=40°,

.?.ZA=90°-ZB=50°,

：CD〃AB,

.,.ZECD=ZA=50°,

解答:C.

點(diǎn)評(píng):本題難度不大，此題考查了平行線的性質(zhì)，以及垂線,

熟練掌握平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

5.（2分）（2015?常州）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,則下列

說(shuō)法一定正確的是（）

AO=OCD.AO1AB

考點(diǎn)：M344平行四邊形（包括矩形、菱形、正方形）的判定與性質(zhì)

難易度：容易題

分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分進(jìn)行判斷即可.

解：對(duì)角線不一定相等，A錯(cuò)誤；

對(duì)角線不一定互相垂直，B錯(cuò)誤；

對(duì)角線互相平分，C正確；

對(duì)角線與邊不一定垂直，D錯(cuò)誤.

解答：C.

點(diǎn)評(píng)：本題難度較小，本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，

掌握平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分是解題的關(guān)鍵.

6.（2分）（2015?常州）已知a二'2,b=3,2,則下列大小關(guān)系正確的是（）

235

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.a>c>b

考點(diǎn)：M124實(shí)數(shù)大小比較

難易度：容易題

分析:將a,b,c變形后，根據(jù)分母大的反而小比較大小即可.

b_V3_1c-遍-1且正〈愿〈收,

3yj35遍

-1>1>1即a>b>c,

.?我■777F

解答：A.

點(diǎn)評(píng)：本題是中考的?？碱}型，此題考查了實(shí)數(shù)比較大小,

將a,b,c進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵.

7.（2分）（2015?常州）已知二次函數(shù)y=x2+（m-1）x+1,當(dāng)x>l時(shí)，y隨x的增大而增

大，而m的取值范圍是（）

A.m=-1B.m=3C.mW-1D.m2-1

考點(diǎn)：M442二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)

難易度：容易題

分析：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸不大于1列式計(jì)算即可得解.

解：拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-巴二工，

2

?.?當(dāng)x>l時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，

二-口W1,

2

解得m2-1.

解答：D.

點(diǎn)評(píng)：本題難度不大，本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，

主要利用了二次函數(shù)的增減性，熟記性質(zhì)并列出不等式是解題的關(guān)鍵.

8.（2分）（2015?常州）將一張寬為4cm的長(zhǎng)方形紙片（足夠長(zhǎng)）折疊成如圖所示圖形，重

疊部分是一個(gè)三角形，則這個(gè)三角形面積的最小值是（）

考點(diǎn)：M373圖形的翻折與軸對(duì)稱圖形

難易度：容易題

分析：當(dāng)ACLAB時(shí)，重疊三角形面積最小，此時(shí)aABC是等腰直角三角形，面積為8cm2.

解：如圖，當(dāng)ACLAB時(shí)，三角形面積最小，

■:ZBAC=90°ZACB=45o

/.AB=AC=4cm,

解答：B.

點(diǎn)評(píng)：本題是中考的?？碱}型，考查了折疊的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)AC_LAB時(shí),

重疊三角形的面積最小是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

二、填空題（每小題2分，共20分）

9.（2分）（2015?常州）計(jì)算（n-1）°+2[=.

考點(diǎn)：M21G負(fù)整數(shù)指數(shù)幕

M21H零指數(shù)暴

難易度：容易題

分析：分別根據(jù)零指數(shù)累，負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算法則計(jì)算，

然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果.

解：（n-1）0+21

=1+工

2

3

2

解答：：3.

2

點(diǎn)評(píng)：本題難度較小，主要考查了零指數(shù)累，負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算.

負(fù)整數(shù)指數(shù)為正整數(shù)指數(shù)的倒數(shù)；任何非o數(shù)的o次基等于1.

10.（2分）（2015?常州）太陽(yáng)半徑約為696000千米，數(shù)字696000用科學(xué)記數(shù)法表示為

考點(diǎn)：M123近似計(jì)算以及科學(xué)記數(shù)法

難易度：容易題

分析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aXIOn的形式，其中i<|a<10,n為整數(shù).

本題中696000有6位整數(shù)，n=6-1=5.解：696000=6.96X105.

解答：6.96X105.

點(diǎn)評(píng)：本題難度不大，此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aXIOn的形式，

其中l(wèi)W|a|V10,n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.

11.（2分）（2015?常州）分解因式：2x2-2y2=___.

考點(diǎn)：M21L提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用

難易度：容易題

分析：先提取公因式2,再根據(jù)平方差公式進(jìn)行二次分解即可求得答案.

解：2x2-2y2=2（x2-y2）=2（x+y）（x-y）.

解答：2（x+y）（x-y）.

點(diǎn)評(píng)：本題是中考的常考題型，考查了提公因式法，公式法分解因式，

提取公因式后利用平方差公式進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底.

12.（2分）（2015?常州）己知扇形的圓心角為120。，弧長(zhǎng)為6rt,則扇形的面積是—.

考點(diǎn)：M352扇形的面積和弧長(zhǎng)

難易度：容易題

分析：利用弧長(zhǎng)公式即可求扇形的半徑，進(jìn)而利用扇形的面積公式即可求得扇形的面積.

解：設(shè)扇形的半徑為r.

則120兀r=6it,

180

解得r=9,

...扇形的面積=120.X92=27九

360

解答：27n.

點(diǎn)評(píng)：本題難度較小，此題主要考查了扇形面積求法，用到的知識(shí)點(diǎn)為：

扇形的弧長(zhǎng)公式1=誣三；扇形的面積公式s=電上.

180360

13.（2分）（2015?常州）如圖，在ZkABC中,DE〃BC,AD：DB=1：2,DE=2,則BC的

長(zhǎng)是一

考點(diǎn)：M33M相似三角形性質(zhì)、判定

難易度：容易題

分析：由平行可得對(duì)應(yīng)線段成比例，即AD：AB=DE：BC,再把數(shù)值代入可求得BC.

解：VDE/7BC,

?ADDE

VAD：DB=1：2,DE=2,

?12

??----=-----'

1+2BC

解得BC=6.

解答：6.

點(diǎn)評(píng)：本題難度較小，主要考查平行線分線段成比例的性質(zhì)，

掌握平行線分線段成比例中的對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵.

14.（2分）（2015?常州）己知x=2是關(guān)于x的方程a（x+1）=L+x的解，則a的值是

2

考點(diǎn)：M232一元一次方程的概念、解法

難易度：容易題

分析：把x=2代入方程計(jì)算即可求出a的值.

解：把x=2代入方程得：3a=L+2,

2

解得：a=A.

5

解答：-1.

5

點(diǎn)評(píng)：本題難度不大，此題考查了一元一次方程的解，

方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

15.（2分）（2015?常州）二次函數(shù)y=-x?+2x-3圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

考點(diǎn)：M442二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)

難易度：容易題

分析：此題既可以利用y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，

也可以利用配方法求出其頂點(diǎn)的坐標(biāo).

解：Vy=-X2+2X-3

=-(x2-2x+l)-2

=-(x-1)2-2,

故頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,-2).

解答：(1,-2).

點(diǎn)評(píng)：本題難度較小，本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，

求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)有兩種方法①公式法，②配方法.

16.(2分)(2015?常州)如圖是根據(jù)某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標(biāo)系，公園的

入口位于坐標(biāo)原點(diǎn)O,古塔位于點(diǎn)A(400,300),從古塔出發(fā)沿射線OA方向前行300m

是盆景園B,從盆景園B向左轉(zhuǎn)90。后直行400m到達(dá)梅花閣C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是—.

M33T全等三角形的應(yīng)用

M41I坐標(biāo)確定位置

難易度：容易題

分析：根據(jù)題意結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出△AODgAACB(SAS),

進(jìn)而得出C,A,D也在一條直線上，求出CD的長(zhǎng)即可得出C點(diǎn)坐標(biāo).

解：連接AC,

由題意可得：AB=300m.BC=400m,

在AAOD和4ACB中

'AD=AB

「ZODA=ZABC-

DO=BC

/.△AOD^AACB(SAS),

.,.ZCAB=ZOAD,

：B、O在一條直線上，

AC,A,D也在一條直線上，

.?.AC=AO=500m,貝UCD=AC+AD=800m,

.?.C點(diǎn)坐標(biāo)為：(400,800).

解答：（400,800）.

點(diǎn)評(píng)：本題難度不大，此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理,

得出C,A,D也在一條直線上是解題關(guān)鍵.

17.（2分）（2015?常州）數(shù)學(xué)家歌德巴赫通過(guò)研究下面一系列等式，作出了一個(gè)著名的猜

想.

4=2+2；12=5+7；

6=3+3；14=3+11=7+7；

8=3+5；16=3+13=5+11；

10=3+7=5+518=5+13=7+11；

通過(guò)這組等式，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是—（請(qǐng)用文字語(yǔ)言表達(dá)）.

考點(diǎn)：M712規(guī)律型題

難易度：容易題

分析：根據(jù)以上等式得出規(guī)律進(jìn)行解答即可.

解：此規(guī)律用文字語(yǔ)言表達(dá)為：所有大于2的偶數(shù)都可以寫(xiě)成兩個(gè)素?cái)?shù)之和，

解答：所有大于2的偶數(shù)都可以寫(xiě)成兩個(gè)素?cái)?shù)之和

點(diǎn)評(píng)：本題是中考的?？碱}型，此題考查規(guī)律問(wèn)題，

關(guān)鍵是根據(jù)幾個(gè)等式尋找規(guī)律再用文字表達(dá)即可.

18.（2分）（2015?常州）如圖，在。O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AB=3,AD=5,ZBAD=60",

點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是.

考點(diǎn)：M33F全等三角形概念、判定、性質(zhì)

M33E勾股定理

M36A圓心角、弧、弦的關(guān)系

M360圓周角定理

難易度：容易題

分析：將4ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°WACBE,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出/E=/CAD=30。，BE=AD=5,AC=CE,

求出A、B、E三點(diǎn)共線，解直角三角形求出即可；

過(guò)C作CE_LAB于E,CFJ_AD于F,得出/E=/CFD=/CFA=90°,

推出?6=而，求出/BAC=NDAC，BC=CD,求出CE=CF，

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求出ND=/CBE,證4CBE之ZXCDF,推出BE=DF,

證AAEC絲ZSAFC,推出AE=AF,設(shè)BE=DF=x,得出5=x+3+x,

求出x,解直角三角形求出即可.

解：解法一、：A、B、C、D四點(diǎn)共圓，ZBAD=60°,

.,.ZBCD=180°-60°=120°,

VZBAD=60",AC平分/BAD,

.,.ZCAD=ZCAB=30°,

如圖1,

將AACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得ACBE,

則NE=/CAD=30。，BE=AD=5,AC=CE,

.\ZABC+ZEBC=(180°-CAB+ZACB)+(180°-ZE-ZBCE)=180。,

:.A、B、E三點(diǎn)共線，

過(guò)C作CM_LAE于M,

VAC=CE,

；.AM=EM=LX(5+3)=4,

2

在RtAAMC中，AC=_翅_

cos30°733

T

解法二、過(guò)C作CEJLAB于E,CF_LAD于F,

則ZE=ZCFD=ZCFA=90°,

?.,點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，

.??BC=CD.

，NBAC=NDAC,BC=CD,

VCE1AB,CF1AD,

；.CE=CF,

,:A、B、C、D四點(diǎn)共圓，

.\ZD=ZCBE,

在ACBE和4CDF中

"ZCBE=ZD

<ZE=ZCFD

CE=CF

.,?△CBE^ACDF,

；.BE=DF,

在aAEC和AAFC中

，ZE=ZAFC

■ZEAC=ZFAC

AC=AC

.?.△AEC絲ZXAFC,

，AE=AF,

設(shè)BE=DF=x,

：AB=3,AD=5,

；.AE=AF=x+3,

5=x+3+x,

解得：x=L

即AE=4,

?“一AE-8V3

??/AJ---------------------------------，

cos3003

解答：色區(qū).

3

點(diǎn)評(píng)：本題是中考的?？碱}型，本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，

圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，

能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng).

三、解答題（共10小題，共84分）

19.（6分）（2015?常州）先化簡(jiǎn),再求值：（x+1）2-x（2-x）,其中x=2.

考點(diǎn)：M212整式的運(yùn)算（加、減、乘、除、乘方）

難易度：中等題

分析：原式第一項(xiàng)利用完全平方公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算,

去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把x的值代入計(jì)算即可求出值.

解答：解：原式=x?+2x+l-2X+X2=2X2+1,--------4分

當(dāng)x=2時(shí)，原式=8+1=9.--------6分

點(diǎn)評(píng)：本題有一定的難度，此題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值,

熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

20.（8分）（2015?常州）解方程和不等式組:

（1）—七—=2---—;

3x-11-3x

r2x+4>0

(2)

1-2x〉-5.

考點(diǎn)：M21c解分式方程

M236解一元一次不等式（組）

難易度：中等題

分析：（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，

經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；

（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出解集.

解答：解：（1）去分母得：x=6x-2+l,

解得：x=L,---------2分

5

經(jīng)檢驗(yàn)x=L是分式方程的解；---------4分

5

。、⑵+4>0①

(2)八,

l-2x〉-5②

由①得：x>-2,

由②得：x<3,--------6分

則不等式組的解集為-2<xV3.--------8分

點(diǎn)評(píng)：本題是中考的?？碱}型，此題考查了解分式方程，

以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

21.（8分）（2015?常州）某調(diào)查小組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，對(duì)某市部分中小學(xué)生一天中

陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)整理后繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖：

（1）該調(diào)查小組抽取的樣本容量是多少？

（2）求樣本學(xué)生中陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1.5小時(shí)的人數(shù)，并補(bǔ)全占頻數(shù)分布直方圖;

（3）請(qǐng)估計(jì)該市中小學(xué)生一天中陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間.

考點(diǎn)：M525頻數(shù)、頻率

M526統(tǒng)計(jì)圖（扇形、條形、折線）

M532加權(quán)平均數(shù)

難易度：中等題

分析：（1）利用0.5小時(shí)的人數(shù)為：100人，所占比例為：20%,即可求出樣本容量；

（2）利用樣本容量乘以1.5小時(shí)的百分?jǐn)?shù)，即可求出1.5小時(shí)的人數(shù)，畫(huà)圖即可;

（3）計(jì)算出該市中小學(xué)生一天中陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間即可.

解答：解：（1）由題意可得：0.5小時(shí)的人數(shù)為：100人，所占比例為：20%,

???本次調(diào)查共抽樣了500名學(xué)生；........2分

（2）1.5小時(shí)的人數(shù)為：500X24%=120（人）

⑴根據(jù)題意得：

即該市中小學(xué)生一天中陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間約1小時(shí).--------8分

點(diǎn)評(píng)：本題有一定的難度，此題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖以及扇形統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用,

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖得出正確信息是解題關(guān)鍵.

22.（8分）（2015?常州）甲，乙，丙三位學(xué)生進(jìn)入了"校園朗誦比賽"冠軍、亞軍和季軍的

決賽，他們將通過(guò)抽簽來(lái)決定比賽的出場(chǎng)順序.

（1）求甲第一個(gè)出場(chǎng)的概率；

（2）求甲比乙先出場(chǎng)的概率.

考點(diǎn)：M513列表法與樹(shù)狀圖法

難易度：中等題

分析：（1）畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出甲第一個(gè)出場(chǎng)的情況數(shù)，

即可求出所求的概率；

（2）找出甲比乙先出場(chǎng)的情況數(shù)，即可求出所求的概率.

解答：解：（1）畫(huà)樹(shù)狀圖如下:

開(kāi)始

甲乙丙

/\z\/\

乙丙甲丙甲乙

/\I\/\

丙乙丙甲乙甲

所有等可能的情況有6種，其中甲第一個(gè)出場(chǎng)的情況有2種,

則p（甲第一個(gè)出場(chǎng)）=2=L；-------------4分

63

（2）甲比乙先出場(chǎng)的情況有3種，

則P（甲比乙先出場(chǎng)）=衛(wèi)二上.--------8分

62

點(diǎn)評(píng)：本題是中考的?？碱}型，此題考查了列表法與樹(shù)狀圖法，

用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

23.（8分）（2015?常州）如圖，在0ABCD中，ZBCD=120°,分別延長(zhǎng)DC、BC到點(diǎn)E,F,

使得4BCE和4CDF都是正三角形.

（1）求證：AE=AF；

（2）求NEAF的度數(shù).

考點(diǎn)：M33F全等三角形概念、判定、性質(zhì)

M33B等邊三角形的性質(zhì)和判定

M344平行四邊形（包括矩形、菱形、正方形）的判定與性質(zhì)

難易度：較難題

分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出NBAD=NBCD=12（T,/ABC=NADC,AB=CD,BC=AD,

由等邊三角形的性質(zhì)得出BE=BC,DF=CD,NEBC=NCDF=60。，

證出NABE=NFDA,AB=DF,BE=AD,根據(jù)SAS證明4ABE四△FDA,

得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得出/AEB=/FAD,求出NAEB+NBAE=60。，

得出NFAD+/BAE=60。，即可得出/EAF的度數(shù).

解答：(1)證明：?..四邊形ABCD是平行四邊形，

.,.ZBAD=ZBCD=120\ZABC=ZADC,AB=CD,BC=AD,

TABCE和ACDF都是正三角形，

；.BE=BC,DF=CD,ZEBC=ZCDF=60°,

/.ZABE=ZFDA,AB=DF,BE=AD,-------------2分

'AB=DF

在AABE和AFDA中，,NABE=NFDA，

BE=AD

.,.△ABE^AFDA(SAS),

，AE=AF；-------------4分

⑵解：VAABE^AFDA,

，NAEB=NFAD,

■:NABE=60°+60°=120°,

/.ZAEB+ZBAE=60°,.................6分

/.ZFAD+ZBAE=60",

NEAF=120°-60°=60°.-------------8分

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；

熟練掌握平行四邊形和等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

24.（8分）（2015?常州）已知某市的光明中學(xué)、市圖書(shū)館和光明電影院在同一直線上，它

們之間的距離如圖所示.小張星期天上午帶了75元現(xiàn)金先從光明中學(xué)乘出租車去了市圖書(shū)

館，付費(fèi)9元；中午再?gòu)氖袌D書(shū)館乘出租車去了光明電影院，付費(fèi)12.6元.若該市出租車

的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：不超過(guò)3公里計(jì)費(fèi)為m元，3公里后按n元/公里計(jì)費(fèi).

光明中學(xué)市圖書(shū)館光明電影院

卜~2公里T--5公里

（1）求m,n的值，并直接寫(xiě)出車費(fèi)y（元）與路程x（公里）（x>3）之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）如果小張這天外出的消費(fèi)還包括：中午吃飯花費(fèi)15元，在光明電影院看電影花費(fèi)25

元.問(wèn)小張剩下的現(xiàn)金夠不夠乘出租車從光明電影院返回光明中學(xué)？為什么？

考點(diǎn)：M424一次函數(shù)的應(yīng)用

難易度：較難題

分析：（1）根據(jù)題意，不超過(guò)3公里計(jì)費(fèi)為m元，

由圖示可知光明中學(xué)和市圖書(shū)館相距2公里，可由此得出m,

由出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：不超過(guò)3公里計(jì)費(fèi)為m元，3公里后按n元/公里計(jì)費(fèi).

當(dāng)x>3時(shí)，由收費(fèi)與路程之間的關(guān)系就可以求出結(jié)論；

（2）分別計(jì)算小張所剩錢數(shù)和返程所需錢數(shù)，即可得出結(jié)論.

解答：解：（1）..?由圖示可知光明中學(xué)和市圖書(shū)館相距2公里，付費(fèi)9元，

m=9,-------------2分

???從市圖書(shū)館乘出租車去光明電影院，路程5公里，付費(fèi)12.6元，

???（5-3）n+9=12.6,

解得：n=1.8.

?,?車費(fèi)y（元）與路程x（公里）（x>3）之間的函數(shù)關(guān)系式為：

y=1.8（x-3）+9=1.8x+3.6（x>3）.-------------4分

（2）小張剩下坐車的錢數(shù)為:75-15-25-9-12.6=13.4（元），--------6分

乘出租車從光明電影院返回光明中學(xué)的費(fèi)用：1.8X7+3.6=16.2（元）

V13.4<16.2,

故小張剩下的現(xiàn)金不夠乘出租車從光明電影院返回光明中學(xué).--------8分

點(diǎn)評(píng)：本題有一定的難度，考查了分段函數(shù)，一次函數(shù)的解析式，

由一次函數(shù)的解析式求自變量和函數(shù)值，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵

25.（8分）（2015?常州）如圖，在四邊形ABCD中，NA=NC=45°,ZADB=ZABC=105°.

（1）若AD=2,求AB：

（2）若AB+CD=2揚(yáng)2,求AB.

考點(diǎn)：M33E勾股定理

M33S含30度角的直角三角形

M33U等腰直角三角形

難易度：較難題

分析：（1）在四邊形ABCD中，由NA=NC=45。，ZADB=ZABC=105°,

得NBDF=/ADC-ZADB=165°-105o=60°,AADE與ABCF為等腰直角三角形,

求得AE,利用銳角三角函數(shù)得BE,得AB；

（2）設(shè)DE=x,利用（1）的某些結(jié)論，特殊角的三角函數(shù)和勾股定理，

表示AB,CD,得結(jié)果.

解答：解：（1）過(guò)D點(diǎn)作DELAB,過(guò)點(diǎn)B作BFJ_CD,

VZA=ZC=45°,ZADB=ZABC=105%

/.ZADC=360°-ZA-ZC-NABC=360°-45°-45--105°=165°,

；.NBDF=NADC-ZADB=165°-105°=60°,

△ADE與4BCF為等腰直角三角形，---------2分

VAD=2,

.?.AE=DE=^=^^,

V2

VZABC=1O5°,

:.ZABD=105°-45°-30°=30°,

BE=—

tan30°返

3

-------------4分

（2）設(shè)DE=x,則AE=x,BE=--------------工

tan30°1

BD=7x2+（V3x）2=2,4，

VNBDF=60°,

.?./DBF=30°,

.-.DF=1BD=X,

?*,BF寸BD?-DF-J（2x）2-產(chǎn)炳x,

，CF=V5X，-------------6分

VAB=AE+BE=x+?x,

CD=DF+CF=xX，

AB+CD=2后2,

/.AB=V^1-------------8分

點(diǎn)評(píng)：本題是中考的常考題型，考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、

含有30。角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線DE、BF,

構(gòu)造直角三角形，求出相應(yīng)角的度數(shù).

26.（10分）（2015?常州）設(shè)3是一個(gè)平面圖形，如果用直尺和圓規(guī)經(jīng)過(guò)有限步作圖（簡(jiǎn)稱

尺規(guī)作圖），畫(huà)出一個(gè)正方形與3的面積相等（簡(jiǎn)稱等積），那么這樣的等積轉(zhuǎn)化稱為3的“化

方".

（1）閱讀填空

如圖①，已知矩形ABCD,延長(zhǎng)AD到E,使DE=DC,以AE為直徑作半圓.延長(zhǎng)CD交

半圓于點(diǎn)H,以DH為邊作正方形DFGH,則正方形DFGH與矩形ABCD等積.

理由：連接AH,EH.

：AE為直徑，AZAHE=90\AZHAE+ZHEA=90".

VDH1AE,，NADH=/EDH=90°

.?,ZHAD+ZAHD=90"

，ZAHD=ZHED,△ADHs.

；ADDH,即DH2=ADXDE.

DH'DE

又：DE=DC

DH2=_,即正方形DFGH與矩形ABCD等積.

（2）操作實(shí)踐

平行四邊形的"化方"思路是，先把平行四邊形轉(zhuǎn)化為等積的矩形，再把矩形轉(zhuǎn)化為等積的正

方形.

如圖②，請(qǐng)用尺規(guī)作圖作出與。ABCD等積的矩形（不要求寫(xiě)具體作法，保留作圖痕跡）.

（3）解決問(wèn)題

三角形的"化方"思路是：先把三角形轉(zhuǎn)化為等積的—（填寫(xiě)圖形名稱），再轉(zhuǎn)化為等積的

正方形.

如圖③，AABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，請(qǐng)作出與AABC等積的正方形的一條邊（不

要求寫(xiě)具體作法，保留作圖痕跡，不通過(guò)計(jì)算AABC面積作圖）.

（4）拓展探究

n邊形（n>3）的"化方"思路之一是：把n邊形轉(zhuǎn)化為等積的n-1邊形，…，直至轉(zhuǎn)化為等

積的三角形，從而可以化方.

如圖④，四邊形ABCD的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，請(qǐng)作出與四邊形ABCD等積的三角

形（不要求寫(xiě)具體作法，保留作圖痕跡，不通過(guò)計(jì)算四邊形ABCD面積作圖）.

圖③圖④

考點(diǎn)：M713相似形綜合題

難易度：較難題

分析：（1）首先根據(jù)相似三角形的判定方法，可得△ADHs^HDE；

然后根據(jù)等量代換，可得DH2=ADXDC,據(jù)此判斷即可.

（2）首先把平行四邊形ABCD轉(zhuǎn)化為等積的矩形ADMN,然后延長(zhǎng)AD到E,

使DE=DM,以AE為直徑作半圓.延長(zhǎng)MD交半圓于點(diǎn)H,

以DH為邊作正方形DFGH,則正方形DFGH與矩形ABMN等積，

所以正方形DFGH與平行四邊形ABCD等積，據(jù)此解答即可.

（3）首先以三角形的底為矩形的長(zhǎng)，以三角形的高的一半為矩形的寬，

將aABC轉(zhuǎn)化為等積的矩形MBCD；然后延長(zhǎng)MD到E,使DE=DC,

以ME為直徑作半圓.延長(zhǎng)CD交半圓于點(diǎn)H,

則DH即為與aABC等積的正方形的一條邊.

（4）首先根據(jù)AG〃EH,判斷出AG=2EH,然后根據(jù)CF=2DF,

可得CF?EH=DF?AG,據(jù)此判斷出SACEF=SAADF,SACDI=SAAEb

所以SABCE=S四邊形ABCD,即ABCE與四邊形ABCD等積，據(jù)此解答即可.

解答：解：(1)如圖①，連接AH,EH,

；AE為直徑，

ZAHE=90°,

ZHAE+ZHEA=90°.

VDH±AE,

二ZADH=ZEDH=90",

.,.ZHAD+ZAHD=90°,

二ZAHD=ZHED,

.,.△ADH^AHDE.

?ADDH

"DH^DE'

即DH2=ADXDE.

又：DE=DC,

，DH2=ADXDC,

即正方形DFGH與矩形ABCD等積.--------2分

(2)作法：

①過(guò)A、D作AN、DM分別垂直BC于N、M；

②延長(zhǎng)AD,取DE=DM；

③以AE為直徑作半圓0；

④延長(zhǎng)MD交半圓0于H；

⑤以H、D作正方形HDFG,則正方形HDFG為平行四邊形ABCD的等積正方形.

證明：

?.?矩形ADMN的長(zhǎng)和寬分別等于平行四邊形ABCD的底和高，

...矩形ADMN的面積等于平行四邊形ABCD的面積，

:AE為直徑，

.".ZAHE=90°,

.,.ZHAE+ZHEA=90°.

VDH±AE,

.,.ZADH=ZEDH=90°,

.,.ZHAD+ZAHD=90°,

；./AHD=NHED,

/.△ADH^AHDE.

?ADDH

"DH^DE'

即DH2=ADXDE.

又：DE=DM,

;.DH2=ADXDM,

即正方形DFGH與矩形ABMN等積，

正方形DFGH與平行四邊形ABCD等積.--------4分

(3)作法：

①過(guò)A點(diǎn)作AD垂直BC于D；

②作AD的垂直平分線，取AD中點(diǎn)E；

③過(guò)E作BC平行線，作長(zhǎng)方形BCGF,則$矩形恥6尸$"8<2;

其他步驟同(2)可作出其等積正方形.........6分

(4)作法：

①過(guò)A點(diǎn)作BD平行線1；

②延長(zhǎng)CD交平行線與E點(diǎn)；

③連接BE,則S四邊形ABCD=SAEBC,

同(3)可作出其等積正方形.......-8分

△BCE與四邊形ABCD等積，理由如下:

?.SAABD=SAEBD,

??SABCE=S叫邊脛ABCD?

即AEBC與四邊形ABCD等積.

故答案為：AHDE^ADXDC,矩形.-------------10分

圖②

圖①

點(diǎn)評(píng)：本題是中考的常考題型，此題主要考查了相似形綜合題，考查了分析推理能力，

考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要熟練掌握.

此題還考查了矩形、三角形的面積的求法，以及對(duì)等積轉(zhuǎn)化的理解，要熟練掌握.

27.（10分）（2015?常州）如圖，一次函數(shù)y=-x+4的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、

B,過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線1,點(diǎn)P為直線1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線AB與AOAP外接圓的交

點(diǎn)，點(diǎn)P、Q與點(diǎn)A都不重合.

（1）寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線1上運(yùn)動(dòng)時(shí);是否存在點(diǎn)P使得aCQB與aAPQ全等？如果存在，求出

點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）若點(diǎn)M在直線1上，且NPOM=90。，記aOAP外接圓和aOAM外接圓的面積分別是

難易度：較難題

分析：（1）將y=0代入y=-x+4,求得x的值，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后在Rt^BOA中，

由勾股定理得：AB的長(zhǎng)度，然后由全等三角形的性質(zhì)求得QA的長(zhǎng)度，

從而得到BQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)PA=BQ求得PA的長(zhǎng)度，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，設(shè)AP=m,由△OAMs^PAO,

可求得AM的長(zhǎng)度，然后根據(jù)勾股定理可求得兩圓的直徑（用含m的式子表示）,

然后利用圓的面積公式求得兩圓的面積，最后代入所求代數(shù)式求解即可.

解答：解（1）令y=0,得：-x+4=0,解得x=4,

即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0）；2分

（2）存在.

理由：第一種情況，如下圖一所示:

VZOBA=ZBAP,.?.它們是對(duì)應(yīng)角，

r.BQ=PA,

將x=0代入y=-x+4得：y=4>

.?.0B=4,

由（1）可知0A=4,

=22=4

在Rt^BOA中，由勾股定理得：ABVOB+OA^2,

VABOQ^AAQP.

AQA=OB=4,BQ=PA.

???BQ=AB-AQ=4&-4,

PA=4y/~2~4.

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,4&-4）；4分

第二種情況，如下圖二所示：

圖二

VAOQB^AAPQ,

/.AQ=BO=4,AB=q42+4BQ=AP,

BQ=AB+AQ=4^/2^4,

???AP=4&+4,

??.點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（4,-4點(diǎn)-4）；

由上可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（4,以巧一4）或（4,-472~4）.6分

(3)如圖所不：

令PA=a,MA=b,aOAP外接圓的圓心為Oi,ZXOAM的外接圓的圓心為02,

:.OP2=OA2+PA2=42+a2-16+a2,OM2=OA2+MA2=42+b2-16+b2,

在RtAPOM中，PM2=OP2+OM2=a2+16+b2+16,

222

又YPM2=(PA+AM)2=(a+b)=a+2ab+b,

ab=16,--------8分

VOIA2=OIQ2+QA2=(烈)2+(空)2=XI2+4,02A2

224

=O2N2+NA2=(馳)2+(幽)2=lb2+4,

224

.".Si=nXOiA2=(-La2+4)n,S2=nXO2A2=(Ajs2+4)n,

44

?J_l_Si+S2冗\(yùn)(卷22+4)+冗XG|b2+4)

S1S2S1S271X(ja2+4)XJTX(jb2+4)

=_Lxa?+l6+b2+161

兀16a2+16b2+162+1624兀

相似三角形的性質(zhì)和判定以及勾股定理和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)題意畫(huà)出圖形,

利用全等三角形和相似三角形的性質(zhì)和判定求得AM和PA的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

28.（10分）（2015?常州）如圖，反比例函數(shù)y=K的圖象與一次函數(shù)y=L的圖象交于點(diǎn)A、

x4

B,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4.點(diǎn)P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB的上方.

（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1,4）,直接寫(xiě)出k的值和4PAB的面積；

（2）設(shè)直線PA、PB與x軸分別交于點(diǎn)M、N,求證：△PMN是等腰三角形；

（3）設(shè)點(diǎn)Q是反比例函數(shù)圖象上位于P、B之間的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)P、B不重合），連接AQ、

BQ,比較NPAQ與NPBQ的大小，并說(shuō)明理由.

考點(diǎn)：M437反比例函數(shù)綜合題

M425待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

M439反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

M33V三角形的外角性質(zhì)

M326線段的垂直平分線及其性質(zhì)

M339等腰三角形的性質(zhì)和判定

難易度：較難題

分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AR，y軸于R,過(guò)點(diǎn)P作PSLy軸于S,

連接P0,設(shè)AP與y軸交于點(diǎn)C,如圖1,可根據(jù)條件先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，

然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，即可求出k,

然后求出直線AB與反比例函數(shù)的交點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而得到OA=OB,

由此可得SAPAB=2SAAOP.要求aPAB的面積，

只需求apAo的面積，只需用割補(bǔ)法就可解決問(wèn)題；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PH_Lx軸于H,如圖2.

可用待定系數(shù)法求出直線PB的解析式，從而得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，

同理可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而得到MH=NH,

根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得PM=PN,即aPIMN是等腰三角形；

（3）過(guò)點(diǎn)Q作QTLx軸于T,設(shè)AQ交x軸于D,QB的延長(zhǎng)