2021年湖南省長沙市中考數(shù)學仿真模擬試卷（三）（ 含答案）

2021年湖南省長沙市中考數(shù)學仿真模擬試卷（三）

一、單選題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分）

1.在給出的一組數(shù)0,n,旄，3.14,炯,爺中，無理數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.據(jù)人民日報海外網(wǎng)消息：截至北京時間2020年5月23日7時30分左右，全球累計確診

新冠肺炎病例逾520萬例，將5200000用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.52X107B.5.2X105C.5.2X106D.52X105

3.下列各式的計算結果正確的是（）

A.2x-^3y=5xyB.5x-3x=2x

C.7y2-5）2=2D.-4ab1=5a1b

4.點P（-2,-3）向右平移2個單位，再向下平移3個單位，則所得到的點的坐標為（）

A.（0,0）B.（-4,0）C.（0,-6）D.（0,6）

5.用6個完全相同的小正方體組合成如圖所示的立體圖形，它的左視圖為（）

選手甲乙丙T

方差0.0230.0180.0200.021

則這10次跳繩中，這四個人發(fā)揮最穩(wěn)定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

7.如圖，A8〃CD,點E在直線CO上，￡4平分NCEB,若NBED=40°,則NA大小為

()

A.80B.70C.50D.40

8.下列說法正確的是()

A.端午節(jié)我們有吃粽子的習俗，為了保證大家吃上放心的粽子，質監(jiān)部門對廣安市市場

上的粽子實行全面調查

B.一組數(shù)據(jù)-1,2,5,7,7,7,4的眾數(shù)是7,中位數(shù)是7

C.海底撈月是必然事件

D.甲、乙兩名同學各跳遠10次，若他們跳遠成績的平均數(shù)相同，甲同學跳遠成績的方

差為1.2,乙同學跳遠成績的方差為1.6,則甲同學發(fā)揮比乙同學穩(wěn)定

9.蓄電池的電壓為定值，使用此電源時，電流/(A)與電阻R(ft)成反比例，其函數(shù)圖

象如圖所示，則電流/與電阻R之間的函數(shù)關系式為()I

A.1屈B.，C.*D.I山

RRRR

10.如圖，中，弦AB,CD相交于點P,乙4=40°,/APD=76°,則的大小是

A.38°B.40°C.36°D.42°

11.如圖，RtZ\ABC中，NACB=90°,ZA=30°,BP平分/ABC,BP=CP=2,貝ijAB

的長為（）

B

A.4-73B.6C.4&D.4

12.如圖，拋物線y=/+bx+c與x軸交于點A（-1,0）,頂點坐標（1,n）,拋物線與y

軸的交點在（0,2）,（0,3）之間（包含端點），則下列結論：①a+8+c>0；②對于任意

實數(shù)機，4+6》加2+勵總成立；③關于X的方程“/+以+'="有兩個相等的實數(shù)根；④

-IWaW-2,其中結論正確個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（本大題共4個小題，每小題3分，共12分）

13.因式分解：b-y=.

14.若一個多邊形的內角和與外角和之和是1800。，則此多邊形是邊形.

is.分式方程2=2■的解是.

x-2x

16.若扇形的半徑為3,圓心角120。，為則此扇形的弧長是.

三、解答題（本大題共9個小題，共72分）

17.（6分）計算：揚+我-4（-2）2+11-??

18.（6分）先化簡，再求值：（x+y）（x-y）-（4j?y-8x>,3）其中x=l,y=-3.

19.（6分）東營市作為全國文明城市，做志愿服務的人越來越多.近年來，全市各中小學

開展豐富多彩的志愿服務活動.在3月5日學習雷鋒紀念日期間，某校打算表彰一批志

愿服務先進個人，校團委從全校1500名學生中隨機抽取部分學生對他們近兩周志愿活動

的工時進行統(tǒng)計，請根據(jù)下面尚未完成的統(tǒng)計圖表，解答下列問題：

組別工時數(shù)X/小時人數(shù)

A0?2.516

B2.5?40

C5?7.550

D7—10m

E104W12.524

(I)共抽取了名學生;

(2)圖②中“E”所對應的圓心角度數(shù)為,補全頻數(shù)分布直方圖;

(3)根據(jù)本次抽查結果，請估計全校學生中志愿服務工時少于5小時的學生約有多少名？

(4)現(xiàn)有。組，E組各兩名學生，從這4名學生中隨機抽取兩名學生作為代表組織學生

的志愿服務活動，請用列表法或畫樹狀圖法求出所抽取的兩名學生都在E組的概率.

20.(8分)如圖，在△ABC中，NAC8=90°,。是BC邊上的一點，分別過點A、B作

BD、AO的平行線交于點E,且AB平分NE4O.

(1)求證：四邊形E4O8是菱形；

(2)連接EC,當NBAC=60°,8c=2?時，求△EC3的面積.

21.(8分)某學校為了豐富學生的課余生活，計劃購買圍棋和中國象棋供棋類興趣小組活

動使用，若購買3副圍棋和4副中國象棋需用85元，購買5副圍棋和8副中國象棋需用

155元.

(1)求每副圍棋和每副中國象棋各多少元？

(2)該學校決定購買圍棋和中國象棋共30副，總費用不超過400元，那么最多可以購

買多少副圍棋？

22.(8分)對于平面直角坐標系X。)，中的點P和(半徑為r),給出如下定義：若點P

關于點M的對稱點為Q,且rWPQW3r,則稱點P為。M的稱心點.

(1)當。。的半徑為2時，

①如圖1,在點A(0,1),B(2,0),C(3,4)中，的稱心點是:

②如圖2,點。在直線丫=心上，若點。是。O的稱心點，求點。的橫坐標機的取值

范圍；

(2)的圓心為7(0,力，半徑為2,直線丫=爭+1與x軸，y軸分別交于點E,F.若

線段EF上的所有點都是的稱心點，直接寫出/的取值范圍.

23.(9分)如圖，A2為。。的直徑，C為。。上一點，AQ與過C點的直線互相垂直，垂

足為D,AC平分ND4B.

(1)求證：OC為。。的切線.

(2)若AD=3,DC=M，求的半徑.

24.(9分)若拋物線L：y=a^+bx+c(?,b,c是常數(shù)，aWO)與直線/：滿足/十層

=2?(2c-/>),則稱此直線/與該拋物線L具有“支干”關系.此時，直線/叫做拋物線

L的“支線”，拋物線L叫做直線/的“干線”.

(1)若直線y=x-2與拋物線丫=/+法+。具有“支干”關系，求“干線”的最小值；

(2)若拋物線y=/+6x+c的“支線”與)，=-生的圖象只有一個交點，求反比例函數(shù)

的解析式；

(3)已知“干線”丫=/+版+，與它的“支線”交于點P,與它的“支線”的平行線I'：

y=or+4a+b交于點A,B,記AABP得面積為S,試問：金的值是否為定值？若是，請

lai

求出這個定值；若不是，請說明理由.

25.(12分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-工2+bx+c與直線>=工-3分

42

別交x軸、y軸上的8、C兩點，設該拋物線與x軸的另一個交點為點A,頂點為點。，

連接C￡>交x軸于點￡

(1)求該拋物線的表達式及點。的坐標；

(2)求NOCB的正切值；

(3)如果點F在y軸上，且NFBC=NOBA+NDCB,求點F的坐標.

2021年湖南省長沙市中考數(shù)學仿真模擬試卷（三）

參考答案與試題解析

一、單選題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分）

1.在給出的一組數(shù)0,m娓,3.14,朝，與中，無理數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).由此即可判

定選擇項.

【解答】解：m娓,我是無理數(shù)，

故選：C.

2.據(jù)人民日報海外網(wǎng)消息：截至北京時間2020年5月23日7時30分左右，全球累計確診

新冠肺炎病例逾520萬例，將5200000用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.52X107B.5.2X105C.5.2X106D.52X105

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為“X10”的形式，其中l(wèi)W|a|<10,〃為整數(shù).確定n

的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當原數(shù)絕對值大于10時，〃是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值小于1時，〃是負數(shù).

【解答】解:5200000=5.2X106,

故選：C.

3.下列各式的計算結果正確的是（）

A.2x+3y=5xyB.5x-3x=2x

C.7y2-5）2=2D.9a2b-4ab2^5a2b

【分析】合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結果作為系數(shù)，字母和字母的

指數(shù)不變，據(jù)此逐一判斷即可.

【解答】解：A2x與3y不是同類項，所以不能合并，故本選項不合題意；

B.5x-3x=2x,故本選項符合題意；

C.7r-5）?=2/，故本選項不合題意；

D9a2〃與-4a廿不是同類項，所以不能合并，故本選項不合題意；

故選：B.

4.點P（-2,-3）向右平移2個單位，再向下平移3個單位，則所得到的點的坐標為（)

A.(0,0)B.(-4,0)C.(0,-6)D.(0,6)

【分析】橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減可得所得到的點的坐標為

(-2+2,-3-3),計算即可.

【解答】解：點P(-2,-3)向右平移2個單位，再向下平移3個單位，所得到的點

的坐標為(-2+2,-3-3),

即(0,-6).

故選：C.

5.用6個完全相同的小正方體組合成如圖所示的立體圖形，它的左視圖為()

【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案.

【解答】解：從左邊看第一層是兩個小正方形，第二層是兩個小正方形，第三層右邊一

個小正方形，

故選：C.

6.甲、乙、丙、丁參加體育訓練，近期10次跳繩測試的平均成績都是每分鐘174個，其方

差如下表:

選手甲乙丙T

方差0.0230.0180.0200.021

則這10次跳繩中，這四個人發(fā)揮最穩(wěn)定的是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

【分析】根據(jù)方差的意義可作出判斷.方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越

小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

【解答】解：「s/vs丙2Vs丁2Vs甲2,

.?.這10次跳繩中，這四個人發(fā)揮最穩(wěn)定的是乙.

故選：B.

7.如圖，A8〃C。，點E在直線C￡＞上，EA平分NCEB,若NBED=40°,則NA大小為

【分析】根據(jù)鄰補角性質可得/BEC=180。-40°=140°,然后算出/AEC的度數(shù)，

再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得答案.

【解答】解：；NBE￡）=40°,

AZB￡C=180°-40°=140°,

是NCE8的平分線，

AZAEC=70°,

'：AB//CD,

：.ZA=ZAEC=10°,

故選：B.

8.下列說法正確的是（）

A.端午節(jié)我們有吃粽子的習俗，為了保證大家吃上放心的粽子，質監(jiān)部門對廣安市市場

上的粽子實行全面調查

B.一組數(shù)據(jù)-1,2,5,1,1,7,4的眾數(shù)是7,中位數(shù)是7

C.海底撈月是必然事件

D.甲、乙兩名同學各跳遠10次，若他們跳遠成績的平均數(shù)相同，甲同學跳遠成績的方

差為1.2,乙同學跳遠成績的方差為1.6,則甲同學發(fā)揮比乙同學穩(wěn)定

【分析】根據(jù)全面調查和抽樣調查、眾數(shù)和中位數(shù)、隨機事件、方差的概念和性質判斷

即可.

【解答】解：A、端午節(jié)我們有吃粽子的習俗，為了保證大家吃上放心的粽子，質監(jiān)部門

對廣安市市場上的粽子實行抽樣調查，本選項說法錯誤，不符合題意；

B、一組數(shù)據(jù)-1,2,5,1,7,7,4的眾數(shù)是7,中位數(shù)是5,本選項說法錯誤，不符

合題意；

C、海底撈月是不可能事件，本選項說法錯誤，不符合題意；

。、甲、乙兩名同學各跳遠10次，若他們跳遠成績的平均數(shù)相同，甲同學跳遠成績的方

差為1.2,乙同學跳遠成績的方差為1.6,則甲同學發(fā)揮比乙同學穩(wěn)定，本選項說法正確,

符合題意；

故選：D.

9.蓄電池的電壓為定值，使用此電源時，電流/(4)與電阻R(Q)成反比例，其函數(shù)圖

象如圖所示，則電流/與電阻R之間的函數(shù)關系式為(

A.I啜B.1二c

R-H

【分析】設函數(shù)解析式為/=乂，由于點(4,6)在函數(shù)圖象上，故代入可求得女的值.

R

【解答】解：設所求函數(shù)解析式為/=K,

R

???(4,6)在所求函數(shù)解析式上,

"=4X6=24.

故選：A.

10.如圖，。。中，弦A8,CO相交于點P,ZA=40°,ZAPD=16°,則的大小是

()

A.38°B.40°C.36°D.42°

【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等可得NO=43。，然后再利

用三角形內角與外角的關系可得答案.

【解答】解：???乙4=40°,

AZD=40°,

VZAPD=76°,

???NB=76°-40°=36°,

故選：C.

11.如圖，RtZ\4BC中，ZACB=90°,NA=30°,8P平分NABC,BP=CP=2,則AB

的長為（）

A.4A/3B.6C.4&D.4

【分析】由等腰三角形的性質得BD=CD,再由含30°角的直角三角形的性質得AB=

2BC,PD=1.PB=\,BD=MPD=?,則BC=2B￡)=2?,即可求解.

2

【解答】解：過尸作POLBC于。，如圖：

'：BP=CP,

：.BD=CD,

VZACB=90°,ZA=30°,

：.AB=2BC,ZABC=60°,

?.如平分/ABC,

：.ZPBC=30°,

'：PD±BC,

：.PD=1.PB^\,BD=MPD=M，

2

：.BC=2BD=2-/3,

：.AB=2BC=4y/3,

故選：A.

12.如圖，拋物線與x軸交于點A（-1,0）,頂點坐標（1,?）,拋物線與y

軸的交點在（0,2）,（0,3）之間（包含端點），則下列結論：①②對于任意

實數(shù)ni,a+h^an^+bm總成立；③關于x的方程ax1+bx+c=n有兩個相等的實數(shù)根；④

-iWaW-2,其中結論正確個數(shù)為（）

3

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】由圖象可知，當x=l時，y>0,于是可對①進行判斷；利用二次函數(shù)的性質可

對②進行判斷；根據(jù)拋物線與直線y="有一個交點可對③進行判斷；利用

2WcW3和c=-3a可對④進行判斷.

【解答】解：由圖象可知，當x=l時，y>Q,

.'.a+b+c>0,所以①正確；

；拋物線的頂點坐標（1,〃），

.?.x=l時，二次函數(shù)值有最大值”，

.*.a+b+c^am+bm+c,

即a+b^an^+bm,所以②正確；

；拋物線的頂點坐標（1,”），

拋物線y—a^+bx+c與直線y—n有一個交點，

二關于x的方程a^+bx+c^n有兩個相等的實數(shù)根，所以③正確；

；拋物線y=a?+6x+c與x軸交于點4（-1,0）,

-&+c=0,

,:b=-2m

〃+2a+c=0,

c=-3a,

???2?,

???2W-3〃W3,

-iWaW-2,所以④正確；

3

故選：D.

二、填空題（本大題共4個小題，每小題3分，共12分）

13.因式分解：/-y=y（y-1）

【分析】直接利用提取公因式法分解因式得出答案.

【解答】解：(y-1).

故答案為：y(y-1).

14.若一個多邊形的內角和與外角和之和是1800°,則此多邊形是邊形.

【分析】任意多邊形的一個內角與相鄰外角的和為180°,然后根據(jù)題意可求得答案.

【解答】解：???多邊形的一個內角與它相鄰外角的和為180°,

.,.1800°4-180°=10.

故答案為：十.

15.分式方程2=3的解是x=6.

x-2x

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可

得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：2x=3x-6,

解得：x—6,

經(jīng)檢驗x=6是分式方程的解，

故答案為：x=6

16.若扇形的半徑為3,圓心角120°,為則此扇形的弧長是2n.

【分析】根據(jù)弧長的公式/=亞三進行計算即可.

180

【解答】解：???扇形的半徑為3,圓心角為120°,

此扇形的弧長=120冗X3=2n.

180

故答案為：21T

三、解答題(本大題共9個小題，共72分)

17.(6分)計算：物+朝-4(_2產|1

【分析】直接利用二次根式的性質以及絕對值的性質分別化簡得出答案.

【解答】解：原式=3?+2-2+加-1

=4代-1.

18.(6分)先化簡，再求值：(x+y)(x-y)-(-8x>,3)+2xy,其中x=l,y=-3.

【分析】先對多項式化簡，然后代入求值.

【解答】解：原式=7-夕-2?+4)，

當x=1，y=-3時，

原式=-12+3X(-3)2

=-1+27

=26.

19.(6分)東營市作為全國文明城市，做志愿服務的人越來越多.近年來，全市各中小學

開展豐富多彩的志愿服務活動.在3月5日學習雷鋒紀念日期間，某校打算表彰一批志

愿服務先進個人，校團委從全校1500名學生中隨機抽取部分學生對他們近兩周志愿活動

的工時進行統(tǒng)計，請根據(jù)下面尚未完成的統(tǒng)計圖表，解答下列問題：

組別工時數(shù)W小時人數(shù)

A0?2.516

B2.54W540

C5?7.550

D7.5Wx<10m

E10WxW12.524

(1)共抽取了200名學生:

(2)圖②中“E”所對應的圓心角度數(shù)為43.2°，補全頻數(shù)分布直方圖;

(3)根據(jù)本次抽查結果，請估計全校學生中志愿服務工時少于5小時的學生約有多少名？

(4)現(xiàn)有。組，E組各兩名學生，從這4名學生中隨機抽取兩名學生作為代表組織學生

的志愿服務活動，請用列表法或畫樹狀圖法求出所抽取的兩名學生都在E組的概率.

【分析】(1)根據(jù)題意列算式40?20%=200即可得到結論；

(2)用360。XE組所占的百分比即可得到結論；根據(jù)題意補全頻數(shù)分布直方圖即可；

（3）根據(jù)題意列式即可得到全校學生中志愿服務工時少于5小時學生數(shù)；

（4）根據(jù)題意畫出樹狀圖，得到共有16種等可能的情況數(shù)，其中抽取兩名學生都在E

組的有4種，然后根據(jù)概率公式即可得到結論.

【解答】解：（1）共抽取的學生數(shù)有：404-20%=200（名）.

故答案為：200；

（2）“E”所對應的圓心角度數(shù)為360°X工￡=43.2°；

200

。組的人數(shù)有：200X35%=70（人）,

（3）全校學生中志愿服務工時少于5小時的學生約有1500X&12_=420（名）:

200

答：估計全校學生中志愿服務工時少于5小時的學生約有420名；

（4）根據(jù)題意畫樹狀圖如下:

共有16種等可能的情況數(shù)，其中抽取兩名學生都在E組的有4種，

則抽取兩名學生都在E組的概率是_左=」.

164

20.（8分）如圖，在AABC中，ZACB=90°，。是BC邊上的一點，分別過點4、B作

BD、的平行線交于點E,且AB平分NE4O.

(1)求證：四邊形EADB是菱形；

(2)連接EC,當/8AC=60°,8c=2近時，求△EC8的面積.

【分析】(1)根據(jù)已知條件求得四邊形EAOB是平行四邊形，根據(jù)角平分線定義得到/

EAB=NDAB,根據(jù)平行線的性質得到/E4B=/O8A,于是得到結論；

(2)解直角三角形和根據(jù)平行線的性質即可得到結論.

【解答】(1)證明：AE//BD,

四邊形EADB是平行四邊形，

：AB平分/EA。，

:.NEAB=NDAB,

'JAE//BD,

:.NEAB=NDBA,

：.NDAB=NDBA,

：.AD=BD.

四邊形EADB是菱形；

(2)解：；NACB=90°,NBAC=60°,8C=2相,

/.tan60°=至=?,

AC

：.AC=2,

S&ACB=—AC-BC=^X2X2T=2?,

22

'：AE//BC,

??S/\ECB=S^ACB=2-\/^.

21.(8分)某學校為了豐富學生的課余生活，計劃購買圍棋和中國象棋供棋類興趣小組活

動使用，若購買3副圍棋和4副中國象棋需用85元，購買5副圍棋和8副中國象棋需用

155元.

(1)求每副圍棋和每副中國象棋各多少元？

(2)該學校決定購買圍棋和中國象棋共30副，總費用不超過400元，那么最多可以購

買多少副圍棋？

【分析】(1)設每副圍棋x元，每副中國象棋y元，根據(jù)“購買3副圍棋和4副中國象

棋需用85元，購買5副圍棋和8副中國象棋需用155元”，即可得出關于x,)，的二元一

次方程組，解之即可得出結論；

(2)設可以購買機副圍棋，則購買中國象棋(30-w)副，根據(jù)總價=單價X數(shù)量，結

合總費用不超過400元，即可得出關于俄的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可

得出結論.

【解答】解：(1)設每副圍棋x元，每副中國象棋y元，

依題意得：儼+4丫=85,

|5x+8y=155

解得：(x=15.

ly=10

答：每副圍棋15兀，每副中國象棋10兀.

(2)設可以購買機副圍棋，則購買中國象棋(30-加)副，

依題意得：15瓶+10(30-m)W400,

解得：，“W20.

答：最多可以購買20副圍棋.

22.(8分)對于平面直角坐標系X。)，中的點P和。例(半徑為r),給出如下定義：若點、P

關于點M的對稱點為Q,且rWPQW3r,則稱點P為。M的稱心點.

備用圖

(1)當。。的半徑為2時,

①如圖I,在點4(0,1),B(2,0),C(3,4)中，G)。的稱心點是點A,8:

②如圖2,點O在直線y=A/私上，若點。是。0的稱心點，求點。的橫坐標，"的取值

范圍；

(2)07的圓心為7(0,力，半徑為2,直線>=運一+1與x軸，y軸分別交于點E,￡若

3

線段EF上的所有點都是的稱心點，直接寫出1的取值范圍.

【分析】(1)①先求出點A,B,C關于點。的對稱點A',B',C進而求出AA',BB',CC,

再判斷即可得出結論；

②先求出點D的坐標，再利用新定義建立不等式求解即可得出結論；

(2)先求出點E,F坐標，進而求出/EFO=60°,進而找出了軸上到線段EF的距離

為2時的位置，再分情況利用新定義，即可得出結論.

【解答】解：(1)①(0,1),

...點A關于點。的對稱點為A(0,-1),

.?.A4'=l-(-1)=2,

：。。的半徑為2,

點A是O。的稱心點，

?:B(2,0),

...點B關于點O的對稱點為B,(-2,0),

：.BB'=2-(-2)=4,

?；00的半徑為2,

.?.點8是。。的稱心點，

VC(3,4),

...點C關于點O的對稱點為C(-3,-4),

CC=J(3+3產+(4+4)2=25>3,

...點C不是。。的稱心點，

故答案為：點A,B；

②???點。在直線私上，且點。的橫坐標為“，

；.￡>的坐標為(m,

...點D關于點0的對稱點。'的坐標為(-m,-?w),

???3布荷無嬴扇P=4|〃?l，

:點。是。。的稱心點，且。。的半徑為2,

；.2W4|/川W6,

-旦WmW-?或

2222

...點D的橫坐標m的取值范圍是一旦WmW-工或工W/nW3；

2222

(2)如圖，

針對于直線y=^^x+\,

令x=0,

：.y=1,F(0,1),

；.OF=1,

令y=0,

.?.返x+l=0,

3

；.x=-M，

：.E(-5/3,0),

：.OE=yf3,

在RtAEOF中，tanZ￡FO=^.=V3>

OF

：.NEFO=60°,

過.y軸上一點H作直線EF的垂線交線段EF于G,

?.?線段EF上的所有點都是的稱心點，且。T的半徑為2,

**?TG最小=1,

在RtZ\FGT中，sinNEFO=理，

FH

Z.FH=___I?____

sinZEFO3

OH=FH-0F=26,-i,

3

當點T從“向下移動時，GH,FH,E”越來越長，直到點G和E重合，，尸取最大值,

；線段E尸上的所有點都是的稱心點，

：.FH=\-fW3,

??.，2-2,

EH<3,

AVt2+3^3,

:?t?-在，

-2WW1-2立,

3

當點T從點”向上移動時，點7在尸”上時，7到E尸的距離小于2,此種情況不符合題

盡、，

當點T從點尸向上移動時，ETNEF,

即：02,

?.?線段EF上的所有點都是。T的稱心點，

:.F心1,EHW3,

：.t-l&b42+產,

；.2WfW近，

且r的取值范圍是-2WW1-a區(qū)或2WW遍.

3

23.(9分)如圖，A8為。。的直徑，C為。。上一點，AZ)與過C點的直線互相垂直，垂

足為。，AC平分/D48.

(1)求證：QC為。。的切線.

(2)若AO=3,DC=M，求00的半徑.

D

【分析】（1）如圖，連接0C,根據(jù)已知條件可以證明/OC4=ND4C,得AO〃OC,由

ADA.DC,0C1DC,進而可得OC為。。的切線；

（2）過點。作OE_LAC于點E,根據(jù)RtZVLDC中，A￡>=3,￡>C=?,可得/D4C=

30°,再根據(jù)垂徑定理可得AE的長，進而可得。。的半徑.

【解答】解：（1）如圖，連接OC,

"：OA=OC,

.\ZOAC=ZOCA,

；AC平分//MB,

NDAC=NOAC,

：.ZOCA=ZDAC,

J.AD//OC,

'：AD±DC,

：.OCLDC,

又oc是o。的半徑，

.?.DC為00的切線；

(2)過點。作OE_L4c于點E,

在Rt/XAQC中，AD=3,DC=M，

..11/。4。=匹=返，

AD3

，NDAC=30°,

:.AC=2DC=2&,

?/0￡_L4C,

根據(jù)垂徑定理，得

AE=EC=-^^AC=yJ^t

2

；/E4O=ND4C=30°,

：.0A=-_=2,

cos300

二。。的半徑為2.

24.(9分)若拋物線L：y=axi+hx+c(a,b,c是常數(shù)，”W0)與直線/：y=ax+〃滿足J+房

=2a(2c-b),則稱此直線/與該拋物線L具有“支干”關系.此時，直線/叫做拋物線

L的“支線”，拋物線L叫做直線/的“干線”.

(1)若直線y=x-2與拋物線丫=/+法+。具有“支干”關系，求“干線”的最小值；

(2)若拋物線y^+bx+c的“支線”與y=-生的圖象只有一個交點，求反比例函數(shù)

x

的解析式；

(3)已知“干線"y=a/+6x+c與它的“支線”交于點P,與它的“支線”的平行線1,：

y=ox+4a+b交于點A,B,記△48P得面積為S,試問：工的值是否為定值？若是，請

lai

求出這個定值；若不是，請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)“支干”關系的定義，求出。、仄c的值，利用配方法確定函數(shù)的最

值.

(2)由題意a=l,1+/=2(2c-人)①，可得拋物線y=/+/zr+c的“支線”為產

y=x+b

x+h,由，4c，消去丫得至U/+人x+4c=0，由拋物線y=/+〃x+c的''支線"與y=-生

y=-x

x

的圖象只有一個交點，可知△=(),得扇-16°=0②，由①②解方程組即可解決問題.

(3)1r的值是定值.不妨設。＞0,如圖所示，與它的“支線”交)，軸于

lai

C,直線y=〃x+4〃+b與y軸交于點￡＞,A(xi,y\),B(必”)，

'_2

由＜y-ax+bx+c,消去y得到以"(匕-a)x+c-4。-b=O,推出幻+及=巨”，川切

y=ax+4a+ba

=SlMzb,推出團-切=d(xi+x2)2-4x”2=J(呼)2省S于±1=

I222

a二2ab+b二4a”l6a+4ab,把a2+.=2”(2c-b)代入上式化簡得到m-劃=4,

VaI2

由AB//PC,可得S=SAPAB=SACAB=SACDB-SACDL』，C￡)?風-A.v=」，|43?4=8,|a|,

22

由此即可解決問題.

【解答】解：(1)由題意a—1>b--2,12+(-2)2—2(2c+2),解得c=L

4

二拋物線的解析式為y=7-2x+l,

4

,.,)>=/-2x+——(x-1)2--,

44

Va=l>0,

；.x=l時，y有最小值，最小值為一3.

（2）由題意a=l,1+序=2（2c-b）①

二拋物線y=J?+bx+c的“支線”為y=x+b,

'y=x+b

由，4c，消去V得至I/+bx+4c=0,

y=—

X

?.?拋物線'=/+版+。的“支線”與丫=-庭的圖象只有一個交點，

X

：.h2-16c=0②

由①②可得b=-2,c=~t或b=-2,c--^,

4336

二反比例函數(shù)的解析式為尸-工或產--L.

x9x

（3