北師大九年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊定理及知識(shí)點(diǎn)匯總

［第一章平行四邊形

※平行四邊的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

※平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)邊平行對(duì)邊相等對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)對(duì)角線互相平分。

※平行四邊形的判別方法：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。（根據(jù)定義）。

（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

（4）兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

（5）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。

※菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

※菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且四條邊都相等，兩條對(duì)角線互相垂直平分，每一條對(duì)

角線平分一組對(duì)角。菱形是軸對(duì)稱圖形，每條對(duì)角線所在的直線都是對(duì)稱軸。

※菱形的判別方法：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。（根據(jù)定義）。

（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

（3）四條邊都相等的四邊形是菱形。

※矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫早形。矩形是特殊的平行四邊形。

※矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角。（矩形是軸對(duì)稱

圖形，有兩條對(duì)稱軸）

※矩形的判定：（1）有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形（根據(jù)定義）。

（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

（3）四個(gè)角都相等的四邊形是矩形。

※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

※正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對(duì)稱圖形,

有四條對(duì)稱軸）

※正方形常用的判定：（1）有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形；

（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；

（3）對(duì)角線相等的菱形是正方形；

（4）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系（如圖3所示）:

※梯形定義：一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。

同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

※夾在兩條平行線間的平行線段相等。

※在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半

第二章一元二次方程

※只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，且都可以化為雙？+加c+c=O（a、b、c為

常數(shù)，aWO）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。

※把以2+法+。=0（a、b、c為常數(shù)，aWO）稱為一元二次方程的一般形式，a為二次項(xiàng)

系數(shù)：b為一次項(xiàng)系數(shù)；c為常數(shù)項(xiàng)。

※解一元二次方程的方法：①配方法（即將其變?yōu)椋▁+加＞=0的形式＞

②公式法乂二一17*“b--4ac（注意在找abc時(shí)須先把方程化為一般形式）

2a

③分解因式法把方程的一邊變成0,另一邊變成兩個(gè)一次因式的乘積來求解。

（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）

※配方法解一元二次方程的基本步驟：①把方程化成一元二次方程的一般形式；

②將二次項(xiàng)系數(shù)化成1;

③把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；

④兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；

⑤把方程轉(zhuǎn)化成（X+in）2=0的形式；

⑥兩邊開方求其根。

※根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)b"4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)bJ4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)b^lacVO時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。

※如果一元二次方程ax2+bx+c=O的兩根分別為xi、X2,則有：

bc

X]+工2=---再?/=一°

a-a

※一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用：

（1）已知方程的一根，求另一根；

（2）不解方程，求二次方程的根XI、X2的對(duì)稱式的值，特別注意以下公式:

11X1+X,

①元:+無；=（玉+元2）2—22入2②一+—=———-③

xxx2x1x2

22

&-x2)=(Xj+x2)-4XjX2

④|X]-x21=J(X]+—)2-4X/2⑤

22

(|x,|+1x2I)=(X]+x2)-2xtx2+21xtx21

⑥X：+%2=（M+々）3-3%]々（工1+々）⑦其他能用X]+々或玉々表達(dá)的代數(shù)

式。

2

（3）已知方程的兩根xi、X2，可以構(gòu)造一元二次方程：x-（x,+x2）x+x,x2=0

（4）已知兩數(shù)X1、X2的和與積，求此兩數(shù)的問題，可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程

X2—（X,+尤2）彳+用尤2=0的根

※在利用方程來解應(yīng)用題時(shí)，主要分為兩個(gè)步驟：①設(shè)未知數(shù)（在設(shè)未知數(shù)時(shí)，大多數(shù)情況

只要設(shè)問題為X;但也有時(shí)也須根據(jù)已知條件及等量關(guān)系等諸多方面考慮）；②尋找等量

關(guān)系（一般地，題目中會(huì)含有一表述等量關(guān)系的句子，只須找到此句話即可根據(jù)其列出方

程）。

※處理問題的過程可以進(jìn)一步概括為：問題分碧析f方程求2解票f解答

抽象檢驗(yàn)

第三章頻率與概率

※在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做頻藜；

每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率；即：

頻數(shù)一頻數(shù)

頻率

數(shù)據(jù)總數(shù)一實(shí)驗(yàn)次數(shù)

在頻率分布直方圖中，由于各個(gè)小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，而各組頻率的和等于

1。因此，各個(gè)小長方形的面積的和等于1。

※頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)的頻率分布的兩種不同表示形式，前者準(zhǔn)確，后

者直觀。

用一件事件發(fā)生的頻率來估計(jì)這一件事件發(fā)生的概率。

可用列表的方法求出概率，但此方法不太適用較復(fù)雜情況。

※假設(shè)布袋內(nèi)有m個(gè)黑球，通過多次試驗(yàn)，我們可以估計(jì)出布袋內(nèi)隨機(jī)摸出一球，它為白

球的概率：

※要估算池塘里有多少條魚，我們可先從池塘里捉上100條魚做記號(hào)，再放回池塘，之后再

從池塘中捉上200條魚，如果其中有10條魚是有標(biāo)記的，再設(shè)池塘共有x條魚，則可依

照此2=也估算出魚的條數(shù)。（注意估算出來的數(shù)據(jù)不是確切的，所以應(yīng)謂之“約是

x200

XX”)

※生活中存在大量的不確定事件，概率是描述不確定現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，它能準(zhǔn)確地衡量出事

件發(fā)生的可能性的大小，并不表示一定會(huì)發(fā)生。

第四章相似三角形

一、本章的兩套定理

第一套(比例的有關(guān)性質(zhì)):

b_d

ac

dc少ab

—=—ad=be一=一或一

bdbacF

(比例基本定理)a+bc+d

I合比性質(zhì):

bd

acm八,八、A-A-1,i.a.?-a+c-\-----\-ma

一=一=…=一(。+。+…+"。0)=>等比1性質(zhì):----------------=-

bdnb+d-----卜nb

涉及概念：①第四比例項(xiàng)②比例中項(xiàng)③比的前項(xiàng)、后項(xiàng)，比的內(nèi)項(xiàng)、外項(xiàng)④黃金分割等。

二、有關(guān)知識(shí)點(diǎn)：

1.相似三角形定義：

對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符號(hào)“s”表示，讀作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：

相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。

4.相似三角形的預(yù)備定理：

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所截成的三角形與原三

角形相似。

5.相似三角形的判定定理：

(1)三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：

類型斜三角形直角三角形

全等三角形的判定SASSSSAAS(ASA)HL

兩邊對(duì)應(yīng)成一條直角邊

相似三角形三邊對(duì)應(yīng)成兩角對(duì)應(yīng)相

比例夾角相與斜邊對(duì)應(yīng)

的判定比例等

等成比例

從表中可以看出只要將全等三角形判定定理中的“對(duì)應(yīng)邊相等”的條件改為“對(duì)應(yīng)邊

成比例”就可得到相似三角形的判定定理，這就是我們數(shù)學(xué)中的用類比的方法，在舊知識(shí)的

基礎(chǔ)上找出新知識(shí)并從中探究新知識(shí)掌握的方法。

6.直角三角形相似：

(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊

對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。

7.相似三角形的性質(zhì)定理：

(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例。

(3)相似三角形的對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周長比等于相似比。

(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方。

8.相似三角形的傳遞性

如果山Ci，282c2，那么△ABCs^B2c2

三、注意

1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一個(gè)判定定理，也是后面學(xué)習(xí)的相似三

角形的判定定理的基礎(chǔ)，這個(gè)定理確定了相似三角形的兩個(gè)基本圖形“A”型和“8”型。

j\p)DEAE

在利用定理證明時(shí)要注意A型圖的比例F,每個(gè)比的前項(xiàng)是同一個(gè)三

ABBCAC

角形的三條邊，而比的后項(xiàng)是另一個(gè)三角形的三條對(duì)應(yīng)邊，它們的位置不能寫錯(cuò)，尤其是要

防止寫成黑=的錯(cuò)誤。

DBBCEC

2、相似三角形的基本圖形

I.平行線型：即A型和X型。

I.相交線型

3、掌握相似三角形的判定定理并且運(yùn)用相似三角形定理證明

三角形相似及比例式或等積式。

4、添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。

5、對(duì)比例問題，常用處理方法是將“一份”看著k;對(duì)于等比問題，常用處理辦法是設(shè)“公

比”為k。

6、對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來

第五章視圖與投影

※三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。

三視圖之間要保持長對(duì)正，高平齊，寬相等。一般地，俯視圖要畫在主視圖的下方，左視

圖要畫在正視圖的右邊。

主視圖：基本可認(rèn)為從物體正面視得的圖象

俯視圖：基本可認(rèn)為從物體上面視得的圖象

左視圖：基本可認(rèn)為從物體左面視得的圖象

※視圖中每一個(gè)閉合的線框都表示物體上一個(gè)表面(平面或曲面)，而相連的兩個(gè)閉合線框一

定不在一個(gè)平面上。

※在一個(gè)外形線框內(nèi)所包括的各個(gè)小線框，一定是平面體(或曲面體)上凸出或凹的各個(gè)小

的平面體(或曲面體)。

※在畫視圖時(shí)，看得見的部分的輪廓線通常畫成實(shí)線，看不見的部分輪廓線通常畫成虛線。

物體在光線的照射下，會(huì)在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影。

太陽光線可以看成平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為干行處影。

探照燈、手電筒、路燈的光線可以看成是從一點(diǎn)出發(fā)的，像這樣的光線所形成的投影稱為「P

《噂影。

※區(qū)分平行投影和中心投影：①觀察光源；②觀察影子。

眼睛的位置稱為視，卓；由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為現(xiàn)線；眼睛看不到的地方稱為苜里。

※從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見的正投影，是當(dāng)光線與投影垂直時(shí)的投影。

①點(diǎn)在一個(gè)平面上的投影仍是一個(gè)點(diǎn)；

②線段在一個(gè)面上的投影可分為三種情況：

線段垂直于投影面時(shí)，投影為一點(diǎn)；

線段平行于投影面時(shí)，投影長度等于線段的實(shí)際長度；

線段傾斜于投影面時(shí)，投影長度小于線段的實(shí)際長度。

③平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：

平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實(shí)際形狀；

平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段；

平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實(shí)際的形狀。

第六章反比例函數(shù)

k

※反比例函數(shù)的概念：一般地，y=—（k為常數(shù)，kWO）叫做反比例函數(shù)，即y是x的反

x

比例函數(shù)。

（X為自變量，y為因變量，其中X不能為零）

k

※反比例函數(shù)的等價(jià)形式:y是x的反比例函數(shù)*-y=—（ZxO）--y=kx-\k^Q）

x

*-->xy=k（k0）——變量y與x成反比例，比例系數(shù)為k.

※判斷兩個(gè)變量是否是反比例函數(shù)關(guān)系有兩種方法：①按照反比例函數(shù)的定義判斷；②看兩

個(gè)變量的乘積是否為定值〈即孫=左>。（通常第二種方法更適用）

※反比例函數(shù)的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線

※反比例函數(shù)的畫法的注意事項(xiàng)：①反比例函數(shù)的圖象不是直線，所“兩點(diǎn)法”是不能畫的；

②選取的點(diǎn)越多畫的圖越準(zhǔn)確；

③畫圖注意其美觀性（對(duì)稱性、延伸特征）。

※反比例函數(shù)性質(zhì)：

①當(dāng)k>0時(shí)、雙曲線的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；

②當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；

③雙曲線的兩支會(huì)無限接近坐標(biāo)軸（x軸和y軸），但不會(huì)與坐標(biāo)軸相交。

※反比例函數(shù)圖象的幾何特征：（如圖4所示）

點(diǎn)P（x,y）在雙曲線上都有S矩形0”6=1孫1=1短S^OB=^\xy\=^\k\11

7AM

'圖4

北師大版初中數(shù)學(xué)定理知識(shí)點(diǎn)匯總［九年級(jí)（下冊）

第一章直角三角形邊的關(guān)系

※一.正切：

定義：在RtAABC中，銳角NA的對(duì)邊與鄰邊的比叫做/A的正切，記作tanA,即

ZA的對(duì)邊

tanA=

ZA的鄰邊

①tanA是一個(gè)完整的符號(hào),它表示NA的正切，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“/”；

②tanA沒有里位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中NA的對(duì)邊與鄰邊的比;

③tanA不表示“tan”乘以“A”；

④初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，NA是銳角的正切；

⑤tanA的值越大，梯子越陡，/A越大；NA越大，梯子越陡，tanA的值越

大。

※二.青學(xué):

定義:在RtAABC中，銳角NA的對(duì)邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記作sinA,

乙4的對(duì)邊

即sinA=

斜邊

※三.余弦：

定義在RtAABC中，銳角/A的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記作cosA,

NA的鄰邊

即cosA

※一個(gè)銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、

正切。

（通常我們稱正弦、余弦互為余函數(shù)。同樣，也稱正切、余切互為余函數(shù)，可以

概括為：一個(gè)銳角的三角函數(shù)等于它的余角的余函數(shù)）用等式表達(dá)：若NA為

銳角，則30°45060°

A/3

①sinA=cos(90°-ZA)；sinQ叵

222

A/3

cosA=sin(90°-ZA)cosa立

222

；

(2)tanA=cot(90°-ZA)tana1百

3

※當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線

所成的銳角稱為仰角

※當(dāng)從高處觀測低處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成

的銳角稱為他角

※利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，（1）當(dāng)

角度在0°?90°間變化時(shí)，正弦值、正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；余

弦值、余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?。（2）0WsinaWl,OWcosaWl。

※同角的三角函數(shù)間的關(guān)系：

倒數(shù)關(guān)系：tga?ctga=1o

士人乂方sincecosce

商的關(guān)系：tgQ=----,ctga=----o

cosaana

平方關(guān)系：sin2a+cos2CL=1.

※在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和二個(gè)銳角。由直角三角形中除

直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。

◎在AABC中，NC為直角，NA、NB、NC所對(duì)的邊分別為a、b、c,則有

(1)三邊之間的關(guān)系：a?+b2=c2；

(2)兩銳角的關(guān)系：ZA+ZB=90°；

(3)邊與角之間的關(guān)系：

.Aa,ba4b

sinA=—,cosA=一,tanA=一，cot/4=—;

ccbci

D八a

sinS=—b,cosB=—tanBn=—bcotB=-;

ccab

(4)面積公式:SA^-ab^—chc(hc為C邊上的高);

22

a+b-c

(5)直角三角形的內(nèi)切圓半徑r=

2

1

(6)直角三角形的外接圓半徑R—c

2

◎解直角三角形的幾種基本類型列表如下：

◎解直角三角形的幾種基本類型列表如下:

已知條件解法

兩條邊兩條直角邊a和bc=7a2+b2,

tgA=B=90°-A

b

一條直角邊a和斜邊cb=Vc2-a2sinA=—,

c

B=90°-A

一條邊和一一條直角邊a和銳角AB=90°-A,c=—

個(gè)銳角sinA

b=a?ctgA

斜邊c和銳角AB=90°-AJa=c?sinA?

b=c,cosA

X如圖2,坡面與水平面的夾角叫做理由(或叫做理匕匕)。用字母i表示，即

.h

1=—=tanA

◎從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方便用。如圖3,0A、

OB、0C的方位角分別為45°、135°、225°□

◎指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向用。如

圖4,OA>OB、OC、OD的方向角分別是；北偏東30°,南偏東45°（東南方

向）、南偏西為60°,北偏西60°。

第二章二次函數(shù)

※二次函數(shù)的概念：形如^=辦2+法+,（。、、戾是常數(shù)，aA0）的函數(shù)，叫做x的三次

■數(shù)。自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。y=aX\a豐0）是二次函數(shù)的特例，此時(shí)

常數(shù)b=c=O.

※在寫二次函數(shù)的關(guān)系式時(shí)，一定要尋找兩個(gè)變量之間的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,

并確定自變量的取值范圍。

※二次函數(shù)y=ax2的圖象是一條頂點(diǎn)在原點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線，這條曲線叫做觸物線。

描述拋物線常從開口方向、對(duì)稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）點(diǎn)、拋物

線與x軸的交點(diǎn)等方面來描述。

①函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)；

②拋物線的頂點(diǎn)在（0,0）,對(duì)稱軸是y軸（或稱直線x=0）。

③當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，并且向上方無限伸展。當(dāng)a<0時(shí)，拋物線

開口向下，并且向下方無限伸展。

④函數(shù)的增減性：

A、當(dāng)時(shí)尸“°時(shí)，）’般增大而減小

B、當(dāng)a<0時(shí)

%>00寸,y隨x增大而增大

x<0時(shí),y隨x增大而增大

[x20H寸,y隨x增大而減小

⑤當(dāng)Ia|越大，拋物線開口越??；當(dāng)IaI越小，拋物線的開口越大。

⑥最大值或最小值：當(dāng)a>0,且x=0時(shí)函數(shù)有最小值，最小值是0：當(dāng)a<0,且x=0時(shí)

函數(shù)有最大值，最大值是0.

※二次函數(shù)y=O?+c的圖象是一條頂點(diǎn)在y軸上且與y軸對(duì)稱的拋物線

※二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象是以x=-2為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)在（-三,

2a2a

4gl）的拋物線。（開口方向和大小由a來決定）

4a

※間的越大，拋物線的開口程度越小，越靠近對(duì)稱軸y軸，y隨x增長（或下降）

速度越快；|a|的越小，拋物線的開口程度越大，越遠(yuǎn)離對(duì)稱軸y軸，y隨x增

長（或下降）速度越慢。

※二次函數(shù)的圖象中，a的符號(hào)決定拋物線的開口方向，間決定拋物

線的開口程度大小，c決定拋物線的頂點(diǎn)位置，即拋物線位置的高低。

※二次函數(shù)y=ax2+0x+c的圖象與y=ax2的圖象的關(guān)系:

y=o?+"+c的圖象可以由y=ax2的圖象平移得到，其步驟如下:

①將y=辦2+法+，配方成,=。。-〃）2+k的形式；（其中h=一"—,

2a

,4ac-b2、

k=-------）；

4a

②把拋物線y=a/向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|個(gè)單位，得到y(tǒng)=a（x-h/的

圖象；

③再把拋物線y=a（x-?2向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|個(gè)單位，便得到

y=a（x-h）2+左的圖象。

※二次函數(shù)y=奴2+0x+c的性質(zhì)：

二次函數(shù)"以2+以+'配方成丫=g+2>+竺￡金則拋物線的

2a4。

①對(duì)稱軸：x=-—②頂點(diǎn)坐標(biāo)：（_±,4ad）

2a2a4〃

③增減性：若a>0,則當(dāng)x<—2時(shí),y隨x的增大而減??；當(dāng)x>—2時(shí)，y

2a........2a

隨x的增大而增大。

若a〈0,則當(dāng)x<—幺時(shí),y隨x的增大而增大；當(dāng)x>—2時(shí)，y

2a........2a

隨x的增大而減小。

④最值：若a>0,則當(dāng)x=^時(shí),=4"。二打;若a〈o,則當(dāng)x=_2時(shí)，

2a4。2a

4ac-b2

》最大"f-

※畫二次函數(shù)>=以2+以+（:的圖象:

我們可以利用它與函數(shù)y=的關(guān)系，平移拋物線而得到，但往往我們采用

簡化了的描點(diǎn)法一-五點(diǎn)法來畫二次函數(shù)來畫二次函數(shù)的圖象，其步驟如下：

①先找出頂點(diǎn)（一上，4覺"）,畫出對(duì)稱軸x=—2；

2a4。2a

②找出圖象上關(guān)于直線x=-2對(duì)稱的四個(gè)點(diǎn)（如與坐標(biāo)的交點(diǎn)等）；

2a

③把上述五點(diǎn)連成光滑的曲線。

Q二次函數(shù)的最大值或最小值可以通過將解析式配成y=a（x-h）2+k的形式求得，

也可以借助圖象觀察。

n解決最大（?。┲祮栴}的基本思路是：

①理解問題；

②分析問題中的變量和常量，以及它們之間的關(guān)系；

③用數(shù)學(xué)的方式表示它們之間的關(guān)系；

④做數(shù)學(xué)求解；

⑤檢驗(yàn)結(jié)果的合理性、拓展性等。

※二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象（拋物線）與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)XI,X2是

對(duì)應(yīng)一元二次方程ax?+Z?x+c=O的兩個(gè)實(shí)數(shù)根

※拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

b2-4ac〉0<===>拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；

b2-4ac=0<===>拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；

b2-4ac<0<===>拋物線與x軸有0個(gè)交點(diǎn)（無交點(diǎn)）；

※當(dāng)b2-4ac〉0時(shí)，設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B,則這兩個(gè)點(diǎn)之間的距

離：

|A81=|匹+x21=J0?-Xi）2=J（X]+/）2―4匹出

化簡后即為：一4%>0）-----這就是拋物線與x軸的兩

\a\

交點(diǎn)之間的距離公式。

第三章圓

車輪為什么做成圓形

※上圓的定義：

描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一周，另

一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做反；固定的端點(diǎn)0叫

做網(wǎng)心、；線段0A叫做手號(hào)；以點(diǎn)0為圓心的圓，記作。0,

讀作“圓0”

集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合。其中定點(diǎn)叫做網(wǎng)

心，定長叫做同的半彳至，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，

圓心和半徑確定的圓叫做足網(wǎng)。

對(duì)圓的定義的理解：①圓是一條封閉曲線，不是圓面；

②圓由兩個(gè)條件唯一確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是

半徑（即定長）。

X2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：

如果圓的半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d,則

①點(diǎn)在圓上<===>d=r;

②點(diǎn)在圓內(nèi)<===>d<r;

③點(diǎn)在圓外<===〉d>r.

其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特征是重點(diǎn)，它可用來證明若干個(gè)點(diǎn)共圓，方法就是證

明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)、的距離相等。

二.圓的對(duì)稱性：

XI.與圓相關(guān)的概念：

①弦和直徑：

弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做孽。

直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做亶骨。

②弧、半圓、優(yōu)弧、劣?。?/p>

?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做網(wǎng)即，簡稱明，用符號(hào)表示，以CD為端

----X

點(diǎn)的弧記為“CD”,讀作“圓弧CD”或“弧CD”。

半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半醫(yī)。

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。

劣?。盒∮诎雸A的弧叫做為即。（為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個(gè)字母表示。）

③弓形：弦及所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形。

④同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心網(wǎng)。

⑤等圓：能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓。

⑥等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等處。

⑦圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做.心曲.

⑧弦心距:從圓心到弦的距離叫做拿心妲.

X2.圓是軸對(duì)稱圖形，直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸，圓有無數(shù)條對(duì)稱軸。

X3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說，如果具備：

①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)??；⑤平分弦所對(duì)的劣弧。

上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可推出其他三個(gè)結(jié)論。

※今定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等、所對(duì)

的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距

中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.

三.圓周角和圓心角的關(guān)系：

派1.1°的弧的概念：把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360份時(shí)，每一份的角都是1°

的圓心角，相應(yīng)的整個(gè)圓也被等分成360份,每一份同樣的

弧叫1°弧.

X2.圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等._

這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等，而不是角與弧相等.即不能寫成/族

AOB=，這是錯(cuò)誤的.

X3.圓周角的定義：

頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角.

※今圓周角定理：

一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

※推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角

所對(duì)的弧也相等；

※推論2:半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；

※四.確定圓的條件：

XL理解確定一個(gè)圓必須的具備兩個(gè)條件：

圓心和半徑，圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小.

經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)圓,經(jīng)過兩點(diǎn)也可以作無數(shù)個(gè)圓，其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)

線段的垂直平分線上.

X2.經(jīng)過三點(diǎn)作圓要分兩種情況：

(1)經(jīng)過同一直線上的三點(diǎn)不能作圓.

(2)經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，能且僅能作一個(gè)圓.

※定理：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.

X3.三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念：

(1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形：經(jīng)過一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這

個(gè)三角形的外接圓,這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.

(2)三角形的外心：三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.

(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等.

五.直線與圓的位置關(guān)系

※上直線和圓相交、相切相離的定義：

(1)相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線叫做圓的割線.

(2)相切：直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，

惟一的公共點(diǎn)做切點(diǎn).

(3)相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相離.

X2.直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征：

設(shè)。O的半徑為r,圓心。到直線的距離為d；

①d<r<===>直線L和。O相交.

②d=r<===>直線L和。O相切.

③d>r<===>直線L和。O相離.

X3.切線的總判定定理：

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個(gè)條半徑的直線是圓的切線.

※爾切線的性質(zhì)定理：

圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

※推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

※推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

※分析性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系，可得如下結(jié)論：

如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，就可推出第三個(gè).

①垂直于切線；②過切點(diǎn)；③過圓心.

X5.三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念.

和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)

心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.

X6.三角形內(nèi)心的性質(zhì)：

（1）三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.

（2）過三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.

由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線：連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)，該線平分三角形的

這個(gè)內(nèi)角.

六.弧長及扇形的面積

※上圓周長公式：

圓周長C=2%R（R表示圓的半徑）

X2.弧長公式：

弧長/=爵