2023年北京市東城區(qū)高三高考一模數(shù)學(xué)試卷含答案

2023年北京市東城區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

題號(hào)—?二三總分

得分

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，

寫在試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單選題（本大題共9小題，共36.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的

一項(xiàng)）

1.已知集合4=一2<0},且a€4,貝Ua可以為（）

A.-2B.-1C.：D.V2

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（3,-1）,貝收=（）

A.1+3iB.3+iC.-3+iD.—1—3i

3.已知%>0,則％-4+：的最小值為（）

A.-2B.0C.1D.2<7

4.在△ABC中，a=2V~-6,b=2c,cosA=-7,則S—BC=（）

A.|<l5B.4C.5nL5D.2<15

5.設(shè)n是兩條不同的直線，a,。是兩個(gè)不同的平面，且THUa,a〃氏則"zn1n"

是"nl。”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=e>2+i的切線，則切線方程為（）

A.y=xB.y=2xC.y=D.y-ex

7.已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,P為正方形4BCD內(nèi)部（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且滿足瓦？.

方=0,則中?前的取值范圍是（）

A.（0,8]B.[0,8）C.（0,4]D.[0,4）

8.已知a2.a3.a4,as成等比數(shù)列，且1和4為其中的兩項(xiàng)，則的最小值為（）

11

A--64B.-8C,-D.-

9.恩格斯曾經(jīng)把對(duì)數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立稱為十七世紀(jì)數(shù)學(xué)的三

大成就.其中對(duì)數(shù)的發(fā)明，曾被十八世紀(jì)法國(guó)大數(shù)學(xué)家拉普拉斯評(píng)價(jià)為“用縮短計(jì)算時(shí)

間延長(zhǎng)了天文學(xué)家的壽命”.已知正整數(shù)N的70次方是一個(gè)83位數(shù)，由下面表格中部分

對(duì)數(shù)的近似值（精確到0.001）,可得N的值為（）

M2371113

igM0.3010.4770.8451.0411.114

A.13B.14C.15D.16

第II卷（非選擇題）

二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）

10.函數(shù)f（x）=廠=+bix的定義域?yàn)?

11.（C+a）6的展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為60,則實(shí)數(shù)a=.

12.已知雙曲線馬一m=l（a>0,b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為（，50）,且與直線、=±2%沒(méi)

有公共點(diǎn)，則雙曲線的方程可以為—.

13.已知數(shù)列｛即｝各項(xiàng)均為正數(shù)，。2=3的，Sn為其前n項(xiàng)和.若｛不｝是公差為:的等

差數(shù)列，則％=—，an=—.

14.已知函數(shù)/（乃=赤譏?%+9）（；1>0,0<0<兀）的部分圖象如圖1所示，A,B分

別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過(guò)A作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)4',點(diǎn)C為該部分圖象與x軸

的交點(diǎn).將繪有該圖象的紙片沿x軸折成直二面角，如圖2所示，此時(shí)|4B|=CU，則

A=___.

給出下列四個(gè)結(jié)論:

①0=全

②圖2中，麗?近=5：

③圖2中，過(guò)線段的中點(diǎn)且與4B垂直的平面與x軸交于點(diǎn)C；

④圖2中，S是△4'BC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合T=｛QeS||4Q|W2｝,則7表示

的區(qū)域的面積大于去

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是—.

三、解答題(本大題共6小題，共85.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步

驟)

15.(本小題13.0分)

已知函數(shù)/'(x)=sinx+sin(x+1).

(I)求f(x)的最小正周期；

(11)若刀=*是函數(shù)y=/(x)-f(x+w)0>0)的一個(gè)零點(diǎn)，求9的最小值.

16.(本小題13.0分)

甲、乙兩名同學(xué)積極參與體育鍛煉，對(duì)同一體育項(xiàng)目，在一段時(shí)間內(nèi)甲進(jìn)行了6次測(cè)試，

乙進(jìn)行了7次測(cè)試.每次測(cè)試滿分均為100分，達(dá)到85分及以上為優(yōu)秀.兩位同學(xué)的測(cè)試成

績(jī)?nèi)绫恚?/p>

次數(shù)

第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

同學(xué)

甲807882869593—

乙76818085899694

(1)從甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測(cè)試中隨機(jī)選取一次，求該次測(cè)試成績(jī)超過(guò)90分的

概率;

(2)從甲同學(xué)進(jìn)行的6次測(cè)試中隨機(jī)選取4次，設(shè)X表示這4次測(cè)試成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù),

求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)從乙同學(xué)進(jìn)行的7次測(cè)試中隨機(jī)選取3次，設(shè)丫表示這3次測(cè)試成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù),

試判斷數(shù)學(xué)期望E")與(2)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)

17.(本小題15.0分)

如圖，在長(zhǎng)方體4BCD中，AAT=AD=2,BD］和當(dāng)。交于點(diǎn)E,F為4B的

中點(diǎn).

(I)求證：EF〃平面4。。送1；

(II)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求

(i)平面CEF與平面BCE的夾角的余弦值;

(ii)點(diǎn)4到平面CE尸的距離.

條件①：CELBiD；

條件②：與平面BCGBi所成角為余.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.(本小題15.0分)

已知函數(shù)/(x)=ax2—xlnx.

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(11)設(shè)直線1為曲線;);=/(x)的切線，當(dāng)a>鄂寸，記直線/的斜率的最小值為g(a),求g(a)

的最小值；

(HI)當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)M={y|y=1(x),x€點(diǎn)掃卜N={y|y=1(x),x6(/—},求

證：M呈N.

19.(本小題14.0分)

已知橢圓E：務(wù)，=l(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為4(0,1),離心率e=?.

(1)求橢圓后的方程；

(II)過(guò)點(diǎn)P(_q,l)作斜率為％的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,C,直線4B,AC分別

與工軸交于點(diǎn)M,N.

設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為。，求黑j的值.

20.(本小題15.0分)

已知數(shù)表42n=(：：；：：：二：：；)中的項(xiàng)％("1,2；/=1,2,n)互不相同，

且滿足下列條件：

@0-ij€[1,2,...,2n)；

②(T)m+i(aim-a2m)<0(m=1,2,

則稱這樣的數(shù)表42n具有性質(zhì)「―

(I)若數(shù)表42具有性質(zhì)P，且42=4,寫出所有滿足條件的數(shù)表42,并求出的1+的2

的值；

(口)對(duì)于具有性質(zhì)P的數(shù)表4n，當(dāng)為1+%2+-一+的丸取最大值時(shí)，求證：存在正整數(shù)

/c(l</c<n),使得aik=2n；

(HI)對(duì)于具有性質(zhì)P的數(shù)表4n，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求由1+%2+…+%n的最大值.

答案和解析

LB

解：由題意可得集合A=｛幻-V2<X</無(wú)｝,

因?yàn)閍64,所以-/至<a<，至，

故選項(xiàng)8正確，ACD錯(cuò)誤.

故選：B.

根據(jù)不等式的解法求出集合4然后求出a的范圍，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可求解.

本題考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

解：由題意，復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,-1),

可得(=3-i,所以z=(3-i)-i=1+3t.

故選：A.

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到：=3-i,結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

解：x>0,

44/4

x,

**?x—4+-X=--X----4227/—X4=0,

當(dāng)且僅當(dāng)x=立即x=2時(shí)取等號(hào).

X

故選:B.

利用基本不等式求解即可.

本題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.C

解：a=2V-6?b=2c,cosA="~"a=—L

2bc4

所以4c2+cj-24=」,解得c=2,b=4,

因?yàn)?€（0,兀）,

所以si?Vl=\bcsinA=x2x4x=V15.

4AHQL224

故選：c.

利用余弦定理得到c=2,h=4,利用同角三角函數(shù)基本公式得到Sina=?，然后利用面

4

積公式求面積即可.

本題主要考查余弦定理，屬于基礎(chǔ)題.

5.B

解：mua,a]IB，

由mln,可得n〃0或nu0或n與0相交，相交也不一定垂直，

反之，由可得n_La,而mua,則zn_Ln.

則“m1n”是“n10”的必要不充分條件.

故選：B.

由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系結(jié)合充分必要條件的判定得答案.

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查充分必要條件的判

定，是基礎(chǔ)題.

6.4

解：由函數(shù)y=e*-2+i,可得y，=e*-2,

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t,e-2+1),可得切線方程為y—(e?2+1)=et-2(x一力，

把原點(diǎn)(0,0)代入方程，可得0-(e"2+i)=/-2(。一。，即(t-i)/-2=i,

解得t=2,所以切線方程為y-(e0+l)=e°(x-2),即y==

故選：A.

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t,e-2+1),求得切線方程為y-(e-2+1)=gt-2(x一t),把原點(diǎn)(0Q)代入

方程，得到—=解得t=2,即可求得切線方程.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.D

解：已知正方形/BCD的邊長(zhǎng)為2,建立如圖所示的平

面直角坐標(biāo)系，

則4(-1,0),6(1,0),C(l,2),D(-1,2),

又為正方形4BCD內(nèi)部(不含邊界)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足

PA-PB=0^

■.P(cos6,sin6'),0E(0,n),

則麗-DP=(cosd-l,sin9-2)■(cosd+l,sin9—

2)=4—4sin0,

又sin。e(0,1],

則方?而e[0,4）.

故選：D.

先建立平面直角坐標(biāo)系，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角函

數(shù)值域的求法求解即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了三角函數(shù)值域的求法，屬基礎(chǔ)題.

8.B

解：若相鄰兩項(xiàng)為1和4,則公比為正數(shù)，每一項(xiàng)都為正數(shù)，舍去；

若奇數(shù)項(xiàng)為1和4,則奇數(shù)項(xiàng)均為正數(shù)，舍去；

因此只能a2和分別為1和4,

當(dāng)=4,。4=1時(shí)，公比為士;，則&5=。4勺=±最

當(dāng)。2=1，。4=4時(shí)，公比為±2,貝！=a4q=±8；

則的最小值為-8.

故選：B.

分1和4在相鄰兩項(xiàng)和不相鄰兩項(xiàng)，在奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)討論，求出公比，可得的最小值.

本題考查等比數(shù)列的基本量運(yùn)算，考查分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

解：由題可知1。82<N’O<1083,

：.01。82<IgN70<lg1083,即82<70lgN<83,

1.171<IgN<1.185,

???lgl4=lg2+lg7=0.301+0.845=1.155<1.171,

lgl6=4lg2=4x0.301=12.04>1.185,

N=15.

故選：C.

利用1082<N70<1083,計(jì)算可得結(jié)論.

本題考查歸納推理，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題.

10.（0,1]

解：要使/"（X）=，丁三+1nx有意義，則解得0<xWL

所以原函數(shù)的定義域?yàn)椋?,1].

故答案為（0,1].

直接由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0,對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0聯(lián)立取交集即可.

本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，函數(shù)的定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量支的取

值范圍，是基礎(chǔ)題.

1I.±2

解：(V-x+a)6的通項(xiàng)公式為Tr+i=嗎x竽ar>

令與工=2可得r=2,展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為60=Cla2,

a2=4,a=+2.

故答案為：±2.

在(C+a)6的通項(xiàng)公式中，令x的指數(shù)等于2,求得r=2,從而得到展開式中產(chǎn)項(xiàng)的系數(shù)

為60=/a?,解方程求得實(shí)數(shù)a的值.

本題主要考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，得到60=C1a2,

是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

12.久2一[=i(答案不唯一)

解：由題意得?=門，且雙曲線的漸近線方程為y=±5心

???雙曲線與直線y=±2*沒(méi)有公共點(diǎn)，

二取直線y=±2x為漸近線，貝哈=2,

222

又=a+b,則Q2=i,b=4,

???雙曲線的方程可以是/—[=L

故答案為：/_q=i(答案不唯一).

由題意得°=/虧，且雙曲線的漸近線方程為y=±5x,可得5=2且c2=a2+F,求解即

可得出答案.

本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13?件

解：因?yàn)閿?shù)列｛an｝各項(xiàng)均為正數(shù)，a2=3a1(

若｛、/"X｝是公差為9的等差數(shù)列，則廳-C=I5TT而-B=2JF-，石=

所以/X=j+2(n~=

所以Sn=9，

所以n“時(shí)，an=Sn-SnT=q-吟=竽,

9適合上式，

14

M2幾一1

故每=—?

故答案為：竽.

24

由題意得J52-JS]='&+a2-，%=2，a、一7a、=7%=可求的，然后結(jié)

合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求的，然后結(jié)合數(shù)列的和與項(xiàng)的遞推關(guān)系可求.

本題主要考查了數(shù)列的和與項(xiàng)的遞推關(guān)系，還考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)

題.

14.0②③

解：在圖2中，過(guò)B作

BD垂直工軸于D,

由題意可得T=字=

2

4,A'D=2,

???A'B=VA2+4,■■■

AB=

VA'B2+AA'2=

V2A2+4=V10?

解得a=，耳或a=―，一W(舍去)，

f(x)=V_3sin(^x+<p),當(dāng)x=0時(shí)，\T^sin<p=—，

0<q)<n,(p=季或w=也

當(dāng)8=?顯然不符合圖象的變化情況，故舍去，

；.平彗,故①錯(cuò)誤；

由題意可得AC=V3+1=2.BC=2,

10+4-4_￡22

???cosZ-BAC=2715x2―4

■■■AB-AC=\AB\-\AC\-cos^BAC=<10X2x望=5，故②正確；

???AC=BC=2,.?.過(guò)線段4B的中點(diǎn)且與48垂直的平面與x軸交于點(diǎn)C,故③正確;

???<2,二面角為直二面角可得M'Q|<1,

???T表示的區(qū)域的面積為兀xMx等<2,故④錯(cuò)誤.

故答案為：@(3).

由題意可求得周期，進(jìn)而可得2儲(chǔ)+4=中,可求人進(jìn)而可求仍進(jìn)而計(jì)算可判斷每

個(gè)選項(xiàng)的正確性.

本題考查三角函數(shù)的圖象，考查向量的數(shù)量積的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題.

15.解：(I)因?yàn)?(x)=sinx+sin(x+g)=sinx+1sinx+?cosx=|sinx+崢cosx=

V-3sin(x+)

所以/(%)的最小正周期為2TT；

(口油題設(shè)丫=/(%)-f(x+8)=V_3sin(x+弓)-V_3sin(x+看+。)，

由X屋是該函數(shù)零點(diǎn)可知，，3sin(3+$--3sin/+著+0)=0,BPsin(^+</?)=^>

故g+0=g+2k7r,k&Z,或^+9=等+2/:兀，k&Z,

解得9=2/OT,卜62或9=]+2/(:乃，keZ,

因?yàn)樽?gt;0,所以w的最小值為宗

(I)將函數(shù)化簡(jiǎn)后利用公式求周期；(口)將零點(diǎn)代入y=f(x)-f(x+w)，可得少的最小值.

本題考查兩角和差公式，函數(shù)的零點(diǎn)，三角函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題.

16.解：(1)由題意可知：甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測(cè)試中，

測(cè)試成績(jī)超過(guò)90分的共4次，由古典概型的概率計(jì)算公式可得P=或，

所以從甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測(cè)試中隨機(jī)選取一次，該次測(cè)試成績(jī)超過(guò)90分的概率

4

P=—；

13，

(2)由題意可知：從甲同學(xué)進(jìn)行的6次測(cè)試中隨機(jī)選取4次，這4次測(cè)試成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù)X

的可能取值為1,2,3,

則。81)=警=喂=/「5=2)=等=登=|；P(X=3)=^=^V

所以X的分布列為：

X123

1

P13

555

所以E(X)—lx—+2x—+3x-=—=2.

(3)由題意可知：從乙同學(xué)進(jìn)行的7次測(cè)試中隨機(jī)選取3次，這3次測(cè)試成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù)丫

的可能取值為0,1,2,3,

則P（y=0）==—±.p（y=1）=_3x4_12

=1J

八八，即c33535，"3535,

p（v-2）-或\—3x6_竺。pry—3）-。睛—

-

C3-3535'尸"_3）_c3-35-35-

所以丫的分布列為：

Y0123

112184

P

35353535

所以E(Y)=0x^+lxg+2x1|+3x^=^,E(X)>E(Y).

(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，代入古典概型的概率計(jì)算公式即可求解；

(2)根據(jù)題意先求出所有X的可能取值，然后分別求出每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并

計(jì)算出期望即可求解；

(3)根據(jù)題意先求出所有y的可能取值，然后分別求出每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，計(jì)算出期望與(2)

中期望即可求解.

本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的求解，古典概型的概率公式的應(yīng)用，屬中檔題.

17.證明：(I)如圖，連接ZD1，Bi%,BD.

因?yàn)殚L(zhǎng)方體4BC0-41/65中，BBJ/DDI且BBi=DD、,

所以四邊形8位。1。為平行四邊形，

所以E為BD1的中點(diǎn)，

在中，因?yàn)镋,F分別為BO1和4B的中點(diǎn),

所以E/7/ZDi，

因?yàn)镋FC平面力DOi^i，ADru平面

所以EF〃平面力DDi4；

解：(□)選條件①：CE1BjD.

(i)連接SC.

因?yàn)殚L(zhǎng)方體中441=4。=2,所以當(dāng)。=2，蘢，

在ACBDi中，因?yàn)镋為當(dāng)0的中點(diǎn)，CE工BQ

所以CD=BiC=2。，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,因?yàn)殚L(zhǎng)方體中44=AD=2,CD=2-1,

則。(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2<7,0),8(2,2。,0),尸(2,yTz,0)，

BQ2m),EQ,SY),

所以屈=(1,-C,1),CF=(2,-yTl.,0)，CB=(2,0,0)，

設(shè)平面CEF的法向量為記=(Xi，yi，zj,

則,沅?國(guó)=0,即卜1-4%+4=0,

(m-CF=0(2x1-y/~2y1=0

令=1,則yi=yT2,z1=1,可得沆=(1,。,1),

設(shè)平面BCE的法向量為有=(x2,y2(Z2))

則伊?國(guó)=0,gp[x2-<^y2+z2=0；

(n-C5=012X2=0

令丫2=1，則％2=。*2=V-2>所以元=(0,1/V-2)?

設(shè)平面CEF與平面BCE的夾角為8,

則cos。=|cos<m,n>\=窩,=芋，

所以平面CEF與平面BCE的夾角的余弦值為?；

5)因?yàn)榘?(0,C,0)，

所以點(diǎn)4到平面CEF的距離為d=率瞿=1.

1?1

選條件②：Bi。與平面BCGBi所成角為a

連接&C.

因?yàn)殚L(zhǎng)方體4BC。一必當(dāng)口劣中，CO_L平面BCC/i，/Cu平面BCCi/,

所以CD，&C.

所以NDBiC為直線&D與平面BCG/所成角，即NDBiC=：,

所以△。8傳為等腰直角三角形，

因?yàn)殚L(zhǎng)方體中44=4。=2,所以當(dāng)。=2\[~2-

所以CD=B[C=2yT2.

以下同選條件①.

(I)利用空間中直線與平面平行的判定定理，結(jié)合三角形中位線即可證明；

(口)若選條件①，利用CEJ.81。，通過(guò)推理論證得到CD=BiC=2。，建立空間直角坐

標(biāo)系，求平面法向量，再根據(jù)面面夾角的向量公式及點(diǎn)到面的距離公式運(yùn)算求解；

若選條件②，利用當(dāng)。與平面BCG/所成角為會(huì)通過(guò)推理論證得到CD=BiC=建

立空間直角坐標(biāo)系，求平面法向量，再根據(jù)面面夾角的向量公式及點(diǎn)到面的距離公式運(yùn)算求

解.

本題考查了線面平行的證明和二面角的計(jì)算，屬于中檔題.

18.解：(I)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-xlnx(x>0),故/''(x)=—Inx-1.令/'(x)=—Inx—1>0,

則0<x<]，

e

即/。)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,

(口)由/(工)=ax2-xlnx(x>0),可得((x)=2ax-Inx-1,即直線1的斜率為尸(x)=

2ax—Inx—I,

設(shè)/i(x)=2ax-Inx-1,則〃(%)=2a-：=因?yàn)镼>/故0V/<

當(dāng)0<x</時(shí)，兄⑺<0,h(x)在(0,否上遞減，當(dāng)x>/時(shí)，兄⑺>0,九(%)在點(diǎn),+8)

上遞增，

故九(x)mm=九七)=)2a,即「COmm==ln2a,即g(a)=ln2a,而a>故g(a)

的最小值為"2x]=1.

(HI)證明：由已知a>0,由(II)可知xe弓，言)時(shí)，/"(x)為單調(diào)增函數(shù)，

由/'(F)=-In；="2a,f'(；)=；-ln/=；+ln4a-ln3,

則M={y\y=f'(x)，xe點(diǎn)分}=(Zn2a,j+ln4a-)3),

又時(shí)，[。)為單調(diào)減函數(shù)，

/'(；)=1-ln^--l=-1+ln4a,

Jv4ay24a2

故N={y\y=f'G),xe(卷初=(Zn2a,-|+Zn4a),

由于ITL3>1,即2—ITI3<——?故2+)4a—仇3<——4-伍4a.

故M星N.

(I)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0,即可求得答案；

(H)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，確定函數(shù)單調(diào)性，即可求得函數(shù)最值；

(巫)根據(jù)(n)的結(jié)論，判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，即可求得M,N,比較端點(diǎn)處的值

的大小關(guān)系，即可證明結(jié)論.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程,

考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.

rb=1

19.解：(1)由題設(shè)得上=?，解得a=C，b=l,c=<2，

L2=b2+c2

2

所以橢圓的方程為a+丫2=1，

(口)直線BC的方程為y-1=fc(x+<3),

聯(lián)立+%?2人,；，得(3/(2+I)%2+(6y/-3k2+6k)x+9/c2+6A/-3/C=0,

由4=(6/3/+6fc)2_4(3^2+1)(弘2+6門外>0，解得k<0,

設(shè)BQ。％),C(x2,y2),

而|、l,6>/~3k2+6k9/C2+6AT3/C

//T+Xo=5，XiXo=5f

3/+13k'+l

直線4B的方程為y=+1,

X1

令y=。得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X”=一卷7=一而言予，

同理可得N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為孫=一*1=一而舟可，

所以X”+&/=-%(五冽+12巧％2+^~^(-1+%2)

XlX2+^~^(Xl+X2)+3

.9k%fCk、6d+6k、

9k+6\jr3k+^_^(_6v/~'5/c+6與+3

因?yàn)辄c(diǎn)。的坐標(biāo)為(--3,0),

所以D為線段MN的中點(diǎn)，

rb=1

(I)由題設(shè)得后呼，解得a，b,c,即可得出答案.

&=b2+c2

(II)設(shè)8(方,%)，C(x2,y2),直線8c的方程為y-l=k(x+「)，聯(lián)立橢圓的方程，結(jié)合

韋達(dá)定理可得/+X2,萬(wàn)62,進(jìn)而可得M點(diǎn)，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)，計(jì)算XM+XN，由點(diǎn)。的坐標(biāo)為

(-<3,0),即可得出答案.

本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的相交問(wèn)題，解題中需要一定的計(jì)算能力，屬于中檔題.

為(")，Q3(")，

20.解：(I)滿足條件的數(shù)表42

所以由1+的2的值為5，5,6；

(U)證明：若當(dāng)?shù)?+%2+???+%“取最大值時(shí)，存在lW/Wn),使得a2j=2n,

由數(shù)表42n具有性質(zhì)P可得/為奇數(shù)，