2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷試題和答案

2023年全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷

一試

一、填空題

1.設(shè)/(x)是定義在R上的函數(shù)，對隨意實數(shù)X有/*+3>/(%-4)=一1.又當(dāng)04》<7

時，/(x)=log2(9-x),則/(TOO)的值為.

2.若實數(shù)滿意/+2cosy=l,則x-cosy的取值范圍是.

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的方程為，E為C的上焦點，4為C的右頂點，P是

C上位于第一象限內(nèi)的動點，則四邊形。4PE的面積的最大值為.

4.若一個三位數(shù)中隨意兩個相鄰數(shù)碼的差不超過1,則稱其為“平穩(wěn)數(shù)”.平穩(wěn)數(shù)的個數(shù)是

5.正三棱錐P—ABC中，AB=1,AP=2,過A8的平面a將其體積平分，則棱PC及

平面a所成角的余弦值為.

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點集長={(蒼丫)卜力=—1,0,1}.在長中隨機(jī)取出三個點，則這

三點中存在兩點之間距離為壞的概率為.

7.在A43C中，M是邊BC的中點，N是線段8W的中點.若，AABC的面積為6,則

AM-AN的最小值為.

8.設(shè)兩個嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列{七},{/}滿意：qo=4o<2O17,對隨意正整數(shù)“，有

afl+2=an+x+an,bn+i=2bH,則％+仇的全部可能值為.

二、解答題

9.設(shè)女,機(jī)為實數(shù)，不等式——kx-同W1對全部xe用成立.證明：b-a<2-^2.

10.設(shè)玉，%2，%3是非負(fù)實數(shù)，滿意X]+%2+%3=1，求(X1+3々+5七)(玉+年+字)的最

小值和最大值.

11.設(shè)復(fù)數(shù)4:2滿意Re(zJ>0,Re(z2)>0,且Re(z；)=Re(z；)=2(其中Re(z)表示

復(fù)數(shù)Z的實部）.

（1）求Re（Z]Z2）的最小值;

（2）求區(qū)+2|+"+'一卜1-z2]的最小值.

2023年全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷

二試

一.如圖，在AABC中，AB=AC,/為AABC的內(nèi)心，以A

為圓心，A3為半徑作圓「「以/為圓心，"為半徑作圓A，

過點8,/的圓A及「，口分別交于點尸，。（不同于點B）.設(shè)

/P及8。交于點R.證明：BR±CR

二.設(shè)數(shù)列｛4｝定義為q=1,《用=『"+〃，/W〃，“=1,2,….求滿意a,<r432°”

-n,an>n,

的正整數(shù)T?的個數(shù).

三.將33x33方格紙中每個小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個數(shù)相等.若相

鄰連個小方格的顏色不同，則稱它們的公共邊為“分隔邊”.試求分隔邊條數(shù)的最小值.

四.設(shè)加，〃均是大于1的整數(shù)，m>n,q,%,…,凡是〃個不超過加的互不相同的正整數(shù),

且外,%，…，?！盎ニ?證明：對隨意實數(shù)x，均存在一個使得，這里||y|表示實

數(shù)y到及它最近的整數(shù)的距離.

2023年全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷

一試答案

答案：一二

2

解：由條件知，/,(.<+14)---------=/(x),所以

/(x+7)

/(-100)==/(-100+14x7)=/(-2)=-^=--l-=-l

”5)log142

答案：［-1,邪+1］?

解：由于v,-l2gs.1.3］，故.Y￡［66］.

y-|Y*|

由COSJ―—「可知，1COSV—V--——1.因此當(dāng)工=|時，

/工j

\CO、「有最小值［（這時歹可以取二）：當(dāng)I—Ja時,ACO、「有最大值gI

2

（這時「可以取7T）.由于:（%+1）2-1的值域是［-1,0+小從而x-cosy的取

值范圍是［-1,V3+1］.

答案:半

解：易知4(3,0),廣(0,1).設(shè)P的坐標(biāo)是(3cos6,Ji^sinH),8€0,則

S"=S\5*必-：3而sin"(glYmsH

——(v10cos0|sin〃)=^^^sin(6>+⑺.

22

arcian'.當(dāng)〃—arctanJlO時,四邊形O"尸面積的最大值為封口.

其中p

102

答案：75.

解：考慮平穩(wěn)數(shù)正.

若1=0,則a=l,c€{0,l},有2個平穩(wěn)數(shù).

若力=1,則aW{1,2},CW（0,1,2},有2x3=6個平穩(wěn)數(shù).

^2<h<8,則a,c€{8_l,A》+斗，有7x3x3=63個平穩(wěn)數(shù).

若8=9，則a,cW{8,9},有2x2=4個平穩(wěn)數(shù).

綜上可知，平穩(wěn)數(shù)的個數(shù)是2+6+63+4=75.

5.

答案.主叵

*-10

解：設(shè)/&PC的中點分別為K,則易證平面48”就是平面0.由中線

長公式知

1..-1I..-、.,?1-?3

”/_-(」/‘IIC)-/Y--(2II)一,2-一

4

所以KA/=-JAM2-AK2=

又易知直線尸C在平面。上的射影是直線“K,而CM=l,KC="，所以

八，.MC'-KC-3石

cosZAA/C-+

2A；W\tC

故棱PC與平面a所成角的余弦值為些.

10

6.

444

答案：—.

解：易知K中有9個點，故在K中隨機(jī)取出三個點的

方式數(shù)為C；=84種.

將K中的點按右圖標(biāo)記為44,…,4，。，其中有8

對點之間的距離為在.由對稱性，考慮取4,4兩點的情

況，則剩下的一個點有7種取法，這樣有7x8=56個三點

組(不計每組中三點的次序).對每個4(i=l,2,…,8),K

中恰有4+3,4T兩點與之距離為山(這里下標(biāo)按模8理解)，因而恰有

{4,4_3,4_s}(i=1,2,…,8)這8個三點組被計了兩次.從而滿足條件的三點組個

數(shù)為56-8=48,進(jìn)而所求概率為竺=2.

847

7.

答案：G11.

解：由條件知，/“_-［AH+.IC'；.J.\：--AHLie,故

2'!44

翔.—―［：仙+卜［石+；可-:卜必AC-4ABAC.

由于JJ=SMe=-^?-p5|-|/ic|-sinA=~~",所以卜0—4,進(jìn)

當(dāng)網(wǎng)=后p?|=2xW時，工口.IE的最小值為《I.

8.

答案：13,20.

解：由條件可知：4,%,4均為正整數(shù)，且叫<“、.

由于2017〉/\_2””?-512/l,故/1TL2.3｝.反復(fù)運(yùn)用｛4.｝的遞推關(guān)系知

4“―4+〃、-2"、+-3"一+—5u+3q-&乙+5a.

—I3u,48&-21—-130、—34。、+21%,

因此21q=a1。=%=5126.=2ft,(mod34),

而13x2174-8+1,故有

〃13x21^-13x2/)-26〃(mod34).①

另一方面，注意到q<4,有554<34%+21“-5I2A,故

sI?

q<-----b，②

,551

512

當(dāng)卜一1時，①，②分別化為勺26SMK134).〃.<會，無解.

當(dāng)勺一2時，①，②分別化為％52(mod34).a<得到唯一的正整數(shù)

11?55

%—18?此時4十b—20.

當(dāng)九一3時，①，②分別化為47X(mod34).4/■也約，得到唯一的正整數(shù)

,1155

4—10,此時"14-/>-13.

綜上所述，q+々的所有可能值為13,20.

9.

證明：令/(x)MX，—履-"1,x€[a,A]>則I,1].于是

f(a)=az—ka—m<\t①

f(b)=b2-kb-m<\,②

《竽H小卜.管…_L③

.........................4分

由①+②一2x③知，

(a~b)~..、,八、__Ia+/7I..

2")+八力-1<4.

枚b-a￡2五..........................16分

10.

解：由柯西不等式

區(qū)+3￡+5勺)(3+會+)2

=（Xj+七+戈3）'=I，

當(dāng)天=1,￡=0,-q=0時不等式等號成立，故欲求的最小值為1.

5分

因為

(X]+3X2+5/)區(qū)+申+￡)=g(X1+3.x,+)(5X|+^-+x3)

/、2

'"(演+3.r,+5x3)+(5x：+自+七)；

=—?6x+—x+6x........................10分

20^1323)

<—(6x,+6x,+6x,)'=—?

20v123/5

當(dāng)天=；,覆=0,巧=扣不等式等號成立，故欲求的最大值為g............20分

11.

解：(1)對K=l,2,設(shè)z*=x*+y*i(x“y*WR,).由條件知

x*=Re(zt)>0,x；-yl=Re(z；)=2.

因此

Re(z/2)=Re((x,+yj)區(qū)+y,i))=x,x;-yy2

=-2)(:+2)-y\y2>(上曲|+21-yj，R2.

又當(dāng)Z[=Z2=0時，Re(z[z2)=2.這表明，ReGz?)的最小值為2.

............5分

(2)對斤=1,2,將z上對應(yīng)到平面直角坐標(biāo)系x°y中的點尺(七，”)，記名是

巴關(guān)于x軸的對稱點，則%耳均位于雙曲線。:好-必=2的右支上.

設(shè)耳,月分別是C的左、右焦點，易知石(-2,0),尼(2,0).

根據(jù)雙曲線的定義，有歸￡|=歸段+28,限￡|=舊用+20,進(jìn)而得

|Z1+2|+|^4-2|-|^-Z,|=|ZI+2|+|^+2|-|ZI-^|

=IMI+1呼;卜幟用=40+歸國+化勾一忸閭24啰,

...........15分

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)月位于線段28上(例如，當(dāng)馬=Z2=2+JIi時，月恰是Eg

的中點).

綜上可知，區(qū)+2|+區(qū)+2卜區(qū)-zJ的最小值為4立........20分

2023年全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷

二試答案

證明：連接/6.IC,IQ.PB.PC.

由于點。在留廠：匕故/8=/Q,所以N/5Q=N/Q8.

又B.I,P,Q四點共圓.所以Z〕QB=ZJPB.于是Z1BQ=ZIPB,

故NBPSZRB,從而有N〃?8=N/8P,K

IBIP八

一=一...............10分

IRIB

注意到AS=AC,且/為AABC的內(nèi)心.故/8=/C,所以

ICIP

—=—.

IRIC

T是&ICPs&IRC.故Z/RC=Z/CP.............................20分

又點夕在帆廠?的盜8c上,故/8。。=180*-1乙4.因此

ZLBRC=Z1RB+ZIRC=Z1BP+Z/CP

=36O，-Zfi/C-ZBPC

=3?r_(9(T+：ZA)_1180*_；ZA)

故BRICK.............................40分

解：由數(shù)列的定義可知％=l.%二2.假設(shè)對某個整數(shù)，.我們證明

對，-L…,r-l?{j

=2r+，-l>r+2/-l,0心=r-r<r+2/.①

對，歸納證明.

71時,由于q?itl定義，2”，+1.

。3=?,“一(，+1)-2r-(r+l)=r-l<r+2t結(jié)論成立.

設(shè)對某個①成立，則由定義

"/?”?[=U(r+2f)=r-，+r+2，=2,+，>r+2/+l?

"““?I=",.2,”-「+2/+1)=2，+'-(，+2/+1)二一'-1<r+21+2.

即結(jié)論對，+1也成立.由數(shù)學(xué)UI納法知.①對所仃，=1.2.….,-1成立，特別當(dāng)

/二，一1時，有?！癬2-1?從而％”|-2)=3/*-1.

若將所有渦足"r=r的正整數(shù)r從小到大記為小4,….則由上面的結(jié)論可知

(=1.4=2.&=2.3.????............................20分

由此可知，，:.一：一3r-1伏一II),從而

”，r,?3~,-1

1?'7+I4I

由于?“==2<3皿‘<土黃=4?.,在12….S20n中滿足a,=r的數(shù)r

共有2018個，為小公….公…..............30分

由①可知，對每個A=1.2,….2017.r+1.<—2.….3「一2中恰有一半滿足

滬，,.

由于%?,+1=土下」十1與33m'均為奇數(shù)，而在勺“+1.….3'""中，奇數(shù)

均滿足q>r，偶數(shù)均滿足/</?.其中的怏數(shù)比奇數(shù)少I個.因此滿足a,<rW3""'

的正整數(shù)r的個數(shù)為

1(3**7-2018-1)=~2019...........................40分

解：記分隔邊的條數(shù)為L.門先，將方格紙按如圖分成三個區(qū)域,分別染成三

種顏色，粗線上均為分隔邊,此時共白56條分隔邊,即L=56...............10分

n

下面證明乙256.將方格紙的行從上至下依次記為A.4.….A?.列從左至右

依次記為鳥.8：.…行A中方格出現(xiàn)的顏色數(shù)記為“（A）.列瓦中方格出現(xiàn)的熟

色個數(shù)記為”（瓦）.三種顏色分別記為0c2，q-對于?種顏色一，設(shè)me,）是含有C,

色方格的行數(shù)與列數(shù)之和.記

i.若A行含有「/色方格.

演A￡）=

否則.

類蟻地定義5（8,.勺）.于是

E（mA）+n（K））=ZZ（6（A，c,）+S（8,.c/）

-t?t|/■!

SJ35

=ZX（6（A.c,）+6（8,,Cj））=2”（cJ.

由于染「，色的方格ff；-332=363個，設(shè)含有c,色方格的行有a個.列有8個.

則j色的方格一定在這。行和〃列的交叉方格中，因此於2363,從而

n（c7）=a+b>2yfab>2/363>38.

故n（cp^39.j=1.2.3.①

.......................20分

由于在行A中有“（A）種顏色的方格.因此至少有“（A）-i條分隔邊.同理在列

8,中.至少有“（8,）-1條分隔邊.于是

Hn

LNZ（"（A）T）+E（〃（8JT）

，二|

13

=Z（”（A）+”（BJ）-66②

一

=S?（cJ-66.③

........................30分

卜面分兩種情影討論.

情形1:有行或列全部方格同色.不妨設(shè)有一行全為G色,從而方格紙的

33列中均含有q色的方格，由色方格有363個,故勺少有11行中含有。色方

格,于是

n(Ci)>11+33=44.

由①,③及④即得

L>)+n(c,)+rt(c,)66>44+39+39-66=56.

........................40分

情形2:沒有?行也沒有列的全部方格同色.則為任意14433.均有

?(A)22.MBJ22.從而由②知

33

+66233x466=66>56.

綜上所述.分隔總條數(shù)的最小值等于56.............................50分

證明：首先證明以下兩個結(jié)論.

結(jié)論1：存在整數(shù)q.q.…,c.?滿足+。必+…+”.=1.并ftlq區(qū)m.

14i4n.

由于(q./,….a.)=l.由裴蜀定理.存在整數(shù)?…￡，滿足

G4+c*i+…+c.a.=1.①

卜面證明,通過調(diào)整.存定一組G.C：.…￡滿足①，且絕對值均不超過m.id

…，4)=gc,NO.S《g.….c.)=Z"，RO.

q>?

如果￡>0,那么存在c,>m>l.Iiuc_at>1.又因為.q,均為正

數(shù).故由①可知存在j<0.令

r

c'~c,q=ca(I<it<n.

則<(；%+<(；%+…+c.'a.=l?②

并且04m-a,4r：vc,,ci<c：<a*4e.

因為<?：<<;,且c；<m,所以，"。'./'.…"：)<^"%?！薄?.).乂c；>c,及

c'>0.故另(c；.c；.…

如果另>0,那么存在因此0?個q>0.令c；=c,q.c；=c,+a,?

c/-<t(l<i.k^i,j).那么②成立.并且-?n<c；<q,ci<c'<0.與上面交

Itt地uj知S](qg.….c")<SjCq.c,.H.$(G?心，…心)<S)Sg.….

因為Si與S：均是非負(fù)祭數(shù)，故通過白跟次上述的調(diào)整,可得到一組,.c：.….c..

使得①成也.并且S=S1=O.結(jié)論1獲證.............20分

結(jié)論2:(1)對任意實數(shù)。力,均有l(wèi)a+MIRIal+IIbII.

(2)任意整數(shù)“和實數(shù).'行

由j對任意整數(shù)“和實數(shù)X.ft-IIX+M11=11x11,故不妨設(shè)此時

22

11〃11引〃若oh40,不妨設(shè)°WOfb,則a+?€[—?-<—Ji從而