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文檔簡介
§12.8二階常系數(shù)齊次線性微分方程上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁
方程y
py
qy
0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程
其中p、q均為常數(shù)
如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)解
那么y
C1y1
C2y2就是它的通解
方程r2
pr
q
0叫做微分方程y
py
qy
0的特征方程.
特征方程及其根
特征方程的求根公式為下頁二階常系數(shù)齊次線性微分方程
方程y
py
qy
0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程
其中p、q均為常數(shù)
有兩個不相等的實根
r1、r2
有一對共軛復(fù)根
r1,2
i
y
e
x(C1cos
x
C2sin
x)下頁特征方程的根與通解的關(guān)系方程y
py
qy
0的通解方程r2
pr
q
0的根的情況有兩個相等的實根
r1
r2
第一步寫出微分方程的特征方程r2+pr+q=0
第二步求出特征方程的兩個根r1、r2
第三步根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況,寫出微分方程的通解.
求y
+py
+qy=0的通解的步驟:
下頁有兩個不相等的實根
r1、r2
有一對共軛復(fù)根
r1,2
i
y
e
x(C1cos
x
C2sin
x)特征方程的根與通解的關(guān)系方程y
py
qy
0的通解方程r2
pr
q
0的根的情況有兩個相等的實根
r1
r2
下頁有兩個不相等的實根
r1、r2
有一對共軛復(fù)根
r1,2
i
y
e
x(C1cos
x
C2sin
x)特征方程的根與通解的關(guān)系方程y
py
qy
0的通解方程r2
pr
q
0的根的情況有兩個相等的實根
r1
r2
因此微分方程的通解為y
C1e
x
C2e3x
例1
求微分方程y
2y
3y
0的通解
解微分方程的特征方程為r2
2r
3
0
特征方程有兩個不相等的實根r1
1
r2
3
即(r
1)(r
3)
0
下頁有兩個不相等的實根
r1、r2
有一對共軛復(fù)根
r1,2
i
y
e
x(C1cos
x
C2sin
x)特征方程的根與通解的關(guān)系方程y
py
qy
0的通解方程r2
pr
q
0的根的情況有兩個相等的實根
r1
r2
特征方程有兩個相等的實根r1
r2
1
例2
求方程y
2y
y
0的通解
解微分方程的特征方程為r2
2r
1
0
即(r
1)2
0
因此微分方程的通解為y
C1e
x
C2xe
x
即y
(C1
C2x)e
x
下頁通解形式r2
2r
5
0
特征方程的根為r1
1
2i
r2
1
2i
是一對共軛復(fù)根
因此微分方程的通解為y
ex(C1cos2x
C2sin2x)
例3
求微分方程y
2y
5y
0的通解
有兩個不相等的實根
r1、r2
有一對共軛復(fù)根
r1,2
i
y
e
x(C1cos
x
C2sin
x)特征方程的根與通解
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