高二數(shù)學(xué)二項(xiàng)式展開式的性質(zhì)2

§10.4.2二項(xiàng)式展開式的性質(zhì)

(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b1+6a2b2+4a1b3+b4(a+b)5=a5+5a4b1+10a3b2+10a2b3+5a1b4+b5

(a+b)6=a6+6a5b1+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6a1b5+b6

(a+b)7=a7+7a6b1+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7a1b6+b7

根據(jù)二項(xiàng)式定理寫出下列二項(xiàng)式的展開式

:展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)，如下表所示：

11

121133114641151010511615201561將上述的7個(gè)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)列成下表1.每行兩端都是1；2.除1以外的每個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和；3.與首末兩端等距的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；4.冪指數(shù)為偶數(shù)時(shí)中間的二項(xiàng)式系數(shù)最大，冪指數(shù)為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大；5.從中間到首末兩端二項(xiàng)式系數(shù)逐漸減?。坏贸鲆?guī)律楊輝三角(a+b)111

(a+b)2121(a+b)31331(a+b)414641(a+b)515101051(a+b)61615201561(a+b)7172135352171

可以得到二項(xiàng)式展開式性質(zhì)

將楊輝三角的每個(gè)數(shù)換成二項(xiàng)式的系數(shù)（組合符號(hào)）的形式二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是：

從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù),其定義域是：

當(dāng)時(shí)，其圖象是右圖中的7個(gè)孤立點(diǎn)．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

（1）對(duì)稱性

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．

這一性質(zhì)可直接由公式得到．圖象的對(duì)稱軸：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。

可知，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

因此，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

取得最大值；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、相等，且同時(shí)取得最大值。（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)式定理中，令，則：

這就是說，的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于：同時(shí)由于，上式還可以寫成：這是組合總數(shù)公式．

例題

證明在的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和．例題(1)求

的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).

(2)求

的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).

小結(jié):（1）對(duì)稱性:與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．

（2）增減性與最大值

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

取得最大值；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、相等，且同時(shí)取得最大值。小結(jié):（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和

作業(yè):P1148.9.10優(yōu)化設(shè)計(jì)第三課時(shí)CENTERSFORDISEASECONTROL

ANDPREVENTION

再見；/自動(dòng)發(fā)卡平臺(tái)hwh20jyc的私鹽販子，南方機(jī)關(guān)船，在外地也有被其他私鹽販子使用的報(bào)告。老太太懷疑這次訛謝家的，也是私鹽販子。她很擔(dān)心被這群無(wú)賴盯上后如何脫身。第三件，宮中明詩(shī)傳出口信，年前或者就能有機(jī)關(guān)，能叫個(gè)妹妹進(jìn)宮“探望她”，探望后能不能留、留多久，再行說，反正先進(jìn)去總是好的，能讓皇上碰巧見上一面就更好了。老太太看現(xiàn)有的幾個(gè)女孩子，福珞自然是出挑的，寶音病好之后，卻也表現(xiàn)不俗，竟不知選哪個(gè)的好。蘇小橫只把第三件事兒，轉(zhuǎn)述給了蘇明裳聽。裳兒埋頭在剝一袋糖炒栗子，聽了便眨眼笑道：“選哪個(gè)不是一樣么？姐妹們別為這個(gè)搶破頭才好！”“不一樣?！碧K小橫正告她。裳兒頓時(shí)也了悟了：“能有進(jìn)宮面圣的機(jī)會(huì)，就有邀圣謄的機(jī)會(huì)?！碧K小橫猶嫌她說得不夠透切。裳兒繼續(xù)剖釋：“若只得一兩次圣寵，白把身子賠在宮里，那是她自己倒霉。但若能助力，我、詩(shī)姐姐、同她，三個(gè)臭皮匠，頂個(gè)諸葛亮，那多好。退幾步說，縱使她不得圣寵，若知情達(dá)禮、能出謀劃策，要緊時(shí)候說不定就救我們的命。她的人選，也要仔細(xì)?！碧K小橫點(diǎn)頭：“所以我當(dāng)然也要聽聽你的意思，畢竟她不止是帶你進(jìn)宮的引子，還有希望成為你的同伴，影響到你的行動(dòng)。你們之間應(yīng)該具備最基本的信任才好?！鄙褍核妓鞯溃骸拔腋棠讨攸c(diǎn)提出的這兩位，都不熟，只聽聞笙妹妹體弱多病，人緣兒也不好，這樣的人怎能進(jìn)宮？倒是福家姊姊，燈會(huì)上照過面，憨頑嬌美，不失大家女兒涵養(yǎng)，我要是奶奶，不用想，就選她?！敝x老太太到今日，完全不提明蕙，裳兒也不提，根本當(dāng)她是透明的。資質(zhì)不足，就是不足，多使小手腕也沒用。否則明秀一開始根本不會(huì)引福珞進(jìn)來。寶音也不敵福珞么？蘇小橫等著裳兒的后文。裳兒果然吐舌笑道：“可惜福家姊姊，風(fēng)格跟我是一路的，美卻不及我，鬼腦筋也不及我。我要個(gè)處處與我相似、卻不及我的影子在旁邊做什么呢？若只要她引我，那還說得過，她一陪襯，皇上更見我的各種好處。而笙妹妹，病好后能有多久，怎樣表現(xiàn)不俗？我很好奇呢！”“聽說她在眾姐妹計(jì)議神秘失銀時(shí)，第一次提出，重銀搭底后，需要的拉力不一樣。”蘇小橫道。不久前，蘇小橫也有把二老爺是如何“送”出的銀子，講給裳兒聽，要她評(píng)議，以考較她的反應(yīng)。裳兒當(dāng)時(shí)就道：“爹爹太傻了！爺