3.1.2函數(shù)的平均變化率第2課時課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

第三章函數(shù)

3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)

3.1.2函數(shù)的單調(diào)性第2課時

函數(shù)的平均變化率基礎(chǔ)知識我們已經(jīng)知道，兩點確定一條直線，在平面直角坐標(biāo)系中，這一結(jié)論當(dāng)然也成立，一般地，給定平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)x1≠x2時，稱

為直線AB的斜率；當(dāng)x1=x2時，稱直線AB

的斜率不存在。直線AB的斜率反映了直線相對于x軸的傾斜程度。

如圖所示，直線AB的斜率即為Rt△ACB中BC與AC的比，另外，圖中，直線AB的斜率大于零，而直線AD的斜率小于零。y1y2x2x1

不難看出，平面直角坐標(biāo)系中的三個點共線，當(dāng)且僅當(dāng)其中任意兩點確定的直線的斜率都相等或都不存在。下面我們用直線的斜率來研究函數(shù)的單調(diào)性。由函數(shù)的定義可知，任何一個函數(shù)圖象上的兩個點，它們所確定的直線的斜率一定存在?；A(chǔ)知識嘗試于發(fā)現(xiàn)如圖所示，觀察函數(shù)圖象上任意兩點連線的斜率的符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，并總結(jié)出一般規(guī)律?？梢钥闯觯瘮?shù)遞增的充要條件是其圖象上任意兩點連線的斜率都大于0，函數(shù)遞減的充要條件是其圖象上任意兩點連線的斜率都小于0。

利用上述結(jié)論，我們可以證明一個函數(shù)的單調(diào)性。例如，對于函數(shù)y=－2x來說，對任意x1，x2∈R且x1≠x2，有

因此y=

－2x

在R上是__________函數(shù)。減典例精析

典例精析判斷一次函數(shù)y=kx+b

(k≠0)的單調(diào)性解：設(shè)x1≠x2，那么

因此，一次函數(shù)的單調(diào)性取決于k的符號：當(dāng)k>0時，一次函數(shù)在R上是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，一次函數(shù)在R上是減函數(shù)。

典例精析證明函數(shù)f(x)=x2+2x在(-∞，-1]上是減函數(shù)，在[-1，+∞)上是增函數(shù)，并求這個函數(shù)的最值。證明：設(shè)x1≠x2，則

因此:

用類似的方法可以證明，二次函數(shù)f(x)=ax2+bx＋c(a≠0)的單調(diào)性為:

增減小大

基礎(chǔ)自測1．如果過點P(－2，m)和Q(m,4)的直線的斜率等于1，那么m的值為(

)A．1

B．4

C．1或3

D．1或4A

2．已知函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖像上兩點A，B，且xA＝1，xB＝，則函數(shù)f(x)從A點到B點的平均變化率為(

)A．4

B．4x

C． D．C

3．函數(shù)y＝f(x)在[－2,2]上的圖像如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是______，____.－1

2

1

典例剖析函數(shù)的平均變化率與單調(diào)性、最值對點訓(xùn)練典例剖析利用函數(shù)的圖像求最值(1)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，5]上的圖像如圖所示，則此函數(shù)的最小值點，最大值分別為(

)A．－3,5B．－3，f(5)C．－2,5D．－2，f(5)D

思路探究：分段函數(shù)求最值，先作出各段內(nèi)函數(shù)圖像，然后由圖像求出函數(shù)的最值。解析：(1)由函數(shù)f(x)的圖像可知最小值點為－2，最大值為f(5)．(2)①由題意，當(dāng)x∈[－1,2]時，f(x)＝－x2＋3，為二次函數(shù)的一部分；當(dāng)x∈(2,5]時，f(x)＝x－3，為一次函數(shù)的一部分；所以，函數(shù)f(x)的圖像如圖所示：②由圖像可知，最大值點為0，最大值3；最小值點為2，最小值為－1.歸納提升：圖像法求最值、最值點的步驟對點訓(xùn)練D

典例剖析常見的函數(shù)最值問題1．不含參數(shù)的最值問題歸納提升：研究函數(shù)最值時，先求定義域，再判斷其單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性求其最值。2．含參數(shù)的最值問題已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函數(shù)f(x)的最小值。思路探究：拋物線開口方向確定，對稱軸不確定，需根據(jù)對稱軸的不同情況分類討論．可畫出二次函數(shù)相關(guān)部分的簡圖，用數(shù)形結(jié)合法解決問題。解析：函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2圖像的開口向上，且對稱軸為直線x＝a.當(dāng)a≥1時，函數(shù)圖像如圖(1)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上是減函數(shù)，最小值為f(1)＝3－2a；當(dāng)－1＜a＜1時，函數(shù)圖像如圖(2)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上是先減后增，最小值為f(a)＝2－a2；歸納提升：求二次函數(shù)最值的常見類型及解法求二次函數(shù)的最大(小)值有兩種類型：一是函數(shù)定義域為實數(shù)集R，這時只要根據(jù)拋物線的開口方向，應(yīng)用配方法即可求出最大(小)值；二是函數(shù)定義域為某一區(qū)間，這時二次函數(shù)的最大(小)值由它的單調(diào)性確定，而它的單調(diào)性又由拋物線的開口方向和對稱軸的位置(在區(qū)間上，在區(qū)間左側(cè)，在區(qū)間右側(cè))來決定，當(dāng)開口方向或?qū)ΨQ軸位置不確定時，還需要進行分類討論。對點訓(xùn)練典例剖析誤用均值不等式致錯復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法一般地，如果f(x)、g(x)在給定區(qū)間上具有單調(diào)性，則可以得到如下結(jié)論：(1)f(x)、g(x)的單調(diào)性相同時，f(x)＋g(x)的單調(diào)性與f(x)、g(x)的單調(diào)性相同。(2)f(x)、g(x)的單調(diào)性相反時，f(x)－g(x)的單調(diào)性與f(x)的單調(diào)性相同。(3)y＝f(x)在區(qū)間I上是遞增(減)的，c、d都是常數(shù)，則y＝cf(x)＋d在I上是單調(diào)函數(shù)．若c>0，y＝cf(x)＋d在I上是遞增(減)的；若c<0，y＝cf(x)＋d在I上是遞減(增)的。(6)復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)區(qū)間求解步驟：①將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)；②分別確定各個函數(shù)的定義域；③分別確定分解成的兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；④若兩個函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性相同，則y＝f[g(x)]為增函數(shù)；若不同，則y＝f[