福建省高考數(shù)學不等式專題復習-利用基本不等式求最值的6種基本方法講義

不等式專題：利用基本不等式求最值的6種基本方法一、基本不等式常用的結論1、如果，那么（當且僅當時取等號“=”）推論：（）2、如果，,則，（當且僅當時取等號“=”）.推論：（，）；3、二、利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：條件和問題間存在基本不等式的關系2、配湊法：湊出“和為定值”或“積為定值”，直接使用基本不等式。3、代換法：代換法適用于條件最值中，出現(xiàn)分式的情況類型1：分母為單項式，利用“1”的代換運算，也稱乘“1”法；類型2：分母為多項式時方法1：觀察法適合與簡單型，可以讓兩個分母相加看是否與給的分子型成倍數(shù)關系；方法2：待定系數(shù)法，適用于所有的形式，如分母為與，分子為，設∴，解得：4、消元法：當題目中的變元比較多的時候，可以考慮削減變元，轉化為雙變量或者單變量問題。5、構造不等式法：尋找條件和問題之間的關系，通過重新分配，使用基本不等式得到含有問題代數(shù)式的不等式，通過解不等式得出范圍，從而求得最值。題型一直接法求最值【例1】（2023秋·新疆昌吉·高一?？计谀┮阎?，則的最大值為（）A．B．25C．36D．49【變式11】（2022秋·江蘇連云港·高一期末）設，，且，求的最小值是（）A．1B．2C．D．【變式12】（2022秋·陜西漢中·高一校聯(lián)考期末）若滿足，則的最大值是.【變式13】（2022秋·福建三明·高一三明一中?？茧A段練習）若，則的最大值為（）A．9B．16C．49D．64題型二配湊法求最值【例2】（2023春·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末）若，則函數(shù)的最小值為（）A．B．C．D．【變式21】（2023春·河南信陽·高一?？计谥校┰O，，則的最小值為（）A．B．C．D．【變式22】（2023秋·甘肅天水·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)，滿足，則的最大值為（）A．2B．1C．D．【變式23】若正實數(shù)滿足，則的最小值為（）A．2B．3C．D．4題型三消元法求最值【例3】實數(shù)滿足，則的最小值為（）A．1B．2C．3D．4【變式31】（2022秋·河南洛陽·高一統(tǒng)考期中）已知正數(shù)x，y滿足，則xy的最大值為（）A．B．C．1D．2【變式32】設，，則的最小值為（）A．0B．1C．2D．4【變式33】負實數(shù)，滿足，則的最小值為（）A．1B．0C．D．題型四乘“1”法求最值【例4】已知正實數(shù)滿足，則的最小值為.【變式41】已知正數(shù)，滿足，則的最小值為.【變式42】已知，，，則的最大值為．【變式43】已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）A．B．C．D．題型五雙換元法求最值【例5】（2022秋·四川成都·高一校聯(lián)考期中）若實數(shù)、滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．【變式51】若，，且，則的最小值為（）A．4B．C．D．【變式52】設x，y是正實數(shù)，且，則的最大值是.【變式53】已知正數(shù)滿足，則的最小值為.題型六構造不等式法求最值【例6】若，，，則的最小值為（）A．1B．C．2D．3【變式61】已知，且，則的最大值為（）A．B．C．3D．4【變式62】（2022秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末），，且，則ab的最小值為．【變式63】（2023秋·高一單元測試）已知，，若，則的最小值為.第三章：函數(shù)的概念與性質(zhì)章末重點題型復習題型一函數(shù)概念的辨析【例1】（2023秋·安徽阜陽·高一?？茧A段練習）（多選）下列說法正確的是（）A．函數(shù)值域中的每一個數(shù)在定義域中都有數(shù)與之對應B．函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合C．對于任何一個函數(shù)，如果x不同，那么y的值也不同D．表示當時，函數(shù)的值，這是一個常量【變式11】（2023秋·高一課時練習）（多選）下列說法正確的是（）A．依賴關系不一定是函數(shù)關系B．函數(shù)關系是依賴關系C．如果變量m是變量n的函數(shù)，那么變量n也是變量m的函數(shù)D．如果變量m是變量n的函數(shù)，那么變量n不一定是變量m的函數(shù)【變式12】（2023·全國·高一專題練習）如圖圖形，其中能表示函數(shù)的是（）A．B．C．D．【變式13】設，給出下列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關系的是（）A．B．C．D．題型二判斷是否為同一個函數(shù)【例2】（2023·全國·高一專題練習）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）①與.②與.③與.④與.A．①②B．①③C．③④D．①④【變式21】（2023秋·廣西河池·高一校聯(lián)考階段練習）下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是（）A．和B．C．D．和【變式22】（2023·全國·高一專題練習）下列函數(shù)中，與函數(shù)是同一函數(shù)的是（）A．B．C．D．【變式23】（多選）下列各組函數(shù)中，兩個函數(shù)是同一函數(shù)的有（）A．與B．與C．與D．與【變式24】（2023秋·江蘇南京·高一?？茧A段練習）（多選）下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的有（）A．B．C．D．，題型三求函數(shù)的定義域【例3】（2023秋·浙江臺州·高一路橋中學?？茧A段練習）函數(shù)的定義域為（）A．B．C．D．【變式31】（2023秋·江蘇南京·高一校考階段練習）函數(shù)的定義域為（）A．B．C．D．【變式32】已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為．【變式33】（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（）A．B．C．D．【變式34】函數(shù)的定義域為，函數(shù)，則的定義域為（）A．B．C．D．題型四求函數(shù)的解析式【例4】已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式是（）A．，B．，C．，D．，【變式41】已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式是（）A．B．C．D．【變式42】已知二次函數(shù)，滿足，.則.【變式43】已知滿足，則解析式為．題型五判斷函數(shù)的單調(diào)性【例5】（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．B．C．D．和【變式51】（2023秋·江西上饒·高一?？茧A段練習）下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A．B．C．D．【變式52】已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為.【變式53】（2022秋·高一?？颊n時練習）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是．題型六根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例6】已知函數(shù)在時，隨的增大而減小，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式61】函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則的取值范圍為．【變式62】（2023秋·江蘇南京·高一?？茧A段練習）“”是“函數(shù)在上為增函數(shù)”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【變式63】（多選）已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值可以是（）A．B．C．D．題型七求函數(shù)的最值/值域【例7】（2023秋·福建廈門·高一?？茧A段練習）函數(shù)的值域是（）A．B．C．0D．【變式71】（2023秋·山東棗莊·高一校考階段練習）函數(shù)的值域（）A．B．C．D．【變式72】（2023秋·廣西柳州·高一?？茧A段練習）函數(shù)的值域為.【變式73】設，則函數(shù)的最大值為.題型八判斷函數(shù)的奇偶性【例8】（2023秋·甘肅天水·高一?？计谀┫铝泻瘮?shù)是偶函數(shù)的是（）A．B．C．D．【變式81】（2022秋·黑龍江佳木斯·高一?？计谥校┫铝泻瘮?shù)為奇函數(shù)的是（）A．B．C．D．【變式82】（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習）設函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)是為偶函數(shù)的（）A．充分必要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【變式83】（多選）如果是定義在上的奇函數(shù)，那么下列函數(shù)中，一定為奇函數(shù)的是（）A．B．C．D．題型九利用奇偶性求值或求參【例9】（2022秋·福建泉州·高一?？计谥校┤羰桥己瘮?shù)，則（）A．2B．1C．1D．3【變式91】（2023秋·全國·高一專題練習）若是奇函數(shù)，則（）A．，B．，C．，D．，【變式92】已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，當時，，則．【變式93】（2023秋·上海普陀·高一?？计谀┖瘮?shù)，其中??是常數(shù)，且，則．【變式94】設函數(shù)，若是奇函數(shù)，則（）A．B．C．D．【變式95】若函數(shù)的最大值為，最小值為，則（）A．1B．2C．3D．4題型十利用函數(shù)奇偶性求解析式【例10】已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當時，，則當時，的解析式為（）A．B．C．D．以上都不對【變式101】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則當時，的解析式為（）A．B．C．D．【變式102】已知是R上的偶函數(shù)，且當時，，求的解析式．【變式103】（2022秋·全國·高一期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當，.（1）求的值；（2）求在內(nèi)的解析式.題型十一利用單調(diào)性和奇偶性解不等式【例11】（2023秋·江蘇南京·高一?？茧A段練習）已知定義在上的函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，是偶函數(shù)，則的解集是（）A．B．C．D．【變式111】（2023·全國·高一專題練習）定義在上的函數(shù)，若的圖象關于點對稱，且，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【變式112】（2023·全國·高一專題練習）設奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【變式113】（2023秋·江西上饒·高一?？茧A段練習）若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（）A．B．C．D．題型十二利用單調(diào)性和奇偶性比較大小【例12】（2023秋·安徽阜陽·高一?？茧A段練習）設偶函數(shù)的定義域為R，當時，是增函數(shù)，則，，的大小關系是（）A．B．C．D．【變式121】已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．【變式122】（2023·全國·高一專題練習）已知定義在上的函數(shù)滿足：，且在內(nèi)單調(diào)遞增，則（）A．B．C．D．【變式123】（2023春·安徽蕪湖·高一校考期中）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則（）A．B．C．D．題型十三利用函數(shù)的周期性求值【例13】（2022春·四川南充·高一校考開學考試）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，則．【變式131】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）設是定義在R上的奇函數(shù)，且，則.【變式132】（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)的定義域為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列命題正確的個數(shù)是（）①②③④A．1B．2C．3D．4【變式133】（2023春·云南昆明·高一?？茧A段練習）（多選）已知函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則（）A．B．C．D．題型十四冪函數(shù)的圖象及應用【例14】（2023春·山西朔州·高一?？茧A段練習）冪函數(shù)（是常數(shù)）的圖象一定經(jīng)過點（）A．B．C．D．【變式141】（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)的圖象過點，則（）A．B．C．4D．8【變式142】（2022秋·山西陽泉·高一?？计谀﹫D中為三個冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)a的值依次可以是（）A．B．C．D．【變式143】（2022秋·浙江臺州·高一校考階段練習）（多選）關于冪函數(shù)是常數(shù)），結論正確的是（）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過原點B．冪函數(shù)圖象都經(jīng)過點C．冪函數(shù)圖象有可能關于軸對稱D．冪函數(shù)圖象不可能經(jīng)過第四象限題型十五冪函數(shù)的性質(zhì)及應用【例15】（2022秋·重慶萬州·高一校考階段練習）若，，，則a，b，c的大小關系為（）A．B．C．D．【變式151】（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.（1）求的解析式；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式152】（2023秋·浙江寧波·高一校考階段練習）已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù)．（1）求m的值；（2）求函數(shù)在的值域．不等式專題：利用基本不等式求最值的6種基本方法一、基本不等式常用的結論1、如果，那么（當且僅當時取等號“=”）推論：（）2、如果，,則，（當且僅當時取等號“=”）.推論：（，）；3、二、利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：條件和問題間存在基本不等式的關系2、配湊法：湊出“和為定值”或“積為定值”，直接使用基本不等式。3、代換法：代換法適用于條件最值中，出現(xiàn)分式的情況類型1：分母為單項式，利用“1”的代換運算，也稱乘“1”法；類型2：分母為多項式時方法1：觀察法適合與簡單型，可以讓兩個分母相加看是否與給的分子型成倍數(shù)關系；方法2：待定系數(shù)法，適用于所有的形式，如分母為與，分子為，設∴，解得：4、消元法：當題目中的變元比較多的時候，可以考慮削減變元，轉化為雙變量或者單變量問題。5、構造不等式法：尋找條件和問題之間的關系，通過重新分配，使用基本不等式得到含有問題代數(shù)式的不等式，通過解不等式得出范圍，從而求得最值。題型一直接法求最值【例1】（2023秋·新疆昌吉·高一校考期末）已知，且，則的最大值為（）A．B．25C．36D．49【答案】C【解析】因為，，即，當且僅當時取到等號，故的最大值為36.故選：C【變式11】（2022秋·江蘇連云港·高一期末）設，，且，求的最小值是（）A．1B．2C．D．【答案】A【解析】因為，，且，所以，，，當且僅當，即時取等號，故選：A.【變式12】（2022秋·陜西漢中·高一校聯(lián)考期末）若滿足，則的最大值是.【答案】2【解析】由均值不等式可得，當且僅當時等號成立，所以，所以，故的最大值是.【變式13】（2022秋·福建三明·高一三明一中?？茧A段練習）若，則的最大值為（）A．9B．16C．49D．64【答案】B【解析】因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號；故選：B【變式14】（2022秋·吉林長春·高一長春十一高?？计谥校┮阎瑒t的最大值為（）A．2B．4C．5D．6【答案】A【解析】因為，所以可得，則，當且僅當，即時，上式取得等號，的最大值為2．故選：A．【變式15】（2022秋·重慶萬州·高一重慶市萬州第二高級中學?？茧A段練習）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）A．16B．12C．8D．4【答案】D【解析】因為，所以.又.所以，當且僅當時，等號成立.故選：D題型二配湊法求最值【例2】（2023春·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末）若，則函數(shù)的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以函數(shù)的最小值為.故選：C.【變式21】（2023春·河南信陽·高一?？计谥校┰O，，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，因為，所以，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為．故選：B.【變式22】（2023秋·甘肅天水·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)，滿足，則的最大值為（）A．2B．1C．D．【答案】C【解析】因為正數(shù)，滿足，所以，當且僅當且，即時取等號，所以的最大值為.故選：C.【變式23】（2022秋·重慶江北·高一重慶十八中校考期末）若正實數(shù)滿足，則的最小值為（）A．2B．3C．D．4【答案】B【解析】由為正實數(shù)，所以：，當且僅當，即時取等號，故選：B題型三消元法求最值【例3】（2023春·江蘇南京·高一南京市第二十九中學?？计谥校崝?shù)滿足，則的最小值為（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】，所以，當且僅當取等號；故選：C.【變式31】（2022秋·河南洛陽·高一統(tǒng)考期中）已知正數(shù)x，y滿足，則xy的最大值為（）A．B．C．1D．2【答案】B【解析】因為正數(shù)x，y滿足，所以，解得：，故，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為故選：B【變式32】（2023春·新疆省直轄縣級單位·高一校聯(lián)考階段練習）設，，則的最小值為（）A．0B．1C．2D．4【答案】A【解析】由，則，即，由，則，即，故，當且僅當，即時，等號成立，故選：A.【變式33】（2023秋·山東棗莊·高一棗莊八中?？计谀┴搶崝?shù)，滿足，則的最小值為（）A．1B．0C．D．【答案】B【解析】根據(jù)題意有，故，當且僅當，時取等號．故選：【變式34】（2023·高一課時練習）已知正實數(shù)x，y滿足，則的最大值是.【答案】/【解析】由可得：，則.當且僅當，即時取等.題型四乘“1”法求最值【例4】（2023春·廣東汕頭·高一金山中學校考期中）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】/【解析】因為正實數(shù)滿足，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.【變式41】（2023秋·重慶長壽·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為.【答案】【解析】由正數(shù)，滿足，可得，所以，當且僅當，，即時取等號，所以的最小值為.【變式42】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谥校┮阎?，，則的最大值為．【答案】/【解析】由已知，，，則，而，當且僅當時等號成立，故的最大值為.【變式43】（2023春·山西·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，當且僅當，即，時，等號成立．故選：C題型五雙換元法求最值【例5】（2022秋·四川成都·高一校聯(lián)考期中）若實數(shù)、滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，，則，，且，所以，，當且僅當時，等號成立.因此，的最大值為.故選：C.【變式51】（2023秋·浙江杭州·高一杭州市長河高級中學?？计谀┤?，，且，則的最小值為（）A．4B．C．D．【答案】C【解析】設，則，且，題目轉化為已知，求的最小值，即，而，當且僅當，即時等式成立.所以.故選：C.【變式52】（2023春·浙江衢州·高一校考階段練習）設x，y是正實數(shù)，且，則的最大值是.【答案】【解析】令，則，可得，即，且，∵，當且僅當，即時，等號成立，可得，∴，即的最大值是.【變式53】（2022秋·廣東惠州·高一?？茧A段練習）已知正數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】【解析】令，則，即，，當且僅當，即時，解得時等號成立，故的最小值為.【變式54】（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知，，則最小值為．【答案】16【解析】由，可知，，令，，所以，當且僅當“”時，兩個等號同時成立．則x=y=3時最小值為16.題型六構造不等式法求最值【例6】（2022秋·吉林長春·高一長春市第二實驗中學?？计谀┤?，，，則的最小值為（）A．1B．C．2D．3【答案】C【解析】因為，所以，即，解得或（舍）.故，當且僅當時等號成立.所以的最小值為2.故選:C.【變式61】（2022秋·廣東惠州·高一?？茧A段練習）已知，且，則的最大值為（）A．B．C．3D．4【答案】A【解析】，化簡得：，解得，當且僅當，即時取等號，故的最大值為.故選：A.【變式62】（2022秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末），，且，則ab的最小值為．【答案】36【解析】因為，，所以，即，解得，當且僅當時，即時，取等號.【變式63】（2023秋·高一單元測試）已知，，若，則的最小值為.【答案】3【解析】因為，，，所以，即；因為，當且僅當時取到等號，所以，解得或（舍）所以當時，有最小值3.【變式64】（2023秋·河北唐山·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)滿足，則的最小值為．【答案】9【解析】對于正數(shù),有,當且僅當時取得等號，故由得，即，所以，故或（舍去）,故，即的最小值為9，當且僅當時取最小值。第三章：函數(shù)的概念與性質(zhì)章末重點題型復習題型一函數(shù)概念的辨析【例1】（2023秋·安徽阜陽·高一?？茧A段練習）（多選）下列說法正確的是（）A．函數(shù)值域中的每一個數(shù)在定義域中都有數(shù)與之對應B．函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合C．對于任何一個函數(shù)，如果x不同，那么y的值也不同D．表示當時，函數(shù)的值，這是一個常量【答案】AD【解析】對A，函數(shù)是一個數(shù)集與另一個數(shù)集間的特殊對應關系，所給出的對應是否可以確定為y是x的函數(shù)，主要是看其是否滿足函數(shù)的三個特征，A正確；對B，函數(shù)的定義域和值域不一定是無限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函數(shù)，定義域為，值域為，B錯誤；對C，當x不同時，函數(shù)y的值可能相同，如函數(shù)，當和時，y都為1，C錯誤；對D，表示當時，函數(shù)的值是一個常量，D正確.故選：AD【變式11】（2023秋·高一課時練習）（多選）下列說法正確的是（）A．依賴關系不一定是函數(shù)關系B．函數(shù)關系是依賴關系C．如果變量m是變量n的函數(shù)，那么變量n也是變量m的函數(shù)D．如果變量m是變量n的函數(shù)，那么變量n不一定是變量m的函數(shù)【答案】ABD【解析】對于A、B選項：由依賴關系及函數(shù)關系的定義知A、B正確；對于C、D選項：如，則，不是函數(shù)關系，所以C錯誤，D正確．故選：ABD.【變式12】（2023·全國·高一專題練習）如圖圖形，其中能表示函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由函數(shù)的定義可知，對定義域內(nèi)的任何一個變量有唯一的一個變量與對應，由圖可知，ACD三個選項不符合函數(shù)的定義，B選項符合函數(shù)的定義.故選：B.【變式13】（2023秋·安徽淮南·高一校考期中）設，給出下列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關系的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，為定義域，值域為N的子集A：圖象中定義域范圍有誤，不符合；B：滿足從集合M到集合N的函數(shù)關系，符合；C：圖象中值域不為集合N的子集，不符合；D：由函數(shù)定義域內(nèi)任意自變量有且僅有唯一函數(shù)值與之對應，圖象存在一個x對應兩個y值情況，不符合.故選：B【變式14】（2023·全國·高一專題練習）下列對應是從集合A到集合B的函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】對于A選項，對集合A中的任意一個數(shù)x，集合B中都有唯一的數(shù)y與之對應，是函數(shù)；對于B選項，時，，有兩個y與之對應，不是函數(shù)；對于C選項，當時，不存在，不是函數(shù)；對于D選項，集合A中的元素0在集合B中沒有對應元素，不是函數(shù).故選：A題型二判斷是否為同一個函數(shù)【例2】（2023·全國·高一專題練習）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）①與.②與.③與.④與.A．①②B．①③C．③④D．①④【答案】C【解析】①中，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，但與的對應關系不一致，所以①不是同一函數(shù).②中，函數(shù)與的定義域都是，但與的對應關系不一致，所以②不是同一函數(shù).③中，函數(shù)與的定義域都是，且與的對應關系一致，所以③是同一函數(shù).④中，函數(shù)與的定義域和對應關系都一致，所以④是同一函數(shù).故選：C.【變式21】（2023秋·廣西河池·高一校聯(lián)考階段練習）下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是（）A．和B．C．D．和【答案】D【解析】對于A中，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)；對于B，因為定義域為，而的定義域為，所以兩函數(shù)的定義域不同，故不能表示同一函數(shù)；對于C，因為定義域為，而的定義域為，所以兩函數(shù)的定義域不同，故不能表示同一函數(shù)；對于D中，函數(shù)與的定義域和對應法則都相同，所以表示相同的函數(shù)；故選:D.【變式22】（2023·全國·高一專題練習）下列函數(shù)中，與函數(shù)是同一函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函數(shù)的定義域為；對于A中，函數(shù)定義域為，與定義域不同，所以不是同一函數(shù)；對于B中，函數(shù)，與函數(shù)的對應關系不同，所以不是同一函數(shù)；對于C中，函數(shù)定義域為，與定義域不同，所以不是同一函數(shù)；對于D中，函數(shù)與的定義域都是，且對應關系都相同，所以是同一函數(shù).故選：D.【變式23】（2023秋·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習）（多選）下列各組函數(shù)中，兩個函數(shù)是同一函數(shù)的有（）A．與B．與C．與D．與【答案】AC【解析】對于選項A：函數(shù)，兩函數(shù)的定義域、值域和解析式都相同，所以它們是同一個函數(shù)；對于選項B：函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，它們的定義域不同，所以它們不是同一個函數(shù)；對于選項C：函數(shù)，兩函數(shù)的定義域、值域和解析式都相同，所以它們是同一個函數(shù)；對于選項D：函數(shù)的定義域為或，函數(shù)的定義域為，它們的定義域不同，所以它們不是同一個函數(shù)，故選：AC【變式24】（2023秋·江蘇南京·高一?？茧A段練習）（多選）下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的有（）A．B．C．D．，【答案】ACD【解析】對于A，可知兩個函數(shù)的定義域均為R，且，故A正確；對于B，的定義域為，的定義域為，故B錯誤；對于C，的定義域為，的定義域為，且,故C正確；對于D，可知兩個函數(shù)的定義域均為R，且，故D正確．故選：ACD．題型三求函數(shù)的定義域【例3】（2023秋·浙江臺州·高一路橋中學?？茧A段練習）函數(shù)的定義域為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域滿足：，解得且.故選：D【變式31】（2023秋·江蘇南京·高一?？茧A段練習）函數(shù)的定義域為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意得，解得，則定義域為，故選：C.【變式32】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一校考階段練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為．【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域為，所以，解得，故函數(shù)的定義域為.【變式33】（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，所以的定義域為，由，得，所以的定義域為，故選：D【變式34】（2023秋·江蘇蘇州·高一校考階段練習）函數(shù)的定義域為，函數(shù)，則的定義域為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函數(shù)的定義域為，可得函數(shù)的定義域為，函數(shù)，可得解得，所以函數(shù)定義域為．故選：D．題型四求函數(shù)的解析式【例4】（2023秋·安徽阜陽·高一?？茧A段練習）已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式是（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】，且，所以，.故選：B.【變式41】（2023秋·浙江臺州·高一?？茧A段練習）已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，則，所以，故，故選：C.【變式42】（2023秋·河南鄭州·高一校考階段練習）已知二次函數(shù)，滿足，.則.【答案】【解析】因為，所以，而，又因為，所以，解得，因此的解析式為.【變式43】（2023秋·湖北荊門·高一?？茧A段練習）已知滿足，則解析式為．【答案】【解析】由

①用代可得，

②由①②可得：【變式44】（2023秋·山東德州·高一?？茧A段練習）（1）已知是一次函數(shù)，，求的解析式；（2）已知，求函數(shù)的解析式；（3）已知，求的解析式．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由題意，設函數(shù)為，，即，由恒等式性質(zhì)，得，所求函數(shù)解析式為（2），①，②②①得：，．（3）令，則，因為，所以，所以．題型五判斷函數(shù)的單調(diào)性【例5】（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．B．C．D．和【答案】D【解析】的定義域為，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知的單調(diào)遞增區(qū)間為和，故選：D【變式51】（2023秋·江西上饒·高一?？茧A段練習）下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對于A，在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，易知開口向上，對稱軸為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，開口向下，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C錯誤；對于D，開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：B.【變式52】（2023秋·天津寶坻·高一?？茧A段練習）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】，【解析】當時，，函數(shù)圖像對稱軸方程為，開口向下，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，，函數(shù)圖像對稱軸方程為，開口向下，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為.綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為，.【變式53】（2022秋·高一?？颊n時練習）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是．【答案】單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【解析】，畫出函數(shù)圖象如下：可得單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【變式54】（2023秋·浙江臺州·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知，都是定義在上的增函數(shù)，則（）A．函數(shù)一定是增函數(shù)B．函數(shù)有可能是減函數(shù)C．函數(shù)一定是增函數(shù)D．函數(shù)有可能是減函數(shù)【答案】ABD【解析】對于A，設，設，則又由都是定義在上的增函數(shù)，則且，所以，故函數(shù)一定是增函數(shù)，A正確；對于B，設，此時為減函數(shù)，B正確；對于C，設，此時，在上為減函數(shù)，C錯誤；對于D，當時，函數(shù)為減函數(shù)，D正確.故選：ABD.【變式55】（2023·全國·高一課堂例題）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，【解析】方法一（定義法）由題意知函數(shù)的定義域是，設，是區(qū)間上的任意兩個實數(shù)，且，則，，∵，，∴，，，，∴，即，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減．同理可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減．綜上可得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和．方法二（分離常數(shù)法）由題意知函數(shù)的定義域是，函數(shù)可變形為，此時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間轉化為求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．由，知，則函數(shù)在和上均單調(diào)遞減．故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．題型六根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例6】（2023秋·全國·高一專題練習）已知函數(shù)在時，隨的增大而減小，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當時，函數(shù)是實數(shù)集上的減函數(shù)，所以在時，隨的增大而減小，符合題意，當時，二次函數(shù)的對稱軸為，因為在時，隨的增大而減小，所以有，綜上所述：的取值范圍是，故選：D【變式61】（2023秋·遼寧鞍山·高一?？茧A段練習）函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則的取值范圍為．【答案】或【解析】因為的對稱軸為，且開口向上，又函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，所以或【變式62】（2023秋·江蘇南京·高一校考階段練習）“”是“函數(shù)在上為增函數(shù)”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【答案】B【解析】當時，滿足，但是函數(shù)在上為減函數(shù)，則正推無法推出；反之，若函數(shù)在上為增函數(shù)，則，則反向可以推出，則“”是“函數(shù)在上為增函數(shù)”的必要不充分條件，故選：B.【變式63】（2023秋·山西太原·高一?？茧A段練習）（多選）已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值可以是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】因為函數(shù)是上的減函數(shù)，則函數(shù)在上為減函數(shù)，則，可得，函數(shù)在上為減函數(shù)，則，且有，解得.綜上所述，.故選：ACD.【變式64】（2023秋·遼寧鞍山·高一?？茧A段練習）（多選）設函數(shù)，當為增函數(shù)時，實數(shù)的值可能是（）A．1B．2C．3D．4【答案】AB【解析】依題意，當時，為增函數(shù)，則，當時，為增函數(shù)，則，又為增函數(shù)，則，解得，綜上：，所以AB正確，CD錯誤.故選：AB.題型七求函數(shù)的最值/值域【例7】（2023秋·福建廈門·高一?？茧A段練習）函數(shù)的值域是（）A．B．C．0D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域滿足，解得或，所以函數(shù)的定義域為，當時，當時，所以函數(shù)的值域是.故選：D【變式71】（2023秋·山東棗莊·高一?？茧A段練習）函數(shù)的值域（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意，，設，則原問題轉化為求函數(shù)的值域，因為函數(shù)在為減函數(shù)，由，得，即值域為，故選：C.【變式72】（2023秋·廣西柳州·高一?？茧A段練習）函數(shù)的值域為.【答案】【解析】由，則的值域為.【變式73】（2023秋·山東臨沂·高一?？计谥校┰O，則函數(shù)的最大值為.【答案】【解析】令，解得，令，解得，令，解得，所以，當時，，當時，，當時，，所以的最大值是.綜上所述，的最大值是.【變式74】（2023秋·浙江金華·高一?？茧A段練習）求下列函數(shù)的值城（1）y＝（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵，則，即原函數(shù)值域為，（2）設，則且，得．因為，所以，即該函數(shù)的值域為．題型八判斷函數(shù)的奇偶性【例8】（2023秋·甘肅天水·高一?？计谀┫铝泻瘮?shù)是偶函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對于A，，故為奇函數(shù)，對于B，，故為奇函數(shù)，對于C,，故為奇函數(shù)，對于D，，故為偶函數(shù)，故選：D【變式81】（2022秋·黑龍江佳木斯·高一?？计谥校┫铝泻瘮?shù)為奇函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】選項A，是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)；選項B，，且定義域為，則函數(shù)為奇函數(shù)；選項C，函數(shù)定義域不是關于原點對稱的區(qū)間，則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；選項D，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).故選：B.【變式82】（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習）設函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)是為偶函數(shù)的（）A．充分必要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，即函數(shù)為偶函數(shù)；若函數(shù))為偶函數(shù)，則，則，即函數(shù)為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)是為偶函數(shù)的充分必要條件，故選：A．【變式83】（2023秋·高一課時練習）（多選）如果是定義在上的奇函數(shù)，那么下列函數(shù)中，一定為奇函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】AD【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義逐個分析判斷即可【解析】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，令，對于A，的定義域為，因為，所以是奇函數(shù)，所以A正確，對于B，的定義域為，因為，所以為偶函數(shù)，所以B錯誤，對于C，的定義域為，因為，所以，，所以為非奇非偶函數(shù)，所以C錯誤，對于D，的定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，故選：AD【變式74】（2023春·云南普洱·高一校考階段練習）（多選）設是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是（）A．是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)C．是偶函數(shù)D．是偶函數(shù)【答案】ABD【解析】因為滿足，所以是偶函數(shù)；因為滿足，所以是偶函數(shù)，因為滿足，所以是奇函數(shù)；因為滿足，所以是偶函數(shù)；故選：ABD．題型九利用奇偶性求值或求參【例9】（2022秋·福建泉州·高一校考期中）若是偶函數(shù)，則（）A．2B．1C．1D．3【答案】A【解析】因為是偶函數(shù)，所以，即，所以，則，解得.故選：A【變式91】（2023秋·全國·高一專題練習）若是奇函數(shù)，則（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】是奇函數(shù)，則，，即，解之得，則，經(jīng)檢驗是奇函數(shù).故選：B【變式92】（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，當時，，則．【答案】3【解析】因為函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，所以，，所以．【變式93】（2023秋·上海普陀·高一?？计谀┖瘮?shù)，其中??是常數(shù)，且，則．【答案】【解析】依題意，，，所以，所以.【變式94】（2023秋·吉林長春·高一?？茧A段練習）設函數(shù)，若是奇函數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知可得，則．因為是奇函數(shù)，所以，即，因為，解得，所以，所以.故選：D．【變式95】（2023秋·遼寧鞍山·高一校考階段練習）若函數(shù)的最大值為，最小值為，則（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】，令，則其定義域為，又，所以為奇函數(shù)，則，所以，則.故選：B.題型十利用函數(shù)奇偶性求解析式【例10】（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當時，，則當時，的解析式為（）A．B．C．D．以上都不對【答案】A【解析】設，則，又.故選：A【變式101】（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則當時，的解析式為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設，則.可得，又函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．∴，∴.故選：B.【變式102】（2023秋·高一課時練習）已知是R上的偶函數(shù)，且當時，，求的解析式．【答案】【解析】因為當時，，所以因為是R上的偶函數(shù)，所以，，所以.【變式103】（2022秋·全國·高一期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當，.（1）求的值；（2）求在內(nèi)的解析式.【答案】（1）1；（2）【解析】（1）根據(jù)題意，當，，則，是奇函數(shù)，則．（2）令，則，由已知，∵是奇函數(shù)，∴當時，，∴【變式104】（2023·全國·高一專題練習）（1）函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，當時，，求的解析式；（2）設是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，求函數(shù)的解析式．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設，則，∴，又∵函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，∴，∴當時，.又時，，所以；（2）∵是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，，∴．則即，解之得.題型十一利用單調(diào)性和奇偶性解不等式【例11】（2023秋·江蘇南京·高一?？茧A段練習）已知定義在上的函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，是偶函數(shù)，則的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為是偶函數(shù)，且，，又因為在上是單調(diào)遞增函數(shù)，當時，；當時，，當時，，則，此時，不成立，當時，，則，此時，成立，當時，，則，此時不成立，且或時，，成立，綜上，的解集為，故選：B.【變式111】（2023·全國·高一專題練習）定義在上的函數(shù)，若的圖象關于點對稱，且，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設，因為，所以，由，得，即，因為的圖象關于點對稱，所以的圖象關于對稱，所以為奇函數(shù)，即，因為，所以為奇函數(shù)，因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，得，即不等式的解集為.故選：D【變式112】（2023·全國·高一專題練習）設奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】奇函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，即，又，則，大致圖象如右，所以當時，.故選：B.【變式113】（2023秋·江西上饒·高一?？茧A段練習）若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，所以在單調(diào)遞減，且，所以當，，當，，所以若，則或或或或解得或，所以x的取值范圍是.故選：C【變式114】（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函數(shù)是定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)，在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當時，由，即，得到或（舍棄），所以，當時，由，即，得到，所以，綜上所述，或，故選：B.題型十二利用單調(diào)性和奇偶性比較大小【例12】（2023秋·安徽阜陽·高一?？茧A段練習）設偶函數(shù)的定義域為R，當時，是增函數(shù)，則，，的大小關系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，因為當時，是增函數(shù)，又，所以，即，故選：A.【變式121】（2023秋·全國·高一專題練習）已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于函數(shù)為偶函數(shù)，故，且在上單調(diào)遞減，所以，即，故選:D．【變式122】（2023·全國·高一專題練習）已知定義在上的函數(shù)滿足：，且在內(nèi)單調(diào)遞增，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，函數(shù)滿足，，則有，變形可得，則有，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，對稱軸為，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，，，因為，所以，即.故選：.【變式123】（2023春·安徽蕪湖·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是偶函數(shù)，則關于對稱，又因為在單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，所以，根據(jù)函數(shù)關于對稱，可知，，則，只有D正確.故選：D【變式124】（2022秋·河南鄭州·高一?？茧A段練習）已知函數(shù)對于任意都有，，且在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，則，，的大小關系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，所以，所以的周期為2，因為，所以為偶函數(shù)，所以，，因為在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，所以，所以，故選：D題型十三利用函數(shù)的周期性求值【例13】（2022春·四川南充·高一校考開學考試）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，則