高考數(shù)學 7.6 空間直角坐標系、空間向量及其運算練習試題

課時提升作業(yè)(四十五)空間直角坐標系、空間向量及其運算(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列結(jié)論正確的是()A.a∥b,a∥c B.a∥b,a⊥cC.a∥c,a⊥b D.以上都不對【解析】選C.因為c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1),所以a∥c.又a·b=(-2)×2+(-3)×0+1×4=0,所以a⊥b.2.(2015·中山模擬)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,則實數(shù)λ等于()A.627B.637C.64【解析】選D.因為a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),所以a與b不平行,又因為a,b,c三向量共面,則存在實數(shù)x,y使c=xa+yb,即2x-y=7,-x+4y=5,3x-2y=λ,解得λ故選D.【加固訓練】(2014·洛陽模擬)O為空間任意一點,若OP→=34OA→A.一定不共面 B.一定共面C.不一定共面 D.無法判斷【解題提示】根據(jù)OP→=xOM→+yOA【解析】選B.因為OP→=34OA→+18OB→+183.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,給出以下向量表達式:①(A1D1→-A1A→)-AB→③(AD→-AB→)-2DD1→;④其中與向量BDA.①② B.②③ C.③④ D.①④【解析】選A.①(A1D1→-A1A→)-A②(BC→+BB1→)-D1C③(AD→-AB→)-2DD1→④(B1D1→+A1A→)+DD1綜上,①②符合題意.4.(2015·長沙模擬)若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),當|AB→|取最小值時,x的值為()A.19 B.-87 C.87 【解析】選C.|AB→=14x-872+575.設(shè)A,B,C,D是空間不共面的四個點,且滿足AB→·AC→=0,AD→·ACA.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.無法確定【解題提示】通過BC→·BD→,DB→·DC【解析】選C.BC→·BD→=(AC→-AB=AC→·AD→-AC→·AB→-AB→·AD→+同理DB→·DC→>0,CB【加固訓練】(2014·太原模擬)如圖所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E為PB的中點,cos<DP→,AE→A.(1,1,1) B.1C.1,1,32【解析】選A.由已知得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),設(shè)P(0,0,a)(a>0),則E1,1,所以DP→=(0,0,a),AE|DP→|=a,|A=2+a4又cos<DP→,AE所以0×(-1)+0×1+a2解得a2=4,即a=2,所以E(1,1,1).二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2015·安慶模擬)已知a=(2,-1,3),b=(-4,y,2),且a⊥(a+b),則y的值為.【解析】a+b=(-2,-1+y,5),由于a⊥(a+b),所以a·(a+b)=0,即-4+1-y+15=0,解得y=12,答案:127.已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=2,點E是B1C1的中點,建立空間直角坐標系Dxyz如圖所示,則|AE|=.【解題提示】確定A,E的坐標,可得AE→【解析】由題意長方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=2,點E是B1C1的中點,則A(1,0,0),E12,2,1,所以所以|AE→|=-1答案:138.(2015·天津模擬)已知ABCD-A1B1C1D1為正方體,①(A1A→+A1D1②A1C→·(A③向量AD1→與向量A④正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為|AB→·AA其中正確的序號是.【解析】①中,(A1A→+A1D1→+QUOTEA1B1→)

22A1B1→)2=QUOTEA1A→②中,A1B1→-A1A→=AB1→,因為AB1⊥A1C,故②正確;③中,兩異面直線A1B與AD1所成的角為60°,但AD1→與A1B答案:①②三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2015·銀川模擬)已知a=(3,5,-4),b=(2,1,8),c=(0,0,1).(1)計算3a-2b及a·b.(2)求實數(shù)λ的值,使λa+2b與c垂直.【解析】(1)因為a=(3,5,-4),b=(2,1,8),所以3a-2b=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28).a·b=3×2+5×1-4×8=-21.(2)因為a=(3,5,-4),b=(2,1,8),所以λa+2b=(3λ+4,5λ+2,-4λ+16),因為(λa+2b)⊥c,所以(λa+2b)·c=0.因為c=(0,0,1),所以0+0-4λ+16=0,解得λ=4.10.(2015·唐山模擬)已知空間三點A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),設(shè)a=AB→,b=A(1)求a和b夾角的余弦值.(2)設(shè)|c|=3,c∥BC【解析】(1)因為AB→=(1,1,0),所以a·b=-1+0+0=-1,|a|=2,|b|=5.所以cos<a,b>==-12×5(2)BC因為|c|=3,c∥BC所以x2+y2+z2=3,存在實數(shù)λ聯(lián)立解得x=-2,y=-1,所以c=±(-2,-1,2).(20分鐘40分)1.(5分)(2015·宜賓模擬)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b與2a-b互相垂直,則k的值是()A.-1B.43C.53【解析】選D.由題意得,ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).所以(ka+b)·(2a-b)=3(k-1)+2k-2×2=5k-7=0,解得k=752.(5分)二面角α-l-β為60°,A,B是l上的兩點,AC,BD分別在半平面α,β內(nèi),AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,則CD的長為()A.2a B.5aC.a D.3a【解題提示】選CA→,AB【解析】選A.因為AC⊥l,BD⊥l,所以<AC→,BD→>=60°,且AC→·所以CD→=CA→+所以|CD→=a2+a23.(5分)(能力挑戰(zhàn)題)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)(含正方體表面)任取一點M,則AA1→·【解析】由題知正方體的體積為V=8,以A為原點建立空間直角坐標系,AB為x軸,AD為y軸,AA1為z軸.那么A(0,0,0),A1(0,0,2),設(shè)M(x,y,z),那么x,y,z∈[0,2],所以AM→=(x,y,z),AA1→·AM→≥1,即2z即點M與平面ABCD的距離大于等于12,點M的軌跡是正方體的34,其體積為V1=34×8,則AA1→答案:34.(12分)(2014·長春模擬)已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以AB→,(2)若|a|=3,且a分別與AB→,A【解析】(1)由題意可得:AB→=(-2,-1,3),AC→=(1,-3,2),所以cos<A=-2+3+614×14=所以sin<AB→,AC所以以AB→,S=2×12|AB→|·|AC→|·=14×32=73(2)設(shè)a=(x,y,z),由題意得x解得x=1,y=1,所以向量a的坐標為(1,1,1)或(-1,-1,-1).5.(13分)(2015·太原模擬)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是A1B1,A1A的中點.(1)求BN(2)求cos<BA1→(3)求證:A1B⊥C1M.【解析】如圖,建立空間直角坐標系.(1)依題意得B(0,1,0),N(1,0,1),所以|BN(1-0)2(2)依題意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).所以BACB1→=(0,1,2),B|BA1→|=6,|C所以cos<B