四川省廣安市2022-2023學年高一上學期期末數(shù)學試題含答案

廣安市2022年秋季高一期末試題數(shù)學一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．每題僅一項是符合題目要求的）1.集合，，則圖中陰影部分表示的集合為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】圖中陰影部分表示，因為，所以，故選.2.不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先去絕對值，分段解一元二次不等式，最后得到答案.【詳解】當時，原不等式即為，所以；當時，原不等式即為，解得：或，所以，綜上，原不等式的解集為.故選：A【點睛】本題考查含絕對值，一元二次不等式的解法，重點考查計算能力，屬于基礎題型.3.若函數(shù)的定義域為，值域為，則函數(shù)的圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義可以排除C選項，根據(jù)定義域與值域的概念排除A，D選項.【詳解】對于A選項，當時，沒有對應的圖像，不符合題意；對于B選項，根據(jù)函數(shù)的定義本選項符合題意；對于C選項，出現(xiàn)了定義域當中的一個元素對應值域當中的兩個元素的情況，不符合函數(shù)的定義，不符合題意；對于D選項，值域當中有的元素在集合中沒有對應的實數(shù)，不符合題意.故選：B．4.函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先確定函數(shù)單調(diào)性，再利用零點存在定理確定零點所在的一個區(qū)間.【詳解】明顯函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，且為連續(xù)函數(shù)，又，，由零點存在定理可得函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是.故選：A.5.在2h內(nèi)將某種藥物注射進患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加：停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減．能反映血液中藥物含量隨時間變化的圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減即可得出．詳解】在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加，則第一段圖象為線段，且為增函數(shù)，排除A，D，停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減．排除B．能反映血液中藥物含量隨時間變化的圖象是C．故選：C．6.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，以及充要條件的定義可得答案.【詳解】當時，根據(jù)對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，可得，當時，根據(jù)對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，可得，所以“”是“”的充要條件.故選：C【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，以及充要條件的定義求解是解題關鍵.7.，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較大小即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減得，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減得，故.故選：D.8.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題意，，在中，函數(shù)單調(diào)遞增，∴，解得：，故選：C.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．）9.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】AB【解析】【分析】對于A、D項運用作差法判斷，對于B項由不等式性質(zhì)可判斷，對于C項舉反例可判斷.【詳解】對于A項，因為，所以且，即：且，故A項正確；對于B項，運用不等式的性質(zhì)可知，若，，則正確，故B項正確；對于C項，當，，，時，滿足，，但不滿足，故C項錯誤；對于D項，因為，又因為，，所以，，所以，即：，故D項錯誤.故選：AB.10.下列函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是（）A. B.C D.【答案】BD【解析】【分析】對于A項，方法1：舉反例，方法2：運用單調(diào)性性質(zhì)分析；對于B項，換元法后使用基本不等式分析；對于C項，運用指數(shù)函數(shù)的值域分析；對于D項，運用二次函數(shù)的單調(diào)性分析其值域.【詳解】對于選項A，方法1：當時，，所以2不是的最小值，故A項錯誤；方法2：因為在，上單調(diào)遞增，所以其值域為R，故A項錯誤；對于選項B，因為定義域為R，令，則，所以，又因為，當且僅當時取等號，故的最小值為2，所以值域為，故B項正確；對于選項C，因為，所以，所以值域為，故C項錯誤；對于選項D，因為對稱軸為，其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，，所以值域為，故D項正確.故選：BD.11.下列說法正確的有（）A.命題“，”的否定是“，”B.函數(shù)為奇函數(shù)C.函數(shù)（且）的圖像恒過定點（2，1）D.函數(shù)的遞減區(qū)間是【答案】BC【解析】【分析】運用含有一個量詞的命題的否定書寫方法可分析A項，運用奇函數(shù)的定義分析B項，運用對數(shù)函數(shù)恒過定點分析C項，運用多個單調(diào)區(qū)間的書寫方法可分析D項.【詳解】對于選項A，命題“”的否定是“”，故A項錯誤；對于選項B，因定義域為R，，所以為奇函數(shù)，故B項正確；對于選項C，因為，所以令，得，代入函數(shù)得，所以函數(shù)恒過定點，故C項正確；對于選項D，由多個單調(diào)區(qū)間用“，”隔開或“和”隔開，故D項錯誤.故選：BC.12.定義表示不大于的整數(shù)，設函數(shù)，則下列命題正確的有（）A.B.若，則的圖象與函數(shù)的圖象有1個交點C.在上單調(diào)遞增D.使得不等式恒成立的的最小值是1【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)的定義，結合函數(shù)圖象，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：，故A正確；對B：當，此時，令，解得或，均不滿足，故舍去；當，此時，令，解得，不滿足題意，故舍去；當，此時，令，解得（舍）或，此時方程有1根；當，此時，令，解得或，不滿足題意，故舍去；當，則，故不是的根；綜上所述：在上只有一個根為，故，則的圖象與函數(shù)的圖象有1個交點，正確；對：由可知，當當，此時，其在不單調(diào)，故在不可能單調(diào)遞增，故C錯誤；對D：當時，恒成立，；當時，即，即，令，在平面直角坐標系中繪制其函數(shù)圖象如下所示：注意到，當時，，故當時，的最小值為零，要滿足題意，只需，解得；綜上所述，的最小值為，故D正確.故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)新定義問題，處理問題的關鍵是能夠根據(jù)的定義，靈活的應用函數(shù)的性質(zhì)，屬綜合中檔題.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)的定義域是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)表達式,列出不等式組即可解得其定義域.【詳解】因為函數(shù),所以解得且，即函數(shù)的定義域為.故答案為：.14.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則m＝______．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)列式求解.【詳解】由題意可得，解得故答案為：4.15.已知，，且，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】變形，然后展開，利用基本不等式求最值.【詳解】，，，，當且僅當，即時等號成立.故答案為：.16.函數(shù)，若，且，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】做出函數(shù)圖像，得出和的關系，以及，和的取值范圍，即可求出的取值范圍.【詳解】由題意，中，，且，做出函數(shù)圖像如下圖所示：由圖像可知，，，∴∴，故的取值范圍是，故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分）17.計算下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接計算指數(shù)冪即可；（2）直接利用對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】.18.已知集合（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，然后由并集的定義可求得結果，（2）由，得，然后分和兩種情況求解即可.【小問1詳解】當時，，所以【小問2詳解】因為，所以，若，符合，則，解得.若，由，得，即，解得，綜上可知的取值范圍是.19.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求實數(shù)的值，判斷函數(shù)的單調(diào)性并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（2）解不等式．【答案】（1）；在上是增函數(shù)；證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知，求后，再驗證函數(shù)是奇函數(shù)，并利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）方法一：先求得，再解分式不等式；方法二：利用函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為，再利用函數(shù)的單調(diào)性，解不等式.【詳解】解：（1）∵的解集是，∴的定義域是．又∵是奇函數(shù)，∴．∴，即．經(jīng)檢驗知，當時，，符合題意．，經(jīng)判斷可知在上是增函數(shù)．證明：任取，且，則，∴為增函數(shù)，，∴．∴，，．∴，即．∴在上是增函數(shù)．（2）方法一：由，可得，∴等價于，解得，∴原不等式的解集為．方法二：由（1）在上是增函數(shù)，且，∵，∴，∴，綜合得不等式的解集是．【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，本題的第一個關鍵是奇函數(shù)求解析式時，在處有定義時，，第二個關鍵是解抽象不等式時，需根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，去掉“”解不等式，不要忽略函數(shù)的定義域.20.最近，考古學家再次對四川廣漢“三星堆古墓”進行考古發(fā)掘，科學家通過古生物中某種放射性元素的存量來估算古生物的年代．已知某放射性元素每年都會衰減為前一年的倍（），且該放射性元素的半衰期約為4500年（即：每經(jīng)過4500年，該元素的存量變?yōu)樵瓉淼囊话耄?，已知古生物中該元素的初始存量為a（參考數(shù)據(jù)：）．（1）求出并寫出該元素的存量與時間（年）的關系；（2）經(jīng)檢測古生物中該元素現(xiàn)在的存量為，請推算古生物距今大約多少年？【答案】（1）（2）6000年【解析】【分析】（1）根據(jù)半衰期的定義即可得出該元素的存量與時間（年）的關系；（2）根據(jù)（1）中所給函數(shù)及古生物中該元素現(xiàn)在的存量，即可求出古生物距今大約多少年.【小問1詳解】由題意，放射性元素每年都會衰減為前一年的倍（），且該放射性元素的半衰期約為4500年∴【小問2詳解】由題意及（1）得，在中，當古生物中該元素現(xiàn)在的存量為時，，即，∴，解得：，∴古生物距今大約6000年.21.已知定義域為的單調(diào)減函數(shù)是奇函數(shù)，當時，．（1）求的解析式；（2）若任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，求的值；求出的解析式，即可求的解析式；（2）若對任意的，不等式恒成立，在上是減函數(shù)，所以．即對任意恒成立，，即可求實數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】因為定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，所以．因為當時，，所以．又因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以．所以．綜上，【小問2詳解】由得．因為是奇函數(shù)，所以．又在上是減函數(shù)，所以．即對任意恒成立．解得．故實數(shù)的取值范圍為．22.已知函數(shù)有如下性質(zhì)：若常數(shù)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（1）已知，，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的值域；（2）對于（1）中的函數(shù)和函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將的解析式上下同除