2.2-基本不等式十種題型歸納講義-2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第

基本不等式十種題型分析常用結(jié)論1、若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）2、若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）3、若（或同號(hào)），則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）4、若ab<0（或異號(hào)），則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）證明：∵∴，故∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），即∴典例分析題型一：湊系數(shù)考法：計(jì)算形如（）的最大值方法：變形為求解（驗(yàn)證等號(hào)成立條件）例1（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值。題型二：加項(xiàng)變換考法：計(jì)算形如的最小值方法：變形為（驗(yàn)證等號(hào)成立條件）例2已知，求的最小值。題型三：拆項(xiàng)變換考法：計(jì)算形如的最小值方法：變形為（驗(yàn)證等號(hào)成立條件）例3求的最小值。題型四：整體代換考法：計(jì)算形如或的最小值。方法：①整體代換，將作為整體；②分離參數(shù)。例4已知，求函數(shù)的最小值。題型五：數(shù)字代換方法：將數(shù)字替換成代數(shù)式，通常變換成數(shù)字“1”。例5（1）已知，求的最小值。（2）設(shè)都是正數(shù)，且，求的最小值。題型六：型方法：分子分母同除以，即，進(jìn)而利用基本不等式求解。例6已知，求函數(shù)的最大值。題型七：消元（化二元為一元）考法：已知兩個(gè)變量間的等量關(guān)系，求某個(gè)代數(shù)式的值。方法：①對(duì)已知的等量關(guān)系變形，有一個(gè)變量表示另一個(gè)變量；②將表示的變量代入所求代數(shù)式，得到一個(gè)單變量函數(shù)；③利用函數(shù)單調(diào)性求最值。說(shuō)明：此方法適用范圍有限，現(xiàn)階段只適用于能化為二次函數(shù)的題型。例7已知，求的最大值。題型八：拆、拼、湊思想（目的）：從問(wèn)題反推，通過(guò)拆、拼、湊，使已知和所求的單變量代數(shù)式一致。解法：對(duì)所求代數(shù)式不能直接使用基本不等式，需結(jié)合已知的等量關(guān)系和問(wèn)題的代數(shù)形式對(duì)已知變形，得到問(wèn)題中兩個(gè)變量的代數(shù)形式，使其積或和為定值，從而利用基本不等式求解。例8（1）已知為正實(shí)數(shù)，且，求的最小值；（2）如上述例7的方法二；（3）已知，，求的最小值。題型九：直接使用基本不等式例9（1）若正實(shí)數(shù)滿足，求的最小值；（2）已知正實(shí)數(shù)滿足，求的最小值。題型十：整體思想在均值不等式中的應(yīng)用例10已知均為正數(shù)，，求函數(shù)的最小值。典例分析答案例1（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值?！痉治觥繙愊禂?shù)，使兩項(xiàng)之和為定值，第一題提出3，第二題湊?！窘馕觥浚?）∵ ∴∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）∴的最大值為12（2）∵ ∴∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）∴的最大值為8例2已知，求的最小值。【分析】由題知定值，因此整式項(xiàng)可以添加一個(gè)常數(shù)，使之乘積為定值?！窘馕觥俊? ∴∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）∴的最小值為8例3求的最小值?！痉治觥坎痦?xiàng)，將拆成，然后利用基本不等式求解?！窘馕觥浚ó?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立）例4已知，求函數(shù)的最小值。【解析】∵時(shí)，∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立例5（1）已知，求的最小值?！窘馕觥俊摺?，∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立補(bǔ)充：如何計(jì)算等號(hào)成立時(shí)的值？由和解得（2）設(shè)都是正數(shù)，且，求的最小值?！窘馕觥俊摺唷喈?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立∴的最小值為例6已知，求函數(shù)的最大值。【解析】由題得∵ ∴，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）∴，故，則，即∴函數(shù)的最大值為1.例7已知，求的最大值?！痉治觥勘绢}有兩種方法，其一是消元，根據(jù)“”得到值，代入成為關(guān)于的二次函數(shù)，從而求最值；方法二是對(duì)“”進(jìn)行配湊，出現(xiàn)和.【解析】法一：消元法∵∴，故∵∴，得，故∴，故，，則∴的最大值為25.法二：配湊+基本不等式∵∴（解讀：之所將變形為，是根據(jù)所求得到）由題得，所以由基本不等式可得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）∴的最大值為25.例8（1）已知為正實(shí)數(shù)，且，求的最小值；（2）如上述例7的方法二；（3）已知，，求的最小值?！窘馕觥浚?）∵∴，故由題得，則由基本不等式得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立∴的最小值為（3）說(shuō)明：以下過(guò)程是分節(jié)過(guò)程，不是解答過(guò)程。已知是“”和“”，問(wèn)題是“”和“”，我們從問(wèn)題反推如何對(duì)已知拆、拼、湊，，出現(xiàn)“”和“”，接下來(lái)對(duì)已知拆、拼、湊將變形為，從而得到，本題迎刃而解。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立例9（1）若正實(shí)數(shù)滿足，求的最小值；（2）已知正實(shí)數(shù)滿足，求的最小值?！窘馕觥浚?）∵∴化簡(jiǎn)得∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立（