北京大學(xué)群論第三章投影算符

PAGE－PAGE85－第三章投影算符投影算符方法是將群的表示空間約化為群不變子空間的直和的有效方法，常應(yīng)用于求群的不可約表示，以及構(gòu)造不可約表示的基函數(shù)。如果有了基函數(shù)，可以產(chǎn)生對稱群的表示；反過來，若已知群的不可約表示，常常可以用投影算符方法找到對應(yīng)的基函數(shù)。本章先介紹投影算符的基本概念，然后討論如何用群的不可約表示構(gòu)成投影算符?！?.1投影算符【定義3.1】（投影算符）線性空間V上的線性算符（線性變換）P，若滿足P2=P，則稱P是V的一個投影算符。P的值域，P的核，Np又稱為P的零空間?！は?對于任意必有，反之亦然。因為?！は?若P是V上的投影算符，則E－P也是V的投影算符，這里E為V上的恒等算子，且有P(E－P)=0。證明：，故E－P為投影算符;而，從而，有，即?！は?；反之若，則V中一定存在一個相應(yīng)的投影算符P。證明：①若V中有投影算符P，則而若有，且，則因，故。故有：，有②若V=，則，且分解唯一。尋找投影算子：定義算符P1:，其中。則有：，故有，P1即為所找的投影算子?！舳ɡ?.1◆若線性空間，則v上必存在投影算子P1，P2，…，Pk滿足：①，I=1，2，…，k，②，③P1+P2+…+Pk=E，④PiV=Wi，i=1，2，…，k；反之，若線性空間V存在投影算子滿足上述諸式，則有。證明：1．由，可唯一分解為：。i.定義算符Pi，，則有：，即，為投影算符；ii．對任意，有，故PiPj=0；iii．故E=P1+P2+…+Pk；IV．另由Pi的定義，知PiV=Wi。2．反之，若存在算子P1，P2，…，Pk，滿足定理中四個條件，則i．，令PiV=Wi，i=1，2，…，k，有V=W1+W2+…+Wk。ii．對于，有由，有iii．故若有，則，因;又，因故有，因此W1，W2，…，Wk僅有公共元素0，因此。定理3.2◆設(shè)群G在表示空間上的線性表示為A(g)，若可分解為。則為群不變子空間的充要條件為子空間對應(yīng)的投影算子與表示空間V上的群表示A(g)對易，即：；證明：1．必要性：由定理3.2，存在投影算子Pi，i=1，2，…，k，滿足：當(dāng)，故：即:,由的任意性，有；2．充分性：若V上存在投影算子Pi及關(guān)系式，則，由，有：，即，故Wi是G不變的子空間?！舳ɡ?.3◆若投影算子Pi不能寫成兩個與空間V中的表示A可交換的投影算子與的和，這里，；，，則V的子空間Wi=PiV是一個不可約的G表示空間；反之若Wi是G的一個不可約表示空間，則算符Pi不能寫成兩個投影算符的和。證明：1．反證：若Pi不能寫成V的兩個投影算符之和，而Wi=PiV是可約的表示空間，則由定理3.2有，故存在算符滿足上述條件，這與題設(shè)矛盾，故Wi是不可約表示空間。2．反命題反證：設(shè)Wi是G的一個不可約表示空間，而與之相應(yīng)的投影算符Pi可以寫為上述兩個投影算子之和，則由定理3.2知，存在為G不變的子空間，而，故Wi是可約表示空間，這與題設(shè)矛盾；故此時算符Pi不可以分解為上述兩個投影算符之和。對于群代數(shù)空間，還可以得到與群不變子空間及其投影算符對應(yīng)的冪等元?！径x3.2】（冪等元）群代數(shù)RG中滿足條件e2=e的元素e稱為冪等元，滿足條件的元素e稱為本質(zhì)冪等元。此時為冪等元。?系1RG中左正則變換L(G)群不變子空間及其投影算子與冪等元一一對應(yīng)。證明：1．若為G不變子空間，Pi為相應(yīng)的的投影算子，則可證存在與之對應(yīng)的冪等元為群的單位元。由定理3.2，對于左正則表示L有，即，，則有：（令）故：，而，由此可得，即為冪等元。2．反之設(shè)為冪等元，則可以找到與之對應(yīng)的L(G不變子空間和相應(yīng)投影算符：定義算符?？梢宰C明Pi即為與ei對應(yīng)的投影算符：應(yīng)用Pi的定義及ei為冪等元，對有：，即，Pi為投影算符?？沈炞C與L(g)可交換： 為任意，故，故為群不變子空間。由上述1、2知群空間中左正則變換群下的不變子空間及其投影算子與冪等元有一一對應(yīng)關(guān)系。?系2設(shè)Pi，ei，i=1，2，…，k為RG投影算子及相應(yīng)冪等元，則①；②若，則;③若，則,g0為群G的單位元。證明：①，有，故；②任意，必有；③由有：即，故必有?系3為L(G)不變子空間，其投影算符Pi對應(yīng)的冪等元為，則。◆定理3.4◆設(shè)為左正則變換L(G)群不變子空間，為投影算子；設(shè)ei為與Pi對應(yīng)的冪等元；即，則Wi為RG中群不可約表示子空間的充要條件為ei不能分解為滿足以下條件的兩個冪等元之和：；。證明：由于冪等元和投影算子之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)定理3.3和定理3.4顯然本定理成立?！径x3.3】（本原冪等元）不能如上定理3.4所述分解的冪等元稱為本原冪等元?！舳ɡ?.5◆（本原冪等元判別定理）冪等元ei為本原冪等元的充要條件為,對成立。證明：1．必要性：設(shè)ei為本原冪等元，有對應(yīng)投影算子Pi，子空間為群不變的不可約子空間，且：i．對，定義一個與有關(guān)的算符A：，將A作用到上，有：即A與L(g)可交換。ii．對于任意矢量，可分不屬于子空間和屬于子空間兩種情況：當(dāng)時，，故，為任意復(fù)數(shù)；當(dāng)時，由于，由舒爾引理二知A在Wi不可約子空間上為常數(shù)矩陣，Ewi為Wi上的單位矩陣，故。故對于任意，有：，因此，。由A的定義有：即。必要性成立。2．充分性，由證明ei為本原冪等元：反證：設(shè)此時ei不是本原冪等元，則ei可分解為ei1，ei2，于是：則而,故有，有解或1:時，時，。故實際上ei不可分解，與假設(shè)矛盾，故充分性成立。§3.2群表示投影算符由群的不可約幺正表示及其特征標(biāo)可構(gòu)造出群表示空間中的投影算符。◆定理3.6◆設(shè)群G的不可約酉表示為，α=1，2，……q，維數(shù)為，為與G同態(tài)的算符群，；定義算符，則這些算符滿足下列關(guān)系：，且為投影算符。證明：（令）易得為投影算符系1，j=1，2，……，α=1，2，…，q為投影算符系2當(dāng)i≠j,α≠β時，系3特征標(biāo)投影算符,為投影算符?！舳ɡ?.7◆所有投影算符求和滿足：,為恒等算符。證明：①群表示矩陣元的完全性關(guān)系：②由算符定義：兩邊乘上，并對、、求和有：即有取為群單位元e時有：故所有投影算符的和為恒等算符。載荷群的不可約幺正表示的基函數(shù)與以上投影算符之間具有一定的關(guān)系，具有如下幾個定理所描述的性質(zhì)?！舳ɡ?.8◆群不可約表示基函數(shù)定理：設(shè)為群G的函數(shù)作用算符群，一組基函數(shù)，i=1，2，…，構(gòu)成群G的第α個不可約幺正表示的基函數(shù)的充要條件為：，i=1，2，……，稱為對稱化基函數(shù)。證明：①必要性：設(shè)，i=1，2，…，為不可約表示的基，有：兩邊乘上并對群元求和有：即上式取α=β，k=j，則有，必要性成立②充分性：若，則為表示基，兩邊用作用：令，為的線性組合。因此為不可約表示的基?！舳ɡ?.9◆不可約幺正表示基函數(shù)定理（Wigner（維格納）－Eckart（埃伽）定理）有限群不等價不可約幺正表示的基函數(shù)，i=1，2，……，=1，2，……q，滿足如下正交關(guān)系：其中為與i，j無關(guān)的常數(shù)。證明：，函數(shù)作用算符一般為坐標(biāo)變換算符，由轉(zhuǎn)動和平移構(gòu)成。{、、……}、{、、……}分別為函數(shù)作用算符群的第α、β個不可約幺正表示的基。坐標(biāo)變換算符為幺正算符，，保持函數(shù)內(nèi)積不變：兩邊對群元求和：左邊，n為群G的階。右邊令，故有。注：互相等價的兩個不可約幺正表示的基函數(shù)之間不正交?！舳ɡ?.10◆幺正表示基函數(shù)定理若，i=1，2，…，m，為群G的幺正表示（不必是不可約表示）的基，則其平方和在群元函數(shù)作用算符作用下不變：證明：由，故：一般反過來也有：若一組線性無關(guān)的基滿足，則群在該基上為一幺正表示。投影算符的應(yīng)用，，故不是嚴(yán)格意上的投影算符，可稱之為準(zhǔn)投影算符。①，i≠j時。i若已知不可約表示的一個基函數(shù)，，則可由，，……作用于 上得到全部基函數(shù)，i=1，2，…，。ii對的不可約表示空間上矢量的作用：，則iii對任意函數(shù)的作用：從任意函數(shù)中投影出了其中的分量。②投影算符作用于任意函數(shù)即從任意函數(shù)中投影出的成份。③特征標(biāo)投影算符：i有ii對不可約表示函數(shù)空間上任意矢量的作用，iii對任意函數(shù)的作用：即從任意函數(shù)中投影出子空間中的矢量。例一利用投影算符找出已知的不可約表示的基函數(shù)。群的一個二維不可約表示：，，，，與群相應(yīng)的函數(shù)作用算符群：{、、、、、}，定義：,,,,可得如下算符：尋找與轉(zhuǎn)角θ有關(guān)的三角函數(shù)基，取任意函數(shù)，將作用于F上，得：歸一化后所得到一個基函數(shù)將作用于得：故群的一組不可約表示的基為：，例二已知群的一個二維不可約表示的特征標(biāo)，試求出其基函數(shù)，并求出表示矩陣。群特征標(biāo)表：e{d，f}{}11111-12-10①將特征標(biāo)投影算符作用于任意選取的函數(shù)上，可找出其基函數(shù)：任意選取函數(shù)，為|r|的任意函數(shù)。故可取第一個基函數(shù)用對作用：由于為二維不可約表示，只有兩個基函數(shù)，故取。由于，是正交的，故不必作正交化處理。②將算符、、、、、作用于，上，容易得到二維